在自主探究中滲透數(shù)學(xué)的極限思想

1、在自主探究中滲透數(shù)學(xué)的極限思想人教版六年級上冊圓的面積教學(xué)片段及反思【教學(xué)背景】圓的面積是六年級上冊第四單元的內(nèi)容，本單元是在學(xué)生掌握了直線圖形的周長和面積，并且對圓已有初步認(rèn)識的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的。從認(rèn)識圓入手，到圓的周長和面積，與直線圖形的學(xué)習(xí)順序是一致的。但是，學(xué)習(xí)圓是從學(xué)習(xí)方形到學(xué)習(xí)曲線圖形，無論是內(nèi)容本身，還是研究問題的方法都有所變化。我設(shè)計的這節(jié)課，想要達(dá)到的教學(xué)目標(biāo)就是讓學(xué)生初步認(rèn)識研究曲線圖形的基本方法“化曲為直”、“化圓為方”，同時也感受了曲線圖形與直線圖形的內(nèi)在聯(lián)系，體味極限思想?！菊n堂寫真】片斷一：師點擊大屏幕，出現(xiàn)畫圓過程。師：圖上畫了一個什么圖形？生：圓。師：圓的周長怎

2、樣求？生：C=d C=2r （課件出示公式）師：在我們沒有學(xué)習(xí)周長公式之前是用什么方法得到圓的周長的呢？生1：在圓片上做個記號，從記號位置開始在直尺上滾動一周回到記號位置。（課件演示）生2：用繩子繞圓一周后拉直測量繩子的長度。（課件演示） 師：不論是用繩子繞圓一周后拉直測量還是在直尺上滾動一周直接測量出圓的周長都是把曲線變成直線，這樣的方法我們把它叫做化曲為直。（板書）2、師：我們繼續(xù)研究圓的有關(guān)知識圓的面積。（板書）（反思：用這兩個方法，提醒學(xué)生在過去有關(guān)圓的學(xué)習(xí)中，我們就已經(jīng)使用了化曲為直的方法來解決特殊的曲線圖形，為后面化圓為方的面積研究打下了鋪墊。）片段二：1、 師：不妨我們先來回顧以

3、前所學(xué)過的平面圖形的面積，（課件顯示）還記得這些圖形的面積怎樣求嗎？生：正方形的面積等于邊長乘邊長，長方形的面積等于長乘寬，平行四邊形的面積等于底乘高，三角形的面積等于底乘高除以二，梯形的面積等于上底加下底的和乘高除以二。師：那面積公式的推導(dǎo)過程還記得嗎？生1：敘述平行四邊形的面積公式推導(dǎo)過程（課件顯示）。生2：敘述三角形的面積公式推導(dǎo)過程（課件顯示）。生3：敘述梯形的面積公式推導(dǎo)過程（課件顯示）。師：說的真好，看來大家對舊知識掌握的很牢固，我們都是把這些圖形轉(zhuǎn)化為熟悉的圖形進(jìn)行推導(dǎo)的。2、 師：圓和這些圖形一樣嗎？生齊答：不一樣。師：有什么區(qū)別？生：上面的都是由線段圍成的方形，而圓是由曲線圍

4、成的圓形，師：能想辦法把圓轉(zhuǎn)化為方形嗎？沒有想到？不著急，讓我們一起看看書上給出的方法吧！翻開書67頁！生翻書看書。師：除了書上這樣的拼法還能拼成其它的圖形嗎？生1：三角形。生2：梯形。師：讓我們動手試一試吧！先來看看活動要求（課件顯示）請一位同學(xué)給大家讀一讀（指名讀）要求大家看清楚了嗎？請大家開始活動吧！生分組活動（留給學(xué)生充足的時間動手操作，教師參與討論與指導(dǎo)）3、 師：哪個小組來給大家匯報匯報？生1：我們小組是把圓分成16等份后拼成了一個近似平行四邊形，形狀變了，面積沒有變，拼成的近似平行四邊形的底是圓的周長的一半，高是圓的半徑，因為平行四邊形的面積等于底乘高，也就是圓周長的一半乘半徑，

