第一節(jié)：多元函數(shù)的概念52322

1、第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 一、平面點(diǎn)集一、平面點(diǎn)集 n n 維空間維空間 二、多元函數(shù)概念二、多元函數(shù)概念 三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限 四、多元函數(shù)的連續(xù)性四、多元函數(shù)的連續(xù)性 五、小結(jié)五、小結(jié) 練習(xí)題練習(xí)題（1）鄰域）鄰域0p ),(0 pu |0ppp.)()(| ),(2020 yyxxyx一、多元函數(shù)的概念一、多元函數(shù)的概念 |0|),(00 ppppu.)()(0| ),(2020 yyxxyx p（2）區(qū)域）區(qū)域ep 41),(221 yxyxe例如，例如，即為開集即為開集 內(nèi)點(diǎn)：內(nèi)點(diǎn)：，epu )(設(shè)設(shè) e 是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，是平面上的一個(gè)點(diǎn)

2、集，p 是平面上的一個(gè)點(diǎn)是平面上的一個(gè)點(diǎn)如果存在點(diǎn)如果存在點(diǎn) p 的某一鄰域的某一鄰域則稱則稱為為的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn)屬于的內(nèi)點(diǎn)屬于如果點(diǎn)集如果點(diǎn)集的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱則稱為開集為開集的的點(diǎn)點(diǎn)，于于的的任任一一個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)既既有有屬屬如如果果點(diǎn)點(diǎn)epep 記為記為的邊界的邊界的邊界點(diǎn)的全體稱為的邊界點(diǎn)的全體稱為eee ,內(nèi)內(nèi)是開集如果對(duì)于是開集如果對(duì)于設(shè)設(shè)dd 邊界點(diǎn)：邊界點(diǎn)：外點(diǎn)：外點(diǎn)：如果存在如果存在 u( p ) , 使得使得,)( epu則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)p 為為 e 的外點(diǎn)的外點(diǎn)p ，本身可以屬于本身可以屬于的點(diǎn)（點(diǎn)的點(diǎn)（點(diǎn)也有不屬于也有不屬于epe的邊界點(diǎn)的邊界點(diǎn)為為），則

3、稱），則稱也可以不屬于也可以不屬于epe連連結(jié)結(jié)起起來來，任任何何兩兩點(diǎn)點(diǎn)，都都可可用用折折線線，且該折線上的點(diǎn)都屬于且該折線上的點(diǎn)都屬于 d是連通的是連通的則稱開集則稱開集 d連通集：連通集：連通的開集稱為開區(qū)域，簡(jiǎn)稱區(qū)域連通的開集稱為開區(qū)域，簡(jiǎn)稱區(qū)域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo開開區(qū)區(qū)域域連連同同它它的的邊邊界界一一起起稱稱為為閉閉區(qū)區(qū)域域. .41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo0| ),( yxyx有界閉區(qū)域；有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域無界開區(qū)域xyo例如，例如，),(rouere ，使得，使得如果存在正數(shù)如果存在正數(shù)對(duì)于點(diǎn)集對(duì)于點(diǎn)集41| ),(22 yxy

4、x9| ),()3,(22 yxyxou無無界界點(diǎn)點(diǎn)集集為為有有界界點(diǎn)點(diǎn)集集，否否則則稱稱為為則則稱稱 e（3）聚點(diǎn)）聚點(diǎn)i： 內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；如果對(duì)于任意的如果對(duì)于任意的 0 , 點(diǎn)點(diǎn) p 的去心鄰域的去心鄰域),( pu內(nèi)總有內(nèi)總有 e 中的點(diǎn)，則稱點(diǎn)中的點(diǎn)，則稱點(diǎn) p 是點(diǎn)集是點(diǎn)集 e 的聚點(diǎn)的聚點(diǎn)ii： 在在 內(nèi)，總有內(nèi)，總有 e 的無窮多個(gè)點(diǎn)；的無窮多個(gè)點(diǎn)；),( puiii： 點(diǎn)集點(diǎn)集e的聚點(diǎn)可以屬于的聚點(diǎn)可以屬于e，也可以不屬于，也可以不屬于e10| ),(22 yxyxe例如例如,(0,0) 是聚點(diǎn)但不屬于是聚點(diǎn)但不屬于exy e中任何一點(diǎn)都是中任何一點(diǎn)都是 e

