弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式

1、弧長(zhǎng)與扇形面積、圓錐側(cè)面積【知識(shí)詳解知識(shí)點(diǎn)1、弧長(zhǎng)公式因?yàn)?60。的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就是圓周長(zhǎng)C=2R,所以1的圓心角所對(duì)2jR艮口皿的弧長(zhǎng)是面面，于是可得半徑為R的圓中，n的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l的1mtR1=計(jì)算公式：ISO,說(shuō)明：(1)在弧長(zhǎng)公式中，n表示1。的圓心角的倍數(shù)，n和180都不帶單位“度”，例如，圓的半徑R=10,計(jì)算20。的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l時(shí)，不要錯(cuò)/=x2axl0寫成畫。(2)在弧長(zhǎng)公式中，已知l,n,R中的任意兩個(gè)量，都可以求出第三個(gè)量知識(shí)點(diǎn)2、扇形的面積如圖所示，陰影部分的面積就是半徑為 扇形的面積是它所在圓的面積的一部分，R,圓心角為n的扇形面積，顯然因?yàn)閳A心角是36

2、0的扇形面積等于圓 /的扇形面面積成二所以圓心角為1的扇形面積是先口,由此得圓心角為n能忠=積的計(jì)算公式是一工/=竺之可以馬成1吧.總又因?yàn)樯刃蔚幕￠L(zhǎng)出口,扇形面積完口2ISO,所以又得到扇形面積的另一個(gè)計(jì)算公式:S南博=Xj知識(shí)點(diǎn)3、圓錐的側(cè)面積圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，如圖所示，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l,底面圓的半徑為r,那么這個(gè)扇形的半徑為l,扇形的弧長(zhǎng)為2府，圓錐的側(cè)面積/,圓錐的全面積S*=，+底=獻(xiàn)+卯2=疥。+r)說(shuō)明：(1)圓錐的側(cè)面積與底面積之和稱為圓錐的全面積。(2)研究有關(guān)圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算問(wèn)題，關(guān)鍵是理解圓錐的側(cè)面積公式，并明確圓錐全面積與側(cè)面積之間的關(guān)系。知識(shí)點(diǎn)4

3、、圓柱的側(cè)面積圓柱的側(cè)面積展開圖是矩形，如圖所示，其兩鄰邊分別為圓柱的高和圓柱底面圓的周長(zhǎng)，若圓柱的底面半徑為r,高為h,則圓柱的側(cè)面積3幽一癡，”同士、的人,旬%=$十$囪=2行向+2刑”=2wg+r)圓柱的全面積-的H-圓錐與圓柱的比較名稱圓錐圓柱圖形圖形的形成過(guò)程由一個(gè)直角二角形旋轉(zhuǎn)得到的，如RtzXSO叫直線SO1轉(zhuǎn)一周。由一個(gè)矩形旋轉(zhuǎn)得到的，如矩形ABCDg直線AB旋周。圖形的組成一個(gè)底卸和一個(gè)側(cè)面兩個(gè)底卸和一個(gè)側(cè)面?zhèn)让嬲归_圖的特征扇形矩形面積計(jì)算方法補(bǔ)充：知識(shí)點(diǎn)5、弓形的面積(1)弓形的定義：由弦及其所對(duì)的弧(包括劣弧、優(yōu)弧、半圓)組成的圖形叫做弓形。(2)弓形的周長(zhǎng)=弦長(zhǎng)+弧長(zhǎng)(

4、3)弓形的面積如圖所示，每個(gè)圓中的陰影部分的面積都是一個(gè)弓形的面積，從圖中可以看出，只要把扇形OAmB勺面積和AOB的面積計(jì)算出來(lái)，就可以得到弓形AmB勺面積。當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時(shí)，如圖當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時(shí)，如圖當(dāng)弓形所含的弧是半圓時(shí)，如圖1所示,2所示,3所示,傍=$周鷹迎m3 +必1。月s弓曲=；半囪例：如圖所示，O。的半徑為2,/ABO45,則圖中陰影部分的面積是()(結(jié)果用燈表小)分析：由圖可知上庫(kù)影=施感出。一底o(hù)ac，由圓周角定理可知/ABO/AOC所以/AOC=2/ABG=90,所以O(shè)A久直角三角形，所以x2k2=Z嫉pi二萬(wàn)x2*=廳2向鷹如c充口所以飛E注意：(1)圓周長(zhǎng)

5、、弧長(zhǎng)、圓面積、扇形面積的計(jì)算公式圓周長(zhǎng)弧長(zhǎng)圓面積扇形面積公式（2）扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別圖示面積【典型例題】例1.如圖所示，在同心圓中，兩圓的半徑分別為2,1,/AO由120,則陰影部分的面積是（）A.加B.如C.4JID.J分析：陰影部分所在的兩個(gè)扇形的圓心角為究口2AC出=3亂T-121r=241,無(wú)口g3i5O2 ji例2.如圖所示，點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓上，連接AGBGAB=10厘米,3tan/BAC=,求陰影部分的面積。分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)有：（1）直徑所對(duì)圓周角為90,（2）解直角三角形的知識(shí)（3）組合圖形面積的計(jì)算。解：因?yàn)锳B為直徑，所以/AC氏90,3在 RtzXABC

6、, AB= 10, tan /BAG=1,EC而 tan / BAG=設(shè) BC= 3k , AC=91 + 161 =1加,所以1： = 24k ,( k不為0且為正數(shù)）由勾股定理得所以 BC= 6, AC= 8, I AB.a 25,而&廣六T)二 丁例3.如圖所示，已知扇形AOB的圓心角為直角，正方形OCDEJ接于扇形AOB點(diǎn)C,E,D分別在OAOB及AB弧上，過(guò)點(diǎn)A作AF，ED交ED的延長(zhǎng)線于F,垂足為F,如果正方形的邊長(zhǎng)為1,那么陰影部分的面積為（）分析：連接OD由正方形Tt質(zhì)可知/EO年/DO自45,在RtzXOED,ODJCDE*,因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)為1,所以。巳D已1,所以口口二虛

