形式三角矩陣環(huán)的廣義導子

1、第33卷第2期 西南大學學報(自然科學版 2011年2月Vol 33 No 2Journal of Southw est U niv ersity(N atural Science EditionFeb 2011文章編號:1673-9868(201102-0101-04形式三角矩陣環(huán)的廣義導子謝樂平懷化學院數學系,湖南懷化418008摘要:利用代數方法,得到了形式三角矩陣環(huán)T ri(A,M,B的廣義導子可以由環(huán)A,B的廣義導子和(A,B-雙模M的廣義擬線性映射表示的結論,同時由此結論推得形式三角矩陣環(huán)T ri(A,M,B的導子的結構.關 鍵 詞:形式三角矩陣環(huán);廣義導子;導子中圖分類號:O15

2、1 21文獻標志碼:A假定A,B是兩個有單位元的結合環(huán).稱M為(A,B-雙模,是指M既是左A-模,又是右B-模,并且對 a A, m M, b B,有(amb=a(mb.形式三角矩陣環(huán)定義為T ri(A,M,B=a m0b:a A,m M,b B假定A,B是兩個有單位元的結合環(huán),我們用I1,I B分別表示它們的單位元,M為一個(A,B-雙模.形式三角矩陣環(huán)Tri(A,M,B的一個廣義導子D是Tri(A,M,B到自身的保持加法的映射,使得對 X,YTri(A,M,B,都有D(XY=D(XY+X D(Y-X D(IY,這里I=I10I B為Tri(A,M,B的單位元.特別地,如果D(I=0,那么D

3、(XY=D(XY+X D(Y,此時D為通常的導子.設,!分別是環(huán)A與B的廣義導子,對 a A, b B, m M,如果存在a!A,b!B,使得M的保持加法的映射k滿足k(a,m,b=(amb+ak(mb+am!(b-aa!m b-amb!b那么稱k為(A,B-雙模M的一個(,!-廣義擬線性映射.設D是形式三角矩陣環(huán)T ri(A,M,B的任意一個廣義導子,記D a m0b=g(a,m,bk(a,m,b0h(a,m,b(1下面通過兩個引理來研究(1式的相關性質.收稿日期:2010-04-07基金項目:湖南省教育廳資助項目(05C694;懷化學院青年基金項目(H HU Q2009-04.作者簡介:謝

4、樂平(1976-,男,湖南寧鄉(xiāng)人,講師,主要從事矩陣代數的研究.引理1 (1式中g(a,m,b,h(a,m,b分別由a,b單獨確定,且有D a mb=(ak(a,m,b!(b其中,!分別為環(huán)A,B的廣義導子.證 由(1式,用D作用于等式I10I10=I10兩邊,有2g(I1,0,0-a0k(I1,0,00=g(I1,0,0k(I1,0,0h(I1,0,0因此g(I1,0,0=a0,h(I1,0,0=0.用D作用于等式00I B00I B=00I B兩邊,有0k(0,0,I B2h(0,0,I B-b0=g(0,0,I Bk(0,0,I Bh(0,0,I B因此g(0,0,I B=0,h(0,0

5、,I B=b0.用D作用到a mbI10=a0兩邊,得g(a,m,bak(I1,0,00=g(a,0,0k(a,0,0h(a,0,0(2所以g(a,m,b=g(a,0,0,即g(a,m,b不依賴于m,b.類似地可得h(a,m,b=h(0,0,b,因此將g(a,m,b,h(a,m,b分別記為(a,!(b,得D a mb=(ak(a,m,b!(b下面證明,!分別為環(huán)A,B的廣義導子.易知,!都保持加法運算.用D作用于等式a mba!m!b!=aa!am!+mb!bb!兩邊,得(aa!+a(a!-aa0a!(am!+k(a,m,bb!+a k(a!,m!,b!+m!(b!-aa0m!-am0b!-m

6、b0b!(bb!+b!(b!-bb0b!=(aa!k(aa!,am!+mb!,bb!(bb!(3因此(aa!=(aa!+a(a!-aa0a! !(bb!=!(bb!+b!(b!-bb0b!于是,!分別為環(huán)A,B的廣義導子.引理2 (1式中,k(a,m,b=ae+(m0-eb+k(m.其中e=k(I1,0,0,m0=k(I1,0,I B,k(m= k(0,m,0為(,!-廣義擬線性映射.證 首先,不難驗證k(a,m,b=k1(a+k(m+k2(b,其中k1(a=k(a,0,0 k2(b=k(0,0,b k(m=k(0,m,0記e=k1(I1,由(2式可得k1(a=ak1(I1=ae a A同理有

7、k2(b=k2(I Bb b B在(3式中,令a=I1,m=0,b=0,a!=0,m!=0,b!=I B,可得k2(I B=m0-k1(I1=m0- e.因此k2(b=k2(I Bb=(m0-eb b B在(3式中,令m=0,b=0,a!=0,b!=0,不難得到k(am!=(am!+ak(m!-aa0m!.在(3式中再令a=0,b=0,a!=0,m!=0,可得k(mb!=k(mb!+m!(b!-mb0b!.因此k(amb=(amb+ak(mb+am!(b-aa0mb-amb0b a A, m M, b B102西南大學學報(自然科學版 http:/xbbjb sw u cn 第33卷又顯然k保

