復(fù)數(shù)的三角形式及乘除運算

1、一、主要內(nèi)容：復(fù)數(shù)的三角形式，模與輻角的概念及幾何意義，用三角形式進行復(fù)數(shù)乘除運算及幾何意義.二、學(xué)習要求：1 .熟練進行復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化，會求復(fù)數(shù)的模、輻角及輻角主值2 .深刻理解復(fù)數(shù)三角形式的結(jié)構(gòu)特征，熟練運用有關(guān)三角公式化復(fù)數(shù)為三角形式3 .能夠利用復(fù)數(shù)模及輻角主值的幾何意義求它們的范圍(最值)4 .利用復(fù)數(shù)三角形式熟練進行復(fù)數(shù)乘除運算，并能根據(jù)乘除運算的幾何意義解決相關(guān)問題.5 .注意多種解題方法的靈活運用，體會數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法三、重點：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式向三角形式的轉(zhuǎn)換，復(fù)數(shù)模及復(fù)數(shù)乘除運算幾何意義的綜合運用四、學(xué)習建議：1.復(fù)數(shù)的三角形式是徹底解決復(fù)數(shù)乘、

2、除、乘方和開方問題的橋梁，相比之下，代數(shù)形式在這些方面顯得有點力不從心，因此，做好代數(shù)形式向三角形式的轉(zhuǎn)化是非常有必要的前面已經(jīng)學(xué)習過了復(fù)數(shù)的另兩種表示.一是代數(shù)表示，即Z=a+bi(a,b 6 R).二是幾何表示，復(fù)數(shù)Z既可以用復(fù) 0Z 也可以用復(fù)平面上的向量來表示 .現(xiàn)在需要學(xué)習復(fù)數(shù)的三角表示 .既用復(fù)數(shù)平面 上的點Z(a,b)表示，Z的模和輻角來表示，設(shè)其模為 r,輻角為0 ,則 Z=r(cos e +isin 0 )(r>0).既然這三種方式都可以表示同一個復(fù)數(shù)，它們之間一定有內(nèi)在的聯(lián)系并能夠進行互化匚三角形式代數(shù)形式R) Z=r(cos 0 +isin 0 )(r > 0

3、) Z=a+bi(a,b 6復(fù)數(shù)三角形式的結(jié)構(gòu)特征是：模非負，角相同，余弦前，加號連.否則不是三角形式.三角形式中e應(yīng)是復(fù)數(shù)z的一個輻角，不一定是輻角主值.五、基礎(chǔ)知識1)復(fù)數(shù)的三角形式定義：復(fù)數(shù) z=a+bi (a,b6 R)表示成r (cos8 + isin 0)的形式叫復(fù)數(shù)z的三角形式。即 z=r(cos 0 + isin 0)8為復(fù)數(shù)z的輻角。 其中 非零復(fù)數(shù)z輻角。的多值性oz軸正半軸為以ox 0叫復(fù)數(shù)z=a+bi的輻角始邊，向量所在的射線為終邊的角的輻因此復(fù)數(shù)z2k (k 6 z)+角是 0輻角主值的輻角主值。表示復(fù)數(shù)zz表示法；用 arg2argz 0 e 2）的角叫輻角主值，0

4、定義：適合z的輻角主值是確定的，唯一的。唯一性：復(fù)數(shù) r z不等于零的復(fù)數(shù)的模是唯一的。iz=0時，其輻角是任意的。復(fù)數(shù)三角形式中輻角、輻角主值的確定。（求法）這是復(fù)數(shù)計算中必定要解決的問題，物別是復(fù)數(shù)三角形式的乘法、除法、乘方、開方等運算，尤其是逮美佛定理定理只有對復(fù)數(shù)三角形式時才能使用。因此復(fù)數(shù)化三角式是復(fù)數(shù)運算中極為重要的內(nèi)容（也是解題術(shù)）復(fù)數(shù)在化三角式的過程中其模的求法是比較容易的。輻角的求法，輻角主值的確定是難點，也是關(guān)鍵存在，這個專題只簡單歸納復(fù)數(shù)輻角及輻角主值的求法。2）復(fù)數(shù)的向量表示在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù) z、z對應(yīng)的點分別為 z、z （如圖）2121y小z 對應(yīng)于 oz 何量 11

