第8講Chp19連續(xù)函數的運算與初等函數的連續(xù)性1黃

1、1第一章第一章 函數與極限函數與極限第九節(jié)第九節(jié) 連續(xù)函數的運算與初連續(xù)函數的運算與初等函數的連續(xù)性等函數的連續(xù)性200000lim( ),lim( ),(1)lim ( )( );(2)lim ( )( );( )(3)lim,0.( )xxxxxxxxxxf xag xbf xg xabf xg xabf xabg xb 設設 則則 其其中中 一、四則運算的連續(xù)性一、四則運算的連續(xù)性還記得函數極限的四則運算嗎還記得函數極限的四則運算嗎?0( )f x0( )g x0( )f x0( )g x0( )f x0( )g x0( )f x0( )g x0( )g x3定理定理1 1.)0)()(

2、)(),()(),()(,)(),(000處也連續(xù)處也連續(xù)在點在點則則處連續(xù)處連續(xù)在點在點若函數若函數xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如，我們已證，我們已證,),(cos,sin內連續(xù)內連續(xù)在在xxsin1tan, cot,costan11sec, csc .cossinxxxxxxxxx故故在在其其定定義義域域內內連連續(xù)續(xù)4oxy y = f 1(x) 的圖形只是 y = f (x) 的圖形繞直線 y = x 翻轉 180 而成, 故單調性、連續(xù)性仍保持.從幾何上看:x = f 1(y) 與 y = f (x)的圖形相同,連續(xù)性保持. 從而, 單調性、)(1yfx)(xfy

3、)(1xfy5定理定理2 2 單調的連續(xù)函數必有單調的連續(xù)反函數單調的連續(xù)函數必有單調的連續(xù)反函數. .例如例如,2,2sin上單調增加且連續(xù)上單調增加且連續(xù)在在 xy. 1 , 1arcsin上也是單調增加且連續(xù)上也是單調增加且連續(xù)在在故故 xy;1 , 1arccos上單調減少且連續(xù)上單調減少且連續(xù)在在同理同理 xy.,cot,arctan上單調且連續(xù)上單調且連續(xù)在在 xarcyxy結論：結論：反三角函數在其定義域內皆連續(xù)反三角函數在其定義域內皆連續(xù).6xy2211o增加單調 ) 1 , 1 (arcsincxy22xy11o增加單調 ) 2 ,2 (sincxy例例如如7).(lim)(

4、)(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 則有則有連續(xù)連續(xù)在點在點函數函數若若證證,)(連續(xù)連續(xù)在點在點auuf .)()(, 0, 0成立成立恒有恒有時時使當使當 afufau,)(lim0axxx 又又,0, 0, 00時時使當使當對于對于 xx0()f gxd .)(成立成立恒有恒有 auax定理定理3 3則則,0, 0, 00時時使當使當 xx)()()()(afxfafuf .成立成立 )()(lim0afxfxx 0lim( ).xxfx 8在定理在定理3 的條件下的條件下, 極限符號可與極限符號可與連續(xù)函數符號交換順序連續(xù)函數符號交換順序.00lim

5、 ( )( )lim( )xxxxfxf afx定理定理3 3的結論的結論10 lim sin(1) xxx 求求例如例如解解10sinlim(1) xxx 原原 式式sin e 意義意義9 000000( )( )( ),(,),( ),(),( ), ( ).fgyfxyf uuxxdxxxuyf uuyfxxx 設設函函數數由由和和復復合合而而成成在在點點連連續(xù)續(xù)且且而而函函數數在在點點連連續(xù)續(xù)則則復復合合函函數數在在點點也也連連續(xù)續(xù)注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情況的特殊情況.例如例如,), 0()0,(1內連續(xù)內連續(xù)在在 xu,),(sin內連續(xù)內連續(xù)在在 uy.), 0()0,(1sin內連續(xù)內連續(xù)在在 xy問：這個條件有必要嗎？定理定理4 4答：這個條件不能少！10, uy 盡管u = cos x 1 是在定義域內的定義域是一個孤立點集d = x | x = 2k