小學(xué)典型應(yīng)用題類型匯總

1、小學(xué)數(shù)學(xué)典型應(yīng)用題小學(xué)數(shù)學(xué)中把含有數(shù)量關(guān)系的實(shí)際問題用語言或文字?jǐn)⑹龀鰜?，這樣所形成的題目叫做應(yīng)用題。任何一道應(yīng)用題都由兩部分構(gòu)成。第一部分是已知條件（簡稱條件），第二部分是所求問題（簡稱問題）。應(yīng)用題的條件和問題，組成了應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)。沒有特定的解答規(guī)律的兩步以上運(yùn)算的應(yīng)用題，叫做一般應(yīng)用題。題目中有特殊的數(shù)量關(guān)系，可以用特定的步驟和方法來解答的應(yīng)用題，叫做典型應(yīng)用題。這本資料主要研究以下30類典型應(yīng)用題：  1、歸一問題  2、歸總問題  3、和差問題  4、和倍問題  5、差倍問題  6、倍比問題  7、相遇問題

2、0; 8、追及問題  9、植樹問題 10、年齡問題11、行船問題12、列車問題13、時鐘問題14、盈虧問題15、工程問題16、正反比例問題17、按比例分配18、百分?jǐn)?shù)問題19、“牛吃草”問題20、雞兔同籠問題21、方陣問題22、商品利潤問題23、存款利率問題24、溶液濃度問題25、構(gòu)圖布數(shù)問題26、幻方問題27、抽屜原則問題28、公約公倍問題29、最值問題30、列方程問題1 歸一問題【含義】在解題時，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。這類應(yīng)用題叫做歸一問題?！緮?shù)量關(guān)系】總量÷份數(shù)1份數(shù)量1份數(shù)量×所占份數(shù)所求幾份的數(shù)量另

3、一總量÷（總量÷份數(shù)）所求份數(shù)【解題思路和方法】先求出單一量，以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。例1、買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢？解：÷50.12（元）×161.92（元）列成綜合算式：÷5××161.92（元）例2 3臺拖拉機(jī)3天耕地90公頃，照這樣計算，5臺拖拉機(jī)6 天耕地多少公頃？解：（1）1臺拖拉機(jī)1天耕地多少公頃？ 90÷3÷310（公頃）（2）5臺拖拉機(jī)6天耕地多少公頃？ 10×5×6300（公頃）列成綜合算式： 90÷3÷3

4、×5×610×30300（公頃）例3、 5輛汽車4次可以運(yùn)送100噸鋼材，如果用同樣的7輛汽車運(yùn)送105噸鋼材，需要運(yùn)幾次？解： （1）1輛汽車1次能運(yùn)多少噸鋼材？ 100÷5÷45（噸）（2）7輛汽車1次能運(yùn)多少噸鋼材？ 5×735（噸）（3）105噸鋼材7輛汽車需要運(yùn)幾次？ 105÷353（次）列成綜合算式 105÷（100÷5÷4×7）3（次）2 歸總問題【含義】解題時，常常先找出“總數(shù)量”，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂“總數(shù)量”是指貨物的總價、幾小時（幾天

5、）的總工作量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時行的總路程等?！緮?shù)量關(guān)系】 1份數(shù)量×份數(shù)總量總量÷1份數(shù)量份數(shù)總量÷另一份數(shù)另一每份數(shù)量【解題思路和方法】 先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。例1服裝廠原來做一套衣服用布3.2米，改進(jìn)裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原來做791套衣服的布，現(xiàn)在可以做多少套？解：×7912531.2（米）（2）現(xiàn)在可以做多少套？ ÷2.8904（套）列成綜合算式 ×791÷2.8904（套）例2 小華每天讀24頁書，12天讀完了紅巖一書。小明每天讀36頁書，幾天可以讀完紅巖

6、？解：（1）紅巖這本書總共多少頁？ 24×12288（頁）（2）小明幾天可以讀完紅巖？ 288÷368（天）列成綜合算式 24×12÷368（天）例3 食堂運(yùn)來一批蔬菜，原計劃每天吃50千克，30天慢慢消費(fèi)完這批蔬菜。后來根據(jù)大家的意見，每天比原計劃多吃10千克，這批蔬菜可以吃多少天？解：（1）這批蔬菜共有多少千克？ 50×301500（千克）（2）這批蔬菜可以吃多少天？ 1500÷（5010）25（天）列成綜合算式 50×30÷（5010）1500÷6025（天）3 和差問題【含義】已知兩個數(shù)量的和與差

7、，求這兩個數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫和差問題?！緮?shù)量關(guān)系】大數(shù)（和差）÷ 2小數(shù)（和差）÷ 2【解題思路和方法】簡單的題可以直接套用公式；復(fù)雜的題變通后再用公式。例1 甲乙兩班共有學(xué)生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人？解： 甲班人數(shù)（986）÷252（人）乙班人數(shù)（986）÷246（人）例2 長方形的長和寬之和為18厘米，長比寬多2厘米，求長方形的面積。解： 長（182）÷210（厘米）寬（182）÷28（厘米）長方形的面積 10×880（平方厘米）例3有甲、乙、丙三袋化肥，甲、乙兩袋共重32千克，乙、丙兩袋共重30

8、千克，甲、丙兩袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。解： 甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙多（3230）2千克，且甲是大數(shù)，丙是小數(shù)。由此可知甲袋化肥重量（222）÷212（千克）丙袋化肥重量（222）÷210（千克）乙袋化肥重量321220（千克）例4 甲乙兩車原來共裝蘋果97筐，從甲車取下14筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多3筐，兩車原來各裝蘋果多少筐？ 解：“從甲車取下14筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多3筐”，這說明甲車是大數(shù)，乙車是小數(shù)，甲與乙的差是（14×23），甲與乙的和是97，因此 甲車筐數(shù)（9714×23）÷2

9、64（筐）乙車筐數(shù)976433（筐）4 和倍問題【含義】已知兩個數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做和倍問題。【數(shù)量關(guān)系】 總和 ÷（幾倍1）較小的數(shù)總和 較小的數(shù) 較大的數(shù)較小的數(shù) ×幾倍 較大的數(shù)【解題思路和方法】 簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例1 果園里有杏樹和桃樹共248棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，求杏樹、桃樹各多少棵？解： （1）杏樹有多少棵？ 248÷（31）62（棵）（2）桃樹有多少棵？ 62×3186（棵）例2 東西兩個倉庫共存糧480噸，東庫存糧數(shù)是西庫存糧數(shù)的1

10、.4倍，求兩庫各存糧多少噸？解： （1）西庫存糧數(shù)480÷（1.41）200（噸）（2）東庫存糧數(shù)480200280（噸）例3 甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，若每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，幾天后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍？解： 每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，相當(dāng)于每天從甲站開往乙站（2824）輛。把幾天以后甲站的車輛數(shù)當(dāng)作1倍量，這時乙站的車輛數(shù)就是2倍量，兩站的車輛總數(shù)（5232）就相當(dāng)于（21）倍，那么，幾天以后甲站的車輛數(shù)減少為（5232）÷（21）28（輛）所求天數(shù)為（5228）÷（2824）6（天）例4甲乙丙三數(shù)之

11、和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三數(shù)各是多少？解： 乙丙兩數(shù)都與甲數(shù)有直接關(guān)系，因此把甲數(shù)作為1倍量。因?yàn)橐冶燃椎?倍少4，所以給乙加上4，乙數(shù)就變成甲數(shù)的2倍；又因?yàn)楸燃椎?倍多6，所以丙數(shù)減去6就變?yōu)榧讛?shù)的3倍；這時（17046）就相當(dāng)于（123）倍。那么， 甲數(shù)（17046）÷（123）28乙數(shù)28×2452丙數(shù)28×36905 差倍問題【含義】 已知兩個數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做差倍問題。【數(shù)量關(guān)系】兩個數(shù)的差÷（幾倍1）較小的數(shù)較小的數(shù)×幾倍較大的數(shù)【解

12、題思路和方法】 簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例1果園里桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵？解: （1）杏樹有多少棵？ 124÷（31）62（棵）（2）桃樹有多少棵？ 62×3186（棵）例2 爸爸比兒子大27歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，求父子二人今年各是多少歲？解: （1）兒子年齡27÷（41）9（歲）（2）爸爸年齡9×436（歲）例3 商場改革經(jīng)營管理辦法后，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬元，又知本月盈利比上月盈利多30萬元，求這兩個月盈利各是多少萬元？解: 如果把上月盈利作為1倍

13、量，則（3012）萬元就相當(dāng)于上月盈利的（21）倍，因此上月盈利（3012）÷（21）18（萬元）本月盈利183048（萬元）例4 糧庫有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運(yùn)出小麥和玉米各是9噸，問幾天后剩下的玉米是小麥的3倍？解: 由于每天運(yùn)出的小麥和玉米的數(shù)量相等，所以剩下的數(shù)量差等于原來的數(shù)量差（13894）。把幾天后剩下的小麥看作1倍量，則幾天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（13894）就相當(dāng)于（31）倍，因此剩下的小麥數(shù)量（13894）÷（31）22（噸）運(yùn)出的小麥數(shù)量942272（噸）運(yùn)糧的天數(shù)72÷98（天）6 倍比問題【含義】有兩個已知的同類量，其

14、中一個量是另一個量的若干倍，解題時先求出這個倍數(shù)，再用倍比的方法算出要求的數(shù)，這類應(yīng)用題叫做倍比問題?！緮?shù)量關(guān)系】總量÷一個數(shù)量倍數(shù)另一個數(shù)量×倍數(shù)另一總量【解題思路和方法】 先求出倍數(shù)，再用倍比關(guān)系求出要求的數(shù)。例1 100千克油菜籽可以榨油40千克，現(xiàn)在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？解: （1）3700千克是100千克的多少倍？ 3700÷10037（倍）（2）可以榨油多少千克？40×371480（千克）列成綜合算式 40×（3700÷100）1480（千克）例2 今年植樹節(jié)這天，某小學(xué)300名師生共植樹400棵，照這樣計算

