初中數(shù)學(xué)行程問題專題

1、初中列方程解應(yīng)用題（行程問題）專題行程問題是指與路程、速度、時(shí)間這三個(gè)量有關(guān)的問題。我們常用的基本公式是：路程=速度X時(shí)間；速度=路程+時(shí)間；時(shí)間=路程+速度行程問題是個(gè)非常龐大的類型，多年來(lái)在考試中屢用不爽，所占比例居高不下。原因就是 行程問題可以融入多種練習(xí)，熟悉了行程問題的學(xué)生，在多種類型的習(xí)題面前都會(huì)顯得得心應(yīng) 手。下面我們將行程問題歸歸類，由易到難，逐步剖析。1.單人單程：例1:甲，乙兩城市間的鐵路經(jīng)過技術(shù)改造后，列車在兩城市間的運(yùn)行速度從80km/h提高到100km/h,運(yùn)行時(shí)間縮短了 3h。甲，乙兩城市間的路程是多少？【分析】如果設(shè)甲，乙兩城市間的路程為x km,那么列車在兩城市

2、間提速前的運(yùn)行時(shí)間為 二h,提速后的運(yùn)行時(shí)間為h.80100【等量關(guān)系式】提速前的運(yùn)行時(shí)間一提速后的運(yùn)行時(shí)間二縮短的時(shí)間.【列出方程】-=3.80 100例2:某鐵路橋長(zhǎng)1000 m,現(xiàn)有一列火車從橋上通過，測(cè)得該火車從開始上橋到完全 過橋共用了 1min,整列火車完全在橋上的時(shí)間共 40s。求火車的速度和長(zhǎng)度。【分析】如果設(shè)火車的速度為xm/s,火車的長(zhǎng)度為ym,用線段表示大橋和火車的長(zhǎng)度，根據(jù)題意可畫出如下示意圖:100060x1000y 40x 【等量關(guān)系式】 火車1 min行駛的路程二橋長(zhǎng)+火車長(zhǎng);.火車40s行駛的路程=橋長(zhǎng)-火車長(zhǎng)【列出方程組】60x=1000 + y40x = 1

3、 0 00y2.單人雙程（等量關(guān)系式：來(lái)時(shí)的路程 =回時(shí)的路程）：例1:某校組織學(xué)生乘汽車去自然保護(hù)區(qū)野營(yíng)，先以 60km/h的速度走平路，后又以 30km/h的速度爬坡，共用了 6.5h;返回時(shí)7車以40km/h的速度下坡，又以50km/h的速度 走平路，共用了 6h.學(xué)校距自然保護(hù)區(qū)有多遠(yuǎn)?！痉治觥咳绻O(shè)學(xué)校距自然保護(hù)區(qū)為xkm,由題目條件：去時(shí)用了 6.5h,則有些同學(xué)會(huì)認(rèn)為總的速度為 km/h,然后用去時(shí)走平路的速度+去時(shí)爬坡的速度=總的速度，得出方 6.5x程60 +30 =2，這種解法是錯(cuò)誤的，因?yàn)樗俣仁遣荒芟嗉拥?。不妨設(shè)平路的長(zhǎng)度為6.5xkm,坡路的長(zhǎng)度為y km,則去時(shí)走平路

4、用了 h,去時(shí)爬坡用了 2h,而去時(shí)總共用6030了 6.5h,這時(shí)，時(shí)間是可以相加的；回來(lái)時(shí)汽車下坡用了上h,回來(lái)時(shí)走平路用了 ,而4050回來(lái)時(shí)總共用了 6h.則學(xué)校到自然保護(hù)區(qū)的距離為（x + y）km。【等量關(guān)系式】去時(shí)走平路用的時(shí)間+去時(shí)爬坡用的時(shí)間=去時(shí)用的總時(shí)間 回來(lái)時(shí)走平路用的時(shí)間+回來(lái)時(shí)爬坡用的時(shí)間二回來(lái)時(shí)用的總時(shí)間3八6.5【列出方程組】60 30x y 八=650 403.雙人行程：（I）單塊應(yīng)用：只單個(gè)應(yīng)用同向而行或背向而行或相向而行或追擊問題。1）同時(shí)同地同向而行：A,B兩事物同時(shí)同地沿同一個(gè)方向行駛例：甲車的速度為60km/h ,乙車的速度為80km/h ,兩車同時(shí)

