相似三角形難題整理匯編

1、.3.如圖1，在Rt ABC中, 足為N.(1)當(dāng)AD= CD時(shí)，求證：乙 ACB= 90, AC= 6, BC= 8,點(diǎn)DE/ AC ( 2)探究：AD為何值時(shí),D在邊AB上運(yùn)動(dòng)，DE平分乙CDB交邊BC于點(diǎn)E, EML BD,垂足為 M， BME與 CNE相 似？EN CD 垂相似三角形1.如圖，在Rt ABC中，/ ACB=90 , AC=3 BC=4過(guò)點(diǎn)B作射線BB1/ AC.動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí) 動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C沿射線AC方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn) D作DHL AB于H,過(guò)點(diǎn)E作EFL AC交射線BB1于F, G是EF中點(diǎn)，連接DG設(shè)點(diǎn) D

2、運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.(1)當(dāng)t為何值時(shí)，AD=AB并求出此時(shí) DE的長(zhǎng)度；(2)當(dāng) DEG與 ACB相似時(shí)，求t的值.fqF 険/八.rGQ以1m/s的速度從C點(diǎn)2.如圖，在 ABC中，乙ABC= 90, AB=6m BC=8m動(dòng)點(diǎn)P以2m/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿 AC向點(diǎn)C移動(dòng).同時(shí)，動(dòng)點(diǎn) 出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，它們都停止移動(dòng)設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒.(1) 當(dāng)t=2.5s時(shí)，求 CPQ的面積；求 CPQ的面積S (平方米)關(guān)于時(shí)間t (秒)的函數(shù)解析式；t的值.(2) 在P, Q移動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng) CPC為等腰三角形時(shí)，求出BA= BC= 20cm, AC= 30cm,點(diǎn)P從

3、A點(diǎn)出發(fā)，沿著 AB以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn) Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以x.4.如圖所示，在 ABC中，每秒3cm的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，Q點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為(1) 當(dāng)x為何值時(shí)，PQ/ BC?(2) APQ與 CQB能否相似？若能，求出 AP的長(zhǎng)；若不能說(shuō)明理由.5.如圖，在矩形 ABCD中, AB=12cm BC=6cm點(diǎn)P沿AB邊從A開(kāi)始向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)；點(diǎn) Q沿DA邊從點(diǎn)D開(kāi)始向點(diǎn)A以1cm/s的速度 移動(dòng).如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t (s)表示移動(dòng)的時(shí)間(0 Vt 6)。(1) 當(dāng)t為何值時(shí)， QAP為等腰直角三角形？(2) 當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)

4、 Q A、P為頂點(diǎn)的三角形與 ABC相似？6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2 , 1)，正比例函數(shù)y=kx的圖象與線段0A的夾角是45,求這個(gè)正比例函數(shù)的表達(dá)式.7.在 ABC中，AB5，AC=4, BC=2以AB為邊在C點(diǎn)的異側(cè)作 ABD,使 ABD為等腰直角三角形，求線段 CD的長(zhǎng).8.在 ABC中，AC=BCZ ACB=90，點(diǎn)M是AC上的一點(diǎn)，點(diǎn) N是BC上的一點(diǎn)，沿著直線 MN折疊，使得點(diǎn) C 恰好落在邊 AB上的P點(diǎn).求證：MC NC=AP PB.9.如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO勺邊0A在x軸上，邊0C在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（線AC翻折B點(diǎn)落在D點(diǎn)的位置，且AD交

5、y軸于點(diǎn)E.那么D點(diǎn)的坐標(biāo)為（）(4 12 A.I心丿B.r 1色 匸D.10.已知，如圖，直線 y= - 2x + 2與坐標(biāo)軸交于 矩形的兩邊之比為1 求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)。A B兩點(diǎn).以AB為短邊在第一象限做一個(gè)矩形ABCD使得:2。D11.如圖： ABC中,AS CFD是AB上一點(diǎn)，AD=AC BC邊上的中線AE交CD于F。求證：AC DF12.四邊形ABCD中,曲5嚴(yán)AC為AB AD的比例中項(xiàng)，且 AC平分/DAB求證：de cd13.在梯形ABCD中,AB/CD,AB= b,CD= a,E為AD邊上的任意一點(diǎn)，EF/ AB,且EF交BC于點(diǎn)F,某同學(xué)在研究這一問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)如下事實(shí):DE

6、 _(1)當(dāng) AEDE _當(dāng)曲a-b時(shí),EF= 33時(shí),EF= 2; (2)EF= 4 .當(dāng)時(shí)，參照上述研究結(jié)論，請(qǐng)你猜想用a、b和k表示EF的一般結(jié)論，并給出證明.ENZ14.已知：如圖，在 ABC中，M是AC的中點(diǎn)，E、F是BC上的兩點(diǎn)，且 BE= EF= FC。 求 BN NQ QM15.證明：(1)重心定理：三角形頂點(diǎn)到重心的距離等于該頂點(diǎn)對(duì)邊上中線長(zhǎng)的 三角形一個(gè)角的平分線分對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩鄰邊對(duì)應(yīng)成比例.16.如圖，在等邊 ABC中, M N分別是邊 AB, AC的中點(diǎn)，D為MN上任意一點(diǎn)，BD CD的延長(zhǎng)線分別交 AC AB于點(diǎn)E、F.113+=求證：GE 3F A

