中考必會(huì)幾何模型：三垂直全等模型

1、WANG7三垂直全等模型模型三垂直全等模型如圖：/ D=Z BCA=Z E=90° , BC= AC.結(jié)論：Rt BCD且 Rt CAE.模型分析說到三垂直模型，不得不說一下弦圖，弦圖的運(yùn)用在初中直角三角形中占有舉足輕重的地位, 很多利用垂直求角，勾股定理求邊長(zhǎng)，相似求邊長(zhǎng)都會(huì)用到從弦圖支離出來的一部分幾何圖 形去求解.圖和圖就是我們經(jīng)常會(huì)見到的兩種弦圖 .三垂直圖形變形如下圖、圖，這也是由弦圖演變而來的BABXBC,DXBCD C圖例1如圖,AEXDEAE= DE求證：AB+CD = BC.ABC圖證明：. AEXDE, ABXBC, DCXBC, ./AED=/ B = Z C=

2、90° . A+/AEB = / AEB+Z CED =9 ./ BAE = Z CED.在 ABE和 ECD中,B CA CEDAE EDABEA ECD.AB = EC, BE = CD. .AB+CD= EC+ BE= BC.例 2 如圖，/ ACB = 90° , AC=BC, BEXCE, AD，CE于D, AD = 2.5cm, BE = 0.8cm, 則DE的長(zhǎng)為多少？解答： BEXCE, AD ±CE, ./ E=Z ADC =90° . ./ EBC+Z BCE = 90 ° . . / BCE+Z ACD= 90°

3、 , ./ EBC=Z DCA.在 CEB和 ADC中，E ADCEBC DCABC AC . CEBA ADC.BE= DC = 0.8cm, CE = AD = 2.5cm.DE=CE CD= 2.50.8= 1.7cm.例3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰RtAABC有兩個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，求第三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).解答：（1）如圖，過點(diǎn) B作BDx軸于點(diǎn)D. ./ BCD + Z DBC = 90° .由等腰 RtABC 可知，BC = AC, /ACB=90° ,BCD + Z ACO = 90 ° DBC = Z ACO.在 BCD和 CAO中，BDC AOCD

4、BC ACOBC AC . BCD，CAO.CD = OA, BD= OC. OA=3, OC = 2.CD = 3, BD = 2.OD = 5.B ( 5, 2).(2)如圖，過點(diǎn) A作ADy軸于點(diǎn)D.在 ACD和 CBO中，ADC COB DAC OCBAC CBACDA CBO.CD = OB, AD= CO.B ( 1, 0), C (0, 3)OB= 1, OC=3.AD=3, OD = 2. OD = 5.A (3, 2).AyB(-1,0) O圖跟蹤練習(xí)1 .如圖，正方形 ABCD, BE=CF.求證：(1) AE=BF; (2) AEXBF.證明：(1)二.四邊形 ABCD是

5、正方形，AB=BD, Z ABC=Z BCD = 90° 在人8£和4 BCF中，AB BCABE BCFBE CFABEA BCF.AE= BF.(2) /A ABEA BCF. ./ BAE=Z CBF. . / ABE=90° , ./ BAE+Z AEB=90° . ./ CBF+Z AEB=90° . ./ BGE=90° , AEXBF.2.直線l上有三個(gè)正方形 a、b、c,若a、c的面積分別是5和11,則b的面積是解答：: a、b、c都是正方形， AC=CD, /ACD = 90° . / ACB+Z DCE

6、= Z ACB + Z BAC= 90 ./ BAC=Z DCE.在 ABC和 CBE中，ABC CEDBAC DCEAC CDACBA CDE.AB=CE, BC=DE.在 RtAABC 中，AC2 = AB2 + BC2= AB2 + DE2即 Sb = Sa + Sc = 5+ 11 = 16.3.已知， ABC 中，/ BAC = 90° , AB=AC,點(diǎn) P 為 BC 上一動(dòng)點(diǎn)(BP<CP),分別過 B、 C 作 BEAP 于 E、CF，AP于F.(1)求證：EF = CFBE;(2)若P為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其它條件不變，則線段 BE、CF、EF是否存在某種確定的

7、數(shù)量關(guān)系？畫圖并直接寫出你的結(jié)論.解答： BEXAP, CF± AP, ./ AEB = / AFC =90 ° . ./ FAC+Z ACF = 90° , . / BAC = 90° , ./ BAE + Z FAC=90° , ./ BAE = Z ACF.在 ABE和 CAF中，AEB AFCBAE ACFAB ACABEA CAF.AE = CF, BE = AF. .EF=AE-AF, .EF=CF BE.(2)如圖，EF = BE + CF.理由：同(1)易證 ABEA CAF. AE=CF, BE= AF. EF = AE+AF

8、, EF= BE + CF.4.如圖，在直角梯形 ABCD 中，AD / BC, ABXBC, AD=2, BC = 3,設(shè)/ BCD = % 以 D 為旋轉(zhuǎn)中心，將 腰DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至DE.(1)當(dāng) 后45°時(shí)，求 EAD的面積；(2)當(dāng)a= 45°時(shí)，求 EAD的面積；EAD的面積(3)當(dāng)0° < “<90° ,猜想 EAD的面積與a大小有無關(guān)系？若有關(guān)，寫出S與a的關(guān)系式；若無關(guān)，請(qǐng)證明結(jié)論.解答：(1) 1； 1；(3)過點(diǎn)D作DG，BC于點(diǎn)G ,過點(diǎn)E作EF XAD交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn) F. AD / BC, DG

9、± BC, ./ GDF = 90° .又. / EDC = 90° , ，1 = / 2.在 CGD和 EFD中，DGE DFE1 2CD DE . DCGA DEF EF=CG,. AD/BC, AB ± BC, AD=2, BC=3, BG= AD = 2, CG=1.Svead= - AD EF = 1.2 . EAD的面積與a大小無關(guān).AH的反向延5.向 ABC的外側(cè)作正方形 ABDE、正方形 ACFG，過A作AHXBC于H, 長(zhǎng)線與EG交于點(diǎn)P. 求證：BC = 2AP.解答：過點(diǎn) G作GM ±AP于點(diǎn)M ,過點(diǎn)E作EN，AP交AP延長(zhǎng)線于點(diǎn) N.四邊形ACFG是正方形，AC=AG, /CAG = 90° .CAH + Z GAM =90° .又 ; AH ± BC, ./ CAH + Z ACH = 90° . ./ ACH = Z GAM.在 ACH和 GAM中，AHC GMAACH GAMAC GAA