初中小學(xué)數(shù)列找規(guī)律方法與題解

1、初中、小學(xué)數(shù)列找規(guī)律方法與題解江蘇省泗陽(yáng)縣李口中學(xué) 沈正中 擬編解答在初中、小學(xué)數(shù)學(xué)的一些賽題中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)數(shù)列找規(guī)律的問(wèn)題，數(shù)列的題型多種多樣，遵循的規(guī)律也各不相同，尋找規(guī)律的方法也非常靈活，下面舉幾例常見(jiàn)的題型探索一下，方法和解題思路。1、等差數(shù)列（1）、等差數(shù)列：相鄰兩數(shù)的后一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)差相等的數(shù)列叫等差數(shù)列。在等差數(shù)列中，第n個(gè)數(shù)可以表示為：ana1(n1)d，其中a1為數(shù)列的第一個(gè)數(shù)，d為后一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)的差。【例1】在括號(hào)內(nèi)填上所缺的數(shù)：4、10、16、22、28、34、（）、。【解析】：因相鄰兩數(shù)的后一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)差為6，所以第n個(gè)數(shù)是：ana1(n1)d，故a74(71

2、)×640，即括號(hào)內(nèi)應(yīng)為40。（2）、“相鄰兩數(shù)的增加（或減少）值為等差數(shù)列”的數(shù)列。這種數(shù)列第n個(gè)數(shù)也有一種通用求法?；舅悸肥牵呵蟪鰯?shù)列的第n1個(gè)到第n個(gè)的增加（或減少）值 (a2a1)(n2)d，則第n個(gè)數(shù)是anan1(a2a1)(n2)d。【例2】在括號(hào)內(nèi)填上所缺的數(shù)：3、7、15、27、（）、。【解析】：因數(shù)列的增加值分別為：4、8、12、16、，增加值為等差數(shù)列。所以第n個(gè)數(shù)是：anan1(a2a1)(n2)d，故a527(73)(52)×443，即括號(hào)內(nèi)應(yīng)為43。這是通用解法，當(dāng)然此題用分析觀察的方法求出。2、等比數(shù)列（1）、等比數(shù)列：相鄰兩數(shù)的后一個(gè)數(shù)與前一

3、個(gè)數(shù)的比值相等的數(shù)列叫等比數(shù)列。在等比數(shù)列中，第n個(gè)數(shù)可以表示為：ana1qn1，其中a1為數(shù)列的第一個(gè)數(shù)，q為后一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)的比值?！纠?】在括號(hào)內(nèi)填上所缺的數(shù)：2、6、18、54、162、（）、?！窘馕觥浚阂蜞弮蓴?shù)的后一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)的比值為3，所以第n個(gè)數(shù)是：ana1q n1，故a52×361486，即括號(hào)內(nèi)應(yīng)為486。（2）、“相鄰兩數(shù)的增加（或減少）值為等比數(shù)列”的數(shù)列。這種數(shù)列第n個(gè)數(shù)也有一種通用求法。基本思路是：求出數(shù)列的第n1個(gè)到第n個(gè)的增加（或減少）值(a2a1) qn2，則第n個(gè)數(shù)是anan1(a2a1) qn2?！纠?】在括號(hào)內(nèi)填上所缺的數(shù)：3、5、9、17

4、、33、（）、?！窘馕觥浚阂驍?shù)列的增加值分別為：2、4、8、16、32、，增加值為等比數(shù)列。所以第n個(gè)數(shù)是：anan1(a2a1) q n2，故a633(53)×26265，即括號(hào)內(nèi)應(yīng)為65。這是通用解法，當(dāng)然此題用分析觀察的方法求出。3、其它的數(shù)列（非等差、等比數(shù)列）只有用分析、觀察和一些技巧的方法?！纠?】在括號(hào)內(nèi)填上所缺的數(shù)：2、2、4、4、6、8、8、16、（）、?！窘馕觥浚哼@個(gè)數(shù)列由等差數(shù)列2、4、6、8、 在前，等比數(shù)列2、4、8、16、 在后組成的交錯(cuò)數(shù)列，所以括號(hào)內(nèi)應(yīng)為10?！纠?】在括號(hào)內(nèi)填上所缺的數(shù)：1、3、2、5、3、7、4、9、（）、?！窘馕觥浚哼@個(gè)數(shù)列由自然

5、數(shù)列1、2、3、4、 ，在相鄰兩數(shù)之間插入這兩個(gè)數(shù)的和組成的，所以括號(hào)內(nèi)應(yīng)為5?！纠?】在括號(hào)內(nèi)填上所缺的數(shù)：0、0、1、2、6、3、4、（）、5、?！窘馕觥浚哼@個(gè)數(shù)列由新規(guī)定自然數(shù)列0、1、2、3、4、5、 ，從0開(kāi)始向右依次兩兩一組，在每組中間插入這兩個(gè)數(shù)的積組成的，所以括號(hào)內(nèi)應(yīng)為20。【例8】在括號(hào)內(nèi)填上所缺的數(shù)：0、3、8、15、24、（）、?！窘馕觥浚喝菀装l(fā)現(xiàn)，已知數(shù)列的每一項(xiàng)，都等于它的項(xiàng)數(shù)的平方減1。因此，第n個(gè)數(shù)是：ann21，故a662135，即括號(hào)內(nèi)應(yīng)為35。類(lèi)似題有：ann21、ann2±2等?！纠?】在括號(hào)內(nèi)填上所缺的數(shù)：1、9、25、49、（）、?！窘馕觥浚?/p>

