《命題與證明》知識(shí)講解

1、命題與證明?知識(shí)講解宋老師【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1了解定義、命題、真命題、假命題的含義，會(huì)區(qū)分命題的題設(shè)(條件)和結(jié) 論，會(huì)判斷一個(gè)命題的真假；2了解綜合法的證明步驟和書寫格式 . 3運(yùn)用平行線的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理及其推論去解決一些簡單的 問題，用幾何語言進(jìn)行簡單的推理論證 .4. 了解逆命題的概念， 會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆命題， 并知道原命題成立， 逆命題不一定 成立. 會(huì)判斷一個(gè)命題的逆命題的真假 .【要點(diǎn)梳理】 要點(diǎn)一、定義、命題、真命題、假命題定義：對名稱或術(shù)語的含義進(jìn)行描述或做出規(guī)定，就是給它們的定義 . 命題：判斷一件事情的句子叫命題真命題：如果條件成立，那么結(jié)論成立，這樣的命題叫做真

2、命題 . 假命題：如果條件成立時(shí)， 不能保證結(jié)論總是正確的， 也就是說結(jié)論不成立， 這樣的命題叫做假命題 .要點(diǎn)詮釋： 命題屬于判斷句或陳述句， 是對一件事情作出判斷，與判斷的正 確與否沒有關(guān)系其中命題的題設(shè)是事項(xiàng)， 結(jié)論是由事項(xiàng)推出的事項(xiàng) 當(dāng) 證明一個(gè)命題是假命題時(shí)只要舉出一個(gè)反例就可以， 即只需列出一個(gè)具備條件而 不具備結(jié)論的例子即可 .要說明一個(gè)真命題，那么要從命題的條件出發(fā)，根據(jù)已學(xué) 過的根本領(lǐng)實(shí)、定義、性質(zhì)和定理等，進(jìn)行有理有據(jù)的推理 ,證明它的正確性 . 要點(diǎn)二、證明根據(jù)真命題， 確定某個(gè)命題的真實(shí)性的過程， 叫做證明經(jīng)過證明的真 命題稱為定理 .證明過程必須做到言必有據(jù) .證明過

3、程通常包含幾個(gè)推理，每個(gè)推理都應(yīng)包 括因、果和有因得果的依據(jù) .其中，“因是事項(xiàng)，“果是推出的結(jié)論； “有因得果的依據(jù)是根本領(lǐng)實(shí)、定義、已學(xué)過的定理以及等式性質(zhì)、不等式性 質(zhì).證明的步驟： 1.根據(jù)題意，畫出圖形；2.根據(jù)命題的條件、結(jié)論，結(jié)合圖形，寫出、求證；3.寫出證明過程 .要點(diǎn)詮釋： 推理和證明是有區(qū)別的， 推理是證明的組成局部， 一個(gè)證明過程 往往包含多個(gè)推理 .要點(diǎn)三、三角形的內(nèi)角和定理及其推論三角形的內(nèi)角和定理：三角形的三個(gè)內(nèi)角的和等于 180. 推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和 .要點(diǎn)詮釋： (1)三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角每個(gè)三 角形都有三個(gè)內(nèi)

4、角，且每個(gè)內(nèi)角均大于 0且小于 180(2) 三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用主要用在求三角形中角的度數(shù)直接根據(jù)兩角求第三個(gè)角；依據(jù)三 角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個(gè)角；在直角三角形中，一銳角可利用 兩銳角互余求另一銳角.(3) 三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三 角形的外角.三角形共有六個(gè)外角，其中有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)相等，因此共有三對.(4) 三角形的外角性質(zhì)： 三角形的外角和為360 . 三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和. 三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.(5) 假設(shè)研究的角比擬多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)將它們轉(zhuǎn)化到一 個(gè)三角形中去.要點(diǎn)四、

5、互逆命題在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題 的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題.其中一個(gè)命題是 另一個(gè)命題的逆命題.把一個(gè)命題的條件與結(jié)論互換，就得到它的逆命題，我們能夠判斷一個(gè)命題 及其它的逆命題的真假.證明一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例就可以了 .要點(diǎn)詮釋：每一個(gè)命題都有對應(yīng)的逆命題，一個(gè)真命題的逆命題不一定是真 命題，同樣一個(gè)假命題的逆命題也不一定仍為假命題 .反例就是復(fù)合命題的條件，但不符合命題的結(jié)論的例子，它可以是數(shù)值、圖 形，也可以是文字說明.一個(gè)命題的反例可以有很多個(gè)，解題時(shí)只需要舉出其中 最易懂的一個(gè)即可.【典型例題】類型

6、一、逆命題與逆定理1.以下命題是真命題的是()A. 如果|a|=1，那么a=1B. 有兩條邊相等的三角形是等腰三角形 C如果a為實(shí)數(shù)，那么a是有理數(shù)D.相等的角是對頂角.；【答案】B.【解析】如果|a|=1，那么a= 1,故A錯(cuò)誤；如果a為有理數(shù)，那么a是實(shí)數(shù)， 故C錯(cuò)誤；兩個(gè)直角三角形中的兩個(gè)直角相等，但不是對頂角，故D錯(cuò)誤；而B根據(jù)等腰三角形的定義可判斷正確；【總結(jié)升華】主要考查命題的真假，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命 題.判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的定義 .舉一反三：【變式】(2021春？東平縣期中)以下句子中，不是命題的是()A 三角形的內(nèi)角和等于 180 B 對頂角相