15、，全縣48000名師生共植樹多少棵？解: （1）48000名是300名的多少倍？ 48000÷300160（倍）（2）共植樹多少棵？400×16064000（棵）列成綜合算式 400×（48000÷300）64000（棵）例3 鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這樣計算，全鄉(xiāng)800畝果園共收入多少元？全縣16000畝果園共收入多少元？解: （1）800畝是4畝的幾倍？800÷4200（倍）（2）800畝收入多少元？ 11111×2002222200（元）（3）16000畝是800畝的幾倍？ 16000&#

16、247;80020（倍）（4）16000畝收入多少元？ 2222200×2044444000（元）7 相遇問題【含義】兩個運(yùn)動的物體同時由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應(yīng)用題叫做相遇問題。【數(shù)量關(guān)系】 相遇時間總路程÷（甲速乙速）總路程（甲速乙速）×相遇時間【解題思路和方法】簡單的題可直接利用公式，復(fù)雜的題變通后再利用公式。例1 南京到上海的水路長392千米，同時從兩港各開出一艘輪船相對而行，從南京開出的船每小時行28千米，從上海開出的船每小時行21千米，經(jīng)過幾小時兩船相遇？ 解: 392÷（2821）8（小時）例2 小李和小劉在周長為400米的環(huán)形

17、跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點(diǎn)同時出發(fā)，反向而跑，那么，二人從出發(fā)到第二次相遇需多長時間？解: “第二次相遇”可以理解為二人跑了兩圈,因此總路程為400×2相遇時間（400×2）÷（53）100（秒）例3甲乙二人同時從兩地騎自行車相向而行，甲每小時行15千米，乙每小時行13千米，兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇，求兩地的距離。解:“兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇”是正確理解本題題意的關(guān)鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了中點(diǎn)3千米，乙距中點(diǎn)3千米，就是說甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此，相遇時間（3×2）&

18、#247;（1513）3（小時）兩地距離（1513）×384（千米）8 追及問題【含義】 兩個運(yùn)動物體在不同地點(diǎn)同時出發(fā)（或者在同一地點(diǎn)而不是同時出發(fā)，或者在不同地點(diǎn)又不是同時出發(fā)）作同向運(yùn)動，在后面的，行進(jìn)速度要快些，在前面的，行進(jìn)速度較慢些，在一定時間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。這類應(yīng)用題就叫做追及問題?！緮?shù)量關(guān)系】追及時間追及路程÷（快速慢速）追及路程（快速慢速）×追及時間【解題思路和方法】 簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例1 好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？解: （1）劣馬先走12天能走多少

19、千米？ 75×12900（千米）（2）好馬幾天追上劣馬？ 900÷（12075）20（天）列成綜合算式 75×12÷（12075）900÷4520（天）例2小明和小亮在200米環(huán)形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地點(diǎn)同時出發(fā)，同向而跑。小明第一次追上小亮?xí)r跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。解: 小明第一次追上小亮?xí)r比小亮多跑一圈，即200米，此時小亮跑了（500200）米，要知小亮的速度，須知追及時間，即小明跑500米所用的時間。又知小明跑200米用40秒，則跑500米用40×（500÷200）秒，所以小亮的

20、速度是:（500200）÷40×（500÷200）300÷1003（米）例3 我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午16點(diǎn)開始從甲地以每小時10千米的速度逃跑，解放軍在晚上22點(diǎn)接到命令，以每小時30千米的速度開始從乙地追擊。已知甲乙兩地相距60千米，問解放軍幾個小時可以追上敵人？解: 敵人逃跑時間與解放軍追擊時間的時差是（2216）小時，這段時間敵人逃跑的路程是10×（226）千米，甲乙兩地相距60千米。由此推知:追及時間10×（226）60÷（3010）220÷2011（小時）例4 一輛客車從甲站開往乙站，

21、每小時行48千米；一輛貨車同時從乙站開往甲站，每小時行40千米，兩車在距兩站中點(diǎn)16千米處相遇，求甲乙兩站的距離。解: 這道題可以由相遇問題轉(zhuǎn)化為追及問題來解決。從題中可知客車落后于貨車（16×2）千米，客車追上貨車的時間就是前面所說的相遇時間，這個時間為16×2÷（4840）4（小時）所以兩站間的距離為（4840）×4352（千米）列成綜合算式 （4840）×16×2÷（4840）88×4352（千米）例5 兄妹二人同時由家上學(xué)，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米。哥哥到校門口時發(fā)現(xiàn)忘記帶課本，立即沿原路回家

22、去取，行至離校180米處和妹妹相遇。問他們家離學(xué)校有多遠(yuǎn)？解: 要求距離，速度已知，所以關(guān)鍵是求出相遇時間。從題中可知，在相同時間（從出發(fā)到相遇）內(nèi)哥哥比妹妹多走（180×2）米，這是因?yàn)楦绺绫让妹妹糠昼姸嘧撸?060）米，那么，二人從家出走到相遇所用時間為180×2÷（9060）12（分鐘）家離學(xué)校的距離為 90×12180900（米）例6孫亮打算上課前5分鐘到學(xué)校，他以每小時4千米的速度從家步行去學(xué)校，當(dāng)他走了1千米時，發(fā)現(xiàn)手表慢了10分鐘，因此立即跑步前進(jìn)，到學(xué)校恰好準(zhǔn)時上課。后來算了一下，如果孫亮從家一開始就跑步，可比原來步行早9分鐘到學(xué)校。求孫

