第四講異方差性

1、第四講 放寬基本假定的模型學習目標：1. 理解異方差性、序列相關性、多重共線性和隨機解釋變量問題；2. 掌握異方差性的檢驗方法（圖示檢驗法、G-Q檢驗和懷特檢驗法）以及異方差的修正方法(加權最小二乘法)；3. 掌握序列相關性的檢驗方法（圖示檢驗法、回歸檢驗法、D.W.檢驗法和LM檢驗法）以及異方差的修正方法(廣義最小二乘法和廣義差分法)；4. 理解虛假序列相關性問題；5. 掌握多重共線性的檢驗方法以及克服多重共線性的方法（排除法和差分法）背景： 基本假定違背主要 包括：（1）隨機誤差項序列存在異方差性；（2）隨機誤差項序列存在序列相關性；（3）解釋變量之間存在多重共線性；（4）解釋變量是隨機變

2、量且與隨機誤差項相關的隨機解釋變量問題；（5）模型設定有偏誤；（6）解釋變量的方差不隨樣本容量的增加而收斂。 計量經濟檢驗：對模型基本假定的檢驗4.1 異方差性一、異方差的概念 對于模型 如果出現 即對于不同的樣本點，隨機誤差項的方差不再是常數，而互不相同，則認為出現了異方差性(Heteroskedasticity)。同方差是指 Var (mi)=s2 二、異方差的類型 同方差：si2 = 常數 f(Xi) 不隨X的變化而變化 異方差：si2 = f(Xi)異方差一般可歸結為三種類型： (1)單調遞增型： si2隨X的增大而增大 (2)單調遞減型： si2隨X的增大而減小 (3)復雜型： si

3、2與X的變化呈復雜形式 三、實際經濟問題中的異方差性 例1：截面資料下研究居民家庭的儲蓄行為: Yi=b0+b1Xi+mi Yi第i個家庭的儲蓄額 Xi:第i個家庭的可支配收入。 高收入家庭：儲蓄的差異較大低收入家庭：儲蓄則更有規(guī)律性，差異較小mi 包含人們的儲蓄心理、消費習慣mi的方差呈現單調遞增型變化 例2：以絕對收入假設為理論假設、以截面數據為樣本建立居民消費函數： Ci=b0+b1Yi+mi 將居民按照收入等距離分成n組，取組平均數為樣本觀測值。 一般情況下，居民收入服從正態(tài)分布：中等收入組人數多，兩端收入組人數少。而人數多的組平均數的誤差小，人數少的組平均數的誤差大。 所以樣本觀測值

4、的觀測誤差隨著解釋變量觀測值的不同而不同，往往引起異方差性。 例3：以某一行業(yè)的企業(yè)為樣本建立企業(yè)生產函數模型： Yi=Aib1 Kib2 Lib3emi 被解釋變量：產出量Y 解釋變量：資本K、勞動L、技術A，那么：每個企業(yè)所處的外部環(huán)境對產出量的影響被包含在隨機誤差項中。每個企業(yè)所處的外部環(huán)境對產出量的影響程度不同，造成了隨機誤差項的異方差性。這時，隨機誤差項的方差并不隨某一個解釋變量觀測值的變化而呈規(guī)律性變化，呈現復雜型。四、異方差性的后果計量經濟學模型一旦出現異方差性，如果仍采用OLS估計模型參數，會產生下列不良后果：1. 參數估計量非有效 2. 變量的顯著性檢驗失去意義3. 模型的預

5、測失效五、異方差性的檢驗 檢驗思路：由于異方差性就是相對于不同的解釋變量觀測值，隨機誤差項具有不同的方差。那么：檢驗異方差性，也就是檢驗隨機誤差項的方差與解釋變量觀測值之間的相關性及其相關的“形式”。 問題在于用什么來表示隨機誤差項的方差一般的處理方法：首先，采用OLS估計模型，以求得隨機干擾項的估計量，稱之為“近似估計量”，用表示。于是有： 即：用表示隨機干擾項的方差。然后，尋求與X之間的相關關系幾種異方差的檢驗方法： 1. 圖示法 （1）用X-Y的散點圖進行判斷 （2）用與X散點圖進行判斷?？词欠裥纬梢恍甭蕿榱愕闹本€2. 帕克(Park)檢驗與戈里瑟(Gleiser)檢驗 基本思想: 以或