5、同地出發(fā)，同向而行。經(jīng)過多少時(shí)間兩車相距280km?！痉治觥咳绻O(shè)經(jīng)過x h后兩車相距280km ,則甲走的路程為60xkm,乙走的路程為80xkm,根據(jù)題意可畫出如下示意圖：80x km甲.60x km T 280km【等量關(guān)系式】甲車行駛的距離+280=乙車行駛的距離【列出方程】60x 280 =280x2）同時(shí)同地背向而行：A, B兩事物同時(shí)同地沿相反方向行駛例：甲車的速度為60km/h ,乙車的速度為80km/h ,兩車同時(shí)同地出發(fā)，背向而行。經(jīng)過多少時(shí)間兩車相距280km 0【分析】如果設(shè)經(jīng)過x h后兩車相距280km ,則甲走的路程為60xkm,乙走的路程為80xkm,根據(jù)題意可畫

6、出如下示意圖：甲 乙-60x km 餐產(chǎn)80x kmJ280 km【等量關(guān)系式】甲車行駛的距離+乙車行駛的距離=280【歹1出方程】60x 80x =2803）同時(shí)相向而行（相遇問題）：例:甲，乙兩人在相距10km的A,B兩地相向而行，乙的速度是甲的速度的 2倍，兩人同 時(shí)處發(fā)1.5h后相遇，求甲，乙兩人的速度?！痉治觥咳绻O(shè)甲的速度為xkm/h,則乙的速度為2xkm/h ,甲走過的路程為1.5xkm, 乙走過的路程為1.5父2乂 km,根據(jù)題意可畫出如下示意圖：甲1.5x km1.5 X2x km - 乙A B10 km280 km【等量關(guān)系式】甲車行駛的距離+乙車行駛的距離=10【列出方程

7、】1.5x 1.5 2x=104）追及問題：例：一對(duì)學(xué)生從學(xué)校步行去博物館，他們以 5km/h的速度行進(jìn)24min后，一名教師騎自行車以15km/h的速度按原路追趕學(xué)生隊(duì)伍。這名教師從出發(fā)到途中與學(xué)生隊(duì)伍會(huì)合共用 了多少時(shí)間？【分析】如果設(shè)這名教師從出發(fā)到途中與學(xué)生隊(duì)伍會(huì)合共用了xh,則教師走過的路程為15xkm,學(xué)生走過的路程為教師出發(fā)前走過的路程加上教師出發(fā)后走過的路程，而學(xué)生24在教師出發(fā)前走過的路程為5x24km,學(xué)生在教師出發(fā)后走過的路程為 5x km,又由于教 60師走過的路程等于學(xué)生走過的路程。根據(jù)題意可畫出如下示意圖：學(xué)生5衛(wèi)km605x-km教師15x km【等量關(guān)系式】教師

8、走過的路程=學(xué)生在教師出發(fā)前走過的路程+學(xué)生在教師出發(fā)后走過的路程24【列出方程】15x=5 5x605）不同時(shí)同地同向而行（與追擊問題相似）：例:甲，乙兩人都從A地出發(fā)到B地，甲出發(fā)1h后乙才從A地出發(fā)，乙出發(fā)3h后甲， 乙兩人同時(shí)到達(dá)B地，已知乙的速度為50km/h ,問，甲的速度為多少？【分析】如果設(shè)甲的速度為xkm/h,則乙出發(fā)前甲走過的路程為x km,乙出發(fā)后甲走 過的路程為3xkm,甲走過的路程等于乙出發(fā)前甲走過的路程加上乙出發(fā)后甲走過的路 程，而乙走過的路程為50 3km,甲走過的路程等于乙走過的路程。根據(jù)題意可畫出如下 示意圖：x km3x km50 x 3 km【等量關(guān)系式】

