二項式定理的性質(zhì)（課堂PPT）

1、1 二項式定理的性質(zhì)二項式定理的性質(zhì)學海導航:了解楊輝三角,掌握二項式的幾個重要性質(zhì)復習回顧復習回顧:二項式定理及展開式二項式定理及展開式: :二項式系數(shù)二項式系數(shù)1rnrrrnTC ab (0,1, )rnCrn 通通 項項011*()()nnnr n r rn nnnnna bCaCa bCa bC b n N 3(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4(a+b)5(a+b)6 =a + ba3+3a2b+3ab2+b3a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+

2、6ab5+b6a2+2ab+b2二、新課4(a+b)1 = 1a + 1b (a+b)2= 1a2+2ab+1b2 (a+b)3= 1a3+3a2b+3ab2+1b3 (a+b)4= 1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4 (a+b)5= 1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5 (a+b)6= 1a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+1b6 (a+b)7= ? (a+b)8= ? (a+b)n= ?5(a+b)1 _(a+b)2 _ (a+b)3 _(a+b)4 _ (a+b)5 _ (a+b)6 _ (a+b)n _(a+b)n+

3、1_1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 C C C C 11n1rnrn1nn 1 C C C 111nrn1nn 1 楊輝三角楊輝三角6(a+b)1 _(a+b)2 _ (a+b)3 _(a+b)4 _ (a+b)5 _ (a+b)6 _ (a+b)n _(a+b)n+1_1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 C C C C 11n1rnrn1nn 1 C C C 111nrn1nn 1 7楊輝三角楊輝三角詳解九章算法詳解九章算法中記載的表中記載的

4、表 這樣的二項式系數(shù)表，早在我國南宋數(shù)學家楊輝1261 年所著的詳解九章算法一書里就已經(jīng)出現(xiàn)了，在這本書里，記載著類似左面的表：8111211331146411510 10511615 20 1561 與首末兩端與首末兩端“等距離等距離”的兩個二項式系數(shù)相等的兩個二項式系數(shù)相等性質(zhì)性質(zhì)1 1：對稱性：對稱性mnnmnCC 二二 項項 式式 系系 數(shù)數(shù) 的的 性性 質(zhì)質(zhì)9kknkkknnnnknkn1C)!1() 1()2)(1(C1由于：所以 相對于 的增減情況由 決定 knC1Cknkkn1性質(zhì)性質(zhì)2 2：增減性與最大：增減性與最大值值2111nkkkn由：21nk 可知，當 時， 二項式系

5、數(shù)是逐漸增大的，由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項取得最大值。 10 當當n= 6時時,其圖象是其圖象是7個孤立點個孤立點f（r）r63O615201nnnnnnCCCCba，展開式的二項式系數(shù)是）（210nrfrCrn，其定義域是），（為自變量的函數(shù)可看成是以從函數(shù)的角度看，21011f（r）rnO6152012n2n212n20103035Onf（r）n為奇數(shù)212n當當n是偶數(shù)時，中間的一項是偶數(shù)時，中間的一項 取得最大值取得最大值 ；2nnC當當n是奇數(shù)時，中間的兩項是奇數(shù)時，中間的兩項 和和 相等，且同時取得相等，且同時取得最大值。最大值。 21 nnC21 nnCn為偶

6、數(shù)12在二項式定理中，令 ，則： 1bannnnnn2CCCC210 這就是說， 的展開式的各二項式系數(shù)的和等于：nba)( n2同時由于 ，上式還可以寫成：1C0n12CCCC321nnnnnn這是組合總數(shù)公式 性質(zhì)性質(zhì)3 3：各二項式系數(shù)的和：各二項式系數(shù)的和13性質(zhì)4:在在(a(ab)b)n n展開式中展開式中, ,奇數(shù)項的二項奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和數(shù)的和. .)()()1()11(31203210 nnnnnnnnnnnnccccccccc 3120nnnncccc即： 3120nnnncccc14例例1：求求(1+2x)8 的展

7、開式中二項式系數(shù)最大的項的展開式中二項式系數(shù)最大的項解：已知二項式冪指數(shù)是偶數(shù)，展開式共項，依二 項式系數(shù)性質(zhì)中間一項的二項式系數(shù)最大，則： T5=C84(2x)4=7016x4=1120 x4三、例題15解：依題意解：依題意, n , n 為偶數(shù)，且為偶數(shù)，且若將若將“只有第只有第10項項”改為改為“第第10項項”呢？呢？例例2 2 已知已知 展開式中只有第展開式中只有第1010項系數(shù)最大，求第五項。項系數(shù)最大，求第五項。 nxx 43118,1012 nn4434184181451)( xxCTT43060 x 16例、已知(1-2x)7=a0+ a1x + a2x2 + + a7x7 ,

