極坐標(biāo)與參數(shù)方程取值范圍問題

1、極坐標(biāo)與參數(shù)方程取值范圍問題.解答題（共12小題）1已知曲線Ci的極坐標(biāo)方程為P2cos2 0 =8曲線C2的極坐標(biāo)方程為9 占，曲6線Ci、C2相交于A、B兩點(diǎn).（p R）（I ）求A、B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)；（n）曲線Ci與直線（t為參數(shù)）分別相交于 M , N兩點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng)度.2.【坐標(biāo)系與參數(shù)方程】標(biāo)系xOy的O點(diǎn)為極點(diǎn), 曲線C的極坐標(biāo)方程為設(shè)直線I的參數(shù)方程為土 （t為參數(shù)）,若以直角坐ly=2tOx軸為極軸，選擇相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，得Seos esin 6（I）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并指出曲線是什么曲線；（2）若直線I與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，求I AB .3

2、.（選修4 - 4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程）已知曲線 C的參數(shù)方程是I尸門e為參數(shù)，a>0）,直線I的參數(shù)方程是f廬3+t （t為參數(shù)）,曲線C與直線I有一個(gè)公共點(diǎn)在x軸上，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系.（I ）求曲線C普通方程;G普Kp節(jié)e普）在曲線C 上, 求L?J（n）若點(diǎn) At P JI。，B（P1,11的值.|oa|2 IoeI IocF4已知在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓錐曲線C的極坐標(biāo)方程為P* 企，定點(diǎn)A© -V3）|，F(xiàn)i, F2是3十win 6圓錐曲線C的左、右焦點(diǎn).直線經(jīng)過點(diǎn)Fi且平行于直線AF2.（I

3、 ）求圓錐曲線C和直線的直角坐標(biāo)方程;（n ）若直線與圓錐曲線C交于M , N兩點(diǎn)，求I FiM|?| FiN| .10.已知直線C1：(t為參數(shù))，曲線C2： p=sin (吟)5 .在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線Ci的參數(shù)方程為4k 二肚 osQ 尸bsinQ(a>b>0, ?為參數(shù))，在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線 C2是圓心在極)對(duì)應(yīng)的參數(shù)？吟，射線軸上，且經(jīng)過極點(diǎn)的圓.已知曲線C1上的點(diǎn)KC1,爭(zhēng)0=與曲線C2交于點(diǎn)DCl,-(I )求曲線C1, Q的方程;(n )若點(diǎn) A ( P1, B) , B( P 2,9)在曲線C1上，求七卄丄不的值.2pf6

4、.在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn) 系，已知圓C的圓心的極坐標(biāo)為(血,7 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Ci為(1<av6, ©為參數(shù)).在(2)設(shè)Ci與y軸正半軸交點(diǎn)為D,當(dāng)于牛時(shí)，設(shè)直線BD與曲線C1的另一個(gè)交O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)),半徑頊，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(2, 4n,過P作直線I交圓C于A, B兩點(diǎn).(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程；(2)求 I PA?| PB 的值.y=sinQ以0為原點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2的極坐標(biāo)方程為P =6cos, 0 射線為0 =a與C1的交點(diǎn)為A,與Q除極點(diǎn)外的一個(gè)交點(diǎn)為B.當(dāng)a =0寸，| AB| =4.(1

5、)求G, Q的直角坐標(biāo)方程；點(diǎn)為 E,求 IBDI+I BE .&極坐標(biāo)系中，圓C方程P2sin 0A(5, 2 n),以極點(diǎn)作為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸作為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系，并在兩種坐標(biāo)系中取相 同的長(zhǎng)度單位.(I )求圓C在直角坐標(biāo)系中的標(biāo)準(zhǔn)方程;(n)設(shè)P為圓C上的任意一點(diǎn)，圓心C為線段AB中點(diǎn)，求|PA?| PB的最大 值.9.(選修4 - 4 :極坐標(biāo)系與參數(shù)方程)極坐標(biāo)系中，求圓P=上的點(diǎn)到直線P COS( 0+ ) =1的距離的取值范圍.(1) 求直線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程;(2) 求直線G被曲線C2所截的弦長(zhǎng).11.已知直線I是過點(diǎn)P ( -

6、1, 2),方向向量為n = (- 1, (5)的直線，圓方程TTP =2co()(1)求直線I的參數(shù)方程(2)設(shè)直線I與圓相交于M ,12 .已知點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(2,N兩點(diǎn)，求I PM|?| PN的值.K2)，曲線C的極坐標(biāo)方程為p = 4cos 0過點(diǎn)P的直線I交曲線C與M、N兩點(diǎn)，求|PM|+| PN|的最大值.極坐標(biāo)與參數(shù)方程取值范圍問題參考答案與試題解析.解答題（共12小題）1.已知曲線Ci的極坐標(biāo)方程為p2cos2 0 =8曲線C2的極坐標(biāo)方程為白二線Ci、C2相交于A、B兩點(diǎn).（p R）（I ）求A、B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)；尸it（n）曲線Ci與直線（t為參數(shù)）分別相交于M，N兩點(diǎn)，求線

