三角形中做輔助線的技巧

1、三角形中做輔助線的技巧口訣:三角形圖中有角平分線,可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線, 等腰三角形來添。角平分線加垂線, 三線合一試試看。線段垂直平分線, 常向兩端把線連。線段和差及倍半, 延長縮短可試驗。線段和差不等式, 移到同一三角去。三角形中兩中點, 連接則成中位線。三角形中有中線, 延長中線等中線。一、由角平分線想到的輔助線口訣:圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角 形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對稱性；b角平分線上的點到角兩邊的距離相等。對于有角平分線的輔 助線的作法，

2、一般有兩種。從角平分線上一點向兩邊作垂線;利用角平分線，構(gòu)造對稱圖形（如作法是在一側(cè)的長邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對稱圖形。至于 選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線（一）、截取構(gòu)全等女口圖 1-2, AB/CD, BE平分/ BCD, CE平分/ BCD,點 E在 AD 上，求證：BC=AB+CD已知：如圖 1-4，在 ABC中，/ C=2/ B,AD平分/ BAC,求證：AB-AC=CD（二）、角分線上點向角兩邊作垂線構(gòu)全等DCC過角平分線上一點向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問

3、題。如圖 2-1,已知 AB>AD, / BAC=Z FAC,CD=BC求證:ADC£ B=180圖2-1已知如圖2-3, ABC的角平分線BM、CN相交于點P。求證：/ BCMFAC的平分線也經(jīng)過點 Po練習(xí):1.如圖 2-4/AOP=/BOP=15 , PC/OA, PD丄0A,如果 PC=4, _則 PD=(2.已知:如圖2-6,在正方形ABCD中，E為CD的中點，F(xiàn)為BCDEC上的點,/ FAE=/ DAEo 求證：AF=AD+CF3.已知:女口圖 2-7,在 RtA ABC 中，/ ACB=90 ,CDI AB,垂足為 D, AE 平分/ CAB 交 CD 于 F,H

4、/AB 交 BC于 Ho 求證 CF=BHB（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個等腰三角形，垂足為底邊 上的中點，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交）(AB-AC)1例 1 .已知：如圖 3-1,/ BAD=Z DAC, AB>AC,CDL AD 于 D, H 是 BC 中點。求證：DH=-分析：延長CD交AB于點E,則可得全等三角形。問題可證。h 圖示3-1例 2.已知：如圖 3-2 , AB=AC / BA

5、C=90, AD 為/ ABC的平分線，CEXBE.求證：BD=2CE分析：給出了角平分線給出了邊上的一點作角平分線的垂線，可延長此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)F圖3-2造出等腰三角形。例3.已知：如圖3-3在 ABC中，AD、AE分別/ BAC的內(nèi)、外角平分線，過頂點 B作BFAD交AD的延長線于F,連結(jié)FC并延長交 AE于M。求證:AM=ME。EN 圖 3-3分析：由AD、AE是/ BAC內(nèi)外角平分線，可得 EAX AF,從而有BF/AE,所以想到利用比例線段證相等。例3.已知：如圖3-4，在 ABC中，AD平分/ BAC, AD=AB, CM丄AD交AD延長線于 M o求證:AM=1 (A

6、B+AC)2分析：題設(shè)中給出了角平分線 AD,自然想到以AD為軸作對稱變換，作 ABD關(guān)于AD的對稱 AED,然后只需證DM= 1 EC另外由求證的結(jié)果 AM=1 (AB+AC),即2AM=AB+AC,也可嘗試作 ACM關(guān)于C2 2M的對稱FCM,然后只需證DF=CF即可。練習(xí)：1. 已知：在 ABC中，AB=5, AC=3, D是BC中點，AE是/ BAC的平分線，且 CEX AE于E,連接DE，求 DEo2. 已知BE、BF分別是 ABC的/ABC的內(nèi)角與外角的平分線，AF丄BF于F, AE丄BE于E,連接EF分另U交AB、AC于M、N,求證 MN=1bC2（四）、以角分線上一點做角的另一

