北京--正弦函數(shù)圖象的對稱性（檀晉軒）CASIO

1、課題：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)（五）正弦函數(shù)圖象的對稱性教材：人教版全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)教科書（必修）第一冊（下）授課教師： 北京市第十九中學(xué) 檀晉軒【教學(xué)目標(biāo)】1使學(xué)生掌握正弦函數(shù)圖象的對稱性及其代數(shù)表示形式，理解誘導(dǎo)公式（R）與（R）的幾何意義，體會正弦函數(shù)的對稱性.2在探究過程中滲透由具體到抽象，由特殊到一般以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，提高學(xué)生觀察、分析、抽象概括的能力.3通過具體的探究活動，培養(yǎng)學(xué)生主動利用信息技術(shù)研究并解決數(shù)學(xué)問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生之間合作與交流的意識.【教學(xué)重點】正弦函數(shù)圖象的對稱性及其代數(shù)表示形式.【教學(xué)難點】用等式表示正弦函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱和關(guān)于點對稱.【教

2、學(xué)方法】教師啟發(fā)引導(dǎo)與學(xué)生自主探究相結(jié)合.【教學(xué)手段】計算機(jī)、圖形計算器（學(xué)生人手一臺）.【教學(xué)過程】一、復(fù)習(xí)引入 1.展示生活實例對稱在自然界中有著豐富多彩的顯現(xiàn)，各種對稱圖案、對稱符號也都十分普遍（見下圖）. 2復(fù)習(xí)對稱概念初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過軸對稱圖形和中心對稱圖形的有關(guān)概念：軸對稱圖形將圖形沿一條直線折疊，直線兩側(cè)的部分能夠互相重合；中心對稱圖形將圖形繞一個點旋轉(zhuǎn)180，所得圖形與原圖形重合.3作圖觀察請同學(xué)們用圖形計算器畫出正弦函數(shù)的圖象（見右圖），仔細(xì)觀察正弦曲線是否是對稱圖形？是軸對稱圖形還是中心對稱圖形？ 4猜想圖形性質(zhì)經(jīng)過簡單交流后，能夠發(fā)現(xiàn)正弦曲線既是軸對稱圖形也是中心對稱圖

3、形，并能夠猜想出一部分對稱軸和對稱中心.（教師點評并板書）如何檢驗猜想是否正確？我們知道， 誘導(dǎo)公式（R），刻畫了正弦曲線關(guān)于原點對稱，而（R），刻畫了余弦曲線關(guān)于軸對稱. 從這兩個特殊的例子中我們得到一些啟發(fā)，如果我們能夠用代數(shù)式表示所發(fā)現(xiàn)的對稱性，就可以從代數(shù)上進(jìn)行嚴(yán)格證明.今天我們利用圖形計算器來研究正弦函數(shù)圖象的對稱性.（板書課題） 二、探究新知分為兩個階段，第一階段師生共同探討正弦曲線的軸對稱性質(zhì)，第二階段學(xué)生自主探索正弦曲線的中心對稱性質(zhì).（一）對于正弦曲線軸對稱性的研究第一階段，實例分析對正弦曲線關(guān)于直線對稱的研究.1直觀探索利用圖形計算器的繪圖功能進(jìn)行探索請同學(xué)們在同一坐標(biāo)系中

4、畫出正弦曲線和直線的圖象，選擇恰當(dāng)窗口并充分利用畫圖功能對問題進(jìn)行探索研究（見右圖），在直線兩側(cè)正弦函數(shù)值有什么變化規(guī)律？給學(xué)生一定的時間操作、觀察、歸納、交流，最后得出猜想：當(dāng)自變量在左右對稱取值時，正弦函數(shù)值相等.從直觀上得到的猜想，需要從數(shù)值上進(jìn)一步精確檢驗.2數(shù)值檢驗利用圖形計算器的計算功能進(jìn)行探索請同學(xué)們思考，對于上述猜想如何取值進(jìn)行檢驗?zāi)?教師組織學(xué)生通過合作的方式，對稱地在左右自主選取適當(dāng)?shù)淖宰兞?，并計算函?shù)值,對結(jié)果進(jìn)行列表比較歸納.同時為沒有思路的學(xué)生準(zhǔn)備參考表格如下：給學(xué)生一定的時間進(jìn)行思考、操作，根據(jù)情況進(jìn)行指導(dǎo)并組織學(xué)生進(jìn)行交流，然后請一組學(xué)生說明他們的研究過程.學(xué)生可