5、 的邊界點(diǎn)，的邊界點(diǎn)，1| ),(22 yxyxe又如又如,xyo1p e 中的任何一點(diǎn)都是中的任何一點(diǎn)都是 e 的聚點(diǎn)。的聚點(diǎn)。思考題：邊界點(diǎn)是否一定是聚點(diǎn)？反之，聚點(diǎn)是否思考題：邊界點(diǎn)是否一定是聚點(diǎn)？反之，聚點(diǎn)是否一定是邊界點(diǎn)？一定是邊界點(diǎn)？e（4）n 維空間維空間, 2 , 1,| ),(21nirxxxxxrinn 當(dāng)當(dāng) n = 3 時(shí)，時(shí)，( x , y , z ) 表示空間中的一個(gè)點(diǎn)或向量表示空間中的一個(gè)點(diǎn)或向量,| ),(3rzyxzyxr 表示空間中的全體點(diǎn)或全體向量。表示空間中的全體點(diǎn)或全體向量。因此，我們也稱因此，我們也稱),(21nxxxx 為為nr中的一個(gè)點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)或

6、一個(gè)或一個(gè) n 維向量。維向量。因此，我們也稱因此，我們也稱),(21nxxxx 為為nr中的一個(gè)點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)或一個(gè)或一個(gè) n 維向量。維向量。.個(gè)分量個(gè)分量第第維向量維向量個(gè)坐標(biāo)或個(gè)坐標(biāo)或的第的第稱為點(diǎn)稱為點(diǎn)ixnixxi),(21nxxxx 設(shè)設(shè)定義線性運(yùn)算如下：定義線性運(yùn)算如下：),(21nxxxx ),(2211nnyxyxyxyx 這樣定義了線性運(yùn)算的向量集合這樣定義了線性運(yùn)算的向量集合nr稱為稱為 n 維空間維空間,),(21nnryyyy r ),(21nxxxx ),(21nyyyy ),(yx 定義定義稱稱 ( x, y ) 為為空間兩點(diǎn)空間兩點(diǎn) x 和和 y 之間的距離之間

7、的距離設(shè)設(shè)中兩點(diǎn)間的距離公式中兩點(diǎn)間的距離公式nr )0 ,(x | x記作記作 )0,(),(yxyx 中變?cè)凶冊(cè)?x 的極限的極限nr,),(),(2121nnnraaaaxxxx 設(shè)設(shè)如果如果, 0| ax則稱變?cè)獎(jiǎng)t稱變?cè)?x 趨于固定元趨于固定元 a , 記作記作, ax.)()()(2222211nnyxyxyx 22221nxxx |yx ),(,|),( axrxxaun類似地，內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義類似地，內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義中變?cè)凶冊(cè)?x 的極限的極限nr,),(),(2121nnnraaaaxxxx 設(shè)設(shè)如果如果, 0| ax則稱變?cè)獎(jiǎng)t

8、稱變?cè)?x 趨于固定元趨于固定元 a , 記作記作, ax結(jié)論：結(jié)論：,11axax,22ax .nnax 中鄰域、區(qū)域等概念中鄰域、區(qū)域等概念nr, 0,),(21 nnraaaa點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)則稱則稱 中的點(diǎn)集中的點(diǎn)集nr為為 中點(diǎn)中點(diǎn) a 的的 鄰域。鄰域。nr二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念 f 稱為對(duì)應(yīng)規(guī)則或函數(shù)，稱為對(duì)應(yīng)規(guī)則或函數(shù)，f ( x , y ) 稱為稱為 f 在點(diǎn)在點(diǎn) ( x , y )處的函數(shù)值。處的函數(shù)值。函數(shù)值的全體所構(gòu)成的集合稱為函數(shù)函數(shù)值的全體所構(gòu)成的集合稱為函數(shù) f 的值域，記作的值域，記作 dyxyxfzzdf ),(),(|)(函數(shù)與選用的記號(hào)無關(guān)，如函數(shù)與

9、選用的記號(hào)無關(guān)，如),(),(yxzzyxz 則稱則稱 f 是是 d 上的二元函數(shù)上的二元函數(shù), 記為記為 當(dāng)當(dāng)2 n時(shí)時(shí)，n元元函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為多多元元函函數(shù)數(shù). 類似地可定義三元及三元以上函數(shù)類似地可定義三元及三元以上函數(shù) n 元函數(shù)通常記為元函數(shù)通常記為nnnrdxxxxxxfu ),(),(2121或簡(jiǎn)記為或簡(jiǎn)記為nnrdxxxxxfu ),(),(21nnrdxxxppfu ),(),(21.)(又又稱稱為為點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)其其中中pfu .)(,即即為為一一元元函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)pfurp .)(,2即即為為二二元元函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)pfurp 一元函數(shù)與多元函數(shù)的概念比較一元