5、化簡后就是S=r2生2：我們小組是把圓分成16等份后拼成了一個近似三角形，形狀變了，面積沒有變，拼成的近似三角形的底是圓周長的，高是4條半徑，因此三角形的面積等于底乘高除以2，也就是圓周長的乘4條半徑，化簡后就是S=r2生3：我們小組是把圓分成16等份后拼成了一個近似梯形，形狀變了，面積沒有變，拼成的近似梯形的上底是圓周長的，下底是圓周長的，高是2條半徑，根據(jù)梯形的面積公式推導(dǎo)出圓的面積就是S=r25、師：同學(xué)們展示出了這么多的方法，真了不起！有的小組只拼出了一種，那就讓我們一起看看拼擺的過程吧?。ㄕn件顯示拼成近似平行四邊形的過程）師：我們是將16等份的圓片拼擺成近似平行四邊形，如果將圓片32

6、等份后再來拼擺，有什么區(qū)別嗎？生：比較接近長方形。師：如果將圓片平均分成64份、128份再來拼擺，最終可以拼成一個什么圖形？生：長方形。師：看來平均分的份數(shù)越多，每一份就會越小，拼成的圖形就會越來越接近長方形。師：我們再來看看拼成近似三角形和近似梯形的過程（課件依次顯示拼成近似三角形和近似梯形的過程） 師：這些方法我們把它叫做化圓為方。（板書）（反思：新課標(biāo)重視學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的體驗，所謂體驗性學(xué)習(xí)，就是強調(diào)學(xué)生的參與性和實踐性，讓學(xué)生參與知識探索、發(fā)現(xiàn)與形成的全過程，并通過體驗與感受，建構(gòu)屬于自己的認(rèn)知體系?？梢?，體驗性學(xué)習(xí)是真正屬于學(xué)生自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，它旨在讓學(xué)生通過手腦并用的探究活動，

7、學(xué)習(xí)科學(xué)知識和方法，增進(jìn)對科學(xué)的理解，體驗研究的樂趣。因此，在研究圓的面積公式的環(huán)節(jié)中，我大膽放手讓學(xué)生充分發(fā)揮想象力，不僅用長方形推導(dǎo)圓的面積公式，還鼓勵學(xué)生用梯形、三角形等多種方法推導(dǎo)圓的面積。拓寬了學(xué)生的思路，并有意識的在每種方法的推導(dǎo)過程中滲透了極限思想。）片段三：師：如果把圓分成16等份，只取其中的一份能推出圓的面積嗎？（課件顯示） 生：先求出一個近似三角形的面積，然后乘16就是這個圓的面積。 師：這個圓的面積就是這16個近似小三角形的面積之和。 師：如果把圓分成很多很多份，用n來表示，也只取其中的一份能推出來嗎？ 師：這個近似小三角形的底用a1表示，高用r表示，面積怎樣表示？ 生：

8、S1= a1r 師：第二個近似小三角形的底用a2表示，高用r表示，面積怎樣表示？ 生：S2= a2r 師：第n個近似小三角形的底用an表示，高用r表示，面積怎樣表示？ 生：Sn= anr 師：要求這個圓的面積怎么辦呢? 生：就是把這所有的近似三角形全部加起來， a1r+ a2r+ anr= r（a1+a2+an）= rC=r2（這個過程對學(xué)生有一定的難度，老師可以做一定的牽引）6、師：這種方法就是古代數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)！（課件介紹劉徽與割圓術(shù)） （反思：日本著名數(shù)學(xué)教育家米山國藏指出：“學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，在進(jìn)入社會后幾乎沒有什么機會應(yīng)用，因而這種作為知識的數(shù)學(xué)，通常在走出校門后不到一兩年就忘

9、掉了。然而不管他們從事什么工作，惟有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)思想和方法等隨時地發(fā)生作用，使他們受益終身?！北局@樣的一種教學(xué)理念，我特別設(shè)計了這個環(huán)節(jié)為學(xué)生滲透基本的極限數(shù)學(xué)思想，我希望學(xué)生在學(xué)完這個知識后的若干年不僅僅能記得圓的計算公式，還要能夠記得有一種數(shù)學(xué)思想叫做“極限”。）【分析研究】設(shè)計這節(jié)課的時候，我有3點思考：1、在本節(jié)課之前，學(xué)生對圓的特征，多邊形面積的計算已基本掌握，但對于像圓這樣的曲線圖形的面積，學(xué)生是第一次接觸，如何把圓轉(zhuǎn)化成直線圖形具有一定的難度。2、學(xué)生對探究學(xué)習(xí)并不陌生，但在探究學(xué)習(xí)過程中，往往是盲目探究，因此，組織學(xué)習(xí)素材，讓學(xué)生形成合理推導(dǎo)，進(jìn)行有方向、有目的的探