7、B.17.已知：如圖，梯形 ABCD中, AB/DC,對(duì)角線 AC BD交于O,過(guò)O作EF/AB分別交AD BC于E、F。/X 18.如圖，在 ABC中，已知CD為邊AB上的高，正方形 EFGH勺四個(gè)頂點(diǎn)分別在 ABC上。+求證：19.已知，在ABC中作內(nèi)接菱形CDEF設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為a .求證：麗+麗1，點(diǎn)尸在平行四邊形 ABCD的對(duì)角線BD上，一直線過(guò)點(diǎn) P分別交BA BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) Q, S,交Q于點(diǎn)氏.求證:20. ( 1)如圖Q PR=PE PT(2)如圖2,圖3，當(dāng)點(diǎn)戸在平行四邊形ABCD的對(duì)角線或刃召的延長(zhǎng)線上時(shí)，F(xiàn)Q=陽(yáng)PT是否仍然成立？若成立，試給出證明；若不成立，試說(shuō)明理由

8、(要求僅以圖2為例進(jìn)行證明或說(shuō)明)；團(tuán)221.如圖，在平行四邊形 ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AE BC垂足為E，連接DE F為線段DE上一點(diǎn)，且/求證： adfa dec(2)若 AB= 4,AD = 3j3,AE= 3,求 AF 的長(zhǎng).22.如圖，已知等腰三角形ABC中，AD,BF分別為BC AC邊上的高，過(guò)D作AB的垂線交AB于E，交BF于G交AC延長(zhǎng)線于H。求證：| pE=EC?eh23.已知如圖，P為平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)，過(guò)P的直線與AD BC CD的延長(zhǎng)線、AB的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn) E、F、G H.PE _求證：PFFHPG24.已知，如圖,銳角 ABC中, ADX BC于

9、D，H為垂心（三角形三條高線的交點(diǎn)）；在AD上有一點(diǎn)P，且/ BPC為直角.求證：PD= AD- DH。25.已知如圖，CD是Rt ABC斜邊AB上的高，E為BC的中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線交 CA于F。 求證：AC-aF=BC-DF26如圖，在Rt ABC中，CD是斜邊 AB上的高，點(diǎn) M在CD上, DhU BM且與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) E. 求證：（1 ） AEDA CBM （ 2）27.如圖， ABC是直角三角形，/ ACB=90，CD丄AB于D，E是AC的中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) F.（1）求證：= FC.（2）若G是BC的中點(diǎn)，連接 GD GD與 EF垂直嗎？并說(shuō)明理由.28.如

10、圖，四邊形 ABCD DEFG都是正方形，連接 AE CG,AE與CG相交于點(diǎn)M, CG與 AD相交于點(diǎn)N.求證： 財(cái)-門(mén)曲二商臨29.如圖，BD CE分別是 ABC的兩邊上的高，過(guò) D作DGL BC于G分別交 CE及BA的延長(zhǎng)線于F、H。 求證：(1) dG= BG- CG ( 2) BG- CG= GF- GHft30. ABCWA DEF是兩個(gè)等腰直角三角形，/ A=Z D=90，A DEF的頂點(diǎn)E位于邊BC的中點(diǎn)上.(1) 如圖1,設(shè)DE與AB交于點(diǎn) M EF與AC交于點(diǎn)N,求證： BEMh CNE(2) 如圖2,將 DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，使得 DE與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) M EF與AC交于

11、點(diǎn)N, 對(duì)相似三角形并證明你的結(jié)論.于是，除(1)中的一對(duì)相似三角形外，能否再找出一31.如圖，四邊形 ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點(diǎn) R為DE的中點(diǎn)，BR分別交AC(1) 請(qǐng)寫(xiě)出圖中各對(duì)相似三角形(相似比為1除外);(2) 求 BP PQ QRCD于點(diǎn)P、Q.32.如圖,AS AC在 ABC中, AD丄 BC于 D, DEX AB于 E, DF丄 AC于 F。求證： AF ABRtA AB C 是由Rt ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，連結(jié) CC交斜邊于點(diǎn)E， 證明： ACEA FBE，/ CAC =，試探索33.如圖，(1)(2)設(shè)/ ABCCC的延長(zhǎng)線交BB于點(diǎn)F.滿(mǎn)足什么關(guān)系

12、時(shí)，F(xiàn)BE是全等三角形，并說(shuō)明理由.B34.在直角梯形 OAB(中, CB/ OA / C(A= 90o, CB3, OA= 6, BA= 3Q5.分別以O(shè)A OC邊所在直線為x軸、y軸建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系.(1) 求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2) 已知D E分別為線段0C 0B上的點(diǎn)，0D= 5，002EB，直線DE交x軸于點(diǎn)F.求直線DE的解析式;N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求(3) 點(diǎn)皿是(2)中直線DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在 x軸上方的平面內(nèi)是否存在另一個(gè)點(diǎn)N.使以O(shè) D M 出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.35.在圖15-1至圖15-3中，直線Mh與線段AB相交于點(diǎn)0,/ 1=/