10、函數(shù)與多元函數(shù)的概念比較 一一 元函數(shù)元函數(shù) y = f (x): ,:rdf:)(pfu 點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù),時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)rp ,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)rp ,rd ,dx 二元函數(shù)二元函數(shù) y = f (x, y): ,:rdf,2rd ,),(dyx n 元函數(shù)元函數(shù),:rdf,nrd ,),(21dxxxn :),(21nxxxfu .)(即即為為一一元元函函數(shù)數(shù)pfu .)(即即為為二二元元函函數(shù)數(shù)pfu ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)nrp .)(元元函函數(shù)數(shù)即即為為 npfu 例例1 1 求求 的定義域的定義域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定義

11、域?yàn)樗蠖x域?yàn)?, 42| ),(222yxyxyxd 2yx 二元函數(shù)二元函數(shù) 的圖形的圖形),(yxfz （如下頁圖）（如下頁圖）當(dāng)當(dāng) p ( x, y ) 取遍取遍 d 上一切點(diǎn)時(shí)上一切點(diǎn)時(shí), 得到空間點(diǎn)集得到空間點(diǎn)集二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.xyzoxyzsin 2222azyx 例如例如,.),(222ayxyxd 222yxaz .222yxaz 單值分支單值分支:二、多元函數(shù)的極限二、多元函數(shù)的極限一元函數(shù)極限回顧：一元函數(shù)極限回顧：如果在如果在 的過程中，的過程中，0 xx f (x) 無限接近一個(gè)確定常數(shù)無限接近一個(gè)確定常數(shù) a ，就稱，就稱

12、 a 是是 f (x) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)的極限，記為時(shí)的極限，記為0 xx axfxx )(lim0:語言語言 , 0, 0 ,|00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx,|)(| axf有有axfxx )(lim0則記則記二元函數(shù)的極限：二元函數(shù)的極限：如果在如果在 的過程中的過程中),(),(00yxpyxp f (x, y ) 無限接近一個(gè)確定常數(shù)無限接近一個(gè)確定常數(shù) a ，就稱，就稱 a 是是 f (x, y ) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)的極限，記為時(shí)的極限，記為),(),(00yxpyxpayxfyxyx ),(lim),(),(00或或,),(lim0ayxfpp （或（或)0(),( ayxf這里這里|0pp ） . |),

13、(|ayxf都有都有,dp 說明：說明：（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限）二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似（1）定義中）定義中 的方式比的方式比 的方式復(fù)雜的多的方式復(fù)雜的多0pp 0 xx o 0 x0p xyo例例2 2 求證求證 證證01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 取取當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原結(jié)論成立原結(jié)論成立 例例3 3 求極限求極限 .)s

14、in(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 證證例例4 4 證明證明 不存在不存在 26300limyxyxyx （2）取）取, 0, kxky26300limyxyxyx 22630limxkxkxxxkyx 此時(shí)，仍不能確定極限是否存在此時(shí)，仍不能確定極限是否存在（1） p ( x , y ) 沿沿 x 軸趨于軸趨于 ( 0 , 0 )，

15、此時(shí)此時(shí) y = 0 , x 026300limyxyxyx 00lim6300 xxyx00lim600 xyx0lim26300 yxyxxy同理同理)0 , 0(),(),( ,0 xkxyxx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)2620limkxkxxkyx 0 xyo例例4 4 證明證明 不存在不存在 證證26300limyxyxyx （3）?。┤? 0,3 kkxy26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx 21kk 極限值隨極限值隨 k 的不同而變化，的不同而變化，故極限不存在故極限不存在)0 , 0(),(),( ,03 xkxyxx時(shí)時(shí)此時(shí)當(dāng)此時(shí)當(dāng) xyo0 不存在不存在.觀

16、察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在不存在.觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在不存在.觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在不存在.觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在不存在.觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在不存在.觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在不存在.觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在不存在.觀察觀察26300limyxyxyx ,2

17、63圖形圖形yxyxz 不存在不存在.觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在不存在.觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在不存在.觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在不存在.觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在不存在.觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在不存在.觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 確定極限確定極限不存在不存在的常用方法：的常用方法：求二元函數(shù)的極限求二元函數(shù)的極限常用常用的方

