奧林匹克數(shù)學(xué)的技巧二

1、奧林匹克數(shù)學(xué)的技巧二2-7-8 配對配對的形式是多樣的，有數(shù)字的湊整配對或共軛配對，有解析式的對稱配對對或整體配對，有子集與其補(bǔ)集的配對，也有集合間象與原象的配對。凡此種種，都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)和諧美的追求與力量，小高斯求和（1+2+99+100）首創(chuàng)了配對，也用到了配對。例2-143 求之值。解 作配對處理 例2-144 求和 解一 由把倒排，有相加 得 解二 設(shè)集合，注意到 有 為了求得把每一，讓它與補(bǔ)集配對，共有對，且每對中均有于是這兩種解法形式上雖有不同，但本質(zhì)上是完全一樣的，還有一個(gè)解法見例2-149。例2-145 設(shè)是給定的實(shí)數(shù)，證明存在實(shí)數(shù)使得這里的表示y的小數(shù)部分。證明 有 知下面利用

2、這一配對式的結(jié)論。設(shè)據(jù)抽屜原理知，必存在，使取，由上式得2-7-9 特殊化特殊化體現(xiàn)了以退求進(jìn)的思想：從一般退到特殊，從復(fù)雜退到簡單，從抽象退到具體，從整體退到部分，從較強(qiáng)的結(jié)論退到較弱的結(jié)論，從高維退到低維，退到保持特征的最簡單情況、退到最小獨(dú)立完全系的情況，先解決特殊性，再歸納、聯(lián)想、發(fā)現(xiàn)一般性。華羅庚先生說，解題時(shí)先足夠地退到我們最易看清楚問題的地方，認(rèn)透了、鉆深了，然后再上去。特殊化既是尋找解題方法的方法，又是直接解題的一種方法。例2-146 已知恒等式 求實(shí)數(shù)，其中。解 對取特殊值，當(dāng)時(shí)，有故有（1） （2）又?。幢容^常數(shù)項(xiàng)系數(shù)），有 （3）比較的系數(shù)（考慮特殊位置），有（4）由得

3、 代入（1），得代入原式左邊，有 故知。也可以將的值代入（3）、（2）求，但要檢驗(yàn)排除增根。例2-147 已知為常數(shù)，且求證 是周期函數(shù)。分析 作特殊化探索。求解的困難在于不知道周期，先特殊化，取一個(gè)滿足條件的特殊函數(shù)且，有但的周期為。猜想：是周期。證明 由已知有據(jù)此，有得證為周期函數(shù)，且為一個(gè)周期。例2-148 在平面上給定一直線，半徑為厘米（是整數(shù)）的圓以及在圓內(nèi)的條長為1厘米的線段。試證在給定的圓內(nèi)可以作一條和給定直線平行或垂直的弦，它至少與兩條給定的線段相交。分析 特殊化，令，作一個(gè)半徑為1的圓，在圓內(nèi)作四條1厘米長的線段，再作一條與已知直線L垂直的直線L（圖2-63）現(xiàn)從結(jié)論入手，設(shè)

4、ABL并與兩條弦相交，則交點(diǎn)在L上的投影重合，反之，如果四條線段在L或L上的投影有重合點(diǎn)，則從重合點(diǎn)出發(fā)作垂線即可。由特殊化探索出一個(gè)等價(jià)命題：將給定的線段向已知直線L或L的垂線作投影時(shí)，至少有兩個(gè)投影點(diǎn)重合。這可以通過長度計(jì)算來證實(shí)。證明 設(shè)已知直線為L，作LL，又設(shè)條線段為，每一條在L，L上的投影長為，有。由得從而，兩個(gè)加項(xiàng)中必有一個(gè)不小于厘米，但圓的直徑為厘米，故在L或L的投影中，至少有兩條線段的投影相交，過重迭點(diǎn)作L或L的垂線即為所求。（將表示為三角函數(shù)運(yùn)算更方便）.（例2-51）的求解過程，實(shí)質(zhì)上是對表達(dá)式中函數(shù)的三個(gè)表達(dá)式分別取值為2-7-10 一般化推進(jìn)到一般，就是把維數(shù)較低或抽