7、,設(shè)兩部分陰影的面積中的一部分為M,另一部分為N,貝（J財(cái)S卻som一為0加，加%愚如即廊照wm,陰影部分面積可求，但這種方法較麻煩，用割補(bǔ)法解此題較為簡(jiǎn)單，設(shè)一部分空白面積為P,因?yàn)?BOD=/DOC碇0D=0曲曲DOA，所以M+=P+所以血EE?=所以MhP,所以例4.如圖所示，直角梯形ABCDK/B=90,AD/BGAB=2,BO7,AD=3,以BC為軸把直角梯形ABCt轉(zhuǎn)一周，求所得幾何體的表面積。分析：將直角梯形ABCDSBC旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是由相同底面的圓柱和圓錐組成的，所得幾何體的表面積是圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積和底面積三者之和。解：作DHLBC于H,所以D+AB=2C+B

8、CBkBCAD=73=4在CDhfrJ二.一二二二所以二一飛舊二收回，一1.一,:-例5.已知扇形的圓心角為120,面積為300燈平方厘米（1）求扇形的弧長(zhǎng)。（2）若把此扇形卷成一個(gè)圓錐，則這個(gè)圓錐的軸截面面積是多少分析：（1）由扇形面積公式，庸感而”艮，可得扇形半徑R,扇形的弧長(zhǎng)5=口可由弧長(zhǎng)公式金口求得。（2）由此扇形卷成的圓錐如圖所示，這個(gè)圓錐的軸截面為等腰三角形ABC（1）問(wèn)中求得的弧長(zhǎng)是這個(gè)圓錐的底面圓周長(zhǎng)，而圓周長(zhǎng)公式為C=24r,底面圓半徑r即CD的長(zhǎng)可求，圓錐的高AD可在RtAADCS4WC=-ADbBC中求得，所以上可求。S=2出*3。0邪=史出解：（1）設(shè)扇形的半徑為R,由

9、於3的,得交口,解得R=30.1=旦兀艮=125x3。=2口兀所以扇形的弧長(zhǎng)畫（厘米）。（2）如圖所示，在等腰三角形ABC中，AB=AOR=30,BO2r,底面圓周BC,若以AC為底面圓半徑，BC為高的圓錐的側(cè)面積為S,以BC為底面圓半徑，AC為高的圓錐的側(cè)面積為S,則()A.Si=&B.SiS2C.SiS2D.Si、4的大小關(guān)系不確定二、填空題1 .扇形的弧長(zhǎng)是12jicm,其圓心角是900,則扇形的半徑是cm,扇形的面積是cm2.2 .扇形的半徑是一個(gè)圓的半徑的3倍，且扇形面積等于圓面積，則扇形的圓心角是.3 .已知扇形面積是12cm2,半彳全為8cm,則扇形周長(zhǎng)為4在4ABC中，AB=3

10、,AO4,/A=90,把RtAB微直線AC旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐，具全面積為Si；把RtAABCAB旋轉(zhuǎn)一周得到另一個(gè)圓錐，其全面積為S2,貝USi:S2;o5 .一個(gè)圓柱形容器的底面直徑為2cm,要用一塊圓心角為240的扇形鐵板做一個(gè)圓錐形的蓋子，做成的蓋子要能蓋住圓柱形容器，這個(gè)扇形的半徑至少要有cm。6 .如圖，扇形AOB的圓心角為60,半徑為6cm,C,D分別是b的三等分點(diǎn)，則陰影部分的面積是。7 .如圖正方形的邊長(zhǎng)為2,分別以正方形的兩個(gè)對(duì)角頂點(diǎn)為圓心，以2為半徑畫弧，則陰影部分面積為。三、計(jì)算題1 .如圖，在RtABC中，AOBC,以A為圓心畫弧日，交AB于點(diǎn)D,交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,

11、交BC于點(diǎn)E,若圖中兩個(gè)陰影部分的面積相等，求AC與AF的長(zhǎng)度之比(刀取3)。2 .一個(gè)等邊圓柱（軸截面是正方形的圓柱）的側(cè)面積是Si,另一個(gè)圓錐的側(cè)旦面積是S,如果圓錐和圓柱等底等高，求事.3 .圓錐的底面半徑是R,母線長(zhǎng)是3R,M是底面圓周上一點(diǎn)，從點(diǎn)M拉一根繩子繞圓錐一圈，再回到M點(diǎn)，求這根繩子的最短長(zhǎng)度.【試題答案】一、選擇題1.A2.B3.C4.D5.B6.B7.B8.C9.B二、填空題1、24144朽2、4003、19cm4、3:45、36、2k7、2附一4三、計(jì)算題1、連接AE,則$由-$廊3二治用一乂而，所以MC小gT況一42、&一飛3、連接展開圖的兩個(gè)端點(diǎn)MM；即是最短長(zhǎng)度。

12、-R利用等量關(guān)系得出/MAM=120,/AM及30,AD=2,僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.Nurfurdenpers?nlichenfurStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerden.Pourletudeetlarechercheuniquementddesfinspersonnelles;pasddesfinscommerciales.toJibkodiioae說(shuō)，KOTOpbiewcnojibsyroTcao6yqeH0a,HccjieAOBaHHHnHeaojijkhbiHcnojibsoBaTbcabKOMMepnecKHxuejiax.僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.Nurfurdenpers?nlichenfurStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwe