劉徽陽馬術(shù)的直觀證明_第1頁
劉徽陽馬術(shù)的直觀證明_第2頁
劉徽陽馬術(shù)的直觀證明_第3頁
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文檔簡介

1、劉徽陽馬術(shù)的直觀理解 劉徽的九章算術(shù)注中有這樣的記載：“邪解立方有兩塹堵，邪解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑，陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也?！币馑际钦f：把一塊立方體沿斜線分成相同的兩塊，這兩塊叫做塹堵，再把一塊塹堵沿斜線分成兩塊，大的叫陽馬，小的叫鱉臑，兩者體積比為2：1，這個(gè)比率是不變的。（如圖1） 圖1 劉徽對此的證明運(yùn)用了出入相補(bǔ)原理和無窮分割求和原理，具體如下：把陽馬和鱉臑沿各邊的中點(diǎn)做進(jìn)一步的分割（如圖2），這樣就把陽馬分成了2個(gè)小陽馬，1個(gè)小立方體和2個(gè)小塹堵；把鱉臑分成了2個(gè)小鱉臑和2個(gè)小塹堵。先把2個(gè)小陽馬和2個(gè)小鱉臑放一邊，則各自剩下的部分體積比顯然為2：1。再將放一邊的小陽馬

2、和小鱉臑做同樣的分割，則可得到更小的陽馬、立方體、塹堵和鱉臑，把4個(gè)小小陽馬和4個(gè)小小鱉臑放一邊，各自剩下的部分體積比仍然為2：1。此過程可以無限的做下去，直到剩余部分體積為0。而整個(gè)過程中各自剩下部分體積比總為2：1。這樣劉徽就證明了“不易之率”。 圖2 但劉徽出入相補(bǔ)和無窮分割的方法有點(diǎn)難懂，其實(shí)，陽馬術(shù)有一個(gè)更直觀的理解，方法如下：在陽馬的底面再做一條對角分割線，即把陽馬分成了三棱錐E-ABC和三棱錐E-BCD兩塊（如圖3）。再把整個(gè)塹堵進(jìn)行空間旋轉(zhuǎn)得到圖4，對比圖3和圖4，顯然有三棱錐E-ABC 三棱錐E-BDF，則體積相等。最后把陽馬單獨(dú)拿出來觀察（如圖5），顯然三棱錐E-ABC與三棱錐E-BCD對稱，則兩者體積相等。綜上，三

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