6、為被解釋變量，以原模型的某一解釋變量Xj為解釋變量，建立如下方程： 或選擇關于變量Xj的不同的函數形式，對方程進行估計并進行顯著性檢驗，如果存在某一種函數形式，使得方程顯著成立，則說明原模型存在異方差性。帕克檢驗常用的函數形式： 或 若a在統計上是顯著的，表明存在異方差性。 缺陷：f(Xj)的具體形式未知，因此需要選擇不同的解釋變量進行各種嘗試。3. 戈德菲爾德-匡特(Goldfeld-Quandt)檢驗 G-Q檢驗以F檢驗為基礎，適用于樣本容量較大、異方差遞增或遞減的情況。 G-Q檢驗的思想： 先按某一解釋變量對樣本排序，再將樣本一分為二，對子樣和子樣分別作回歸，然后利用兩個子樣的殘差平方和

7、之比構造F統計量進行異方差檢驗。 由于該統計量服從F分布，因此假如存在遞增的異方差，則F遠大于1；反之就會等于1（同方差）、或小于1（遞減方差）。 G-Q檢驗的步驟1 將n組樣本觀察值(Xi,Yi)按觀察值Xi的大小排隊；2 將序列中間大約c=n/4個觀察值除去，并將剩下的觀察值劃分為較小與較大的相同的兩個子樣本，每個子樣樣本容量均為(n-c)/2； 3 對每個子樣分別進行OLS回歸，并計算各自的殘差平方和；4 在同方差性假定下，構造如下滿足F分布的統計量5 給定顯著性水平a，確定臨界值Fa(v1,v2)， 若F Fa(v1,v2)， 則拒絕同方差性假設，表明存在異方差。當然，還可根據兩個殘差

8、平方和對應的子樣的順序判斷是遞增型異方差還是遞減異型方差。4. 懷特（White）檢驗 懷特檢驗不需要排序，且適合任何形式的異方差。 懷特檢驗的基本思想與步驟（以二元為例）： 首先，對上述二元模型作OLS估計，得到然后，做如下輔助回歸 (*)可以證明，在同方差假設下，從該輔助回歸得到的可決系數R2與樣本容量n的乘積服從輔助回歸中解釋變量個數的卡方分布 ： R2為輔助回歸(*)式的可決系數，h為(*)式中解釋變量的個數， 注意： 輔助回歸仍是檢驗與解釋變量可能的組合的顯著性，因此，輔助回歸方程中還可引入解釋變量的更高次方。如果存在異方差性，則表明確與解釋變量的某種組合有顯著的相關性，這時往往顯示

9、出有較高的可決系數以及某一參數的t檢驗值較大。當然，在多元回歸中，由于輔助回歸方程中可能有太多解釋變量，從而使自由度減少，有時可去掉交叉項。 六、異方差的修正模型檢驗出存在異方差性，則需要發(fā)展新的估計方法?？捎眉訖嘧钚《朔ǎ╓eighted Least Squares, WLS）進行估計。 加權最小二乘法的基本思想：加權最小二乘法是對原模型加權，使之變成一個新的不存在異方差性的模型，然后采用OLS估計其參數。在采用OLS方法時: 對較小的殘差平方ei2賦予較大的權數； 對較大的殘差平方ei2賦予較小的權數。 加權最小二乘法就是對下述模型實施OLS估計 例子：如果對一多元模型，經檢驗知： 可以

10、用去除原模型，變換成如下形式的新模型：新模型中，存在 即滿足同方差性，可用OLS法估計。 WLS具有比OLS更普遍的意義，或者說OLS只是WLS中權恒取1時的一種特殊情況，從此意義看，WLS又稱廣義最小二乘法（GLS）4.2 序列相關性一、序列相關性概念對于模型 隨機項互不相關的基本假設表現為 Cov(mi , mj)=0 ij, i,j=1,2, ,n相關意味著：Cov(mi , mj)0 ij, i,j=1,2, ,n如果對于不同的樣本點，隨機誤差項之間不再是不相關的，而是存在某種相關性，則認為出現了序列相關性(Serial Correlation)。 如果僅存在 E(mi mi+1)0