5、zoz對應(yīng)于 何量 22 zz zz對應(yīng)于 z 何量 1212 ozz 對應(yīng)的向量為 與復(fù)數(shù) z12 oz II zz 顯然 21 0 / xoz=貝I argz= 1110 = = /xozargz222一 0 / xoz=z ) =arg z=zarg (z12)復(fù)數(shù)運算的幾何意義3主要是三角式乘法、除法等運算中輻角的變化0) +cos 0 isin z=r ( 0如 z=r (cos8 +isin) 21122112 )+。)+isin(z=r 0 rcos(。+21乘法：z=z 0 2211212 1 ozozoz 如圖：其對應(yīng)的向量分別為e顯然積對應(yīng)的輻角是e+21II I ozoz

6、r的角模變?yōu)閯t由逆時針旋轉(zhuǎn)e 1 若 0 22211 OZ 倍所得向量便是積 z。z=z的向量21 oz，r角模變?yōu)閯t由向量 2 若 0 r順時 針旋轉(zhuǎn)22112 OZ , 。Z=Z的向量Z所得向量便是積210+對應(yīng)的輻角就是a =Z ZZ求的輻角為 為此，若已知復(fù)數(shù) Z a , Z的輻角為Ba + B時便可求出Z .2121這樣便可將求“角”的問題轉(zhuǎn)化為求“復(fù)數(shù)的積”的運算。rZ11) z isin( cos( ) zz ) z*0 除法(其中2_ _221121rz22除法對于輻角主要是“相減”(被除數(shù)的輻角一除數(shù)的輻角)依向量旋轉(zhuǎn)同乘法簡述如下：角OZ順時針旋轉(zhuǎn)0時 1 。122 角OZ

7、0時逆時針旋轉(zhuǎn)2 。12 2 2例1.下列各式是否是三角形式，若不是，化為三角形式 ：=cos 0 -isin 0(3) Z=-sin 0 +icos 0(2) Z (1) Z= -2(cos 0 +isin 0 )312 (4) Z= -sin 0 -icos 0(5)Z=cos600 +isin30054分析：由三角形式的結(jié)構(gòu)特征，確定判斷的依據(jù)和變形的方向.變形時，可按照如下步驟進行：首先確定復(fù)數(shù) Z對應(yīng)點所在象限(此處可假定。為銳角)，其次判斷是否要 變換三角函數(shù)名稱，最后確定輻角.此步驟可簡稱為“定點-定名-定角”.這樣，使變形的方向更具操作性，能有效提高解決此類問題的正確率解：(1

8、)由“模非負”知，不是三角形式，需做變換：Z=Z(-cos 0-isin 0) 1復(fù)平面上Z(-2cos0 ,-2sin 0 )在第三象限(假定。為銳角)，余弦“ -cos?！币言谇?，不需再變換三角函數(shù)名稱，1因此可用誘導(dǎo)公式“n+ 8 ”將8變換到第三象限. Z=Z( -cos 0 -isin 0 )=2cos(n+ 8 )+isin(n+ 0 )1(2)由“加號連”知，不是三角形式(cos e ,-sin e)在第四象限(假定e為銳角)，不需改變?nèi)呛瘮?shù)名稱，可用誘導(dǎo)公式z 復(fù)平面上點2 “2n-8 ”或“ -8 ”將0變換到第四象限.=cos 0 -isin 0 =cos(- 0 )+i

9、sin( - 0 )或 Z=cos 0 -isin 0 =cos(2 n-0 )+isin(2 n-8 ) Z . -22 考慮到復(fù)數(shù)輻角的不唯一性，復(fù)數(shù)的三角形式也不唯一(3)由“余弦前”知，不是三角形式復(fù)平面上點Z(-sin 0 ,cos。)在第二象限(假定。為銳角)，需改變?nèi)呛瘮?shù)名稱，可用誘導(dǎo)公 防式3 2“ + 8 ”將0變換到第二象限.+ 0 )+isin(+ 0) sin 0 ,cos0 )=cos( Z(- 33三2 2 9 )+isin(7t-0 ) os 0 =cos( Tt -4 同理 ZZ Z=-sin0 -ic 4 -二 +isin) )=(cos=cos60(5)