8、則(1)a1+a2+a3+a7=_(2)a1+a3+a5+a7 =_分析：分析：求解二項式系數(shù)和時，靈活運用賦值求解二項式系數(shù)和時，靈活運用賦值 法可以使法可以使問題簡單化。通常選取賦值時取問題簡單化。通常選取賦值時取1，1。172 2、在、在(a(ab)b)1010展開式中，二項式系數(shù)最大展開式中，二項式系數(shù)最大的項是的項是( ).( ).1 1、在、在(a(ab)b)2020展開式中，與第五項二項式展開式中，與第五項二項式系數(shù)相同的項是系數(shù)相同的項是( ).( ).AA.A.第第6 6項項 B.B.第第7 7項項C.C.第第6 6項和第項和第7 7項項 D.D.第第5 5項和第項和第7 7

9、項項CA.A.第第1515項項 B.B.第第1616項項 C.C.第第1717項項 D.D.第第1818項項 此種類型的題目應該先找準此種類型的題目應該先找準r r的值，然后再的值，然后再確定第幾項。確定第幾項。注：四、練習18 3.(a+b)n展開式中第四項與第六項的系數(shù)相等，則n為 A.8 B.9 C.10 D.11 4.二項式(1-x)4n+1的展開式系數(shù)最大的項是（ ） A.第2n+1項 B. 第2n+2項 C. 第2n項 D第2n+1項或2n+2項 5.若(a+b)n的展開式中，各項的二項式系數(shù)和為8192，則n的值為 （ ） A16 B.15 C.14 D.13AAD196已知已知

10、(2x+1)10=a0 x10+ a1x9+ a2x8+a9x+ a10,(1)求求a0+ a1+ a2+ +a9+ a10的值的值(2)求求a0+ a2+ a4+ + a10的值的值20 （2） 數(shù)學思想：函數(shù)思想a 圖象、圖表； b 單調(diào)性；c 最值。（3） 數(shù)學方法 ： 賦值法 、遞推法（1 1）二項式系數(shù)的三個性質(zhì)）二項式系數(shù)的三個性質(zhì)對稱性增減性與最大值各二項式系數(shù)和五、小結(jié) 二項展開式中的二項式系數(shù)都是一些特殊的組合數(shù)，它有三條性質(zhì)，要理解和掌握好，同時要注意“系數(shù)”與“二項式系數(shù)”的區(qū)別，不能混淆，只有二項式系數(shù)最大的才是中間項，而系數(shù)最大的不一定是中間項，尤其要理解和掌握“取特

11、值”法，它是解決有關(guān)二項展開式系數(shù)的問題的重要手段。21第3課時 二項式定理22基礎知識梳理基礎知識梳理23基礎知識梳理基礎知識梳理在公式中，交換在公式中，交換a，b的順序的順序?qū)ζ涠椪归_式是否有影響？對其二項展開式是否有影響？24基礎知識梳理基礎知識梳理二項展開式二項展開式r125(4)在二項式定理中，如果設在二項式定理中，如果設a1，bx，則得到公式，則得到公式(1x)n .基礎知識梳理基礎知識梳理26基礎知識梳理基礎知識梳理距首末兩端等距離的兩項的二項式系數(shù)相等距首末兩端等距離的兩項的二項式系數(shù)相等27基礎知識梳理基礎知識梳理遞減的遞減的遞增的遞增的28基礎知識梳理基礎知識梳理29基礎

12、知識梳理基礎知識梳理2n12n30A15B20C15 D20答案答案：B三基能力強化三基能力強化31答案答案：C三基能力強化三基能力強化323二項式二項式(13x)6的展開式中系的展開式中系數(shù)最大的項是數(shù)最大的項是()A第第3項項 B第第4項項C第第5項項 D第第6項項答案答案：C三基能力強化三基能力強化334(2008年高考安徽卷改編年高考安徽卷改編)設設(1x)7a0a1xa7x7，則，則a0，a1，a7中所有奇數(shù)的和為中所有奇數(shù)的和為_答案答案：128三基能力強化三基能力強化34答案答案：5三基能力強化三基能力強化35課堂互動講練課堂互動講練考點一考點一求特定項或特定項的系數(shù)求特定項或特

