方差分析教材(共5頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上方差分析一、單因子方差分析：三個工廠生產同一種零件，為了了解不同工廠的零件的強度有無明顯的差異，現(xiàn)分別從每一個工廠隨機抽取四個零件測定其強度，數(shù)據(jù)如表所示，試問三個工廠的零件強度是否相同？工廠零件強度甲10310198110乙113107108116丙82928486首先我們來熟悉一下概念：1） 因子：對指標有影響的因素稱為因子，因子通常用大寫字母A、B、C等表示。在上例中，工廠別是因子。2） 水平：在試驗中因子所處的狀態(tài)稱為因子水平，（即因子的屬性有多少個即稱多少水平）用因子的字母加標來表示，譬如因子A的水平用A1、A2、A3來表示。上例有三個工廠分別為：甲、乙、丙

2、，我們分別用A1、A2、A3來表示。3） 試驗條件：在一次試驗中每一個因子總取一個特定的水平，若干個因子各取一個特定的水平的組合，稱其為一個試驗條件。上例中只有一個水平，所以，一個水平便是一個試驗條件。4） 指標：衡量試驗條件好壞的量稱為指標，用y來表示，它是一個隨機變量。在例中零件強度就是試驗指標。工廠零件強度yij（i為不同水平:廠，j為同一水平內數(shù)排列）(同水平)和均值甲A1103 y11101 y1298 y13110 y14412 T1103 1乙A2113 y21107 y22108 y23116 y24444 T2111 2丙A382 y3192 y3284 y3386 y343

3、44 T386 3總平均值1001、平方和分解：1）總的偏差平方和用ST（otal）來表示：為總平均值ST即所有的值同總平均值差的平方和?？倲?shù)據(jù)為n個（nr×m），故自由度fTn-12、組間偏差平方和，也稱為因子A的偏差平方和，用SA來表示：SAm(103-100)2+(111-100)2+(86-100)2，自由度fAr-13、組內偏差平方和即隨機偏差：Se （STSASe，所以只需計算兩個即可。）Se每組內數(shù)同組內平均值的平方和，然后三組的平方和相加。自由度fer（m-1）4、因子或誤差的均方和：MSASA/fA，MSeSe/fe5、F比與拒絕域：FMSA/ Se/fe，當H0成

4、立時，統(tǒng)計量F的分布為自由度是fA、fe的分布。當FF1（fA，fe）時，認為因子A是顯著的，即諸均值不全相等；當FF1（fA，fe）時，認為因子A不顯著。上述例子得出的結果：當0.05時，F(xiàn)31.21，F(xiàn)0.95（2，9）4.26，由于F4.26，所以在0.05水平上我們的結論是因子廠家是顯著的。結論：因為因子A顯著，這就表明不同的工廠生產的零件強度有明顯的差異。·備注：如果每個水平下的試驗次數(shù)不同時，即mi不同時，步驟仍然相同，只是在計算中有兩個改動：n；SA其他一樣。二、雙因子方差分析：如果在一個試驗中需要同時考察兩個因子A與B，并設因子A有r個水平，因子B有s個水平，這時共有

5、nrs個不同的試驗條件，也就是說有n總體。為了減少某種鋼材淬火后的彎曲變形，對四種不同的材質（B1B4）分別進行五種不同的淬火溫度（800880記為A1A5）進行試驗，測得淬火后樣品的眼神率數(shù)據(jù)如下：Ai BjB1B2B3B4行和Ti平均A1: 8004.4 y115.2 y124.3 y134.9 y1418.84.700A2: 8205.3 y215.0 y225.1 y234.7 y2420.15.025A3: 8405.8 y315.5 y324.8 y334.9 y3420.05.250A4: 8606.6 y416.9 y426.6 y437.3 y4427.46.850A5: 8

6、808.4 y518.3 y528.5 y537.9 y5433.18.275列和 T.j30.5 T.130.9 T.229.3 T.329.7 T.4總和T：120.4平均 6.10 6.18 5.86 5.94 ：6.020這里r4，s5，nrs20現(xiàn)在做這樣的假設：每一個總體的分布是正態(tài)分布，其均值為，它與因子A及B的水平有關，方差相同，數(shù)據(jù)相互間是獨立的。·無交互作用 ·有正向交互作用 ·有反向交互作用A1 A2 A1 A2 A1 A2B1B2B1B2B1B21、 ·交互作用：·無交互作用：無論B因子取何種水平，因子A兩個水平時所得到