10、Z+isin30=+isin+(cosi=(1+i尸5小結(jié)：對這類與三角形式很相似的式子，如何將之變換為三角形式，對于初學(xué)者來講是個難點.有了 “定點-定名-定角”這樣一個可操作的步驟，應(yīng)能夠很好地解決此類 問題.例2.求復(fù)數(shù) Z=1+cos 0 +isin 0 (n< 8 <2n)的模與輻角主值.分析：式子中多3個“ 1”，只有將“1 ”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1 ”6 R需2+isin)(1) -1)+2i - sin(coscos 解:Z=1+cos 0 +isin 0 =1+(2cos=2cos 2 2 2 cos<0<< Tt ,

11、''' Tt < 9 <2 Tt ''')+isin( Tt +)(1).式右端=-2cos(-cos-isin)=-2coscos(n + 3& &2 2,ArgZ=冗 +2k tt (k /. Z) r= -2cosargZ= tt +. .二 tt < tt +<2 冗 , << 口式右端從形式上看似乎就是三角形式或 r=2cos , argZ=小結(jié)：(1).不少同學(xué)認為錯誤之處在于他們沒有去考慮。角范圍,因此一定要用“模非負，角相同，余弦前，加號連”來判斷是否為 等類似問題.乙.三角形式

12、看了這道例題，你一定能解決如=1+cos 0 -isin 0 (n < 0 <2 n) Z=1 -cos 0 +isin 0 (n < 0 <2 n)21(Tt < e <3 Tt )化為三角形式，并求其輻角主值Z=.快J3.將分析：三角形中只有正余弦，因此首先想到“化切為弦”.下一步當然是要分母實數(shù)化，再向三角形式轉(zhuǎn)化(cos fl + isin ff)31 + cosfi sin 舊(cos0- i sin+i sin &) 1 - itgQ Cqs& -ismE 11=cos2 0 +isin2 0二 <2 9 <6 tt

13、,''' tt < 9 <3 tt ,Tt <2 0 -4 Tt <2 Tt ,argZ=2 0 -4 n小結(jié)：掌握三角變形是解決這類問題的根本.但在此之前的解題方向一定要明確，即要分析式子結(jié)構(gòu).比較其與三角形式的異同，從而決定變形的方向，采用正確的方法.要求學(xué)生做好每道例題后的反思，并能由此及彼，舉一反三，達到熟練解決一類問題的目的，如1 -itg 0 , tg 0 +i, i -ctg 0等.2.復(fù)數(shù)Z的模|Z|的幾何意義是：復(fù)平面上點Z到原點距離，復(fù)數(shù)模|Z-Z|的幾何意義是：復(fù)平面 上兩點Z, 112元 以向量所在射線為終邊的角記為Arg

14、Z.在0 , 2n)范圍Z之間距離.輻角幾何意義是：以x軸正半軸為角始邊，2內(nèi)的輻角稱輻角主值，記為 argZ.要求學(xué)生不僅要理解以上所說各幾何意義，還要運用幾何意義去解決相關(guān)問題例4.若Z6 c, |Z-2|< 1 ,求| Z |的最大，最小值和argZ范圍.解:法一，數(shù)形結(jié)合為半徑的圓面(包括圓周)，10)為圓心，由|Z-2|<1,知Z的軌跡為復(fù)平面上以(.|Z|表示圓面上任一點到原點的距離=3, |Z|Z| = 1,顯然1<|Z|<3, minmax , |CA| = 1|OC|=2知,OAOB , A, B為切點，由另設(shè)圓的兩條切線為0, U n,2n)AOC=

15、BOC=argZ R) Z=x+yi(x,y |Z|法二：用代數(shù)形式求解的最大，最小值，設(shè) 22 <1, +y則由|Z-(x-2)2|< 1 得 4222c 1,-1<x-2< 1, .1<x<3, <1,(x-2)+y(x-2) ;1<4x-3<9,1<|Z|<3.小結(jié)：在一題多解的基礎(chǔ)上，分析比較各種方法的異同，如何做好方法的選擇.各種方法的本質(zhì)和優(yōu)勢，通過分析與比較都一目了然arg(Z+3)=n，求|z+6|+|z-3i|滿足最小值. 例5.復(fù)數(shù)Z3)aB分析:由兩個復(fù)數(shù)模的和取最小值，聯(lián)想到一個點到兩個定點距離和的最小值

