考查角度1坐標系與參數方程

1、考查角度1坐標系與參數方程= 出上 二門叵U聲分析m III u I' NI 1 |1分類透析一方程互化與相交弦長問題例習(河北衡水中學2018屆高三數學復習題)在直角坐標系xOy中,圓c的參數方程為(©為參數),以0為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(1) 求圓C的普通方程；(2) 直線I的極坐標方程是2 p sin - - =4 ,射線OM 9=一與圓C的交點為P,與直線I的交點為Q求線段PQ的長.分析I(1)利用cos2©+sin2©=消去©即可.(2)先求出圓C的極坐標方程，再由直線I和圓C的極坐標方程得 到P Q兩點的極徑，它們的

2、差的絕對值就是線段 PQ的長.解析(1) V圓C的參數方程為(©為參數),又P =6sin 9 ,cos2© +sin 2©=1, 二圓C的普通方程為x2+<y- 3)2=9.(2)化圓C的普通方程為極坐標方程得設P( p 1, 9 1),則由V9 1= 9 2, /. |PQ|=| p 2- p 1|= 1.設Q( p 2, 9 2),則由方法技巧I化曲線的參數方程為普通方程的方法有反解消參、平 方消參等,注意消參后變量的取值范圍.化普通方程為極坐標方程，則 需利用關系式x= p cos 9 , y= p sin 9來轉化.在極坐標系中求線段 的長度、圖形

3、的面積等問題時，注意觀察幾何對象隱含的特點(如三點 共線等),從而得到解決問題的合理方法.分類透析二方程互化與參數幾何意義的應用例2 (福建省三明市第一中學2018屆高三適應性試題)在直角坐標系xOy中,曲線G的參數方程為_ (t為參數),在以O為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線G的極坐標方程為p=8sin 9G2的直角坐標方程;(1) 求曲線G的普通方程和曲線(2) 若曲線G與G交于A B兩點，點P的坐標為(0,9),求廠7. 分析 (1)消元法解出直線G的普通方程，利用直角坐標和極坐標的互化公式解出圓G的直角坐標方程.(2)將直線G的參數方程代入圓G的直角坐標方程，并化簡整理 得關

4、于t的一元二次方程，利用|t|的幾何意義求解問題.2解析(1)由曲線G的極坐標方程為P =8sin 9 ,即p 2=8 p sin 9 , 得 x2+y =8y,故曲線G的直角坐標方程為x2+(y-4)2=16.由曲線G的參數方程為-(t為參數),可得y-9=2x,即曲線G的普通方程為2x-y+9=0.(2)顯然點P在直線G上，又直線G的參數方程為-(t為參數),將其代入x2+( y- 4) 2=16中并化簡，得12+4 "t+ 9=0.設點A對應的參數為ti,點B對應的參數為t2,則t 1+t2 = -4, t 1t2=9,從而-一_一| | | | | | | | | | | 方

5、法技巧丨利用|t|的幾何意義求解問題是解決直線上的定點與 交點問題的常規(guī)解法.注意|PA|=|t 1|,| PB|=|t 2|,要去絕對值符號，需 判斷交點與定點的位置關系，上方為正，下方為負.分類透析三方程互化與最值問題例3 (安徽省六安市第一中學2018屆高三適應性試題)在直角坐標系xOy中，C:(t為參數),以原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線G2: P 2+10p cos 9 -6 p sin 9+33=0.(1) 求G的普通方程及G的直角坐標方程；(2) 若P Q分別為G, G上的動點，且|PQ|的最小值為2,求k的值. 分析 (1)消去參數可得G的普通方程；由互化

6、公式可得曲線G的直角坐標方程.(2)利用點到直線的距離公式可得圓心到直線的距離d,利用d-r= 2即可得出.解析(1)由可得其普通方程為y=k(x-1),它表示過定點(1,0),斜率為k的直線.由P 2+10 pcos 9-6psin 9+33=0可 得其直角坐標方程為x2+y2+10x- 6y+33=0,整理得(x+5) 2+( y- 3) 2=1,它 表示圓心為(-5,3),半徑為1的圓.(2)因為圓心(-5,3)到直線y=k(x-1)的距離d,所以|PQ|的最小值為"丨-1,故'-1 =2,得3k +4k=0,解得k=0或k=-.方法技巧I求解與極坐標有關的問題的主要方

7、法：(1) 直接利用極坐標系求解，可與數形結合思想配合使用；(2) 轉化為直角坐標系，用直角坐標求解.使用后一種方法時，應注意若結果要求的是極坐標，還應將直角 坐標化為極坐標.分類実破©*腸羈改鋼團 1. (2017年全國I卷，文22改編)在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(9為參數，9 0 2 n 曲線G的參數方程為-(t為參數).(1)求曲線C, C的普通方程；求曲線C上一點P到曲線C距離的取值范圍.分析(1)直接消去參數即得普通方程.(2)求曲線C上一點P到 曲線G距離的取值范圍，可借助參數方程設此點為(cos a ,3sin a),然后根據點到直線的距離公式得出表達

8、式轉化為三角函數求最值問 題即可.解析(1)直接消去參數得C的普通方程為X2+_=1,直接消去參數得G的普通方程為y=-(x+2),即x+y+2=0.設 P(cos a ,3sin a ),則點P到G的距離|a 0 2 n 當 sin =1,即 a 二時，dma)=2當 sin =- 1,即 a=時,CkinR.曲線G上一點P到曲線G距離的取值范圍為0,2.2. (2018年全國I卷,文22改編)在直角坐標系xOy中，曲線G的參數方程為(a為參數),以坐標原點為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線G的極坐標方程為p cos2 9二4sin 9(1)求曲線G的普通方程和曲線G的直角坐標方程；

