概率與概率的加法公式

1、§2隨機(jī)事件的概率，古典概型與概率的加法公式2000/7/31概率的統(tǒng)計(jì)定義:隨機(jī)事件在一次具體的試驗(yàn)是否發(fā)生，雖然不能預(yù)先知道，但是，當(dāng)大量重復(fù)同一試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)現(xiàn)象卻呈現(xiàn)出某種規(guī)律，即所謂統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.如：歷史上有人作過成千上萬次投擲硬幣，下表列出他們的試驗(yàn)記錄：2 隨機(jī)事梟驗(yàn)者投擲次數(shù)正面向上次數(shù)痂事1。1%制拼2。詈典確型皮爾遜(氐TVsifKm)皮爾遜(K rearaor)4040120002400020486019120120,50690.50160.5005容易看出，投擲次數(shù)越多正面向上的頻率越接近0 . 5,其中事件A發(fā)生的次數(shù)頻數(shù)事件A發(fā)生的頻率=試驗(yàn)總次數(shù)試驗(yàn)總次數(shù)我

2、們將事件發(fā)生的可能性大小只停留在定性了解不夠的，下面給出事件發(fā)生的可能性大 小的客觀的定量的描述，稱為事件發(fā)生的概率.2 .隨機(jī)事件的概率：(1) 定義：在不變的一組條件S下，重復(fù)作n次試驗(yàn)，記 是n次試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的次數(shù).當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)n很大時(shí)，如果頻率 一穩(wěn)定在某一數(shù)值 p的附近擺動(dòng)，而且一來隨著試驗(yàn)次數(shù)增多，這種擺動(dòng)的幅度越變?cè)叫。?則稱數(shù)值p為事件A在條件S下發(fā)生的概率，記作P(A) P這里，頻率的穩(wěn)定性是概率一個(gè)直觀樸素的描述，通常稱為概率的統(tǒng)計(jì)定義.但必 須指出，事件的頻率是帶有隨機(jī)性的，這是由事件本身的隨機(jī)性所決定。而事件的概率， 卻是一個(gè)客觀存在的實(shí)數(shù)，是不變的。二.古典概型

3、：1 .定義：如果隨機(jī)現(xiàn)象滿足下列三個(gè)條件：(1) 一次試驗(yàn)可能結(jié)果只有有限個(gè)，即所有基本事件只有有限個(gè)：AA,L , An ,(2)每一個(gè)基本事件 A (i 1,2,L ,n)發(fā)生的可能性是相等的.(3)基本事件A (i 1,2,L ,n)是兩兩互不相容滿足以上三個(gè)條件的隨機(jī)現(xiàn)象模型，稱為古典概型.在古典概型中，如果 n為基本事件總數(shù)，m為事件A包含的基本事件數(shù)，那么事件A的概率P(A) m nd包含的基本事件數(shù)范本事件總數(shù)法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯(Laplace)在1812年把上式作為概率的一般定義.現(xiàn)在通常稱它 為概率的古典概型的定義，因?yàn)樗贿m用于古典概型場(chǎng)合.2 . 古典概型公式的運(yùn)用舉例

4、：【例1】袋里有2個(gè)白球和3個(gè)黑球.從袋任取出一球，求它是白球的概率.解：容易看出，“從袋里任取一球”這一試驗(yàn)是古典概型的，且 基本事件總數(shù)n=5,取到白球的基本事件數(shù) m = 2,故P(X) = : .把白球換為合格產(chǎn)品，黑球換為廢品，則這個(gè)摸球模型就可以描述產(chǎn)品抽樣檢驗(yàn)問 題.這種模型化的方法把表面上不同的問題歸類于相同的模型之小中，能使問題更消楚， 更易于計(jì)算?！纠?】把a(bǔ), b兩個(gè)球隨機(jī)地放到編號(hào)為I, n , m的三只盒子里，求盒子 I中沒有球的概率。解：這是一個(gè)古典概型問題，把a(bǔ), b兩個(gè)球隨機(jī)地放到編號(hào)為I, n ,出的三只盒子里，基本事件總數(shù)2同外向 見完FROn 329設(shè)人=