16、，將之轉(zhuǎn)化為幾何問題來解決應(yīng)比較簡便.電而，/ xOA=由Tt ,arg(Z+3)=n，知Z+3的軌跡是 |Z+6|+|Z-3i|=|(z+3) -(-3)|+|(Z+3)-(3+3i)|條射線 OA解法D點，表示復(fù)數(shù)時，取Z+3為C(3,3)連結(jié)，BC=3 所求最小值 .|Z+6|+|Z -3i|=|BD|+|DC|=|BC|=3,的軌跡是射線n,知 法二：由Z+3arg(Z+3)= , Z軌跡應(yīng)是平行于 OAOA，則BM ,且過點(-3,0)的射線上點到點就表示射線BM Q(0,3)距離之和，連|Z+6|+|Z-3i|P(-6,0)和點N點表示復(fù)數(shù)時，交于點 N,取E為結(jié)PQ與射線BM 6

17、3對應(yīng)|Z+6|+|Z-3i|=|PN|+|NQ|=|PQ|=3, ：-|=3所求最小值.如果純粹用代數(shù)方.小結(jié):兩種方法的本質(zhì)相同，都是將數(shù)學(xué)式子利用其幾何意義轉(zhuǎn)化成幾何問題進行解決.法求解，難度會很大.對有關(guān)最值問題，尤其是模（距離）和輻角主值最值問題，用數(shù)形結(jié)合方法顯然較為簡便.求arg（Z-4i）最大值 例6.已知|Z-2i|<1,）,40為半徑的圓面，在其上任取一點Z,連Z與點（2: 解|Z-2i|<1,點Z軌跡是以（0,）為圓心，1最大為其對應(yīng)的輻角主值，顯然 arg（Z-4i）4）為起點，Z為終點的向量，將起點平移到原點，則8得一以（0, .兩個復(fù)數(shù)相乘，積的模等于模

18、的積，輻角為兩輻角之和，其幾何意義是模的伸縮及 向量的旋轉(zhuǎn).兩個復(fù)數(shù)相除，商的模等于模的商（除數(shù)不為零），輻角為兩輻角之差，其幾何意義同乘法.由復(fù)數(shù)三角形式乘除運算的幾何意義，可解決向量或圖形的旋轉(zhuǎn)問題，如等腰、等邊三角形、直角三角形，平行四邊形頂點間的幾何何關(guān)系利用復(fù)數(shù)的乘除運算來表示復(fù)數(shù)三角形式較之代數(shù)形式，在乘除運算中非常方便，可順利解決多項相乘（乘方），相除及乘 除混合運算。23。工1 % 如 Z并判斷OZZi, =7+=1+2分別表示復(fù)數(shù).例7若與Zi, Z求/ AOZ.的形狀212112 5 %°十2&X7一而,可計算 解:欲求/ ZOZ 121 孔燈tecs +

19、 j sin 一)2"33'=且 Z ./ OZ, = 12 3 2222 - 2k - 2k 尸k, |OZ|=2k(k>0)|ZZ|=3k=kcos+(2k) 由余弦定理，設(shè)|OZ2211k, |= |ZZ21T5 222的直角三角形.二(2k)為有一銳角為而k, .AOZ+(Z60° k)21此題中利用除法幾何意義來解決三角形中角的大小問題，十分方便.小結(jié)：關(guān)于和B(0,8)x軸正半軸上，若點 A(-1,0).已知直線l過坐標原點，拋物線 C的頂點在原點，焦 點在 例8 .與拋物線C的方程l的對稱點都在 C上，求直線l話 QA' ,設(shè)向量對應(yīng)復(fù)數(shù)

20、分別為 解:如圖，建立復(fù)平面 x0y、x+yi, x+yi.2i2i|OA'|=|OA|=i, |OB'|=|OB|=8,由對稱性,i +yi)8i= -8y+8xx+yi=(x 112121P=2px 2121 222又 x|OA'|=1=, y , =p,1122 (舍)p=或1() -+p- =1,222 =2px, y 設(shè)拋物線方程為175 -J5 ny, =2px(p>0)貝ij有 y2 x=,直線方程為.拋物線方程為 yx. :丫=尤其涉及到特殊.小結(jié)：對于解析幾何的許多問題，若能借助于復(fù)數(shù)的向量來表示，常常有意想不到的功效.位置，特殊關(guān)系的圖形時，尤