5、以采用不同的數(shù)據(jù)采集方法，得到的結(jié)果如下列圖表（表格中函數(shù)值精確到0.001）： -0.4160.0710.5400.87810.8780.5400.071-0.416上述計算結(jié)果，初步檢驗了猜想，并可以把猜想用等式（R）表示.請同學(xué)們利用前面得到的數(shù)據(jù)，用圖形計算器描點畫圖（見下圖），然后進(jìn)行觀察比較，思考點P和P在平面直角坐標(biāo)系中有怎樣的位置關(guān)系？ 根據(jù)畫圖結(jié)果，可以看出，點P和P關(guān)于直線對稱.這樣，正弦曲線關(guān)于直線對稱，可以用等式（R）表示.這樣的計算是有限的，并受到精確度的影響，還需要對等式進(jìn)行嚴(yán)格證明.3嚴(yán)格證明證明等式對任意R恒成立請同學(xué)們思考，證明等式的基本方法有哪些？所要證的等

6、式左右兩端有何特征？有可能選用什么樣的公式？預(yù)案一：根據(jù)誘導(dǎo)公式，有 .預(yù)案二：根據(jù)公式和，有.預(yù)案三：根據(jù)正弦函數(shù)的定義，在平面直角坐標(biāo)系中， 無論取任何實數(shù)，角和的終邊總是關(guān)于軸對稱（見右圖），他們的正弦值恒相等. 這樣我們就證明了等式對任意R恒成立，也就證明了正弦曲線關(guān)于直線對稱.事實上，誘導(dǎo)公式也可以由等式推出，即這兩個等式是等價的.因此，正弦曲線關(guān)于直線對稱，是誘導(dǎo)公式（R）的幾何意義.階段小結(jié)：我們從幾何直觀獲得啟發(fā)，又通過數(shù)據(jù)計算進(jìn)一步檢驗，得出正弦曲線關(guān)于直線對稱可以用等式（R）表示，通過對這一等式的嚴(yán)格證明，證實了我們猜想的正確性.上述等式與誘導(dǎo)公式（R）的等價性，使我們對這

7、一誘導(dǎo)公式有了新的理解.第二階段，抽象概括探索正弦曲線的其他對稱軸.師生、生生交流，步步深入.問題一：正弦曲線還有其他對稱軸嗎？有多少條對稱軸？對稱軸方程形式有什么特點？可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過圖象最大值點和最小值點且垂直于軸的直線都是正弦曲線的對稱軸（教師利用課件演示），則對稱軸方程的一般形式為：（Z）.問題二：能用等式表示“正弦曲線關(guān)于直線（Z）對稱”嗎？根據(jù)前面的研究，上述對稱可以用等式（Z，R）表示. 請學(xué)生證明上述等式，然后組織學(xué)生交流證明思路.證明預(yù)案： .（二）對于正弦曲線中心對稱性的研究我們已經(jīng)知道正弦函數(shù)（R）是奇函數(shù)，即（R），反映在圖象上，正弦曲線關(guān)于原點對稱. 那么，正弦曲線還有