23、亮跑步的速度。解: 手表慢了10分鐘，就等于晚出發(fā)10分鐘，如果按原速走下去，就要遲到（105）分鐘，后段路程跑步恰準(zhǔn)時到學(xué)校，說明后段路程跑比走少用了（105）分鐘。如果從家一開始就跑步，可比步行少9分鐘，由此可知，行1千米，跑步比步行少用9（105）分鐘。所以步行1千米所用時間為 1÷9（105）0.25（小時）15（分鐘）跑步1千米所用時間為 159（105）11（分鐘）跑步速度為每小時1÷11605.5（千米）9 植樹問題【含義】按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數(shù)這三個量之間，已知其中的兩個量，要求第三個量，這類應(yīng)用題叫做植樹問題?！緮?shù)量關(guān)系】線形植樹 棵數(shù)距離&

24、#247;棵距1環(huán)形植樹 棵數(shù)距離÷棵距方形植樹棵數(shù)距離÷棵距4三角形植樹 棵數(shù)距離÷棵距3面積植樹 棵數(shù)面積÷（棵距×行距）【解題思路和方法】 先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式。例1一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？解: 136÷2168169（棵）例2 一個圓形池塘周長為400米，在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹？解: 400÷4100（棵）例3 一個正方形的運(yùn)動場，每邊長220米，每隔8米安裝一個照明燈，一共可以安裝多少個照明燈？解: 220×4

25、47;841104106（個）例4 給一個面積為96平方米的住宅鋪設(shè)地板磚，所用地板磚的長和寬分別是60厘米和40厘米，問至少需要多少塊地板磚？解: 96÷×0.4）96÷0.24400（塊）例5 一座大橋長500米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若每隔50米有一個電桿，每個電桿上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？解: （1）橋的一邊有多少個電桿？ 500÷50111（個）（2）橋的兩邊有多少個電桿？ 11×222（個）（3）大橋兩邊可安裝多少盞路燈？22×244（盞）10 年齡問題【含義】這類問題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名，它的主要特點(diǎn)

26、是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長在發(fā)生變化?！緮?shù)量關(guān)系】年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯(lián)系，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個特點(diǎn)。【解題思路和方法】 可以利用“差倍問題”的解題思路和方法。例1 爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？ 解: 35÷57（倍）（35+1）÷（5+1）6（倍）例2 母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年后母親的年齡是女兒的4倍？解: （1）母親比女兒的年齡大多少歲？ 37730（歲）（2）幾年后母親的年齡是女兒的4倍？30÷（41）73（年）

27、 列成綜合算式 （377）÷（41）73（年）例3 3年前父子的年齡和是49歲，今年父親的年齡是兒子年齡的4倍，父子今年各多少歲？解: 今年父子的年齡和應(yīng)該比3年前增加（3×2）歲，今年二人的年齡和為493×255（歲）把今年兒子年齡作為1倍量，則今年父子年齡和相當(dāng)于（41）倍，因此，今年兒子年齡為 55÷（41）11（歲）今年父親年齡為 11×444（歲）例4 甲對乙說：“當(dāng)我的歲數(shù)曾經(jīng)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你才4歲”。乙對甲說：“當(dāng)我的歲數(shù)將來是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你將61歲”。求甲乙現(xiàn)在的歲數(shù)各是多少？解: 這里涉及到三個年份：過去某一年、今年、

28、將來某一年。列表分析：              過去某一年今  年將來某一年   甲   歲 歲    61歲   乙   4歲 歲    歲表中兩個“”表示同一個數(shù)，兩個“”表示同一個數(shù)。因?yàn)閮蓚€人的年齡差總相等：461，也就是4，61成等差數(shù)列，所以，61應(yīng)該比4大3個年齡差，因此二

29、人年齡差為（614）÷319（歲）甲今年的歲數(shù)為611942（歲）乙今年的歲數(shù)為421923（歲）11 行船問題【含義】 行船問題也就是與航行有關(guān)的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順?biāo)叫械乃俣?順?biāo)俣?是船速與水速之和；船只逆水航行的速度（逆水速度）是船速與水速之差。【數(shù)量關(guān)系】 （順?biāo)俣饶嫠俣龋?#247;2船速（順?biāo)俣饶嫠俣龋?#247;2水速 順?biāo)俅?#215;2逆水速逆水速水速×2 逆水速船速×2順?biāo)夙標(biāo)偎?#215;2【解題思路和方法】 大多數(shù)情況可以

30、直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1 一只船順?biāo)?20千米需用8小時，水流速度為每小時15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時？解: 由條件知，順?biāo)俅偎?20÷8，而水速為每小時15千米，所以，船速為每小時 320÷81525（千米）船的逆水速為 251510（千米）船逆水行這段路程的時間為 320÷1032（小時）例2 甲船逆水行360千米需18小時，返回原地需10小時；乙船逆水行同樣一段距離需15小時，返回原地需多少時間？解:甲船速水速360÷1036甲船速水速360÷1820可見（3620）相當(dāng)于水速的2倍，所以，水速為每小時 （3620