21、顯其效五、易錯點,輻角主值不確定.并不是每一個復(fù)數(shù)都有唯一確定的輻角主值1.如復(fù)數(shù)零的模為0.Z的輻角主值表示復(fù)數(shù)表示復(fù)數(shù)與ArgZargZ的區(qū)別.ArgZZ的輻角，而argZ .注意 2內(nèi)的輻角，但輻角不一定是輻角主值輻角主值是6 6 冗).ArgZ=argZ+2k n(kZ),argZ0,2 n),0,263 .復(fù)數(shù)三角形式的四個要求 ：模非負，角相同，余弦前，加號連，缺一不可 就不是三角形式.4 .注意復(fù)數(shù)三角形式的乘除運算中，向量旋轉(zhuǎn)的方向六、練習.任何一個不滿足,1.寫出下列復(fù)數(shù)的三角形式-(sin 0 -icos 0 )6 R) <<n(2) tg 0 +i()(1)

22、ai(a 近近 n, n2.設(shè) NZ=(-3,當+3Z6Ri)時，n為何值?2. |d|S =表示復(fù)數(shù)為a,3 (2a w 0),且B =(1+i) a,判斷A AOB形狀，并證明3.在復(fù)平面上 A, BA AOB :參考答案口(cos + i sin )(a > 0)22-u(esg值 +rsin0 )+isin( Tt - 0 ) =- cos(n (2) -tg 0 +i(< 0 <兀)-cos(icos 0 )=(3) - 2. n 為 4 的正整數(shù)倍3,法“W0, 0=(1+i)aAOB=, +isin ), =1+i=/./(cos OA, AB分別表不復(fù)數(shù)a ,

23、+isin ,=i=cos 由 B - a = a i ，得OAB=90 ° , A AOB為等腰直角三角形.OA OA AB ABl=ll|=|a |, |=|B -a |=|a i|=| a |,法二QA OB OB 42 AB222222=2|a | + |a |=|a | = | |a |,|又 | + | |=|0 |=|(1+i) a | = |腰直角三角形，=|=AAOB在線測試7選擇題QA AB2. |a | | SA AOB .為等2,則實數(shù)a的值是（.若復(fù)數(shù)z=（a+i）的輻角是）A1 、 B、-12 2 .已知關(guān)于x的實系數(shù)方程x+x+p=0的兩虛根a,滿足|a

24、-b|=3 , 則p的值是（）D、 15網(wǎng) cos 2 sin 28、-2 Ccos & -fsin,則復(fù)數(shù)的輻角主值為（< )3 .設(shè) Tt < 0D、38 -C、 3 8 Tt 2 Tt -3 0 B、3 8 -2n A 、三 + +isin經(jīng)過n次乘方后，所得的募等于它的共知復(fù)數(shù)，則 n.復(fù)數(shù)的值等于（cos ）4Z)6k+1(k Z) 、3 D B、12、C、6k-1(kD不能確定 C、焦點在 答案與解析CC 5、的雙曲線B、半實軸長為x軸，半實軸長為的雙曲線右支C 3、B 4、答案：1B 2-1|z+3|z-3|億為復(fù)數(shù)，）（）=（）的圖形A、直線1 2-1 =

25、022解析:B, ,z=(a+i)=(aa=-1-1)+2ai,本題選argz=|a-b|=|二3(b= A =1-4p<0 )cos 2 sin 2日,故本題應(yīng)選C 4p-1=9 , p=匚+ i 3in(位7* 3久15靄0 =cos3 0 +isin3 371 0<3<3<,<3-2< ,故本題應(yīng)選 B 8 33咒34.由題意，得sin = 一 一 =33n-isin(cos=cos+isin)=cos+isin界網(wǎng)用1C05 ''-COS -"-,3323由復(fù)數(shù)相等的定義3 - , (k 6 Z)冗，. n=6k-1.故本題