7、邊的平行線4-1和圖4-2所示。有角平分線時，常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形?；蛲ㄟ^一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖圖4-1圖4-2如圖，BC>BA BD平分/ ABC,且 AD=CD,求證：/ A+Z C=18Q如圖，AB/ CD, AE、DE分別平分/ BAD各/ ADE 求證：AD=AB+CD練習(xí):1.已知，如圖，/ C=2/ A, AC=2BC求證： ABC是直角三角形。2.已知：如圖，AB=2AC, /仁/ 2，DA=DB 求證：DC丄 AC3.已知CE AD是 ABC的角平分線,/ B=60

8、6;，求證:AC=AE+CD4.已知：如圖在 ABC中，/ A=90°,AB=AC,BD是/ ABC的平分線，求證： BC=AB+AD由線段和差想到的輔助線口訣:線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長補短法:1、截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條;2、補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。對于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊, 故可想辦法放在一個三角形中證明。在利用三角形三邊關(guān)系證明線

9、段不等關(guān)系時，如直接證不出來，可連接兩點或廷長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如:例1、 已知如圖1-1 : D、E為厶ABC內(nèi)兩點，求證:AB+AC>BD+DE+CE. 有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如:123例如：如圖3-1 :已知 AD為厶ABC的中線，且/ 仁/ 2,/3=/ 4,求證：BE+CF>EF三、截長補短法作輔助線。例如：已知如圖 6-1 :在 ABC中，AB>AC /仁/2 , P為AD上任一點A12求證：AB-AC> PB-PC例 1 如圖，AC平分/ BAD,

10、CE± AB,且/ B+Z D=180°,求證：AE=AD+BE例 2 女口圖，在四邊形 ABCD中, AC平分Z BAD, CE±AB于 E, AD+AB=2AE求證：Z ADC+Z B=180o例3已知：如圖，等腰三角形 ABC中，AB=ACA=1O8°, BD平分 ABC求證：BC=AB+DC例4如圖，已知RtA ABC中，Z ACB=90°, AD是Z CAB的平分線，DM丄AB于M ,且AM=MB。求證:cd=2 dBo【方法精講】常用輔助線添加方法一一倍長中線延長AD到E,使 DE=AD,方式2:間接倍長E作CF丄AD于F, C延長

11、MD到N,作BE丄AD的延長線于使 DN=MD,連接BE連接CD【經(jīng)典例題】 例1 : ABC中，AB=5, AC=3,求中線AD的取值范圍提示：畫出圖形，倍長中線 AD,利用三角形兩邊之和大于第三邊例2 :已知在 ABC中，AB=AC D在AB 上, E在AC的延長線上，DE交BC于F，且DF=EF求證：BD=CE方法1:過 D 作 DG/ AE 交 BC于 G,證明 DGFA CEF方法2:過E作EG/ AB交BC的延長線于 G,證明 EFGA DFB方法3:過D作DG丄BC于G,過E作EH丄BC的延長線于 HE證明 BDG ECH例3:已知在 ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一

12、點，且BE=AC延長BE交AC于F,求證：AF=EF提示：倍長AD至G,連接BG,證明 BDG CDA三角形BEG是等腰三角形例4:已知：如圖，在 ABC中，AB AC , D、E在BC上，且DE=EC過D作DF / BA交ae于點F,DF=AC.求證:AE平分 BAC第1題圖提示:方法1:倍長AE至G,連結(jié)DG 方法2:倍長FE至H,連結(jié)CHA例 5 :已知 CD=AB / BDA=Z BAD, AE 是 ABD 的中線，求證：/ C=Z BAE提示：倍長 AE至F，連結(jié)DF證明 ABEA FDE( SAS進而證明 ADFA ADC ( SAS【融會貫通11、在四邊形 ABCD中，AB /D