31、）÷28（千米）又因?yàn)椋?乙船速水速360÷15，所以，乙船速為 360÷15832（千米）乙船順?biāo)贋?32840（千米）所以， 乙船順?biāo)叫?60千米需要360÷409（小時）例3 一架飛機(jī)飛行在兩個城市之間，飛機(jī)的速度是每小時576千米，風(fēng)速為每小時24千米，飛機(jī)逆風(fēng)飛行3小時到達(dá)，順風(fēng)飛回需要幾小時？解: 這道題可以按照流水問題來解答。（1）兩城相距多少千米？（57624）×31656（千米）（2）順風(fēng)飛回需要多少小時？1656÷（57624）2.76（小時）列成綜合算式（57624）×3÷（57624）2

32、.76（小時）12 列車問題【含義】這是與列車行駛有關(guān)的一些問題，解答時要注意列車車身的長度。【數(shù)量關(guān)系】火車過橋：過橋時間（車長橋長）÷車速火車追及： 追及時間（甲車長乙車長距離÷（甲車速乙車速）火車相遇： 相遇時間（甲車長乙車長距離）÷（甲車速乙車速）【解題思路和方法】 大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1 一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米？解: 火車3分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和。（1）火車3分鐘行多少米？ 900×32700（米）（2）這列火車

33、長多少米？ 27002400300（米）列成綜合算式 900×32400300（米）例2 一列長200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋，用了2分5秒鐘時間，求大橋的長度是多少米？解: 火車過橋所用的時間是2分5秒125秒，所走的路程是（8×125）米，這段路程就是（200米橋長），所以，橋長為 8×125200800（米）例3 一列長225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過慢車需要多長時間？解: 從追上到追過，快車比慢車要多行（225140）米，而快車比慢車每秒多行（2217）米，因此，所求的時

34、間為（225140）÷（2217）73（秒）例4 一列長150米的列車以每秒22米的速度行駛，有一個扳道工人以每秒3米的速度迎面走來，那么，火車從工人身旁駛過需要多少時間？解: 如果把人看作一列長度為零的火車，原題就相當(dāng)于火車相遇問題。150÷（223）6（秒）例5 一列火車穿越一條長2000米的隧道用了88秒，以同樣的速度通過一條長1250米的大橋用了58秒。求這列火車的車速和車身長度各是多少？解: 車速和車長都沒有變，但通過隧道和大橋所用的時間不同，是因?yàn)樗淼辣却髽蜷L?？芍疖囋冢?858）秒的時間內(nèi)行駛了（20001250）米的路程，因此，火車的車速為每秒（20001

35、250）÷（8858）25（米）進(jìn)而可知，車長和橋長的和為（25×58）米，因此，車長為25×581250200（米）13 時鐘問題【含義】 就是研究鐘面上時針與分針關(guān)系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時鐘問題可與追及問題相類比?！緮?shù)量關(guān)系】 分針的速度是時針的12倍，二者的速度差為11/12。通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算?！窘忸}思路和方法】 變通為“追及問題”后可以直接利用公式。例1 從時針指向4點(diǎn)開始，再經(jīng)過多少分鐘時針正好與分針重合？解: 鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時走60格；時針每小時走5格，

36、每分鐘走5/601/12格。每分鐘分針比時針多走（11/12）11/12格。4點(diǎn)整，時針在前，分針在后，兩針相距20格。所以分針追上時針的時間為 20÷（11/12） 22（分）答：再經(jīng)過22分鐘時針正好與分針重合。例2 四點(diǎn)和五點(diǎn)之間，時針和分針在什么時候成直角？解: 鐘面上有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的時候相差15格（包括分針在時針的前或后15格兩種情況）。四點(diǎn)整的時候，分針在時針后（5×4）格，如果分針在時針后與它成直角，那么分針就要比時針多走（5×415）格，如果分針在時針前與它成直角，那么分針就要比時針多走（5×415）格。再根

37、據(jù)1分鐘分針比時針多走（11/12）格就可以求出二針成直角的時間。（5×415）÷（11/12） 6（分）（5×415）÷（11/12） 38（分） 答：4點(diǎn)06分及4點(diǎn)38分時兩針成直角。例3 六點(diǎn)與七點(diǎn)之間什么時候時針與分針重合？解: 六點(diǎn)整的時候，分針在時針后（5×6）格，分針要與時針重合，就得追上時針。這實(shí)際上是一個追及問題。（5×6）÷（11/12） 33（分）答：6點(diǎn)33分的時候分針與時針重合。14 盈虧問題【含義】 根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或兩次都有余，或兩

38、次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應(yīng)用題叫做盈虧問題?！緮?shù)量關(guān)系】 一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有：參加分配總?cè)藬?shù)（盈虧）÷分配差如果兩次都盈或都虧，則有：參加分配總?cè)藬?shù)（大盈小盈）÷分配差參加分配總?cè)藬?shù)（大虧小虧）÷分配差【解題思路和方法】 大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1 給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分3個就余11個；若每人分4個就少1個。問有多少小朋友？有多少個蘋果？解: 按照“參加分配的總?cè)藬?shù)（盈虧）÷分配差”的數(shù)量關(guān)系：（1）有小朋友多少人？（111）÷（43）12（人）（2）有多少個蘋果？ 3×12