13、2 = 45.(1) 如圖15-1，若A0 = 0B請(qǐng)寫(xiě)出A0與 BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；(2) 將圖15-1中的MN繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖15-2，其中A0 = 0B求證:(3) 將圖15-2中的0B拉長(zhǎng)為A0的k倍得到圖15-3，求BD的值.ACAC = BDAC丄BDOB36.如圖，在正方形 ABC中, E是BC上的一點(diǎn)，連結(jié)AE作BF丄AE垂足為H交CD于 F,作CG/ AE交BF于GFC2 GF(1)求證 CGBH (2) fC=BF GF (3) =.AB2 GB37.劉衛(wèi)同學(xué)在一次課外活動(dòng)中，用硬紙片做了兩個(gè)直角三角形，見(jiàn)圖、.圖中，/ B=90 / A=30 BC=6cm圖中

14、，/ 0=90, / E=45DE=4cm.圖是劉衛(wèi)同學(xué)所做的一個(gè)實(shí)驗(yàn)：他將DEF的直角邊DE與 ABC的斜邊AC重合在一起，并將 DEF沿AC方向移動(dòng).在移動(dòng)過(guò)程中，D E兩點(diǎn)始終在AC邊上(移動(dòng)開(kāi)始時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合).F、C兩點(diǎn)間的距離逐漸填“不變”、“變大”或“變小”)(1) 在 DEF沿AC方向移動(dòng)的過(guò)程中，劉衛(wèi)同學(xué)發(fā)現(xiàn)：(2) 劉衛(wèi)同學(xué)經(jīng)過(guò)進(jìn)一步地研究，編制了如下問(wèn)題：?jiǎn)栴}：當(dāng) DEF移動(dòng)至什么位置，即 AD的長(zhǎng)為多少時(shí)，F(xiàn)、C的連線與AB平行？問(wèn)題：當(dāng) DEF移動(dòng)至什么位置，即 AD的長(zhǎng)為多少時(shí)，以線段 AD FC BC的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形問(wèn)題：在 DEF的移動(dòng)過(guò)程中

15、，是否存在某個(gè)位置，使得/FCD=15 ?如果存在，求出AD的長(zhǎng)度；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 請(qǐng)你分別完成上述三個(gè)問(wèn)題的解答過(guò)程.個(gè)(圖)38.已知 ABC中，AB= 2 藥，AC= 4 麗，BC= 6(1) 如圖1點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，在線段 AC上取點(diǎn) 汕使 AMN與 ABC相似，求線段 MN的長(zhǎng)；(2) 如圖2,是由100個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的10X10正方形網(wǎng)格，設(shè)頂點(diǎn)在這些小正方形頂點(diǎn)的三角形為格點(diǎn)三角形，請(qǐng)你在所給的網(wǎng) 格中畫(huà)出格點(diǎn) ABC，使得 A1BG與 ABC全等(畫(huà)出一個(gè)即可，不需證明)ABC相似且面積最大的格點(diǎn)三角形的個(gè)數(shù)，并畫(huà)出其中的一個(gè)(不需證明)試直接寫(xiě)出在所給的網(wǎng)

16、格中與39.已知直角坐標(biāo)系中菱形 ABC的位置如圖，C, D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(4,0)，(0,3).現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P,Q分別從A, C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿線段AD向終點(diǎn)D 運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿折線CBA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(1) 填空：菱形ABC的邊長(zhǎng)是、(2) 探究下列問(wèn)題： 若點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn) 若點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)后兩個(gè)三角形組成的四邊形為菱形面積是 、高t秒-BE的長(zhǎng)是Q的速度為每秒Q的速度變?yōu)槊棵雓個(gè)單位，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，任何時(shí)刻都有相應(yīng)的 k值，使得 APC沿它的一邊翻折，翻折前 .請(qǐng)?zhí)骄慨?dāng)t =4秒時(shí)的情形，并求出k的值.2個(gè)單位.當(dāng)點(diǎn)Q在線段BA上時(shí)，求 APC的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，以及 S的最大值。xB.圉(1)(1) 如圖(1)當(dāng)射線DN經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2) 如圖(2),將/ MDN繞點(diǎn)D沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn), 的相似三角形，并證明你的結(jié)論.昏用圖A時(shí),Hf2)DM交 AC邊于點(diǎn)E,不添加輔助線，寫(xiě)出圖中所有與DM DN分別交線段 AC AB于E，F(xiàn)點(diǎn)ADE相似的三角形.(點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合)，不添加輔助線，寫(xiě)出圖中所有EF的長(zhǎng).(3)在圖(2)中，若AB=AC=10 BC=12,當(dāng) DEF的面