5、象程度較弱的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為維數(shù)較高、抽象程度較強(qiáng)的問題，通過整體性質(zhì)或本質(zhì)關(guān)系的考慮，而使問題獲得解決，離散的問題可以一般化用連續(xù)手段處理，有限的問題可以一般化用數(shù)學(xué)歸納法處理，由于特殊情況往往涉及一些無關(guān)宏旨的細(xì)節(jié)而掩蓋了問題的關(guān)鍵，一般情況則更明確地表達(dá)了問題的本質(zhì)。波利亞說：“這看起來矛盾，但當(dāng)從一個(gè)問題過渡到另一個(gè)，我們常?？吹剑碌男坌拇蟮膯栴}比原問題更容易掌握，較多的問題可能比只有一個(gè)問題更容易回答，較復(fù)雜的定理可能更容易證明，較普遍的問題可能更容易解決?！毕柌剡€說：在解決一個(gè)數(shù)學(xué)問題時(shí)，如果我們沒有獲得成功，原因常常在于我們沒有認(rèn)識(shí)到更一般的觀點(diǎn)，即眼下要解決的只不夠是一連串

6、有關(guān)問題的一個(gè)環(huán)節(jié)。例2-149 求和（例2-144） 解 引進(jìn)恒等式 對求導(dǎo) 令，得。這實(shí)質(zhì)是將所面臨的問題，放到一個(gè)更加波瀾壯闊的背景上去考察，當(dāng)中既有一般化、又有特殊化。例2-150 1985個(gè)點(diǎn)分布在一個(gè)圓的圓周上，每個(gè)點(diǎn)標(biāo)上+1或-1，一個(gè)點(diǎn)稱為“好點(diǎn)”，如果從這點(diǎn)開始，依任一方向繞圓周前進(jìn)到任何一點(diǎn)時(shí)，所經(jīng)過的各數(shù)的和都是正的。證明：如果標(biāo)有-1的點(diǎn)數(shù)少于662時(shí)，圓周上至少有一個(gè)好點(diǎn)。證明 這里662與1985的關(guān)系是不清楚的，一般化的過程其實(shí)也就是揭示它們內(nèi)在聯(lián)系的過程，可以證明更一般性的結(jié)論：在個(gè)點(diǎn)中有個(gè)-1時(shí)，“好點(diǎn)”一定存在。（1）時(shí)，如圖2-64，A、B、C、D標(biāo)上+1

7、，則B、C均為好點(diǎn)。（2）假設(shè)命題當(dāng)時(shí)成立，即個(gè)點(diǎn)中有個(gè)-1時(shí)，必有好點(diǎn)。對，可任取一個(gè)-1，并找出兩邊距離它最近的兩個(gè)+1，將這3個(gè)點(diǎn)一齊去掉，在剩下的個(gè)點(diǎn)中有個(gè)-1，因而一定有好點(diǎn)，記為P?，F(xiàn)將取出的3個(gè)點(diǎn)放回原處，因?yàn)镻不是離所取出的-1最近的點(diǎn)，因而從P出發(fā)依圓周兩方前進(jìn)時(shí)，必先遇到添回的+1，然后再遇到添回的-1，故P仍是好點(diǎn)，這說明，時(shí)命題成立。由數(shù)學(xué)歸納法得證一般性命題成立，取即得本例成立。這里一般化的好處是：第一，可以使用數(shù)學(xué)歸納法這個(gè)有力工具；第二歸納假設(shè)提供了一個(gè)好點(diǎn)，使得順利過渡到。一般說來，更強(qiáng)的命題提供更強(qiáng)的歸納假設(shè)。例2-151 設(shè)，求證是整數(shù)。證明 考慮更一般性的

8、整系數(shù)多項(xiàng)式 由 知是偶函數(shù)，從而只含的偶次項(xiàng)，得是含的整系數(shù)多項(xiàng)式，特別地，取為正整數(shù)即，得為整數(shù)。這里，把常數(shù)一般化為變數(shù)之后，函數(shù)性質(zhì)便成為解決問題的銳利武器。2-7-11 數(shù)字化數(shù)字化的好處是：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的同時(shí)，還將抽象的推理轉(zhuǎn)化為具體的計(jì)算。這在例2-33中已見過。例2-152 今有男女各2n人，圍成內(nèi)外兩圈跳舞，每圈各2n人，有男有女，外圈的人面向內(nèi)，內(nèi)圈的人面向外，跳舞規(guī)則如下：每當(dāng)音樂一起，如面對面者為一男一女，則男的邀請女的跳舞，如果均為男的或均為女的，則鼓掌助興，曲終時(shí)，外圈的人均向左橫移一步，如此繼續(xù)下去，直至外圈的人移動(dòng)一周。證明：在整個(gè)跳舞過程中至少有一