39、1147（個）例2 修一條公路，如果每天修260米，修完全長就得延長8天；如果每天修300米，修完全長仍得延長4天。這條路全長多少米？解: 題中原定完成任務(wù)的天數(shù)，就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，按照“參加分配的總?cè)藬?shù)（大虧小虧）÷分配差”的數(shù)量關(guān)系，可以得知原定完成任務(wù)的天數(shù)為（260×8300×4）÷（300260）22（天）這條路全長為300×（224）7800（米）例3 學(xué)校組織春游，如果每輛車坐40人，就余下30人；如果每輛車坐45人，就剛好坐完。問有多少車？多少人？解: 本題中的車輛數(shù)就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，于是就有（1）有多少

40、車？（300）÷（4540）6（輛）（2）有多少人？ 40×630270（人）15 工程問題【含義】 工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關(guān)系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項(xiàng)工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時，常常用單位“1”表示工作總量。【數(shù)量關(guān)系】解答工程問題的關(guān)鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時間的倒數(shù)（它表示單位時間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾），進(jìn)而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時間三者之間的關(guān)系列出算式。工作量工作效率×工作時間工作時間工作量÷工作效率工作

41、時間總工作量÷（甲工作效率乙工作效率）【解題思路和方法】 變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式。例1 一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需要10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需要15天完成，現(xiàn)在兩隊(duì)合作，需要幾天完成？解: 題中的“一項(xiàng)工程”是工作總量，由于沒有給出這項(xiàng)工程的具體數(shù)量，因此，把此項(xiàng)工程看作單位“1”。由于甲隊(duì)獨(dú)做需10天完成，那么每天完成這項(xiàng)工程的1/10；乙隊(duì)單獨(dú)做需15天完成，每天完成這項(xiàng)工程的1/15；兩隊(duì)合做，每天可以完成這項(xiàng)工程的（1/101/15）。由此可以列出算式：1÷（1/101/15）1÷1/66（天）答：兩隊(duì)合做需要6天完成。例2 一批零件，甲獨(dú)做6小時完成

42、，乙獨(dú)做8小時完成?，F(xiàn)在兩人合做，完成任務(wù)時甲比乙多做24個，求這批零件共有多少個？解一: 設(shè)總工作量為1，則甲每小時完成1/6，乙每小時完成1/8，甲比乙每小時多完成（1/61/8），二人合做時每小時完成（1/61/8）。因?yàn)槎撕献鲂枰?÷（1/61/8）小時，這個時間內(nèi)，甲比乙多做24個零件，所以（1）每小時甲比乙多做多少零件？24÷1÷（1/61/8）7（個）（2）這批零件共有多少個？7÷（1/61/8）168（個）解二： 上面這道題還可以用另一種方法計算：兩人合做，完成任務(wù)時甲乙的工作量之比為 1/61/843由此可知，甲比乙多完成總工作量的4

43、3 / 43 1/7所以，這批零件共有 24÷1/7168（個）例3 一件工作，甲獨(dú)做12小時完成，乙獨(dú)做10小時完成，丙獨(dú)做15小時完成?，F(xiàn)在甲先做2小時，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時才能完成？解： 必須先求出各人每小時的工作效率。如果能把效率用整數(shù)表示，就會給計算帶來方便，因此，我們設(shè)總工作量為12、10、和15的某一公倍數(shù)，例如最小公倍數(shù)60，則甲乙丙三人的工作效率分別是甲： 60÷125乙： 60÷106丙： 60÷154因此余下的工作量由乙丙合做還需要（605×2）÷（64）5（小時）例4 一個水池，底部裝有一個常開的排

44、水管，上部裝有若干個同樣粗細(xì)的進(jìn)水管。當(dāng)打開4個進(jìn)水管時，需要5小時才能注滿水池；當(dāng)打開2個進(jìn)水管時，需要15小時才能注滿水池；現(xiàn)在要用2小時將水池注滿，至少要打開多少個進(jìn)水管？解：注（排）水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當(dāng)于一項(xiàng)工程，水的流量就是工作量，單位時間內(nèi)水的流量就是工作效率。要2小時內(nèi)將水池注滿，即要使2小時內(nèi)的進(jìn)水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進(jìn)水管、排水管的工作效率及總工作量（一池水）。只要設(shè)某一個量為單位1，其余兩個量便可由條件推出。我們設(shè)每個同樣的進(jìn)水管每小時注水量為1，則4個進(jìn)水管5小時注水量為（1×4×5），2個進(jìn)水管1

45、5小時注水量為（1×2×15），從而可知每小時的排水量為 （1×2×151×4×5）÷（155）1即一個排水管與每個進(jìn)水管的工作效率相同。由此可知一池水的總工作量為 1×4×51×515又因?yàn)樵?小時內(nèi)，每個進(jìn)水管的注水量為 1×2，所以，2小時內(nèi)注滿一池水至少需要多少個進(jìn)水管？（151×2）÷（1×9（個）16 正反比例問題【含義】 兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做