18、法：的方法：（1）用定義驗(yàn)證其存在或不存在；）用定義驗(yàn)證其存在或不存在；（2）利用變量代換轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限，）利用變量代換轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限，再用一元函數(shù)中已有的方法；再用一元函數(shù)中已有的方法；（3）消去分子分母中極限為）消去分子分母中極限為 0 的因子；的因子；（4）利用極限運(yùn)算性質(zhì)（與一元函數(shù)相似）；）利用極限運(yùn)算性質(zhì)（與一元函數(shù)相似）；（5）利用函數(shù)的連續(xù)性；）利用函數(shù)的連續(xù)性；解：解：2322222200)(sinlimyxyxyxyx 例例5：求極限：求極限,:22yx 令令,)0 , 0(),(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)yx, 0 2322222200)(sinlimyxyxyxyx 30si

19、nlim 203cos1lim 6sinlim0 61 解：解：xyxyxsinlim20例例6：求極限：求極限,:yxz 令令,)2 , 0(),(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)yx, 0zxyxyxsinlim20yyxyxyx sinlim20yzzxyz020limsinlim yzzyz20limsinlim 221 解：解：42lim00 yxyxyx例例7：求極限：求極限42lim00 yxyxyx)42)(42()42(lim00 yxyxyxyxyxyxyxyxyx )42(lim00)42(lim00 yxyx)42(lim0 4)402( :語言語言 , 0, 0 ,|00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) pp,|)

20、(| apf有有axfpp )(lim0則記則記四、多元函數(shù)的連續(xù)性四、多元函數(shù)的連續(xù)性一元函數(shù)連續(xù)性回顧：一元函數(shù)連續(xù)性回顧：dxxfy 0),(設(shè)設(shè)),()(lim00 xfxfxx 若若.)(0處連續(xù)處連續(xù)在在則稱則稱xxf二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性.,),(),(000且且為為聚聚點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)dyxpyxfz ),(),(lim0000yxfyxfyyxx 若若.),(),(000處連續(xù)處連續(xù)點(diǎn)點(diǎn)在在則稱則稱yxpyxf.),(),(000處間斷處間斷點(diǎn)點(diǎn)在在否則稱否則稱yxpyxf.),(),(000的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)為為點(diǎn)點(diǎn)或稱或稱yxfyxp 如果函數(shù)如果函數(shù) f ( x, y

21、) 在在 d 的每一點(diǎn)都連續(xù)，的每一點(diǎn)都連續(xù)， 二元函數(shù)連續(xù)的三個(gè)要素二元函數(shù)連續(xù)的三個(gè)要素,),(),()1(00處有定義處有定義在點(diǎn)在點(diǎn)yxyxf則稱函數(shù)則稱函數(shù) f ( x, y ) 在在 d 上連續(xù)，上連續(xù)，或者稱或者稱 f ( x, y ) 是是 d 上的連續(xù)函數(shù)。上的連續(xù)函數(shù)。),(),(lim0000yxfyxfyyxx ,),(lim)2(00存在存在極限極限yxfyyxx. ),(),(lim)3(0000yxfyxfyyxx 二元函數(shù)間斷的情形比一元函數(shù)要復(fù)雜的多二元函數(shù)間斷的情形比一元函數(shù)要復(fù)雜的多11sin),(:22 yxyxf例如例如因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng),122時(shí)時(shí) yx

22、f ( x , y ) 無定義，無定義，所以在整個(gè)圓周所以在整個(gè)圓周,122上上 yx f ( x , y ) 間斷。間斷。例例8 8 證明函數(shù)證明函數(shù) )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)處連續(xù)處連續(xù)解解 取取,cos x sin y)0 , 0(),(fyxf )cos(sin33 2 ),(yxp xyo 22yx , 0 ,2 取取 220yx當(dāng)當(dāng) 2)0 , 0(),( fyxf),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx 故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處連續(xù)處連續(xù)., 例例9 9 討論函數(shù)討論函數(shù) 0, 00,)

23、,(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性解解取取,kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，極限不存在極限不存在故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)處不連續(xù))0 , 0(),(),( ,0 xkxyxx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)定義定義3 3 如果函數(shù)如果函數(shù) f ( p ) 在在 d 的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)函數(shù) f ( p ) 在在 d 上連續(xù)，或者稱上連續(xù)，或者稱 f ( p ) 是是 d 上的上的連續(xù)函數(shù)。連續(xù)函數(shù)。 n 元函數(shù)的連續(xù)性元函數(shù)的連續(xù)性（2）多元初等函數(shù)）多元初等