7、的指標均值關系都是一樣。即可稱A、B因子間無交互作用。·正向交互作用：A因子的兩個水平總是總是呈現(xiàn)相同的趨勢，但是在另一個因子B的影響下，趨向更大。·反向交互作用：如上圖2、無交互作用時的兩因子方差分析：ST=SA+SB+Se，fT=fA+fBfe；ST，fT=rs-1；SA，fAr-1；SB，fBs-1；Se，fe fTfAfB利用上述例子得到如下數(shù)據(jù)表格：來源偏差平方和自由度均方和F比因子A36.397 SA4 fA9.0992 MSA66.76因子B0.32030.10670.78誤差e13635120.1363總計T38.35219查表得：在0.05，從F分布表中查

8、得F0.95（4，12）3.26，F(xiàn)0.95（3，12）3.49。結論：·由于求得的FA66.76>3.26，所以，在0.05水平上，因子A對延伸率有顯著影響；·由于求得的FB0.78<3.49，所以，在0.05水平上，因子B對延伸率沒有顯著影響。·因為因子B不顯著，這表明不同材質的延伸率間沒有明顯的差異，因為因子A是顯著的，這表明淬火溫度對延伸率的均值有顯著影響。一看即可清楚不同淬火溫度下的指標值才是關鍵因子。3、有交互作用時的兩因子方差分析：當需要考察兩因子A與B的交互作用時，重復試驗是不可缺少的。在各種因子搭配下，每次都要重復進行m次試驗，（這里

9、分析的是重復數(shù)一樣，即m一樣。）壓板工序盒厚同壓合的溫度合壓力有關，現(xiàn)對其進行試驗，并取得結果如圖： B溫度 B壓力B1·60B2·70B3·80行和T.j平均A1: 2.04.6 4.3 y111 y112y11mT118.94.6+4.36.1 6.5y121 y122y12mT1212.66.8 6.4y131 y132y13mT1313.2T.1：34.78.9+12.6+13.21.5.78A2: 2.56.3 6.7Y211 y212: r2T2113.03.4 3.8Y221 y222: T227.24.0 3.8Y231 y232: T237.8T

10、.2：28.02.5.025A3: 3.04.7 4.3y311 y312: r3T319.03.9 3.5y311 y312: T327.46.5 7.0y311 y312: T3313.5T.3：29.93.5.250列和 Ti.T1.=30.9(8.9+13+9)T2.=27.7T3.=34.5總和:92.6平均 .i. 5.15 .1.4.53 .2 .5.75.3. ：6.020·其中i表示不同的因子A的水平，即不同行中的i不同，第一行中i1，第二行中i2，一直到r。即壓力因子A有r個水平。·其中j表示不同因子B的水平，即不同列中的j不同，第一列中j1，第二列中j

11、2，一直到s。即溫度因子B有s個水平。·其中k表示不同的因子搭配中的重復試驗結果，1表示第一個試驗結果，2表示第二個試驗結果，直到m，即每個搭配都試驗了m次。類似前面一樣進行平方和分解：·總偏差的平方和可以分解為四項：ST=SA+SB+SA×B+Se，fT=fA+fB+fA×B+fe其中SA、SB、SA×B、Se分別為因子A、因子B、交互作用A×B及誤差的偏差平方和，fA+fB+fA×B+fe分別為它們的自由度，它們的表達式合計算公式如下： ST，fTn1rsm1每個值同差值平方和 SA，fAr-1，每行中的平均值5.78、

12、5.025、5.250和總平均值6.02之間差的平方和。 SB=，fB=s-1，即每列的平均值5.15、4.53、5.75同總平均值6.02之間差的平方和。 SA×BfA×BfA×fB（r1）（s1）ij.的平均值即是每個因子搭配中的重復數(shù)據(jù)的平均值比如11.（4.6+4.3）/2（總體為每個搭配中的重復數(shù)據(jù)的平均值加上總平均值，減去同列平均值，再減同行平均值）的平方和。 SeSTSASBSA×BfefTfA+fB+fA×Brs（m1） nrsm。方差分析表來源偏差平方和自由度均方和偏差平方和/自由度F比因子ASAfA=r1MSA=SA/ fAFA=MSA / MSe因子BSBfBs1MSBSB/ fBFB=MSB / MSe交互作用A×BSA×BfA×B（r1）（s1）MSA×BSA×B/