6、觀察發(fā)現(xiàn)，已知數(shù)列的各項(xiàng)，依次對(duì)應(yīng)于1、3、5、7、的平方，即第n個(gè)數(shù)是：an（2n1）2，故a5（2×51）281，即括號(hào)內(nèi)應(yīng)為81。類(lèi)似題有：an（2n1）2、an（2n±1）2等?！纠?0】在括號(hào)內(nèi)填上所缺的數(shù)：2、9、28、65、（）、。【解析】：觀察發(fā)現(xiàn)，已知數(shù)列的各項(xiàng)，依次對(duì)應(yīng)于項(xiàng)數(shù)的三次方加1，即第n個(gè)數(shù)是：ann31，故a5531126，即括號(hào)內(nèi)應(yīng)為126。類(lèi)似題有：ann31、ann3±2等。【例11】在括號(hào)內(nèi)填上所缺的數(shù)：4、16、36、64、100、（）、。【解析】：觀察發(fā)現(xiàn)，已知數(shù)列的每一項(xiàng)，都等于它的項(xiàng)數(shù)2倍的平方。所以第n個(gè)數(shù)是：an（

7、2n）2，故a6（2×6）2144，即括號(hào)內(nèi)應(yīng)為144。類(lèi)似題有：an（3n）2等?！纠?2】在括號(hào)內(nèi)填上所缺的數(shù)：0、6、16、30、48、（）、?！窘馕觥浚河^察發(fā)現(xiàn)，各項(xiàng)除以2，得0、3、8、15、24、，而這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)，都等于它的項(xiàng)數(shù)的平方減1。所以原數(shù)列的第n個(gè)數(shù)是：an2（n21），故a62×（621）70，即括號(hào)內(nèi)應(yīng)為70。類(lèi)似題有：an2（n2±1）、an3（n2±1）等?！纠?3】在括號(hào)內(nèi)填上所缺的數(shù)：5，7，11，19，35，67、（）、?！窘馕觥浚河^察發(fā)現(xiàn)，后一項(xiàng)減前一項(xiàng)，得4、4、8、16、32、，由此可看出原數(shù)列從第二項(xiàng)起，后

8、一項(xiàng)等于前一項(xiàng)加2的（n1）次方。所以原數(shù)列的第n個(gè)數(shù)是：anan12n1，故a76726199，即括號(hào)內(nèi)應(yīng)為99。類(lèi)似題有：anan1±2n±1?！纠?4】在括號(hào)內(nèi)填上所缺的數(shù)：1、2、4、7、11、16、22、29、（）、?！窘馕觥浚河^察發(fā)現(xiàn)，相鄰兩數(shù)依次相差：1、2、3、4、5、6，、，所以第n個(gè)數(shù)是：anan1n1，故a929837，即括號(hào)內(nèi)應(yīng)為37。類(lèi)似題有：anan1n1等。【例14】在括號(hào)內(nèi)填上所缺的數(shù)：2、5、10、17、26、37、50、（）、?！窘馕觥浚河^察發(fā)現(xiàn)，相鄰兩數(shù)依次相差：3、5、7、9、，所以第n個(gè)數(shù)是：anan12n1，故a8501565，即

9、括號(hào)內(nèi)應(yīng)為65。類(lèi)似題有：anan12n1等?！纠?5】在括號(hào)內(nèi)填上所缺的數(shù)：8、12、16、20、24、（）、?！窘馕觥浚鹤屑?xì)觀察發(fā)現(xiàn)，依次是項(xiàng)數(shù)加1后乘以4所得數(shù)列，或原數(shù)列是數(shù)列9、16、25、36、49、減去數(shù)列1、4、9、16、25、對(duì)應(yīng)項(xiàng)所得差組成，這兩種說(shuō)法實(shí)質(zhì)上是一樣的。所以第n個(gè)數(shù)是：an4（n1）（n2）2n2，故a64（61）28，即括號(hào)內(nèi)應(yīng)為28。常見(jiàn)的還有以下規(guī)律：ann×(3n2)an2n11ann（n1）an2n±1ann(n+1)(n+2)/3 ann(n+1)/2；項(xiàng)數(shù)依次3、1循環(huán): 1、4、3、6、5、8、7、后一項(xiàng)等于前兩項(xiàng)和：1、 1、 2、3、5、 8、奇數(shù)項(xiàng)1、2、3、4、5、與偶數(shù)項(xiàng)2、4、8、16、 交錯(cuò)組合：1、2、2、4、3、8、4、16、5、奇數(shù)項(xiàng)：2、4、6、8、 與偶數(shù)項(xiàng)：1、3、9、27、交錯(cuò)組合：2、1、4、3、6、9、 8、 27、 10、分組數(shù)列n、3n、5n：1、3、5、2、6、10、3、9、15、。總