13、定項的系數(shù)求二項展開式中的特定項，一定求二項展開式中的特定項，一定要抓住展開式中的通項要抓住展開式中的通項Tk1Cnkankbk，要注意通項是，要注意通項是(ab)n的展開式的展開式的第的第k1項，而不是第項，而不是第k項，這里項，這里k0,1，n.求解時要將通項化成常求解時要將通項化成常數(shù)乘一個未知數(shù)多少次方的形式，然數(shù)乘一個未知數(shù)多少次方的形式，然后根據(jù)需要求適合條件的項后根據(jù)需要求適合條件的項36課堂互動講練課堂互動講練(1)求求n；(2)求含求含x2項的系數(shù)；項的系數(shù)；(3)求展開式中所有的有理項求展開式中所有的有理項37課堂互動講練課堂互動講練【思路點撥【思路點撥】利用通項確定】利用

14、通項確定n，進而根據(jù)特定項的特征求解進而根據(jù)特定項的特征求解38課堂互動講練課堂互動講練39課堂互動講練課堂互動講練40課堂互動講練課堂互動講練41【誤區(qū)警示【誤區(qū)警示】這類帶有減號的】這類帶有減號的二項展開式最容易出現(xiàn)的問題就是忽二項展開式最容易出現(xiàn)的問題就是忽視了視了(1)r這個因素，導致最后結(jié)果產(chǎn)這個因素，導致最后結(jié)果產(chǎn)生符號的差異，出現(xiàn)錯誤生符號的差異，出現(xiàn)錯誤課堂互動講練課堂互動講練42課堂互動講練課堂互動講練43課堂互動講練課堂互動講練44要使展開式中的項為有理項，只要使展開式中的項為有理項，只要要x的指數(shù)為整數(shù)，的指數(shù)為整數(shù)，則則r0,4,8.所以第所以第1項，第項，第5項與第項

15、與第9項為有項為有理項，它們分別是理項，它們分別是x4,70 x，x2.課堂互動講練課堂互動講練45二項式定理實質(zhì)是關(guān)于二項式定理實質(zhì)是關(guān)于a，b，n的恒等式，除了正用、逆用這個恒等的恒等式，除了正用、逆用這個恒等式，還可根據(jù)要求系數(shù)和的特征，讓式，還可根據(jù)要求系數(shù)和的特征，讓a、b取相應的特殊值，至于特殊值取相應的特殊值，至于特殊值a、b如何選取，視具體問題而定沒有如何選取，視具體問題而定沒有一成不變的規(guī)律一成不變的規(guī)律課堂互動講練課堂互動講練考點二考點二二項展開式中的系數(shù)之和問題二項展開式中的系數(shù)之和問題46課堂互動講練課堂互動講練47課堂互動講練課堂互動講練48課堂互動講練課堂互動講練【

16、答案答案】C49課堂互動講練課堂互動講練【名師點評名師點評】本題主要使用賦】本題主要使用賦值的辦法來解決值的辦法來解決502若若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，求：，求：(1)a7a6a1；(2)a7a5a3a1；(3)a6a4a2a0；(4)|a7|a6|a0|.課堂互動講練課堂互動講練51解解：(1)令令x0，則，則a01；令令x1，則，則a7a6a1a027128，a7a6a1129.(2)令令x1，則則a7a6a5a4a3a2a1a0(4)7.課堂互動講練課堂互動講練52課堂互動講練課堂互動講練53(4)(3x1)7展開式中，展開式中，a7、a5、a3、a1均大于零，而均大于零

17、，而a6、a4、a2、a0均均小于零，小于零，|a7|a6|a0|(a1a3a5a7)(a0a2a4a6)8256(8128)16384.課堂互動講練課堂互動講練541根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，n為奇數(shù)為奇數(shù)時中間兩項的二項式系數(shù)最大，時中間兩項的二項式系數(shù)最大，n為偶數(shù)時為偶數(shù)時中間一項的二項式系數(shù)最大中間一項的二項式系數(shù)最大2求展開式中系數(shù)最大項與求二項式求展開式中系數(shù)最大項與求二項式系數(shù)最大項不同，求展開式中系數(shù)最大項系數(shù)最大項不同，求展開式中系數(shù)最大項的步驟是：先假定第的步驟是：先假定第r1項系數(shù)最大，則它項系數(shù)最大，則它比相鄰兩項的系數(shù)都不小，列出不等式并比相鄰兩項

18、的系數(shù)都不小，列出不等式并解此不等式組求得解此不等式組求得課堂互動講練課堂互動講練考點三考點三二項式系數(shù)的性質(zhì)二項式系數(shù)的性質(zhì)55課堂互動講練課堂互動講練56【思路點撥思路點撥】根據(jù)二項式系數(shù)】根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，列方程求的性質(zhì)，列方程求n，系數(shù)最大問題，系數(shù)最大問題需列不等式組求解需列不等式組求解課堂互動講練課堂互動講練57課堂互動講練課堂互動講練58課堂互動講練課堂互動講練59課堂互動講練課堂互動講練60課堂互動講練課堂互動講練61課堂互動講練課堂互動講練62課堂互動講練課堂互動講練63課堂互動講練課堂互動講練64課堂互動講練課堂互動講練651二項式定理的一個重要用途是做二項式定理的一個