46、成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系?！緮?shù)量關(guān)系】判斷正比例或反比例關(guān)系是解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問題去解決，而且比較簡捷?！窘忸}思路和方法】 解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數(shù)）轉(zhuǎn)化為比，應(yīng)用比和比例的性質(zhì)去解應(yīng)用題。正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。例1 修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米？解： 由條件知，公路總長不變。原已修長度總長度1（13）1

47、4312 現(xiàn)已修長度總長度1（12）13412比較以上兩式可知，把總長度當(dāng)作12份，則300米相當(dāng)于（43）份，從而知公路總長為 300÷（43）×123600（米） 答： 這條公路總長3600米。例2 張晗做4道應(yīng)用題用28分鐘，照這樣計算，91分鐘能做幾道應(yīng)用題？解： 做題效率一定，做題數(shù)量與做題時間成正比例關(guān)系設(shè)91分鐘可以做X應(yīng)用題 則有 28491X28X91×4 X91×4÷28X13例3 孫亮看十萬個為什么這本書，每天看24頁，15天看完，如果每天看36頁，幾天就可以看完？解： 書的頁數(shù)一定，每天看的頁數(shù)與需要的天數(shù)成反比例關(guān)系設(shè)

48、X天可以看完，就有2436X1536X24×15X10例4 一個大矩形被分成六個小矩形，其中四個小矩形的面積如圖所示，求大矩形的面積。A                                      

49、;          252036B16解： 由面積÷寬長可知，當(dāng)長一定時，面積與寬成正比，所以每一上下兩個小矩形面積之比就等于它們的寬的正比。又因?yàn)榈谝恍腥齻€小矩形的寬相等，第二行三個小矩形的寬也相等。因此，A36201625B2016解這兩個比例，得 A45 B20所以，大矩形面積為 45362520201616217 按比例分配問題【含義】 所謂按比例分配，就是把一個數(shù)按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直

50、接給出份數(shù)?！緮?shù)量關(guān)系】 從條件看，已知總量和幾個部分量的比；從問題看，求幾個部分量各是多少。 總份數(shù)比的前后項(xiàng)之和【解題思路和方法】 先把各部分量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項(xiàng)相加求出總份數(shù)，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數(shù)作分母，比的前后項(xiàng)分別作分子），再按照求一個數(shù)的幾分之幾是多少的計算方法，分別求出各部分量的值。例1 學(xué)校把植樹560棵的任務(wù)按人數(shù)分配給五年級三個班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個班各植樹多少棵？解： 總份數(shù)為474845140一班植樹 560×47/140188（棵） 二班植樹 560×48/140192（棵）三

51、班植樹 560×45/140180（棵）例2 用60厘米長的鐵絲圍成一個三角形，三角形三條邊的比是345。三條邊的長各是多少厘米？解： 3451260×3/1215（厘米）60×4/1220（厘米） 60×5/1225（厘米）例3 從前有個牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個兒子，大兒子分總數(shù)的1/2，二兒子分總數(shù)的1/3，三兒子分總數(shù)的1/9，并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個兒子各分多少只羊。解： 如果用總數(shù)乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數(shù)解。如果用按比例分配的方法解，則很容易得到1/21/31/9962總份數(shù)：96217大兒子：17&#

52、215;9/179二兒子：17×6/176小兒子：17×2/172例4 某工廠第一、二、三車間人數(shù)之比為81221，第一車間比第二車間少80人，三個車間共多少人？人  數(shù)80人一共多少人？對應(yīng)的份數(shù)12881221解： 80÷（128）×（81221）820（人）18 百分?jǐn)?shù)問題【含義】 百分?jǐn)?shù)是表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分?jǐn)?shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)常?？梢酝ǚ?、約分，而百分?jǐn)?shù)則無需；分?jǐn)?shù)既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分?jǐn)?shù)只能表示“率”；分?jǐn)?shù)的分子、分母必須是自然數(shù)，而百分?jǐn)?shù)的分子可以是小數(shù)；百分?jǐn)?shù)有一個專門的記號“%”。在

53、實(shí)際中和常用到“百分點(diǎn)”這個概念，一個百分點(diǎn)就是1%，兩個百分點(diǎn)就是2%?！緮?shù)量關(guān)系】掌握“百分?jǐn)?shù)”、“標(biāo)準(zhǔn)量”“比較量”三者之間的數(shù)量關(guān)系：百分?jǐn)?shù)比較量÷標(biāo)準(zhǔn)量標(biāo)準(zhǔn)量比較量÷百分?jǐn)?shù)【解題思路和方法】 一般有三種基本類型： （1）求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾；（2）已知一個數(shù)，求它的百分之幾是多少；（3）已知一個數(shù)的百分之幾是多少，求這個數(shù)。例1 倉庫里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各占原重量的百分之幾？解: （1）用去的占 720÷（7206480）10%（2）剩下的占 6480÷（7206480）90%例2 紅旗化工廠有

