綜合除法與余數(shù)定理

1、第七節(jié)綜合除法與余數(shù)定理綜合除法與余數(shù)定理是中學(xué)數(shù)學(xué)中十分重要的內(nèi)容，它們是研究多項式除法的有力工具。綜合除法和余數(shù)定理在整個中學(xué)數(shù)學(xué)中有著極為廣泛的應(yīng)用。本節(jié)我們將作一些初步介紹。、綜合除法一個一元多項式除以另一個一元多項式，并不是總能整除。當(dāng)被除式f (x)除以除式g(x),(g(x) 0)得商式q(x)及余式r(x)時，就有下列等式:f(x) g(x) q(x) r(x)。其中r(x)的次數(shù)小于g(x)的次數(shù)，或者r(x) 0。當(dāng)r(x) 0時，就是f(x)能被g(x)整除。F面我們介紹一個一元多項式除以另一個一元多項式的簡便運算一一綜合除法。例1、用綜合除法求2x414x 4 7x3除

2、以x 2所得的商和余式。270144246124236商的各項的系數(shù)28余式解: I (2x4 14x 4 7x3) (x 2)的商是 2x3 3x2 6x 2，余式是 &上述綜合除法的步驟是:(1) 把被除式按降幕排好，缺項補(bǔ)零。(2) 把除式的第二項-2變成2,寫在被除式的右邊，中間用一條豎線隔開。(3) 把被除式的第一項的系數(shù)2移到橫線的下面，得到商的第一項的系數(shù)。(4) 用2乘商的第一項的系數(shù)2,得4,寫在被除式的第二項的系數(shù)-7F面，同-7相加，得到商的第二項系數(shù)-3。(5) 用2乘商的第二項的系數(shù)-3，得-6，寫在被除式的第三項的系數(shù) 的下面，同0相加，得到商的第三項的系數(shù)

3、-6。14(6) 用2乘商的第三項的系數(shù)-6，得-12，寫在被除式的第四項的系數(shù) 的下面，同14相加，得到商的第三項系數(shù)2。(7) 用2乘商的常數(shù)項2,得4,寫在被除式的常數(shù)項4的下面，同4相 加，得到余式&前面討論了除式都是一次項系數(shù)為 1的一次式的情形。如果除式是一次式, 但一次項系數(shù)不是1,能不能利用綜合除法計算呢?例2、求(3x3 10x2 23x 16) (3x 2)的商式Q和余式R。解：把除式縮小3倍，那么商就擴(kuò)大3 倍,但余式不變。因此先用x I去除被除式，再把所得的商縮小3倍即可。310223816上1031215二 Q=x2 4x 5,R=6bF面我們將綜合除法做進(jìn)一

4、步的推廣，使除式為二次或者二次以上的多項式時也能夠利用綜合除法來求商和余式。例3、用綜合除法求(3X45,7x311x2 10x 4) (x2 3x 2)的商 Q和余式 R。37111043296643232132解:R=3x 2。 Q=3x2 2x、余數(shù)定理余數(shù)定理又稱裴蜀定理。它是法國數(shù)學(xué)家裴蜀(17301783)發(fā)現(xiàn)的。余數(shù) 定理在研究多項式、討論方程方面有著重要的作用。余數(shù)定理：多項式f(x)除以x a所得的余數(shù)等于f(a)。略證：設(shè) f(x) Q(x)(X a) R將x=a代入得f (a) R。例4、確定m的值使多項式f(x) x5 3x4 8x3 1 1x m能夠被x-1整除。解：

5、依題意f(x)含有因式x-1，故f(1) 0。.1 一 3+8 + 11 + m=0。可得 m = 17。求一個關(guān)于x的二次多項式，它的二次項系數(shù)為1,它被x-3除余1,且它 被x-1除和被x-2除所得的余數(shù)相同。解：設(shè) f(x) x2 ax bT f(X)被x 3除余1, f (3)9 3a b 1V f(x)被x 1除和x 2除所得的余數(shù)相同, f (1)f (2)即1a b 4 2a b 由 得 a3 ，代入 得 b 1 f ( x) x 23x 1 。注：本例也可用待定系數(shù)法來解。同學(xué)們不妨試一試。即： x2ax b (x 1)(x m) R(x 2)(x n)R ( x 3)( xp

6、) 1由 (x 1)(x m) R (x 2)(x n)R ，可得 m2, n1再由 (x 2)(x 1) R (x 3)(x p) 1 ，解得 p0。 f ( x) x 23x 1 。練習(xí)：1、綜合除法分別求下面各式的商式和余式。1)(3x44x3 5 x 26x 7)(x2)；2)(x56x49 x314x8)(x4)；3)(x3(ab c) x 2 ( abbcca)xabc)(x a)；4)(9x45x2 y28y 48xy 318x3 y)(3x2y)；5)(2x47x316 x215x15)(X22x3)；6)(x65x12x37x) (x33x2 5x2)2、一個關(guān)于x的二次多項式f(x)，它被x-1除余2,被x-3除余28，它可以 被x+1整除，求f (x)。1, 2,