新1第十一章曲線積分與曲面積分習題答案

1、第十一章 曲線積分與曲面積分ABBO12.2xdx0Rsint) (x)2 (y)2dt第一節(jié) 對弧長的曲線積分1 .選擇題：(1)對弧長的曲線積分的計算公式Lf(x,y)ds f (t), (t)V(t)2(i)出中要求 (Q .(A)(B)(C)設光滑曲線L的弧長為，則 6ds(B).L(A)( B) 6(C)122.計算下列對弧長的曲線積分： (x y)ds,其中L為 LI)以O(0,0), A(1,0), B(1,1)為頂點的三角形的邊界；II )上半圓周x2 y2R2 ；(x y)ds (x y)ds (x y)ds (x y)ds LOA1 10xdx 0(1 y)dy1國、,2

2、2 .5 2 2II )(x y)ds(RcostL _2_ _2R sin t cost0 2R(2) yds,其中L為y2 2x上點(2,2)與點(1, J2)之間的一段弧; L解：yds 2 _ y. 1 (x)2dy2_y , 1 y2dyLJ(1 y2)3/22 2 1(、一礪27)33*(3)(x2y2)ds,其中 為螺旋線 x a cost, y a sint, z bt ;r r2 (r )2dr4sin24cos2 d24 sin d 8(0 t 2 )21/2(x2 y2)ds0 a2(a2sin2t a2 cos21 b2) dt解：°2 a . a b dt

3、2 a a b0*(4) Jx2 y2ds,其中 L 為 x2y22y ；L解：L的極坐標方程為r 2sin ,2 ,則ds r2 (r )2d. x2 y2dsL22rd第二節(jié)對坐標的曲線積分1 .填空題(1)對坐標的曲線積分的計算公式LP(x,y)dx Q(x,y)dy= P (t), (t) (t) Q (t), (t) (t)dt中，下限對應于L的 始 點，上限 對應于L的終 點;(2)第二類曲線積分 iP(x,y)dx Q(x, y)dy化為第一類曲線積分是 LP(x, y)cos dx Q(x, y)cos ds，其中，為有向光滑曲線 L在點(x, y)處的 切向量 的方向角.2

4、.選擇題：(1)對坐標的曲線積分與曲線的方向(B) (A)無關， (B)有關；(2) 若P(x, y) , Q(x, y)在有向光滑曲線L上連續(xù)，則 (A) (A) L P(x, y)dx Q(x, y)dy LP(x,y)dx Q(x, y)dy,(B) L P(x, y)dx Q(x, y)dy LP(x, y)dx Q(x, y)dy.3 .計算下列對坐標的曲線積分: (x2y2)dx,其中L為從點A(0,0)經(jīng)上半圓周(x 1)2 y2 1L(y 0)到點B(1,1)的一段弧；解：L 的方程為 y2 1 (x 1)2 ,11(x y )dx x 1 (x 1) 2xdx 1L(2) x

5、dy ydx ,其中 L 為 yL2 .x上從點B(1,1)到點A( 1,1)的一段弧;解:xdyLydx1xg2xdx2.x dx1x2dx1(3) ：x2ydx y3xdy,其中 L為 y2x與x 1所圍成區(qū)域的整個邊界(按逆時針方向繞行)； 2,解：L1: x y , y :11, L2:x 1,y: 11,則_2,3,?lx ydx y xdy2,3,2,3,x ydx y xdy x ydx y xdyL1L2*(4)y2dx xydy zxdz,其中 為從點 O(0,0,0)到點 C(1,1,1),沿著I)直線段；II )有向折線OABC ,這里的O、A、B、C依次為點(0,0,0

6、)、 (1,0,0)、(1,1,0)、(1,1,1);x t解：I)的參數(shù)方程為y t , 0 t 1,則z t1.00原式二0(t2 t2 t2)dt 1x 1x tII ) OA:, 0 t 1; AB:y t , 0 t 1;y z 0z 0x 1BC:y 1.0 t 1.z t211原式=y dx xydy zxdz 00tdt °tdt 1OA AB BC1 (y5g2y y5)dy131641ydy 12ydy7第五節(jié) 對坐標的曲面積分1.選擇題(1)對坐標的曲面積分與曲面的方向_ (B) (A)無關(B)有關(2)已知 R(x, y,z)dxdy 存在，則R(x,y,z

7、)dxdy+ R(x, y, z)dxdy (A)(A) 0(B) 2 R(x,y,z)dxdy2.計算下列對坐標的曲面積分：(1)(x2 y2)zdxdy,其中 為曲面z 1 x2 y2在第一卦限部分的上側.解：由知,在xoy面的投影區(qū)域為:Dxy (x,y)|0 y -1 x2,0 x 1 (r, )|0 r 1,0原式二(x2 y2)(1 x2 y2)dxdyDxy(2)(x+1)dydz ydzdx dxdy,其中 為 x y z 1 在第一卦限的部分且取法線的方向與 解：由已知得，平面與 等腰直角三角形，故z軸的夾角為銳角.x,y軸的夾角也為銳角,在三坐標面上的投影為02d 0r2(

8、1 r2)rdr1 1一()2 4 62411 y原式二0dy 0 (2 y z)dz11 xdx (1 x z)dz0011 x 4dx dy °00, 3*3 .把 xdydz ydzdx (x z)dxdy化為對面積的曲面積分，其中 為平面2x 2y z 2第一卦限部分的上側解：因取上側，故法向量22cos一，cos一，cos33一，、21原式=( x yrn與z軸正向夾角為銳角，方向余弦為L從而311c1C-x -z)dS-(3x 2yz)dS333第六節(jié)Gauss公式*通量與散度1.利用高斯公式計算下列曲面積分：32 o(x yz)dydz 2x ydzdx zdxdy,其中 為平面x 0,y 0,z 0,x 1, y 1, z 1圍成的立方體的表面外側;解：由Gauss公式，得2 _ 211124原式=(3x 2x 1)dxdydz Qdz o dy o(x1)dx 一。*(3) xdydz ydzdx zdxdy,其中為上半球面 z ja2 x2 y2的上側；2 22、解：設1為z 0(x +y a)的下側， 與1圍成的閉區(qū)域為，由Gauss公式，得36 xdydz ydzdx zdxdy 3dxdydz 2 a ,1而 0 xdydz ydzdx zdxdy 0 ,故原式=2 a31由 x2 y2