7、段MN的長(zhǎng)度.【解答】解：（I）由P cos2&=S得：P cos兀訂,p=16,即 p = 4. A、B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)為：B(-4,677TT（n ）由曲線Ci的極坐標(biāo)方程pcos2 0 =化為 p (cos2 0- sin2B) =8, 得到普通方程為x2-y2=8.將直線代入 x2 - y2=8,整理得14=0 . |MN(2J"djL=2d7.I 二!?+42.【坐標(biāo)系與參數(shù)方程】 設(shè)直線I的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)），若以直角坐Ly=2t標(biāo)系xOy的0點(diǎn)為極點(diǎn)，Ox軸為極軸，選擇相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，得曲線C的極坐標(biāo)方程為P環(huán)* .sin e（1）將曲線C的極坐標(biāo)

8、方程化為直角坐標(biāo)方程，并指出曲線是什么曲線;（2）若直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，求| AB .【解答】解：（1）由 pNug Q 得 P siftB =8cos,0 psin2 0 =8 p cos y2=8x, si ne曲線C表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x上的拋物線.,即 y=2x 4,代入 y2=8x得 x2 - 6x+4=0,. xi+x2=6, xi?x2=4.（2）嚴(yán)+土ly=2tI AB| =血也刃I xi x2|3.（選修4 - 4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程）已知曲線 C的參數(shù)方程是lf=acose為參數(shù)，a>0）,直線I的參數(shù)方程是（t為參數(shù)）,曲線C與直線I有一個(gè)公共點(diǎn)在x軸上，

9、以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系.（I ）求曲線C普通方程;（n ）若點(diǎn)P I。），E（p L' G耳匕在曲線C 上,求1 d一+的值.|oa|2 IobI IocF【解答】解：（I ） 直線l的參數(shù)方程是r滬計(jì)t （t為參數(shù)），消去參數(shù)t得x+y=2, lv=-l -t令 y=0,得 x=2.曲線C的參數(shù)方程是第加"為參數(shù)，a>0）,消去參數(shù)©蒞+把點(diǎn)（2, 0）代入上述方程得a=2.2 2曲線C普通方程為 務(wù)+豊二1.2'G普），C（Py G晉）在曲線C 上,即a ( pcos 0 ,psin 0),4兀、CC P 339( 0 X

10、P 3日門(B3，P 2心口£(日 扌-h P 2in( 9 +-+¥)在曲線C上,),-+-+-|OA|2 lOBp locf=寺(cos 9 +cos2(e +晉)居(m? 9 +sii?( 0 晉)+ 我/( B 晉) H-cos(2 9 4) 1 ,1 J-COS2 99 佇l(wèi)-ccsC2ef)忖(2 '2'2)3+cos2 6 -cos (2 0 H) + cost£E )1-Hcos(2 9 +-、83-cos2e +cos (2 0 4) -cos(2 9)4.已知在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐 標(biāo)系

11、，圓錐曲線C的極坐標(biāo)方程為P 2 _，定點(diǎn)AtO, -V3)|, F1, F2是3fsin e圓錐曲線C的左、右焦點(diǎn).直線經(jīng)過點(diǎn)F1且平行于直線AF2.(I )求圓錐曲線C和直線的直角坐標(biāo)方程;(n)若直線與圓錐曲線C交于M , N兩點(diǎn),【解答】解：(I)圓錐曲線C的極坐標(biāo)方程為求 I FiM|?| FiN| .p 2 空;一，即 3p+(P sin) 3+ 呂in 62=12，可得直角坐標(biāo)方程：3x2+4y2=12,2 2計(jì) + 牛=1.Fi (- 1, 0), F2 (1,0 )要求的直線方程為：y出(x+1).(II)由(I)可得直線的參數(shù)方程為:(t為參數(shù)).代入橢圓方程可得：5t2

12、- 4t - 12=0,"普 I FiM| ?| FiN| =|tit2| 宰.55 .在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線Ci的參數(shù)方程為*&二 M艸 尸bsinQ(a>b>0, ?為）對(duì)應(yīng)的參數(shù)？冷-，射線參數(shù)），在以0為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線 C2是圓心在極 軸上，且經(jīng)過極點(diǎn)的圓.已知曲線 Ci上的點(diǎn)kCi,返2¥與曲線C2交于點(diǎn)I ）求曲線Ci, C2的方程；U）若點(diǎn)A （ pi，B）,b（P" 9礙）在曲線Ci上，求的值.22P 1 P 2【解答】解: （I） 曲線Ci上的點(diǎn)爭(zhēng)）對(duì)應(yīng)的參數(shù)?=?l=acos-：_兀,解得