9、 若曲線G和曲線G有三個公共點，求以這三個點為頂點的三角形 的面積.(a為參數),消去參數a,得解析I(1)由曲線G: 曲線G的普通方程為x2+(y-a)2=16.由曲線 G: P cos2 6=4sin 9 ,得 p 2cos2 9=4 p sin 9 ,化為直角 坐標方程為x2=4y.(2)因為曲線G和曲線G都是關于y軸對稱的圖形，它們有三個公共點,所以原點為其中的一個公共點.將原點qo,o)代入 x2+(y-a)2=16,得a=4或a=-4(舍去),此時，曲線G的方程為 x2+(y-4)2=16,故曲線G和曲線G的三個公共點坐標為(0,0),(4,4),(-4,4),易得以這三個點為頂點

10、的三角形的面積為 -X4X 4-(-4) =16.3. （2018年全國n卷,文22改編）在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為（0為參數）.（1）求曲線C的普通方程； 經過點P -（直角坐標系xOy中的點）作直線l交曲線C于A B兩點，若P恰好為線段AB的中點，求直線的方程.（1）由曲線C的參數方程,得所以 cos2 9+sin 2 B 二- +y2=1,所以曲線C的普通方程為一+y2=1.（2）設直線l的傾斜角為0 1,則直線的參數方程為（t為參數）,0 1)t- 2=0,t 1+t 2=.由題意知t 1=-t 2,將其代入曲線C的直角坐標方程，得（cos2 0 1+4sin 2 0 J

11、t 2+（2cos 0 1+4si n所以2cos 0 1+4sin 0 1=0,得直線 l 的斜率 k=-,所以所以直線l的方程為x+2y-2=0. 分類突破-）已知直線I的1. （福建省兩大名校2018屆高三下學期第一次模擬題參數方程為-（t為參數）,在以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為P2=4 P cos0+2p sin 0-4.（1）求直線l的極坐標方程和曲線C的直角坐標方程； 若直線l與曲線C交于A B兩點，求|OA| |OB|的值.-（t為參數）,解析 （1） V直線l的參數方程為I二直線I的普通方程為y= 一 + 一(X-1),即y= X,二直

12、線I的極坐標方程為9=.T曲線C的極坐標方程為p 2=4 p cos 9+2 p sin 9 -4,2 2 2 2X +y =4x+2y-4,即(x-2) +(y-) =3,二曲線C的直角坐標方程為(x-2)2+(y- 一)2=3.(2)將直線I : 9二-代入曲線C的極坐標方程：P 2=4 P cos9+2 P sin 9-4,得 p -5p +4=0.設直線I與曲線C的兩個交點A B的極坐標分別為A p F, 9 1), B( p 2, 9 2),p 1 p 2=4,|OA| |OB|=| p i| | p 2|=| p 1 p 2|=4.2. (山東、湖北部分重點中學2018屆高三高考沖

13、刺模擬題)在直角坐標系xOy中,直線I的參數方程為(t為參數，a為直線的傾斜角).以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸， 建立極坐標系，曲線C的極坐標方程是P =4cos 9(1)當a二45°時,求直線I的普通方程與曲線C的直角坐標方程；已知點C的直角坐標為q2,0),直線I與曲線C交于A B兩點，當 ABCS積最大時，求直線I的普通方程.解析(1)當a二45°時，直線I的參數方程為消去t得直線I的普通方程為x-y- 5=0.曲線C的極坐標方程是p =4cos 9 ,兩邊乘以p為p 2=4 p cos 9 , 可得 x2+y2-4x=0,所以曲線C的直角坐標方程

14、為(x- 2) 2+y2=4.(2)因為直線I與曲線C交于A B兩點，由參數方程設直線I的普 通方程為y=k( x-5).曲線C是以Q2,0)為圓心,2為半徑的圓，$ ab=|CA|CB| sin / ACB=sin / ACB.當/ ACB=0°時 ABC勺面積最大，此時點C到直線I的距離為,所以"=丄,解得k=±所以直線I的普通方程為y=±(X-5).3. (江西省撫州市臨川區(qū)一中2018屆模擬)以坐標原點0為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為 p二2(1)寫出曲線C的參數方程； 在曲線C上任取一點P,過點P分別作x軸,y

15、軸的垂線，垂足分別 為A B求矩形OAPB勺面積的最大值.解析 I (1)由 p=2-得 p 2=2( p sin 9 + p cos9+1),所以 x2+y2=2x+2y+2,即(X-1)2+( y-1)2=4,故曲線C的參數方程為(©為參數).(2)由(1)可設點P的坐標為(1 +2COS © ,1 +2sin© ), © 0 2 n 則矩形 OAPB勺面積 S=|(1 +2cos © )(1 +2sin © ) |=| 1+2sin ©+2cos ©+4sin © cos © |令 t=s

16、in ©+ cos ©= sin -,則 t - 2,t =1+2sin © cos © ,所以 S=|1+2t+2t2-2|=-,故當 t=時，SmaX=3+24. (河北省石家莊二中2018屆高三三模試題)在直角坐標系xOy中,曲線G過點P(a,1),其參數方程為-(t為參數,a R .以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線G的極坐標 方程為 P cos2 9+3COS 9 - p=0.(1)求曲線C的普通方程和曲線C的直角坐標方程； 已知曲線C和曲線C交于A B兩點，且|PA|=3|PB|,求實數a的值.解析(1)由C的參數方程消參得其普通方程為x-y-a+