電磁場的相對論變換2015年度

1、一、問題的提岀電流是電荷的定向流動，而靜止或運(yùn)動都是相對于特定的參考系而言的。很自然地可以想到，若在一個參考系 S中靜止的電荷，在 S系中觀察只存在電場，在相對于S系勻速運(yùn)動的S'系中觀S'系中這兩個電察則同時存在電場和磁場；同樣，在S系中靜止的兩個電荷間只存在靜電力，而在 荷間不僅存在電的相互作用，還存在磁的相互作用。經(jīng)典電磁學(xué)中感應(yīng)電動勢分為感生和動生兩 種，只具有相對意義。例如一個磁鐵和一個線圈，當(dāng)磁鐵靜止、線圈運(yùn)動時，因線圈切割磁感應(yīng)線 而在其中產(chǎn)生動生電動勢，此電動勢是由磁場產(chǎn)生的洛倫茲力引起的；若線圈靜止、磁鐵運(yùn)動時， 線圈中因磁通量變化而產(chǎn)生感生電動勢，此電動勢是

2、由渦旋電場引起的。上述兩種情形是同一物理過程在兩個不同參考系中觀察的結(jié)果，得到不同的描述，這個問題也正是1905年愛因斯坦創(chuàng)立狹義相對論的那篇論文論動體的電動力學(xué)中一開始就提岀的。物理現(xiàn)象不應(yīng)隨參考系而異。在不同參考系中，電磁規(guī)律的形式為何不同？已建立的電磁規(guī)律是相對于哪個參考系的？不同參考系中得到的電磁規(guī)律之間有什么相互關(guān)系？電磁學(xué)中，無論速度多么低，伽利略變化都不再適用，解決這些問題要靠相對論。二、相對論力學(xué)的相關(guān)結(jié)論1、洛倫茲變換設(shè)有兩個慣性系 S系和S'系，其對應(yīng)的坐標(biāo)軸互相平行，S'系相對S系以速度V沿x軸正方w=ict，以(x,y,z,w)為閔可夫向運(yùn)動，在t=t&

3、#39;=0 時刻兩個參考系的原點(diǎn)重合。把時間寫成虛變量 斯基空間中的時空四矢量，洛倫茲變換為式中i為虛數(shù)單位,c為真空中的光速。若(Ax,Ay,Az,At)與(x,y,z,w) 一樣地服從洛倫茲變換，即AxAyAAAxAyAzAtAtAxAxAyAzAtAx iAyAzAtiAtAx則它也是個時空四矢量。2、四維速度d T= Ydt稱為它的固有時，固有時是洛倫茲變換中的相對于粒子靜止的時鐘所顯示的時間間隔 不變量。四維速度(U x,Uy,Uz,Ut)定義為dxdx dtdtUxVxddt dddydy dtdtUyVyddt dddzdz dtdtUzVzddt dddwdw dtdtUti

4、cddt dd四維速度是時空四矢量，它仍服從洛倫茲變換UxUx i UtUxUx i UtUyUyUyUyUzUzUzUzUtUt i UxUtUt i Ux3、四維動量四維動量是由三維動量Px, Py , Pz和能量 W組成的四維矢量 mO為靜質(zhì)量PxmoUxPymoUyPzPtPxPx iPtPxPx i PtPyPyPyPyPzPtPzPt iPzPxPtPzPti PxmoUz.WimoUtcmo為靜質(zhì)量。四維動量是時空四矢量，它仍服從洛倫茲變換三、電荷不變性與洛倫茲力公式的協(xié)變性在參考系變換時，物理量一般是變化的,規(guī)律的協(xié)變性要求規(guī)律中的物理量協(xié)同變換，而保持規(guī)律的形式不變。例如實(shí)驗(yàn)

5、測定速度為v的帶電許多事實(shí)表明， 一個物體中的總電荷量不因物體的運(yùn)動而改變 粒子的荷質(zhì)比滿足2q 魚 L m moc2而質(zhì)量隨速度變化的相對論公式為mor 2比較這兩個公式，暗示著帶電體的電量q不隨運(yùn)動速度而改變。又例如質(zhì)子所帶的正電量與電子所帶的負(fù)電量精確相等。帶電體的電荷密度不由于物體運(yùn)動時，在其運(yùn)動方向上長度將收縮，物體的體積也將收縮，故 是不變量。若在某一參考系中觀察到一個靜止的帶電體的電荷密度為P，在另一參考系中觀察到帶 電體的運(yùn)動速度為 U，其電荷密度為P '，則p'= YP。相對性原理要求電磁學(xué)的基本方程在洛倫茲變換下要具有協(xié)變性。經(jīng)典電磁學(xué)中的洛倫茲力公式F q

6、v B只包含磁場力，不可能具有協(xié)變性，普遍的洛倫茲力公式應(yīng)包含電場力，即F q E v B這里的電場既包含庫侖場，也包含渦旋場。四、電磁場的相對論變換公式在相對論力學(xué)中四維動量是時空四矢量，服從洛倫茲變化;8 dUx dt dUy r duz r i dWc dt但它對時間t的導(dǎo)數(shù)即由力的三個分量(fx,fy ,fz)和功率pix者說在上述四個量上乘以一一ddPx"dTdPy"dTdPzdtdPtfxfyfzdtP的組合并不構(gòu)成時空四矢量。若把dt換成固有時間隔 d T,或FxFyFzFtf魚I Yxdfyr fz乎 丄pdt c就變成服從洛倫茲變換的時空四矢量FxFy F