13、1212 C曲線Ci的直角坐標(biāo)方程為：務(wù)+ /=i.4曲線C2是圓心在極軸上，且經(jīng)過極點(diǎn)的圓，射線0=與曲線C2交于點(diǎn)圓的直徑2R=1兀=2,.曲線C2的方程為（X- 1）2+y2=1.遷:代入曲線G的直角坐標(biāo)方程：V+y Ji.y=P sinS4可得p 2 叟下一.l+3si n 0(II)把=1任任子）=2+為靑頭3心25 =2+3 =5 PP 彳 4Q6在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo) 系，已知圓C的圓心的極坐標(biāo)為(血，匹)，半徑r頊，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(2,4n，過P作直線l交圓C于A, B兩點(diǎn).(1) 求圓C的直角坐標(biāo)方程；(2) 求 | PA?| P

14、B 的值.),【解答】解：(1)圓C的圓心的極坐標(biāo)為C ,.兀XsilTTr1，y=/2圓C的直角坐標(biāo)方程為(2)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(2, 當(dāng)直線I與圓C相切于等4兀-"x- 1) 2+ (y- 1) 2=2.n),化為直角坐標(biāo)P (- 2, 0).D 時(shí)，則 | PD 2=| PC2- r2= (- 2- 1) 2+ (0- 1) 2 (忌 2=8.|PA?|PB =| Pd2=8.7 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Ci為(1<av6, ©為參數(shù)).在s=acos 0y=sinQ以O(shè)為原點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線Q的極坐標(biāo)方程為P =6cos, 0射線為0

15、 =a與C1的交點(diǎn)為A,與 Q除極點(diǎn)外的一個(gè)交點(diǎn)為B.當(dāng)a =(時(shí)，| AB| =4.(1)求C1, C2的直角坐標(biāo)方程；IT(2)設(shè)C1與y軸正半軸交點(diǎn)為D,當(dāng)乩三-時(shí)，設(shè)直線BD與曲線G的另一個(gè)交 點(diǎn)為 E,求 |BD|+| BE .【解答】解：(1)由P =6cos,得p=6 P cos,所以C的直角坐標(biāo)方程是x2+y2 -6x=0 由已知得G的直角坐標(biāo)方程是=1, 當(dāng)a =0寸射線與曲線G, C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(a, 0), (6, 0),|AB|=4,. a=2, C的直角坐標(biāo)方程是 話+/二1(2)聯(lián)立 x2+y2- 6x=0與 y=x得 B (3, 3)或 B (0, 0),

16、v B不是極點(diǎn)， B (3,又可得D （1，0）, 亦D二一， BD的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）2心命t將帶入得竺t2嚴(yán)-1+41=0，設(shè)D，E點(diǎn)的參數(shù)是ti, t2，則 13 V13-533|口0| I ijWlltl + t2=* t 112二頁(yè)-，|切 1 + 1 BE 1= 111 ftj 1=.&極坐標(biāo)系中，圓C方程P =2力osL 2sin 0A （餡，2 n）,以極點(diǎn)作為直角坐 標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸作為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系，并在兩種坐標(biāo)系中取相 同的長(zhǎng)度單位.（I ）求圓C在直角坐標(biāo)系中的標(biāo)準(zhǔn)方程；（n）設(shè)P為圓C上的任意一點(diǎn)，圓心C為線段AB中點(diǎn)，求|PA?| PB的最

17、大 值.【解答】解：（I）T P =25cos 0- 2sin 0- p=2伍 p cos-2 p sin 則 x2+y2=3x - 2y，即圓C在直角坐標(biāo)系中的標(biāo)準(zhǔn)方程為（X-J5） 2+ （y+1） 2=4；（n） A （di 2n）的直角坐標(biāo)為（GL 0），圓C的圓心坐標(biāo)為（Jj,- 1）， 圓心C為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為2），AC=BC=1 設(shè)/ACP0,而PC=2則PA彳貞嚴(yán)+卩嚴(yán)邊配XPCX co呂9勾5-4亡M 6 , 同理 PbR5+4亡ns 9 ,I PA ?| PB MTcm 9 九5+4亡吋 25-16匸0呂? 6 < 5,當(dāng)且僅當(dāng) cos 0 =0寸取等號(hào)

18、, I PA?| PB的最大值為5.P9.（選修4 - 4 :極坐標(biāo)系與參數(shù)方程） 極坐標(biāo)系中，求圓p=上的點(diǎn)到直線P cos（沁） =1的距離的取值范圍.3【解答】解：圓PW2化為直角坐標(biāo)方程得：x2+y2=2直線 P U口£（9 +二1，即專 p cos 令i J_p cos- p sin 0=12 ' 2化為直角坐標(biāo)方程為：丄"X -返y=1，2 2即 X- 2=0 圓心（0, 0）到直線的距離d7_=1故圓上動(dòng)點(diǎn)到直線的最大距離為回1，最小距離為0故圓上動(dòng)點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為0,+110.已知直線Ci:（1）求直線（2）求直線【解答】解:4H t53(t 為參數(shù))，曲線 C2： p+ p =2 sin ( 0+：).C1的普通方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程;C1被曲線C2所截的弦長(zhǎng).生'pt3(1)由,得 3x- 4y=0.由 p+ P =2Vsin (),得 P =22 (sin 0 cos-cos B sirr) =2sin +2cos 0 即 p+1=2p sin+2p cos,