26、應(yīng)選 C.=2k解得2|z+3|-|z-3|=1.a= , 0）, 2a=1由雙曲線定義,此方程表示焦點（±3,.5依題意，有|z-3|=|z+3|-1的雙曲線右支，故本題應(yīng)選C.復(fù)數(shù)三角形式的運算疑難問題解析1.復(fù)數(shù)的模與輻角:2112（1）復(fù)數(shù)模的性質(zhì)：Iii輻角的性質(zhì)：積的輻角等于各因數(shù)輻角的和.商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差.一個復(fù)數(shù)n次募（n 6 N）的輻角等于這個復(fù)數(shù)輻角的n倍.注意：（1）輻角與輻角主值的區(qū)別，特別是解題過程中的不同點.如下面兩個問題:若 arg（2- i）= a , arg（3-i）= 0 ,求 a +0 的值.（” + 06（3花，

27、4花）43arg(2-i)(3-i)E 勺冗.2兀)的值. arg(3-i尸0 ,求arg(2-i)(3-i)arg(2 -若i尸a ,(2)兩個復(fù)數(shù)乘積的輻角主值不一定等于兩輻角主值的和，商的輻角主值不一定等于輻角主值的差2.關(guān)于數(shù)的開方(1)復(fù)數(shù)的開方法則：r(cos 0 +isin 0 )的n次方根是E r d + 2k應(yīng) 日 + 2kx £(25+i5in)(1=0* L 2, n -1)inti幾何意義：(k = ()f t 2,g), |以對應(yīng)于復(fù)平面上的點，則有：設(shè)CDm*位于以原點為圓心,標的半徑的圓上位任意相鄰四點可/MfcH的半徑。叫，6%包的夾角者垮于第一個點時

28、應(yīng)的向量與蚌由正向夾角為J9n所以，復(fù)數(shù)z的n次方根，在復(fù)平面內(nèi)表示以原點為中心的正n邊形的n個頂點.復(fù)數(shù)平方根的求法.求-3-4i的平方根.解法一利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式.設(shè) -3-4i的平方根為x+yi(x , y 6 R),則有222)+2xyi= -3-4i,由復(fù)數(shù)相等條件，得 (x+yi)即=-3-4i, (x -y,解喉：2或伍士(1-2i).-3-4i的平方根是法二 利用復(fù)數(shù)的三角形設(shè)-3-4i 二網(wǎng)8窘日 +sni H i)，H E (TT,則有匚。£日=, cos-1 e 2二F， sin - =-由正(LG8+ian3 + 2kx)* k = 0)3.復(fù)數(shù)集中的方程.2+

29、bx+c=0(a w 0, a, b, c6R, x, x為它的兩個根)關(guān)于實系數(shù)的一元二次方程的解法：設(shè)ax2l22-4ac< 0時，方程有一對共知虛根當 =b (1)當 =b -4aO0時，方程有兩個實數(shù)根(2)求糧公式為X =72ab g韋達定理：X十叼=一 W星巴=一 . 魚魚2 (4)二次三項式的因式分解：ax+bx+c=a(x-x)(x-x) 2i2+bx+c=0(a w 0, a、b、c6C,且至少有一個虛數(shù)，xxax為它的兩關(guān)于復(fù)系數(shù)的一元二次方程的解法：設(shè)21個根)。) =4能不再有判斷根的作用(2)申根公式；耳=±|9仍然適用2at>p韋二太定理！力十

30、句二一，*歸二一仍然適用 瓦京2+bx+c=a(x -x)(x -x)仍然適用.(4)二次三項式的因式分解ax 21關(guān)于二項方程的解法nnxw 0)的方程叫做二項方程，任何一個二項方程都可以化成二b(b6C)的形式，x, +a=0(aa C且a形如ann00n因此都可以通過復(fù)數(shù)開方來求根.天丁 一程.I可以充分利用復(fù)數(shù) z的整體性質(zhì)，復(fù)數(shù) z的三種表示方法及其轉(zhuǎn)換來解方程.2-4x+p=0兩虛數(shù)根為a、B ,且|a-0|=2求實數(shù)p的值.已知方程x解法1 .實系數(shù)一元二次方程虛根共知設(shè)a=a+bi,10B =a-bi, (a, b R) .,.a + p =2a=4 ,a=2又 |a - B