8、持加法運算,所以k是(A,B-雙模M的一個(,!-廣義擬線性映射.定理1 設A,B是兩個有單位元的結合環(huán),M是一個(A,B-雙模,形式三角矩陣環(huán)T ri(A,M,B到自身的一個映射D是廣義導子的充分必要條件是存在環(huán)A的廣義導子,環(huán)B的廣義導子!,(A,B-雙模M的一個(,!-廣義擬線性映射k,以及M中的一個元素e,使得D a mb=(aae+(m0-eb+k(m!(b(4證 先證充分性.設X=a mb Tri(A,M,B,Y=a!m!b!Tri(A,M,B,用(4式中的D作用于XY,得D(XY=(aa!aa!e+(m0-ebb!+k(am!I B+I1mb!(bb!利用為環(huán)A的廣義導子,!為環(huán)

9、B的廣義導子,k為(A,B-雙模M的一個(,!-廣義擬線性映射,可驗證得D(XY=D(XY+X D(Y-X D(IY.所以映射D是形式三角矩陣環(huán)T ri(A,M,B的一個廣義導子.下證必要性.設D是形式三角矩陣環(huán)Tri(A,M,B的任意一個廣義導子,且滿足(1式.結合引理1和引理2,可得導子D具有形式(4.在定理1中,如果令D(I=0,即a0m0b0=0,那么m0=0.此時D(XY=D(XY+X D(Y,即D為通常的導子,所以有下面的推論:推論1 設A,B是兩個有單位元的結合環(huán),M是一個(A,B-雙模,形式三角矩陣環(huán)T ri(A,M,B到自身的一個映射D是導子的充分必要條件是存在環(huán)A的導子,環(huán)

10、B的導子!,(A,B-雙模M的一個(,!-擬線性映射k,M中的一個元素e,使得D a mb=(aae-eb+k(m!(b對形式三角矩陣環(huán)Tri(A,M,B中的任意兩個矩陣a1m1b1,a2m2b2,我們稱a1m1b1a2m2b2-a2m2b2a1m1b1為a1m1b1與a2m2b2的交換子.稱映射:a mb|a mba!m!b!-a!m!b!a mb為由a!m!b!T ri(A,M,B決定的內導子.推論2 如果m0=0,且環(huán)A,B的導子都是內導子,D是形式三角矩陣環(huán)Tri(A,M,B的任意一個廣義導子,那么D=X+D k,其中X:X|XX0-X0X 是由某個X0Tri(A,M,B決定的內導子,

11、且D k:a mb|0k(m是由(A,B-雙模M的一個廣義擬線性映射k誘導的廣義線性映射.證 由定理1 (aae-eb+k!b!(b103第2期 謝樂平:形式三角矩陣環(huán)的廣義導子其中a!,!b!是由a!A,b!B決定的環(huán)A,B的內導子,k!是M的一個(a!,!b!-廣義擬線性映射.記X0=a0eb0,那么(D-Xa mb=0k!(m+a0m-mb0記k(m=k!(m+a0m-mb0,那么對 a A, m M, b B,有k(amb=k!(amb+a0amb-ambb0=ak!(mb+a0(amb+am!b(b-aa0mb-amb0b-ambb0+a0amb=ak!(mb-2amb0b所以k是(

12、A,B-雙模M上的一個廣義線性映射,且D=X+D k.參考文獻:1H AG H AN Y A,V A RA JA N K.Study of Fo rmal T r iangular M atr ix RingsJ.Comm A lgebra,1999,27(11:5507-5525.2 CHEU N G W S.Commuting M aps o f T r iang ular A lgebr asJ.J L ondo n M ath So c,2001,63(2:117-127.3 COEL HO S P,M ILI ES C P.Der ivat ions o f U pper T ria

13、ngular M atr ix RingsJ.L inear A lg ebr a A ppl,1993,187:263-267.4 CA O Y A,WA N G J T.A No te o n A lg ebr a A utomor phisms of St rictly U pper T r iangula r M atrices O ver Commutativ eRing sJ.Linear A lg ebr a A ppl,2000,311:187-193.5 JON DRU P S.T he G ro up of Auto mor phisms o f Cer tain Suba

14、 lg ebr as of M atr ix AlgebrasJ.J A lg ebr a,1991,141:106-114.6 JON DRU P S.A utomo rphisms and Derivatio ns of U pper T riangular M atr ix Ring sJ.L inear A lg ebr a A ppl,1995,221:205-218.7 K EZL AN T P.A N ote on A lgebra A uto mor phisms of T riang ular M atr ices O ver Commutativ e R ing sJ.L

15、inear A lg ebr aA ppl,1990,135:181-184.8 謝樂平.形式三角矩陣環(huán)的反自同構J.西南師范大學學報:自然科學版,2005,30(4:612-615.9 魏金和,張躍輝.極小擬遺傳代數的結構J.西南大學學報:自然科學版,2008,30(12:1-3.10趙冠華.李三系廣義導子的直和分解J.西南師范大學學報:自然科學版,2004,29(6:908-910.Generalized Derivations ofFormal Triangular Matrix RingsXIE LepingDepartme nt o f Ma th e ma tics,H uaihua Colleg e,H ua ihua Huna n418008,ChinaAbstract:Generalized der iv ations o f the form al tr iangular matrix ring Tri(A,M,Bar e obtained by g eneralized derivations of A,B and a g eneralized fittinglinear mapping of M by using alg ebraic m ethod