9、次跳舞的人不少于n對。解 將男人記為+1，女人記為-1，外圈的2n個(gè)數(shù)與內(nèi)圈的2n個(gè)數(shù)中有個(gè)1，個(gè)-1，因此，和從而 另一方面，當(dāng)與面對面時(shí)， 中的-1的個(gè)數(shù)表示這時(shí)跳舞的對數(shù)，如果在整個(gè)過程中，每次跳舞的人數(shù)均少于n隊(duì)，那么恒有從而總和 由與矛盾知，至少有一次跳舞的人數(shù)不少于n對。這里還用到整體處理的技巧。例 2-153 有男孩、女孩共n個(gè)圍坐在一個(gè)圓周上（），若順序相鄰的3人中恰有一個(gè)男孩的有組，順序相鄰的3人中恰有一個(gè)女孩的有組，求證。證明 現(xiàn)將小孩記作，且數(shù)字化 則其中又設(shè)取值為3的有個(gè)，取值為的有個(gè)，依題意，取值為1的有個(gè)，取值為的有個(gè)，得 可見，也可以數(shù)字化為 有考慮積 知2-7-

10、12 有序化當(dāng)題目出現(xiàn)多參數(shù)、多元素（數(shù)、字母、點(diǎn)、角、線段等）時(shí)，若按一定的規(guī)則（如數(shù)的大小，點(diǎn)的次序等），將其重新排列，則排序本身就給題目增加了一個(gè)已知條件（有效增設(shè)），從而大大降低問題的難度。特別是處理不等關(guān)系時(shí)，這是一種行之有效的技巧。例2-154 設(shè)有的正方形方格棋盤。在其中任意的3n個(gè)方格中各放一枚棋子，求證可以選出行和列，使得3枚棋子都在這n行和n列中。證明 設(shè)3n枚棋子放進(jìn)棋盤后，2n行上的棋子數(shù)從小到大分別為，有 由此可證 （1）若，式顯然成立。（2）若時(shí)，從而得式也成立。據(jù)式，可取棋子數(shù)分別為所對應(yīng)的行，共n行。由于剩下的棋子數(shù)不超過n，因而至多取n列必可取完全部3n個(gè)棋子

11、。例2-155 設(shè)都是自然數(shù)，且滿足 求中的最大值。（）解 由條件的對稱性，不妨設(shè) 這就改變了條件的對稱性，相當(dāng)于增加了一個(gè)條件 否則，由知 從而，代入得 矛盾，這時(shí)，由有 當(dāng)且時(shí)，有最大值，這也就是的最大值。2-7-13 不變量在一個(gè)變化的數(shù)學(xué)過程中常常有個(gè)別的不變元素或特殊的不變狀態(tài)，表現(xiàn)出相對穩(wěn)定的較好性質(zhì)，選擇這些不變性作為解題的突破口是一個(gè)好主意。例2-156 從數(shù)集開始，每一次從其中任選兩個(gè)數(shù)，用和代替它們。能否通過有限多次代替得到數(shù)集，解 對于數(shù)集，經(jīng)過一次替代后，得出，有即每一次替代后，保持3個(gè)元素的平方和不變（不變量）。由知，不能由替換為。 例2-157 設(shè)個(gè)整數(shù)具有性質(zhì)；從

12、其中任意去掉一個(gè)，剩下的個(gè)數(shù)可以分成個(gè)數(shù)相等的兩組，其和相等。證明這2n+1個(gè)整數(shù)全相等。證明 分三步進(jìn)行，每一步都有“不變量”的想法。第一步 先證明這2n+1個(gè)數(shù)的奇偶性是相同的。因?yàn)槿我馊サ粢粋€(gè)數(shù)后，剩下的數(shù)可分成兩組，其和相等，故剩下的2n個(gè)數(shù)的和都是偶數(shù)。因此，任一個(gè)數(shù)都與這2n+1個(gè)數(shù)的總和具有相同的奇偶性。第二步 如果具有性質(zhì)P，則每個(gè)數(shù)都減去整數(shù)之后，仍具有性質(zhì)P，特別地取，得也具有性質(zhì)P，由第一步的結(jié)論知，都是偶數(shù)。第三步 由為偶數(shù)且具有性質(zhì)P，可得都是整數(shù)，且仍具有性質(zhì)P，再由第一步知，這個(gè)數(shù)的奇偶性相同，為偶數(shù)，所以都除以2后，仍是整數(shù)且具有性質(zhì)P，余此類推，對任意的正整數(shù)