31、|=2,|2bi|=2 得 b=± 1即兩根為 2+i , 2-i由韋達定理得：p=(2+i)(2 -i)=5法2由韋達定理可得：+ 0 =4 , a 0 =p2222| = |( a + 0 ) 0 )=|( a -4p|=4,于是 | a - B | 即-4 a 0 |=|4 |4-p| = 12-4p<0p >4, =4p-4=1 ,得p=5 又丁 說明 注意實系數(shù)一元二次方程有兩個實根與有兩個虛根的區(qū)別,，"工二根二,.1I 二：I1.一一等式成立.若有兩個虛根則22 0 )-W ( a .因此在解題時要重視復(fù)數(shù)與實數(shù)知識點之間的區(qū)別與聯(lián)系，要避免出|-

32、B上述等式不成立.因為| a現(xiàn)混淆與干擾.22-a=0有模為1的根，求實數(shù) a的值.已知方程2x +3ax+a分析 已知方程有模為1的根，此根可能是實數(shù)，也可能是虛數(shù)，故求實數(shù)a要注意分域討論.222+8a>0,即a<-8或a解(1)若所給方程有實根則=(3a) >-4x 2(a0 -a)=a由條件得根必為1或-1,2+2a+2=0a無實數(shù)解.a 將x=1代入原方程可得將這=-1代入原方程可得爐一4a十2:二。得a=2 土瘧2 a< 0 ,即-8 (2)若所給方程有虛根則 =a<+8<0而實系數(shù)方程虛根成對且共*底設(shè)根為口、日 3 由韋達到里口 * 口 .&

33、#39;.a1 -a = 2Cl - d =2 I CL I 3=22 舍)a=-1 或 即 aa=2(-a-2=0,綜上所述.當曰=2 土虛或& = -1時，原方程有模為1的根.|2-(2i-1)x+3m-i=0有實數(shù)根，求實數(shù) mx . 已知方程分析 求實數(shù) m的范圍，若用判別式來 判斷是錯誤的，因為此方程的系數(shù)是復(fù)數(shù).利用求根公式或用韋達定理或選用復(fù)數(shù)相等，解方程組來求實數(shù) m均可以.現(xiàn)僅介紹一種方法.2+x+3m) -(2x+1)i=0R,方程變形可得，(x 6 解 .1 x, mr _ i由復(fù)數(shù)相等可得,"。解得故為所求.復(fù)數(shù)例題講解與分析2-3xyi=4-6i,求

34、x, y. .已知x, y互為共知復(fù)數(shù)，且(x+y)例 1 思路1:確定一個復(fù)數(shù)即分別確定它的實部、虛部或模與一個輻角，設(shè) z=a+bi或三角形式，化虛為實。222)i=4 -6i. -3(a R), 則 y=a-bi,代入原等式得：(2a)+b :fa - 1a =1 a = -l a = -1必 1 b-八1 U = -l Q Ol 或，j- X= -1 + j X- -13ly= -1+ j尸=41= 4解法 1設(shè) x=a+bi(a,b1一3 十)A 1-1-3 Jrt = 1或 或 I/nIT b =.R, xy R,則(x+y)思路 2 :“x, y 互為共知”含義？ - x+y 6

35、 |O |y|,6 R,.由兩復(fù)數(shù)相等可得：解法 2: ,£ x=, x+yR, xy由韋達定理可知：x,y同是方程：z +2z+2=0或zZ分別解兩個一元二次方程則得x,y(略)。2則復(fù)數(shù)() W-1,zz 6 C,|z|=1且 例2.已知 A、必為純虛數(shù) 數(shù) C、必為實數(shù) D、可能是實數(shù)也可能是虛數(shù)思路分析:選擇題，從結(jié)論的一般性考慮，若z=± 1,顯然A、選項，顯然窮舉驗證不能得出一般結(jié)論只能推演& 十瓦22=1,aw0. +bR, a 法 1設(shè) z=a+bi, a,b 6 解：Q +21附一 2 + J 苑=6 R,故，應(yīng)選 C=。則=20 w k n +)

36、, 設(shè) z=cos 0 +isin 0S+y)'=4 p-b y= ±2-6 xy= 20| 22 -2z+2=0 的兩根， .B、是虛數(shù)但不一定是純虛B選項不成立，分析 C、D一書加1Z214- 2dtbi 2d z2 +1(8 6 R,且法 22-3xyi=4 -6icos + jsin 92cos g” - 2池P cos2+; sin 1 2cos z +1= Ro2z - =1,，:當法 3 -.- |z|=1z - =|z|時有Z_WE I 1 W，十1 = 6 R. =1 =2 z =1 , 法 4 :當 |z|=1 時有 (L + l) ,左 N + N /+