24、函數(shù)：由常數(shù)及：由常數(shù)及不同自變量表達(dá)的一不同自變量表達(dá)的一元基本初等函數(shù)元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算所經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算所構(gòu)成的可用構(gòu)成的可用一個(gè)式子表示一個(gè)式子表示的多元函數(shù)叫的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)多元初等函數(shù)（3）一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的）一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的定義區(qū)域定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域關(guān)于多元函數(shù)連續(xù)性的幾點(diǎn)說明關(guān)于多元函數(shù)連續(xù)性的幾點(diǎn)說明（1）一切一元基本初等函數(shù)，作為一個(gè)二元或二）一切一元基本初等函數(shù)，作為一個(gè)二元或二元以上的多元函數(shù)時(shí)，在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的。元以上的

25、多元函數(shù)時(shí)，在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的。,sin),(:xyxf 例如例如,),(nyyxf .),(zazyxf 不同自變量表達(dá)的一元基本初等函數(shù)不同自變量表達(dá)的一元基本初等函數(shù)zayx,sin,sin（4）利用多元函數(shù)的連續(xù)性可以計(jì)算在其連續(xù)點(diǎn)）利用多元函數(shù)的連續(xù)性可以計(jì)算在其連續(xù)點(diǎn)處的極限。處的極限。時(shí)，時(shí)，一般地，求一般地，求)(lim0pfpp例例.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.211101 ，是初等函數(shù)是初等函數(shù)如果如果)(pf的定義域的內(nèi)點(diǎn)，的定義域的內(nèi)點(diǎn)，是是且且)(0pfp處連續(xù)，處連續(xù)，在點(diǎn)在點(diǎn)

26、則則0)(ppf).()(lim00pfpfpp 于是于是閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 d d 上的多元連續(xù)函數(shù)，在上的多元連續(xù)函數(shù)，在 d d 上必定有界，且能取得它的最大值和最小值，即上必定有界，且能取得它的最大值和最小值，即（一）有界性及最大值和最小值定理（一）有界性及最大值和最小值定理（2）至少存在兩點(diǎn)）至少存在兩點(diǎn)mpf | )(|（1）存在正數(shù)）存在正數(shù) m ，使得對(duì)于任意的點(diǎn)，使得對(duì)于任意的點(diǎn) p d ，均有，均有使得使得,21dpp , | )(max)(1dppfpf , | )(min)(2dppfpf ,)(1為最大值為最大值即即

27、pf.)(2為最小值為最小值即即pf（二）介值定理（二）介值定理 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 d 上連續(xù)的多元函數(shù)上連續(xù)的多元函數(shù) f ( p ) ，必取得介于最小值必取得介于最小值 m 和最大值和最大值 m 之間的任何值。之間的任何值。即對(duì)任意的即對(duì)任意的 c , m c m , 至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn) p d ,使得：使得：cpf )(多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（注意趨近（注意趨近方式的方式的任意性）任意性）四、小結(jié)四、小結(jié)多元函數(shù)的定義多元函數(shù)的定義習(xí)題81: 4(3, 5), 5(2, 4, 6)

28、, 6(3), 8 第八章作業(yè)第八章作業(yè)第一節(jié)：第一節(jié)：多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 若點(diǎn)若點(diǎn)),(yx沿著無數(shù)多條平面曲線趨向于沿著無數(shù)多條平面曲線趨向于點(diǎn)點(diǎn)),(00yx時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)),(yxf都趨向于都趨向于 a，能否，能否斷定斷定ayxfyxyx ),(lim),(),(00？ 思考題思考題思考題解答思考題解答不能不能.例例,)(),(24223yxyxyxf )0 , 0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx因?yàn)槿羧∫驗(yàn)槿羧?2yx 244262)(),(yyyyyyf .41一、一、 填空題填空題: : 1 1、 若若yxxyyxyxftan),(22 , ,則則),(tytxf= =_. . 2 2、 若若xyyxyxf2),(22 , ,則則 )3, 2(f_; ; ), 1(xyf_. . 3 3、 若若)0()(22 yyyxxyf, ,則則 )(xf_. . 4 4、 若若22),(yxxyyxf , ,則則 ),(yxf_. .函數(shù)函數(shù))1ln(4222yxyxz 的定義域是的定義域是_