19、重要用途是做近似計算；當近似計算；當n不很大，不很大，|x|比較小時，比較小時，(1x)n1nx.2利用二項式定理還可以證明整除利用二項式定理還可以證明整除問題或求余數(shù)問題，在證明整除問題或問題或求余數(shù)問題，在證明整除問題或求余數(shù)問題時要進行合理的變形，使被求余數(shù)問題時要進行合理的變形，使被除式除式(數(shù)數(shù))展開后的每一項都含有除式的因展開后的每一項都含有除式的因式，要注意變形的技巧式，要注意變形的技巧課堂互動講練課堂互動講練考點四考點四二項式定理的綜合應用二項式定理的綜合應用663由于由于(ab)n的展開式共有的展開式共有n1項，故可通過對某些項的取舍來放項，故可通過對某些項的取舍來放縮，從而

20、達到證明不等式的目的，而縮，從而達到證明不等式的目的，而對于整除問題，關(guān)鍵是拆成兩項后利對于整除問題，關(guān)鍵是拆成兩項后利用二項式定理展開，然后說明各項是用二項式定理展開，然后說明各項是否能被整除否能被整除課堂互動講練課堂互動講練67課堂互動講練課堂互動講練(滿分展示滿分展示)(本題滿分本題滿分12分分)(1)已知已知nN，求證：，求證：12222325n1能被能被31整整除；除；(2)求求0.9986的近似值，使誤的近似值，使誤差小于差小于0.001.68【思路點撥思路點撥】(1)要先用等比數(shù)要先用等比數(shù)列的前列的前n項和公式，然后應用二項式項和公式，然后應用二項式定理轉(zhuǎn)化成含定理轉(zhuǎn)化成含31

21、的倍數(shù)的關(guān)系式；的倍數(shù)的關(guān)系式；(2)把把0.998變成變成10.002，然后應，然后應用二項式定理展開用二項式定理展開課堂互動講練課堂互動講練6932n1 3分分(311)n131nCn131n1Cn231n2Cnn1311131(31n1Cn131n2Cnn1)，顯然括號內(nèi)的數(shù)為正整數(shù)，顯然括號內(nèi)的數(shù)為正整數(shù)， 5分分故原式能被故原式能被31整除整除. 6分分課堂互動講練課堂互動講練70(2)0.9986(10.002)61C61(0.002)C62(0.002)2C63(0.002)3 8分分第三項第三項T315(0.002)20.000060.001，以后各項更小，以后各項更小，0.9

22、98610.0120.988. 12分分【反思感悟反思感悟】在解答第】在解答第(2)問時，問時，不需全部展開，直到滿足項比不需全部展開，直到滿足項比0.001還還小即可小即可課堂互動講練課堂互動講練714(本題滿分本題滿分12分分)設函數(shù)設函數(shù)f(x)滿足滿足f(0)1，且對任意，且對任意x，yR，f(xy1)f(x)f(y)f(y)x2恒成立恒成立(1)求求f(x)的解析式；的解析式；(2)若數(shù)列若數(shù)列an滿足：滿足：an13f(an)1(nN)，且，且a11，求數(shù)列，求數(shù)列an的通項；的通項；課堂互動講練課堂互動講練72解解：(1)f(0)1，令，令xy0得得f(1)f(0)f(0)f(0

23、)022，又令又令y0，得，得f(1)f(x)f(0)f(0)x2，f(x)x1，xR. 2分分(2)f(x)x1，an13f(an)13(an1)1(nN)，課堂互動講練課堂互動講練73an113(an1)(nN)，數(shù)列數(shù)列an1是公比為是公比為3的等比的等比數(shù)列數(shù)列. 4分分a112，an123n1(nN)，an23n11(nN). 7分分課堂互動講練課堂互動講練74課堂互動講練課堂互動講練75課堂互動講練課堂互動講練761二項式定理及通項公式的應用二項式定理及通項公式的應用(1)對于二項式定理，不僅要掌握其正對于二項式定理，不僅要掌握其正向運用，而且應學會逆向運用與變形運向運用，而且應學會逆向運用與變形運用有時先作適當變形后再展開較為簡便，用有時先作適當變形后再展開較為簡便，有時需適當配湊后逆用二項式定理有時需適當配湊后逆用二項式定理規(guī)律方法總結(jié)規(guī)律方法總結(jié)77(2)運用二項式定理一定要牢記通運用二