37、1 =6：R.=1z=,復(fù)數(shù)z為實數(shù)的充要條件是J £ I5法口 + l 22 +1 Z =，時，(,尸又 :憶|=12 工 E/十1 + / L ：6R。 =,評注:復(fù)習中，概念一定要結(jié)合意義落實到位，一方面深化理解(比如復(fù)數(shù)定義： “形如a+bi (a,b R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)”深入理解就有 凡是復(fù)數(shù)都能寫成這樣，求一個復(fù)數(shù)，使用一個復(fù)數(shù)都可通過這一形式將問題化虛為實；。)12 z 2>0； zz= R)同時對一些概念的等價表達式要熟知。(比如：z=a+bi 6 R b=0(a,bO2<0； .)z=a+bi 是純虛數(shù) a=0 且 b*0 (a,b 6 R)zz+=0 (z

38、 W 0) | =|= = 一 + 1 + 2 曲*,有同學(xué)可能會在算到時不注意及時在面對具體問題時要有簡捷意識(比如該例方法1化簡分母又直接按兩復(fù)數(shù)相除的運算法則進行)，多方理解挖掘題目立意。2+(m+2i)x+2+mi=0 至少有一個實根的實數(shù)m.的方程求使關(guān)于 xx 例3.思路分析:根的判別式只適用實系數(shù)的一元二次方程，虛系數(shù)有實根用兩復(fù)數(shù)相等，化虛為實。Xq + 愧工 0 +2 = 0解：設(shè)x為方程的一個實根，則有。2/.u 口 V2 22。，解得：m= ± x+2+(2x+mx+m)i=0 J 5簿箝000 fi 3 , arg(z-2)=,求 z°C,arg(z

39、+2)=例4設(shè)z思路分析：常規(guī)思路，設(shè)z=a+bi,由已知列關(guān)于a,b的方程求解；數(shù)形結(jié)合思想，由題設(shè)可知z+2對應(yīng)的3 AOX= , z-2對應(yīng)的點B上，/應(yīng)在射線 OB上，A點在射線 OAA A , AOB=中點上，|AB|=4, AB/Ox 軸，/ BOX= , z 對應(yīng)的點 Z 應(yīng)在 AB g z=-1+i.故而易得：解：(略)石出出-2k1002k +z求集合z=,x+xi, zy -1+(=.例 5 設(shè) x,y 6 R, z-y)i, =2 - 21|A=x|x=zarg=, (1)求，()=? (2)設(shè) |=|z 已知 |z21 中元素的個數(shù)。kezf 為 22i兩復(fù)數(shù)相等=za

40、rg含義?=zf=i,即|=|z：思路分析理解已知,|z|, 2112-1=1, |解(1): |z|=|z|,21i, =zz)=i, 又 arg=,=|(cos+isin 即 21 13，/iy-1+(2-y)iix+xi=+, x=y= 即，解得匕十3尸22(3當2275 751 1 1 勺升/50100100-i)=(i. +i)= -=( -條件割裂開來去考慮，則需要()+0本題的解法體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化和整體的思想方法,如果把兩個已知1 簡評解關(guān)于x, y的二元二次方程組，其運算肯定很麻煩;23230=0,的特性要熟知即 W,1+W+W=2=W 在計算題中對 1的立方根之一：W=- =

41、1, +i卬*=0, +關(guān)于此點設(shè)計問題是命題經(jīng)常參考的著眼點。i+22k3-2k3z=w, , z=-1=z=cos+z, |z|=1, z 的特性：z= ； +isin+ (2)思路分析：由(1)知 z=i , 22k-k2kk22走+)+(z可怎么理解呢？(z, z) 22k-2kk-kzi,則=w 解法 1:令 +zw= -+w+3k= =1,而 k 61.- wz,2k-2k3m3-m=2,)當 k=3m 時，z+(w+z=(wHP-1-3m-12k-2k3m=w+= -1, =W=W+W - W+W z 當 k=3m+1時， +zW 2k-2k3m2-3m-22-23-1-3- 1+W= -1, +W W