13、，均有為整數(shù)，且具有性質(zhì)P，因可以任意大，這就推得即 2-7-14 整體處理數(shù)學(xué)題本身是一個(gè)子系統(tǒng)，在解題中，注意對其作整體結(jié)構(gòu)的分析，從整體性質(zhì)上去把握各個(gè)局部，這樣的解題觀念或思考方法，稱為整體處理。例2-158 九個(gè)袋子分別裝有9，12，14，16，18，21，24，25，28只球，甲取走若干袋，乙也取走若干帶，最后只剩下一袋，已知甲取走的球數(shù)總和是乙的兩倍，問剩下的一袋內(nèi)裝有球幾只？解 從全局上考慮，由于甲取走的球數(shù)是乙取走球數(shù)的兩倍，所以取走的球數(shù)總和必是3的倍數(shù)，而九個(gè)袋子的球數(shù)之和被3除余2，所以剩下的一袋也是被3除余2，又由于九袋中，只有，故剩下的袋內(nèi)裝球14只。例2-159

14、證明任意3個(gè)實(shí)數(shù)不能同時(shí)滿足下列三個(gè)不等式證明 若不然，存在3個(gè)實(shí)數(shù)，使 相乘 這一矛盾說明，任意3個(gè)實(shí)數(shù)不能同時(shí)滿足題設(shè)的三個(gè)不等式。2-7-15 變換還原利用那些具有互逆作用的公式或運(yùn)算，先作交換，再作還原，是繞過難點(diǎn)，避開險(xiǎn)處的一個(gè)技巧。例2-160 求數(shù)列的通項(xiàng)，已知解 引進(jìn)變換，有 由 得得 例2-161 證明恒等式 （1）證明 利用互逆公式：若 （2）則 （3）記 先作（2）中的運(yùn)算 再作（3）中的運(yùn)算 2-7-16 逐步調(diào)整在涉及到有限多個(gè)元素的系統(tǒng)中，系統(tǒng)的狀態(tài)是有限的，因而總可以經(jīng)過有限次調(diào)整，把系統(tǒng)調(diào)整到所要求的狀態(tài)（常常是極值狀態(tài)）。例2-162 已知二次三項(xiàng)式的所有系數(shù)

15、都是正的且，求證：對于任何滿足的正數(shù)組，都有 （1）證明 由知，若 （2）則（1）中等號(hào)成立。若不全相等，則其中必有（不妨設(shè)），由 可作變換 則當(dāng)不全相等時(shí)，則又進(jìn)行同樣的變換，每次變換都使中等于1的個(gè)數(shù)增加一個(gè)，至多進(jìn)行次變換，必可將所有的都變?yōu)?，從而此題中逐步調(diào)到平衡狀態(tài)的方法也叫磨光法，所進(jìn)行的變換稱為磨光變換。例2-163 平面上有100條直線，它們之間能否恰有1985個(gè)不同的交點(diǎn)。解 100條直線若兩兩相交，可得個(gè)交點(diǎn)，現(xiàn)考慮從這種狀態(tài)出發(fā)，減少交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，使恰好為1985。辦法是使一些直線共點(diǎn)或平行。設(shè)直線有個(gè)共點(diǎn)的直線束，每一束中直線的條數(shù)為有這時(shí)，每一束的交點(diǎn)數(shù)下降了個(gè)，為使

16、可取最接近2965的代替，即，類似地，取，則有這表明，100條直線中，有77條直線共A點(diǎn)，另9條直線共B點(diǎn)，還有4條直線共C點(diǎn)，此外再無“三線共點(diǎn)”或“平行線”，則恰有1985個(gè)交點(diǎn)。2-7-17 奇偶分析通過數(shù)字奇偶性質(zhì)的分析而獲得解題重大進(jìn)展的技巧，常稱作奇偶分析，這種技巧與分類、染色、數(shù)字化都有聯(lián)系，例2-32是一個(gè)淺而不俗的例子，用到了這一技巧。例2-164 設(shè)是1，2，7的一個(gè)排列，求證必為偶數(shù)證明一 （反證法）若為奇數(shù)，則均為奇數(shù)，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和應(yīng)為奇數(shù)。奇數(shù) （為偶數(shù)）。由奇數(shù)偶數(shù)知，不能是奇數(shù)，從而為偶數(shù)。這種解法，簡捷明快，體現(xiàn)了整體處理的優(yōu)點(diǎn)，但同時(shí)也“掩蓋”著p為偶數(shù)的原因。證明二 若p為奇數(shù)，則與的奇偶性相反（），即（）中的奇（偶）數(shù)與中的偶（奇）數(shù)個(gè)數(shù)相等，但故1，2，7中奇數(shù)與偶數(shù)的個(gè)數(shù)相同，從而中有偶數(shù)個(gè)元素，但為奇數(shù)，這一矛盾說明，p為偶數(shù)。這一解決的實(shí)質(zhì)是，要建立從A到A之間“奇數(shù)與偶數(shù)”的一一映射是不可能的，因?yàn)檫@要求，