9、 乙走過的路程=乙出發(fā)前甲走過的路程加上乙出發(fā)后甲走過的路程【列出方程】50 3-x 3x6）不同時(shí)相向而行例：甲，乙兩站相距448km, 一列慢車從甲站出發(fā)，速度為 60km/h ; 一列快車從乙 站出發(fā)，速度為100km/h 0兩車相向而行，慢車先出發(fā) 32min ,快車開出后多少時(shí)間兩車 相遇？【分析】如果設(shè)快車開出后xh兩車相遇，則慢車走過的路程為 60x + 60M或km,快60車走過的路程為100 x km。根據(jù)題意可畫出如下示意圖:慢車448km【等量關(guān)系式】總路程=快車出發(fā)前慢車走過的路程+快車出發(fā)后慢車走過的路程+快車 走過的路程【列出方程】448 =60 60x 100x6

10、0注：涉及此類問題的還有同時(shí)不同地同向而行、不同時(shí)不同地背向而行、不同時(shí)不同 地同向而行、不同時(shí)不同地背向而行，與上面解法類似，只要畫出示意圖問題就會(huì)迎刃而 解，就不再一一給出解答了，此類問題會(huì)在后面練習(xí)中給出習(xí)題。（n）結(jié)合應(yīng)用：把同向而行、背向而行、相向而行、追擊問題兩兩結(jié)合起來(lái)應(yīng)用1）相向而行+背向而行例：A, B兩地相距36km,小明從A地騎自行車到B地，小麗從B地騎自行車到A 地，兩人同時(shí)出發(fā)相向而行，經(jīng)過 1h后兩人相遇；再過0.5h，小明余下的路程是小麗余下 的路程的2倍。小明和小麗騎車的速度各是多少？【分析】如果設(shè)小明騎車的速度為x，小麗騎車的速度為y ,相遇前小明走過的路程為

11、x，小麗走過的路程為y ;相遇后兩人背向而行，小明走過的路程為0.5x，小麗走過的路程為0.5y 0根據(jù)題意可畫出如下示意圖:小明相遇前1 x Z二x-0.5y *-0.5y小麗 36km,0.5xy-0.5x小明小麗重新回合的時(shí)間為x h。 所有隊(duì)員45根據(jù)題意可畫出如下示意圖:1號(hào)隊(duì)員1035 父一*35x 45x即【等量關(guān)系式】相遇前小明走過的路程+相遇前小麗走過的路程=總路程相遇后小明余下的路程=2 X相遇后小麗余下的路程【列出方程組】x + y = 36y -0.5x = 2M(x 0.5y)2）同向而行+相向而行例：一個(gè)自行車隊(duì)進(jìn)行訓(xùn)練，訓(xùn)練時(shí)所有隊(duì)員都以35千米/時(shí)的速度前進(jìn)，突

12、然，1號(hào)隊(duì)員以45千米/時(shí)的速度獨(dú)自行進(jìn)，行進(jìn)10千米后掉轉(zhuǎn)車頭，仍以45千米/時(shí)的速度往回 騎，直到與其他隊(duì)員會(huì)合。1號(hào)隊(duì)員從離隊(duì)開始到與其他隊(duì)員重新會(huì)合，經(jīng)過了多長(zhǎng)時(shí)間？【分析】由題意“1號(hào)隊(duì)員以45千米/時(shí)的速度獨(dú)自行進(jìn)，行進(jìn)10千米后掉轉(zhuǎn)車頭” 可知1號(hào)隊(duì)員從離隊(duì)到調(diào)轉(zhuǎn)車頭前的時(shí)間為 10h ,不妨設(shè)1號(hào)隊(duì)員從調(diào)轉(zhuǎn)車頭到與其他隊(duì)員10km【等量關(guān)系式】1號(hào)隊(duì)員從離隊(duì)到調(diào)轉(zhuǎn)車頭這段時(shí)間所有隊(duì)員走的路程 +1號(hào)隊(duì)員從調(diào)轉(zhuǎn) 車頭到與其他隊(duì)員重新回合這段時(shí)間內(nèi)所有隊(duì)員走的路程 +1號(hào)隊(duì)員從調(diào)轉(zhuǎn)車頭到與其他隊(duì) 員重新回合這段時(shí)間內(nèi)1號(hào)隊(duì)員走的路程=10。10【列出萬(wàn)程】35 35x 45x =1