11、i=1,2, ,n稱為一階序列相關，或一階自相關（autocorrelation） 一階自相關往往可寫成如下形式： mi=rmi-1+ei -1r1其中：r被稱為自協方差系數（coefficient of autocovariance）或一階自相關系數（first-order coefficient of autocorrelation） ei是滿足以下標準OLS假定的隨機干擾項：序列相關性經常出現在以時間序列為樣本的模型中。 二、實際經濟問題中的序列相關性1. 經濟變量固有的慣性大多數經濟時間數據都有一個明顯的特點:慣性，表現在時間序列不同時間的前后關聯上。例如，絕對收入假設下居民總消費函數

12、模型： Ct=b0+b1Yt+mt t=1,2,n由于消費習慣的影響被包含在隨機誤差項中，則可能出現序列相關性（往往是正相關 ）。2.模型設定的偏誤 所謂模型設定偏誤（Specification error）是指所設定的模型“不正確”。主要表現在模型中丟掉了重要的解釋變量或模型函數形式有偏誤。 例如，本來應該估計的模型為 Yt=b0+b1X1t+ b2X2t + b3X3t + mt但在模型設定中做了下述回歸： Yt=b0+b1X1t+ b1X2t + vt 因此， vt=b3X3t + mt，如果X3確實影響Y，則出現序列相關。 又如：如果真實的邊際成本回歸模型應為： Yt= b0+b1Xt

13、+b2Xt2+mt其中：Y=邊際成本，X=產出。 但建模時設立了如下模型： Yt= b0+b1Xt+vt因此，由于vt= b2Xt2+mt, ，包含了產出的平方對隨機項的系統性影響，隨機項也呈現序列相關性。3. 數據的“編造”在實際經濟問題中，有些數據是通過已知數據生成的。因此，新生成的數據與原數據間就有了內在的聯系，表現出序列相關性。 例如：季度數據來自月度數據的簡單平均，這種平均的計算減弱了每月數據的波動性，從而使隨機干擾項出現序列相關。還有就是兩個時間點之間的“內插”技術往往導致隨機項的序列相關性。三、序列相關性的后果計量經濟學模型一旦出現序列相關性，如果仍采用OLS法估計模型參數，會產

14、生下列不良后果：1. 參數估計量非有效2. 變量的顯著性檢驗失去意義3. 模型的預測失效四、序列相關性的檢驗基本思路: 序列相關性檢驗方法有多種，但基本思路相同：然后，通過分析這些“近似估計量”之間的相關性，以判斷隨機誤差項是否具有序列相關性。常見的檢驗方法：1. 圖示法由于是的估計量，可以通過的變化圖來判斷序列相關性2. 回歸檢驗法如果存在某一種函數形式，使得方程顯著成立，則說明原模型存在序列相關性?；貧w檢驗法的優(yōu)點是：（1）能夠確定序列相關的形式（2）適用于任何類型序列相關性問題的檢驗。3. 杜賓瓦森（Durbin-Watson）檢驗法D-W檢驗是杜賓（J.Durbin）和瓦森(G.S.

15、Watson)于1951年提出的一種檢驗序列自相關的方法。該方法的假定條件是： （1）解釋變量X非隨機； （2）隨機誤差項mi為一階自回歸形式： mi=rmi-1+ei （3）回歸模型中不應含有滯后應變量作為解釋變量，即不應出現下列形式： Yi=b0+b1X1i+bkXki+gYi-1+mi （4）回歸含有截距項D.W. 統計量:針對原假設：H0: r=0， 構如下述統計量： 該統計量的分布與出現和給定樣本中的X值有復雜的關系，因此其精確的分布很難得到。但是，他們成功地導出了臨界值的下限dL和上限dU ，且這些上下限只與樣本的容量n和解釋變量的個數k有關，而與解釋變量X的取值無關。 D.W檢驗

16、步驟:（1）計算DW值（2）給定a，由n和k的大小查DW分布表，得臨界值dL和dU （3）比較、判斷若 0D.W.dL 存在正自相關 dLD.W.dU 不能確定 dU D.W.4dU 無自相關4dU D.W.4 dL 不能確定 4dL D.W.4 存在負自相關 當D.W.值在2左右時，模型不存在一階自相關。4. 拉格朗日乘數（LM）檢驗 拉格朗日乘數檢驗克服了DW檢驗的缺陷，適合于高階序列相關以及模型中存在滯后被解釋變量的情形。 它是由布勞殊（Breusch）與戈弗雷（Godfrey）于1978年提出的，也被稱為GB檢驗。 對于模型：如果懷疑隨機擾動項存在p階序列相關： GB檢驗可用來檢驗如下