7、zFtFxFyFzFtFtFxFxFy FzFtFxFyFzFtFtFxfxqExVyBzVzByfyqEyVzBxVxBzfzqEzVxByVyBxipc-q VxEx cVyEyVzEz乘以蟲，得dFxqi-UtExcUyBzUzByFyq-UtEycUzBxUxBzFzq-UtEzcUxByUyBxFti -q cUxExUy,Ey UzEz根據(jù)洛倫茲變換下的協(xié)變性要求，從慣性系S變換到慣性系S'，上式應(yīng)該具有的形式為Fxq UtEx cUyBzUzByFyq-UtEycUzBxUxBzFzq丄 UtEzcUxByUyBxFti -q cUxExUy,Ey UzEz利用S系到S&

8、#39;系的洛倫茲變換，有FxFx i Ftq -1cUtEx UyBzUzBy.i匚匚i -q UxExUyEyc電磁學(xué)中電荷q受到的洛倫茲力和功率為化簡后得到Uz、UzEz把上式中的U x、Uy、FxUt作洛倫茲反變換,212 ExUtq Bz ；EyUyByEz Uzc由于上式對任意速度都成立，令其中U't、U'y、U'z的系數(shù)與Fxi-UtcExUyBzUzBy 中U't、U'y、U'z的系數(shù)對應(yīng)相等，得到ExExByBy-EzcBzBz；Ey同樣的方法運(yùn)用到其他分量，得到電磁場的洛倫茲變換公式為403 rqx403 rqy403 rqz

9、403 r即EyExEz其分量為J 222式中r V X y z 。S'系中不存在磁場,Bz 0Bx By現(xiàn)設(shè)參考系S'系相對S系以速度V沿x軸正方向運(yùn)動，兩個參考系對應(yīng)的對比澳洲相互平行且在 t=t'=0時刻兩個參考系原點(diǎn)重合，則S系中的電場E就是所求的運(yùn)動的點(diǎn)電荷的電場。利用洛倫茲變換公式，得ExExq4 0 2x vtEyEyqJqx vt 2y2yEzEzqz廠q402 x vt23.2 2 2 2vt y z 2 z考慮t=0時刻，有Ex : Ey: Ez x: y : zE與坐標(biāo)軸之間的夾角等于徑矢與坐標(biāo)軸之間的夾角 方向沿著以點(diǎn)電荷的瞬時位置為起點(diǎn)的徑矢方

10、向。也就是說，電場強(qiáng)度，或者說電場強(qiáng)度E的考慮電場強(qiáng)度大小的分布E2Ex E： E；2 2x2 2x2z2 2 3 y z2 2 32 y z 22x yq4 02x2 y2 z2 1+xq.2340r.2.2201 Sin2運(yùn)動的點(diǎn)電荷的電場強(qiáng)度的大小除了與此結(jié)果表明，的夾角0以及電荷的運(yùn)動速率 V，電場強(qiáng)度的大小不是各向均勻的3z222y zr2成反比外，還依賴于徑矢與運(yùn)動方向之間運(yùn)動電荷曲電好涼9隨著電荷的運(yùn)動，電場強(qiáng)度的這種分布以同一速度向前運(yùn)動。當(dāng)點(diǎn)電荷速度 略時，電場近似為庫侖場。電荷的速度越大，電場線在 情形下，極強(qiáng)的電場局限在v較小，B <<1 而可忽 yOz平面附

11、近的密集越高，在1的極限 yOz平面內(nèi)，運(yùn)動電荷攜帶這樣的電場高速運(yùn)動。六、運(yùn)動的點(diǎn)電荷的磁場根據(jù)電磁場的洛倫茲變換公式，可得點(diǎn)電荷勻速運(yùn)動時空間的磁感應(yīng)強(qiáng)度為BxBx0ByBzc上E2 "-yc4ez c Ye c寫成矢量表達(dá)式為1B -vc該式表明，點(diǎn)電荷勻速運(yùn)動時，空間的磁場也是隨時間變化的，它總是垂直于速度矢量和電場矢量所決定的平面。磁感應(yīng)線是一些以電荷運(yùn)動軌跡為軸的同心圓。在t=0時刻點(diǎn)電荷恰好處于S系原點(diǎn)時，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為. 2 .Bt0總v 1 Sin232 . 2 . 2 2c 1 Si n 2電場與磁場是相互聯(lián)系的，真空介電常數(shù)£0與真空磁導(dǎo)率卩0之間的關(guān)系為10 c于是B|t0qv 12 sin3204 r212 si n2平面附近較為密集。電荷的速度越大，磁感應(yīng)線在yOz與電場線的分布對應(yīng)，磁感應(yīng)線也在 yOz平面附近的密集程度越高。隨著電荷的運(yùn)動，磁感應(yīng)強(qiáng)度的這種分布以同一速度向前運(yùn)動。cB/EIjokQ.l0119OJiflf 丄""tS*13F3T *當(dāng)電荷運(yùn)動速度較小，B <<1而可忽略時,Bto磁感應(yīng)強(qiáng)度的分布為0 qvsin4 r2寫成矢量表達(dá)式為0 qv rq v I dl的代換，可過渡到電流元4這就是低速情