13、0 454.行程問題中的工程問題:乍一看，題目中就時(shí)間已知，速度、路程都未知，此類問題同學(xué)們做起來(lái)覺得無(wú)從下手。其實(shí)只要把路程看做單位“ 1” （至于為什么，結(jié)合以下例題講解），這就相當(dāng)于把行 程問題轉(zhuǎn)化為工程問題。例：甲開汽車從A地到B地需要6h ,乙開汽車從A地到B地需要4h ,如果甲，乙兩 人分別從A, B兩地出發(fā)，相向而行，經(jīng)過多少小時(shí)后兩車相遇?！痉治觥款}目中就時(shí)間已知，速度、路程都未知，有些同學(xué)想如果知道A與B的距離，就可以得出A與B的速度，那么問題就迎刃而解了，可是路程未知呀！是不是路程無(wú)論取 什么值，都經(jīng)過相同的時(shí)間兩車相遇呢？為此，我們不妨設(shè)A與B的距離為a，經(jīng)過xh后兩車相

14、遇。我們可以立馬得出關(guān)系式：aMx + EMX = a ,可以把兩邊的a消去，得到方程64X+X=1,立馬得出x=12。說(shuō)明路程無(wú)論取什么值，都經(jīng)過相同的時(shí)間兩車相遇。遇到645類似問題，我們往往把路程看做單位“ 1”。5 .環(huán)形跑道問題：環(huán)形跑道問題也是形成問題的一種，環(huán)形跑道問題就是閉路線上的追擊問題。在環(huán)形 問題中，若兩人所走同時(shí)同地出發(fā)，同向而行，當(dāng)?shù)谝淮蜗嘤鰰r(shí)，兩人所走路程差為一周 長(zhǎng)；相向而行，第一次相遇時(shí)，兩人所走路程和為一周長(zhǎng)。例1:運(yùn)動(dòng)場(chǎng)跑道周長(zhǎng)400m ,小紅跑步的速度是爺爺?shù)?倍，他們從同一地點(diǎn)沿跑道 3的同一方向同時(shí)出發(fā)，5min后小紅第一次追上了爺爺。你知道他們的跑步

15、速度嗎？那是不 是再過5min兩人第二次相遇呢？如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果是，用方程式表示。【分析】不妨設(shè)爺爺?shù)呐懿剿俣葹閤m/min,則小紅的跑步速度為5x m/min3【等量關(guān)系式】小紅跑的路程一爺爺跑的路程=400m5【列出萬(wàn)程】5 5x-5x=400 3注：再過5min兩人第二次相遇，用上面那個(gè)方程式就可以表示出來(lái)。例2:甲，乙兩車分別以均勻的速度在周長(zhǎng)為 600m的圓形軌道上運(yùn)動(dòng)。甲車的速度較 快，當(dāng)兩車反向運(yùn)動(dòng)時(shí)，每15s相遇一次；當(dāng)兩車同向運(yùn)動(dòng)時(shí)，每1min相遇一次，求兩車的 速度。【分析】設(shè)甲，乙兩車的速度分別為xm/s和ym/s?！镜攘筷P(guān)系式】 同向而行甲所走的路程-同向而行

16、乙所走的路程=一周長(zhǎng) 反向而行甲所走的路程+同向而行乙所走的路程=一周長(zhǎng)【列出方程組315xT5y =6 60x + 60y = 6006 .水流問題一般是研究船在 流水”中航行的問題。它是行程問題中比較特殊的一種類型，它的特點(diǎn)主 要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用?；靖拍詈凸接校捍伲捍陟o水中航行的速度水速：水流動(dòng)的速度順?biāo)俣龋捍樍骱叫械乃俣饶嫠俣龋捍媪骱叫械乃俣软標(biāo)?船速+水速逆速=船速-水速船行速度=（順?biāo)俣?逆流速度）攵流水速度=（順流速度一逆流速度）登路程=順流速度X順流航行所需時(shí)間路程=逆流速度Xa流航行所需時(shí)間例1:某船在80km的航道上航行，順流航行需1.6h,逆流航行需2h。求船在靜水中航 行的速度和水流的速度。【分析】設(shè)船在靜水中航行的速度和水流的速度分別為x和y ,順流的速度為80km/h ,逆流的速度為80km/h ,再利用上面的公式。1.62【等量關(guān)系式】順?biāo)?船速+水速逆速=船速水速80二x y【列出方程】1.680一 =x _ y 2例2:甲，乙兩艘貨船