10、究也是教學(xué)中關(guān)注的問題。3、在探究活動中，使學(xué)生親歷“做數(shù)學(xué)”的過程，認(rèn)識圖形，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容之一，因此，讓學(xué)生經(jīng)歷圓面積公式的推導(dǎo)過程，理解和掌握圓面積的計算公式是本節(jié)課的重點；由于圓與以前學(xué)習(xí)的直線圖形性質(zhì)有很大不同，對“曲線圖形”轉(zhuǎn)化為直線圖形學(xué)生是第一次接觸，對學(xué)生已有知識和經(jīng)驗都是一種挑戰(zhàn)，因此，“化圓為方”的轉(zhuǎn)化方法和極限思想的感受是本節(jié)課的難點。為了能在課堂中讓學(xué)生切實領(lǐng)悟如何化曲為直，化圓為方的方法和極限思想的運用，我設(shè)計了這樣幾個教學(xué)環(huán)節(jié)：環(huán)節(jié)一：在復(fù)習(xí)階段，讓學(xué)生回想初次學(xué)習(xí)圓的周長時，都采用了哪些方法？學(xué)生回憶到了有用繩子繞圓一周，將繩子拉直以后在量繩子

11、的長度，或者在圓周上某一點做個記號，讓圓在直尺上滾動一周，圓滾動一周的痕跡也就是這個圓的周長。用這兩個方法，提醒學(xué)生在過去有關(guān)圓的學(xué)習(xí)中，我們就已經(jīng)使用了化曲為直的方法來解決特殊的曲線圖形，為后面化圓為方的面積研究打下了鋪墊。環(huán)節(jié)二：在讓學(xué)生探究圓的面積公式時，學(xué)生是會感覺到困惑的，就算利用過去學(xué)習(xí)多邊形面積的經(jīng)驗來幫助自己還是會讓學(xué)生覺得有些無所適從。但是這時在頭腦中已經(jīng)形成了要將圓形轉(zhuǎn)換為一個已知圖形的設(shè)想。于是，我安排了學(xué)生從書本上尋找方法。并提出了更高的要求，“除了書上的拼法，還能拼成別得圖形嗎？”拓展了學(xué)生的思維。環(huán)節(jié)三：匯報交流：（把等份好的圓如何拼成近似長方形）交流時學(xué)生圍繞著如

12、何拼？像什么？為什么說像長方形而不說是長方形？怎樣做會更像長方形？把圓等分的分?jǐn)?shù)再多一些會如何？讓學(xué)生通過自己操作，觀看電腦的演示和推理，體會“化圓為方”感受極限的思想，促進(jìn)了學(xué)生思維能力的發(fā)展環(huán)節(jié)四：運用各種拼補的方法讓學(xué)生已經(jīng)掌握了圓的面積的公式之后，我又提出了更高的要求：能不能通過分出的一個小近似三角形推導(dǎo)出整個圓的面積呢？通過一個有限次數(shù)分割的圓形，學(xué)生可以理解到圓的面積就是近似等于所有小三角形的面積之和。那么，如果把這個圓形無限次的分割，分到不可再分的時候，每個小三角形的面積也就無限趨近與扇形的面積，以至于完全相等，這時，這些小三角形的面積之和也就完全等于圓形的面積。這一過程，實際就是魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽論證九章算術(shù)中圓面積公式時所用到的無窮小方法和極限思想?？v觀整節(jié)課，學(xué)生一直置身于主動探索之中，在“如何將圓轉(zhuǎn)換為方形”這一主線的引領(lǐng)下，學(xué)生主動探究、推導(dǎo)結(jié)論，邊操作，邊體會，前后融為一體，又互為驗證。整個過程不僅是一個知識再創(chuàng)造