8、其他對稱中心嗎？請同學(xué)們參照軸對稱的研究方法，小組合作進(jìn)行研究.第一階段，對正弦曲線關(guān)于點對稱的研究.1直觀探索從圖象上探索在點兩側(cè)的函數(shù)值的變化規(guī)律.2數(shù)值檢驗在左右對稱地選取一組自變量，計算函數(shù)值并列表整理.3嚴(yán)格證明證明等式對任意R恒成立.預(yù)案一：根據(jù)誘導(dǎo)公式，有.預(yù)案二：根據(jù)誘導(dǎo)公式和，有.預(yù)案三：根據(jù)正弦函數(shù)的定義，在平面直角坐標(biāo)系中， 無論取任何實數(shù)，角和的終邊總是關(guān)于軸對稱（見右圖），他們的正弦值互為相反數(shù). 事實上，等式與誘導(dǎo)公式是等價的. 這樣，正弦曲線關(guān)于點對稱，是誘導(dǎo)公式（R）的幾何意義.第二階段，探索正弦曲線的其它對稱中心.請同學(xué)嘗試解決下列三個問題：1歸納正弦函數(shù)圖象

9、對稱中心坐標(biāo)的一般形式.正弦函數(shù)圖象對稱中心坐標(biāo)的一般形式為：（Z）（教師利用課件演示）. 2用等式表示“正弦曲線關(guān)于點（Z）對稱”.上述對稱可以用等式（Z，R）表示.3證明歸納出的等式. （根據(jù)課堂情況可以由學(xué)生課后完成證明）三、課堂小結(jié)1課堂小結(jié)（1）知識上：得出了正弦函數(shù)圖象對稱軸方程和對稱中心坐標(biāo)的一般形式，研究了對稱性的代數(shù)表示形式，并利用誘導(dǎo)公式完成了嚴(yán)格的理論證明. 在研究的過程中，對誘導(dǎo)公式與（R）有了新的理解，感受了正弦函數(shù)的對稱性以及數(shù)和形的辨證統(tǒng)一.（2）方法上：直觀抽象，特殊一般，體驗了觀察歸納猜想嚴(yán)格證明的研究方法. 2作業(yè)（1）總結(jié)課上的研究過程和方法，嘗試研究余弦

10、函數(shù)圖象的對稱性，并結(jié)合自己的研究過程和結(jié)論寫出研究報告，與其他同學(xué)交流收獲.（2）找一個一般函數(shù)，如，R，研究它的圖象及對稱性；并與正弦函數(shù)的圖象及對稱性進(jìn)行比較.（3）思考：如何用等式表示函數(shù)關(guān)于直線對稱，以及關(guān)于點對稱？（4）嘗試證明函數(shù)的圖象分別關(guān)于直線和直線對稱.【教學(xué)設(shè)計說明】1關(guān)于教學(xué)內(nèi)容正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的大部分性質(zhì)是借助函數(shù)圖象進(jìn)行研究的但是，在本章第五節(jié)中，借助單位圓中的三角函數(shù)線已經(jīng)研究了它們的四個重要性質(zhì)，并歸納為四組誘導(dǎo)公式，其中公式三、四、五分別刻畫了兩個函數(shù)圖象的一部分對稱性，奇偶性只是特殊的對稱性.因此，本課時以正弦函數(shù)為例補(bǔ)充研究圖象的對稱性，從函數(shù)圖象的特征出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生利用計算器自主探索，并最終發(fā)現(xiàn)與誘導(dǎo)公式的聯(lián)系. 通過本課時的教學(xué)，可以使學(xué)生在進(jìn)一步掌握圖象特征的同時，加深對正弦函數(shù)及其誘導(dǎo)公式的理解，既是對以前所學(xué)知識的梳理，也為后面進(jìn)一步學(xué)習(xí)和理解“由已知三角函數(shù)值求角”奠定基礎(chǔ). 2關(guān)于教學(xué)設(shè)計本課時我采用啟發(fā)引導(dǎo)與學(xué)生自主探索相結(jié)合的教學(xué)方法. 在回顧舊知識的基礎(chǔ)上提出新的研究問題， 引導(dǎo)學(xué)生從形象思維逐步過度到抽象思維，突破教學(xué)難點. 教學(xué)設(shè)計流程圖如下：中心對稱的研究軸對稱的研究實例分析抽象概括實例分析抽象概括幾何探索數(shù)值檢驗理論證明幾何探索數(shù)值檢驗理論證明正弦曲線的對稱性通過引導(dǎo)學(xué)生帶