17、受約束回歸方程： 約束條件為： H0: r1=r2=rp =0構造輔助回歸：當約束條件H0為真時，在大樣本下，其中，n為樣本容量，R2為上述輔助回歸的可決系數 給定a，查臨界值ca2(p)，與LM值比較，做出判斷，實際檢驗中，可從1階、2階、逐次向更高階檢驗。 四、序列相關的補救 如果模型被檢驗證明存在序列相關性，則需要發(fā)展新的方法估計模型。最常用的方法是廣義最小二乘法（GLS: Generalized least squares）和廣義差分法(Generalized Difference)。1. 廣義最小二乘法2. 廣義差分法 廣義差分法是將原模型變換為滿足OLS法的差分模型，再進行OLS估

18、計。如果原模型 存在可以將原模型變換為: 該模型為廣義差分模型，不存在序列相關問題?？蛇M行OLS估計。 注意： 廣義差分法就是上述廣義最小二乘法，但是卻損失了部分樣本觀測值。如：一階序列相關的情況下，廣義差分是估計下式： 六、虛假序列相關問題由于隨機項的序列相關往往是在模型設定中遺漏了重要的解釋變量或對模型的函數形式設定有誤，這種情形可稱為虛假序列相關(false autocorrelation) ，應在模型設定中排除。 避免產生虛假序列相關性的措施是在開始時建立一個“一般”的模型，然后逐漸剔除確實不顯著的變量。4.3 多重共線性一、多重共線性的概念對于模型 Yi=b0+b1X1i+b2X2i

19、+bkXki+mi i=1,2,n其基本假設之一是解釋變量是互相獨立的。如果某兩個或多個解釋變量之間出現了相關性，則稱為多重共線性。如果存在 c1X1i+c2X2i+ckXki=0 i=1,2,n 其中: ci不全為0，則稱為解釋變量間存在完全共線性（perfect multicollinearity）。如果存在 c1X1i+c2X2i+ckXki+vi=0 i=1,2,n 其中ci不全為0，vi為隨機誤差項，則稱為近似共線性或交互相關。在矩陣表示的線性回歸模型 Y=Xb+m中，完全共線性指：秩(X)k+1，即中，至少有一列向量可由其他列向量（不包括第一列）線性表出。 如：X2= lX1，則X

20、2對Y的作用可由X1代替。二、實際經濟問題中的多重共線性一般地，產生多重共線性的主要原因有以下三個方面： （1）經濟變量相關的共同趨勢 時間序列樣本：經濟繁榮時期，各基本經濟變量（收入、消費、投資、價格）都趨于增長；衰退時期，又同時趨于下降。橫截面數據：生產函數中，資本投入與勞動力投入往往出現高度相關情況，大企業(yè)二者都大，小企業(yè)都小。（2）滯后變量的引入在經濟計量模型中，往往需要引入滯后經濟變量來反映真實的經濟關系。 例如，消費=f(當期收入, 前期收入） 顯然，兩期收入間有較強的線性相關性。（3）樣本資料的限制由于完全符合理論模型所要求的樣本數據較難收集，特定樣本可能存在某種程度的多重共線性

21、。一般經驗：時間序列數據樣本：簡單線性模型，往往存在多重共線性。截面數據樣本：問題不那么嚴重，但多重共線性仍然是存在的。三、多重共線性的后果 1. 完全共線性下參數估計量不存在2. 近似共線性下OLS估計量非有效3. 參數估計量經濟含義不合理如果模型中兩個解釋變量具有線性相關性，例如 X2= lX1 ，這時，X1和X2前的參數b1、b2并不反映各自與被解釋變量之間的結構關系，而是反映它們對被解釋變量的共同影響。b1、b2已經失去了應有的經濟含義，于是經常表現出似乎反常的現象：例如b1本來應該是正的，結果恰是負的。4. 變量的顯著性檢驗失去意義5. 模型的預測功能失效四、多重共線性的檢驗多重共線性表現為解釋變量之間具有相關關系，所以用于多重共線性的檢驗方法主要是統計方法：如判定系數檢驗法、逐步回歸檢驗法等。 多重共線性檢驗的任務是： （1）檢驗多重共線性是否存在； （2）估計多重共線性的范圍，即判斷哪些變量之間存在共線性。 1. 檢驗多重共線性是否存在(1)對兩個解釋變量的模型，采用簡單相關系數法 求出X1與X2的簡單相關系數r，若|r|接近1，則說明兩變