54、男職工420人，女職工525人，男職工人數(shù)比女職工少百分之幾？ 解:本題中女職工為標(biāo)準(zhǔn)量，男職工比女職工少的是較量所以（525420）÷5250.220%或者 1420÷5250.220% 答：男職工人數(shù)比女職工少20%。例3 紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，女職工比男職工人數(shù)多百分之幾？解: 本題中以男職工為標(biāo)準(zhǔn)量，女職工比男職工多的為比較量，因此（525420）÷4200.2525%或者525÷42010.2525%答：女職工人數(shù)比男職工多25%。例4 紅旗化工廠有男職工420人，有女職工525人，男、女職工各占全廠職工總數(shù)的百分之幾？解

55、: （1）男職工占 420÷（420525）0.44444.4%（2）女職工占 525÷（420525）0.55655.6%答：男職工占全廠職工總數(shù)的44.4%，女職工占55.6%。例5 百分?jǐn)?shù)又叫百分率，在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中應(yīng)用很廣，常見的百分率有：增長率增長數(shù)÷原來基數(shù)×100%合格率合格產(chǎn)品數(shù)÷產(chǎn)品總數(shù)×100%出勤率實(shí)際出勤人數(shù)÷應(yīng)出勤人數(shù)×100%出勤率實(shí)際出勤天數(shù)÷應(yīng)出勤天數(shù)×100%缺席率缺席人數(shù)÷實(shí)有總?cè)藬?shù)×100%發(fā)芽率發(fā)芽種子數(shù)÷試驗(yàn)種子總數(shù)×

56、;100%成活率成活棵數(shù)÷種植總棵數(shù)×100%出粉率面粉重量÷小麥重量×100%出油率油的重量÷油料重量×100%廢品率廢品數(shù)量÷全部產(chǎn)品數(shù)量×100%命中率命中次數(shù)÷總次數(shù)×100%烘干率烘干后重量÷烘前重量×100%及格率及格人數(shù)÷參加考試人數(shù)×100%19 “牛吃草”問題【含義】 “牛吃草”問題是大科學(xué)家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。這類問題的特點(diǎn)在于要考慮草邊吃邊長這個因素?！緮?shù)量關(guān)系】 草總量原有草量草每天生長量×天數(shù)【解題思路和方

57、法】 解這類題的關(guān)鍵是求出草每天的生長量。例1 一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完？解: 草是均勻生長的，所以，草總量原有草量草每天生長量×天數(shù)。求“多少頭牛5天可以把草吃完”，就是說5 天內(nèi)的草總量要5 天吃完的話，得有多少頭牛？設(shè)每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答：（1）求草每天的生長量因?yàn)?，一方?0天內(nèi)的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天內(nèi)的草總量又等于原有草量加上20天內(nèi)的生長量，所以1×10×20原有草量20天內(nèi)生長量同理 1×

58、;15×10原有草量10天內(nèi)生長量由此可知（2010）天內(nèi)草的生長量為: 1×10×201×15×1050因此，草每天的生長量為: 50÷（2010）5（2）求原有草量原有草量10天內(nèi)總草量10內(nèi)生長量1×15×105×10100（3）求5 天內(nèi)草總量5 天內(nèi)草總量原有草量5天內(nèi)生長量1005×5125（4）求多少頭牛5 天吃完草因?yàn)槊款^牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。因此5天吃完草需要牛的頭數(shù) 125÷525（頭）答：需要5頭牛5天可以把草吃完。例2 一只船有一個漏洞，水

59、以均勻速度進(jìn)入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時已經(jīng)進(jìn)了一些水。如果有12個人淘水，3小時可以淘完；如果只有5人淘水，要10小時才能淘完。求17人幾小時可以淘完？解: 這是一道變相的“牛吃草”問題。與上題不同的是，最后一問給出了人數(shù)（相當(dāng)于“牛數(shù)”），求時間。設(shè)每人每小時淘水量為1，按以下步驟計算：（1）求每小時進(jìn)水量因?yàn)椋?小時內(nèi)的總水量1×12×3原有水量3小時進(jìn)水量10小時內(nèi)的總水量1×5×10原有水量10小時進(jìn)水量所以，（103）小時內(nèi)的進(jìn)水量為:1×5×101×12×314因此，每小時的進(jìn)水量為: 14÷（103

60、）2（2）求淘水前原有水量原有水量1×12×33小時進(jìn)水量362×330（3）求17人幾小時淘完17人每小時淘水量為17，因?yàn)槊啃r漏進(jìn)水為2，所以實(shí)際上船中每小時減少的水量為（172），所以17人淘完水的時間是30÷（172）2（小時）答：17人2小時可以淘完水。20 雞兔同籠問題【含義】 這是古典的算術(shù)問題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。【數(shù)量關(guān)系】第一雞兔同籠問題：假設(shè)全都是雞，則有兔數(shù)（實(shí)際腳數(shù)2×雞兔總數(shù)）÷（42）假設(shè)全都是兔，則有雞數(shù)（4×雞兔總數(shù)實(shí)際腳數(shù)）÷（42）第二雞兔同籠問題：假設(shè)全都是雞，則有兔數(shù)（2×雞兔總數(shù)雞與兔腳之差）÷（42）假設(shè)全都是兔，則有雞數(shù)（4×雞兔總數(shù)雞與兔腳之差）÷（42）【解題思路和方法】 解答此類題目一般都用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，也可以假設(shè)都是兔。如果先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；如果先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設(shè)，再置換，使問題得到解決。例1 長毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