7、等C.過一點(diǎn)作直線的平行線 D .兩點(diǎn)確定一條直線【答案】C.C不是可以判斷真假的陳述句，不是命題；A、B、D均是用語言表達(dá)的、可以判斷真假的陳述句，都是命題.應(yīng)選c.2. 以下命題中，逆命題正確的選項(xiàng)是A.對頂角相等B.直角三角形兩銳角互余C. 全等三角形面積相等D.全等三角形對應(yīng)角相等【答案】B.【解析】A選項(xiàng)逆命題是相等的角是對頂角，不對；B選項(xiàng)逆命題是兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形，對的；C選項(xiàng)逆命題是面積相等的三角形是全等 三角形顯然不對；D選項(xiàng)的逆命題是對應(yīng)角相等的三角形是全等三角形，不一 定，也可能是相似三角形【總結(jié)升華】判斷逆命題是否正確，能舉出反例即可 舉一反三：【變式】試

8、將以下各個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論相互顛倒，得到新的命題，并判斷這 些命題的真假.1對頂角相等；2兩直線平行，同位角相等；假設(shè)a=0，那么ab=O;4兩條直線不平行，那么一定相交；【答案】對頂角相等真；相等的角是對頂角假；2兩直線平行，同位角相等真；同位角相等，兩直線平行真；3假設(shè) a=0,那么 ab=O真；假設(shè) ab=O,那么 a=0假；兩條直線不平行，那么一定相交假；兩條直線相交，那么一定不平行真；3. 對于同一平面內(nèi)的三條直線a、b、c,給出以下五個(gè)論斷：a/ b；b / c；a丄b；a / c；a丄c，請你以其中兩個(gè)作為題設(shè)，另一個(gè)作為結(jié)論， 用“如果，那么的形式，寫出兩個(gè)正確的命題.【思路點(diǎn)

9、撥】同一平面內(nèi)，根據(jù)垂直于同一直線的兩直線平行； 平行于同一直線 的兩直線平行，那么可由得到；由得到.【答案與解析】解：如果a丄b，a丄c，那么b / c；女口果a / b，b/ c，那么a / c.【總結(jié)升華】此題考查了命題：判斷事物的語句叫命題，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題為假命題；命題分為題設(shè)與結(jié)論兩局部.也考查了平行線的性質(zhì). 類型二、證明舉例1 平行線的性質(zhì)與判定進(jìn)行幾何證明：4. 2021春？姜堰市期末如圖，直線 AB和直線CD、直線BE和直線CF都被直線 BC所截. AB丄BC、CD丄BC，BE / CF,，求證：/仁/ 2.【思路點(diǎn)撥】由于AB丄BC、CD丄BC得到AB /

10、CD，利用平行線的性質(zhì)得到 / ABC= / DCB , 又 BE / CF，貝U / EBC= / FCB，可得到 / ABC - / EBC= / DCB - / FCB，即有 / 1 = / 2.【答案與解析】證明：/ AB 丄 BC、CD 丄 BC , AB / CD , / ABC= / CB,又 BE / CF, / EBC= / FCB , / ABC - / EBC= / DCB - / FCB , / 1 = / 2 .【總結(jié)升華】此題考查的是平行線的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用舉一反三：【變式】如下圖，E在直線DF上，B在直線AC上，假設(shè)/ AGBM EHF / C=Z D, 試判

11、斷/ A與/F的關(guān)系，并說明理由.【答案】/ A=Z F.證明：I / AGBM DGF / AGBM EHF Z DGF/ EHF BD/ CE Z C=Z ABD又/ C=Z D, Z D=Z ABD DF/ AC; Z A=Z F.(2)與三角形有關(guān)的幾何證明：5. 如圖，三角形ABQ的三個(gè)內(nèi)角平分線交于點(diǎn)I , IH丄BC于 H,試比擬 Z CIH和Z BID的大小.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理可知Z BADZ ABI+Z HCI=90.又因?yàn)閆 BADZ ABI=Z BID，90 - Z HCI=Z CIH，所以Z BID=Z CIH.【答案與解析】證明： AI、

12、BI、CI為三角形ABC的角平分線， Z BADZ BAC，Z ABI=丄 Z ABC Z HCI=丄 Z ACB2 2 2 Z BADZ ABI+Z HCI1 1 1=1 Z BAC+1 Z ABC+1 Z ACB2 2 21=丄(Z BACZ ABCZ ACB21=丄 x1802=90. Z BADZ ABI=90 - Z HCI.v IH 丄 BC Z IHC=90 90 - / HCI=/ CIH,/ CIH=Z BAD/ ABIvZ BID=/ BAD/ ABI (三角形的一個(gè)外角等于與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的 和)Z BID=Z CIH.【總結(jié)升華】考查了角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定

13、理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和為180,在推導(dǎo)角的關(guān)系時(shí)，一定不要忘記與三角形有關(guān)的角中還有一個(gè)特別 重要的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和(3)文字命題的證明：G 6、求證：等邊三角形內(nèi)部任一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值 .【思路點(diǎn)撥】先畫圖，設(shè)等 邊三角形的邊長為a,高為h,再利用三角形的 面積公式來求，原三 角形分成三個(gè)大小不等的三個(gè)三角形，三個(gè)三角形 的面 積和 與原 三角 形的面 積相 等，即Sa abc=Sa pab+Sa pbc+Sa pac ；可得 h=PE+PF+PD.【答案與解析】：如圖， ABC是等邊三角形，P是三角形內(nèi)任一點(diǎn)，PEL AB PGL AC PF丄BC垂 足分別為E、G F，求證：PE+PG+P