13、C, E為BC邊的中點，/ BAE=/ EAF, AF與DC的延長線相交于點 F。試探究D線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論提示：延長AE、DF交于G證明 AB=GG AF=GFC所以 AB=AF+FC2、如圖，AD為 ABC的中線，DE平分 BDA交AB于E, DF平分 ADC交AC于F.求證：BE CF EF提示: 方法 1:在 DA 上截取 DG=BD,連結(jié) EG FG證明 BDEA GDE DCFA DGF 所以 BE=EG CF=FG利用三角形兩邊之和大于第三邊方法2 :倍長ED至H，連結(jié)CH、FH證明FH=EF CH=BE利用三角形兩邊之和大于第三邊3、已知：如圖，

14、 ABC中， C=90, CM AB于M , AT平分 BAC交CM于D，交BC于T,過D作DE/AB交BC于E,求證：CT=BE.提示:過T作TN丄AB于NAl M,?廠 dTv- = -、 電“ X E丄h TC證明 BTNA ECD由中點想到的輔助線口訣：三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。在三角形中，如果已知一點是三角形某一邊上的中點，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、 加倍延長中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過探索，找 至懈決問題的方法。（一）、中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形即如圖1，AD是ABC勺

15、中線，則Saab=&ac=2 Saabc（因為ABD與ACD是等底同高的）。/I例1.如圖2, ABC中，AD是中線，延長 AD至E,使DE=AD, DF是DCE勺中線。已知 ABC勺面積為2,求：ACDF勺面積。（二）、由中點應(yīng)想到利用三角形的中位線例2.如圖3，在四邊形ABCD中,AB=CD, E、F分別是BC AD的中點，BA、CD的延長線分別交EF腎的延長線G、H。求證：/ BGE=/ CHE=n（三）、由中線應(yīng)想到延長中線例3 .圖4，已知 ABC中，AB=5,AC=3,連BC上的中線 AD=2,求BC的長。 ABC是等腰三C"1 例4 .如圖5，已知 AABC中，

16、AD是/ BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證:角形。E5（四）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例5 .如圖6，已知梯形 ABCD中，AB/DC, AC丄BC, AD丄BD,求證：AC=BC。（五）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線例6 .如圖7，ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90，BD平分/ ABC交AC于點D，CE垂直 請遼罡 于BD，交BD的延長線于點 E。求證：BD=2CE（六）中線延長I口訣：三角形中有中線，延長中線等中線。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長加倍此線段，再將端點連結(jié)，便可得到全等三角形。例一：如圖4-1 : AD為 ABC的中線，且/ 仁/2,Z

17、 3=/4，求證：BE+CF>EFA1234DA例二：如圖5-1 : AD為 ABC的中線，求證： AB+AC>2AD練習(xí):如圖,AB=6, AC=8, D為BC的中點，求 AD的取值范圍。如圖,AB=CD, E為 BC 的中點，/ BAC=Z BCA，求證:如圖,AB=AC, AD=AE M 為 BE 中點，/ BAC=Z DAE=90°4,已知 ABC, AD是BC邊上的中線，分別以 AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖5-2，求證 EF=2AD。5.已知：如圖AD ABC 的中線，AE=EF 求證：BF=AC鞏固練習(xí)1、如圖，D,上的點P處.E分別為

18、ABC的AC , BC邊的中點，將此三角形沿 DE折疊,使點C落在AB邊若 CDE 48°，則APD等于（）A. 42°B. 48°52 °D. 58 °CB2、如圖所示，圖中三角形的個數(shù)共有（)A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個3、如圖， ABC的周長為32，且AB AC, AD BC于D , ACD的周長為24,那么AD 的長為.4、長度為 2 cm、3 cm、4 cm、5 cm的四條線段，從中任取三條線段能組成三角形的概率是5、如圖，在 ABC中,AD丄BC于D,且/ ABO 2 / C求證:CD= AB+BD.6、如圖，在 ABC中,/ BAC / BCA的平分線相交于點 0,過點0作DE/ AC,BC于點D、E試猜想線段AD、CEDE的數(shù)量關(guān)系，并說明你的猜想理由分別交AB、7、AD為 ABC的中線，求證:AB+ AO 2AD。8 已知D為 ABC內(nèi)的任一點，求證：/ BDOZ BAG2、遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”。1、已知