5、"盒子I中沒有球”，則事件A包含的基本事件數(shù)m 224P(A)【例3】有一個(gè)口袋，內(nèi)裝a只白球，b只黑球，它們除顏色不袋了中任不同外，外形完全一樣 .現(xiàn)任意模出2個(gè)球時(shí)，求：(1 )模出2個(gè)球都是白球的概率； (2)模出一個(gè)白球一個(gè)黑球的概率解： 這口袋共有a+b只球，從袋了中任意模出2個(gè)球的基本事件總數(shù)(1)模出2個(gè)球都是白球基本事件數(shù)m C2,模出2個(gè)球都是白球的概率(2 )模出一個(gè)白球一個(gè)黑球的基本事件數(shù)11.m)2 Ca Cb ab,模出一個(gè)白球一個(gè)黑球的概率m2 abn Ca b若把黑球作為廢品，白球作為好品，則這個(gè)摸球模型就可以描述產(chǎn)品抽樣.按如產(chǎn)品 分為更多等級(jí)，例如：

6、一等品，二等品，二等品，等外品等等.則可用裝有多種顏色的 球的口袋的摸球模型來描述.131里，蟲癌,圖削麻我軍尊士申G之耨”本上列列有事件的假平，人-“某指定的r個(gè)盒中各有一球“凡-"恰有，個(gè)盒其中各有一球.4 * *某指定的一個(gè)盒子,恰有上個(gè)球岬解(1),個(gè)球放人降個(gè)盒子里的方法共有球種;而，個(gè) 琰在指定的r個(gè)盒中各放一個(gè)，共有，!種放法.所以尸二m【例4】，抽出口Y3已L金：3社產(chǎn)品中有4件廢品.試確定從中任取的m件送收產(chǎn)品中恰有T件是廢品的概率.解把合格品視為白球，廢品視為黑球】易知，本題的 試驗(yàn)是古典型的.從#件產(chǎn)品中以m件的可能方法數(shù)等于6,這就是本題 試驗(yàn)（從8個(gè)球（產(chǎn)品

7、）中任取m個(gè)球（產(chǎn)品）的基本事件 空間所包含的基本事件總數(shù).1 .無放回抽樣：.從另件廢品中取來件這共有。；種方法），再?gòu)?-入 件合格品中取來優(yōu)-于件（這共有。力種方法），這樣所得 到的每F+ Cm -r）二仇件產(chǎn)品都是一個(gè)有利的基本事件.矯 以，有利場(chǎng)合總數(shù)等于36二.所求概率2 .有放回抽樣：有放回抽樣時(shí)的概率計(jì)算公式推導(dǎo)如下.現(xiàn)在仍設(shè)$件 產(chǎn)品中有幾件廢品，用有放回抽樣抽取咖件.我們來求恰好 有丁件廢品的概率.因抽后放回，故每次抽取時(shí)抽到全部產(chǎn) 品中的每件都是可能的.弱重復(fù)排列的全體，是基本事件 空間，故基本事件總數(shù)等于，J行和場(chǎng)含（m次抽取中有外 次抽到廢品）數(shù)是（8 九尸:可如下考

8、慮求出此有利場(chǎng)合數(shù)：先指定某中次抽取廢品+ 這有。二種指定法.這歹次抽到廢品有距種排列方式,其余 m-次抽到合格品有（5-闔6，種排列方式.由乘法原理. 有利場(chǎng)合數(shù)等于上述三數(shù)之積， 所求概率為嚴(yán)二 C6(【例5】有一個(gè)口袋內(nèi)裝可分辨 4個(gè)黑球，6個(gè)白球，它們除顏色不同外，外形完全一樣.現(xiàn) 按兩種取法；(I )無放回；(n)有放回連續(xù)從袋中取出3個(gè)球，分別求下面事件的概率：(1) A “取出3個(gè)球都是白的”；(2) B “取出2個(gè)黑球，1個(gè)白球”.解：(I)無放回：連續(xù)從袋中取出3個(gè)球的基本事件總數(shù)3n A10,(1)取出3個(gè)球都是白的基本事件數(shù)3P(A):今 5 1 a向 ；(2 )取出2個(gè)

9、黑球，1個(gè)白球，注意到取出黑球的次序,事件B的基本事件數(shù)m2C2因而 P(B)m2C：A： AlAi3o0.3(n)有放回：連續(xù)從袋中取出3個(gè)球的基本事件總數(shù)n 103,(1) 取出3個(gè)球都是白的基本事件數(shù)mi 63,m16P(A)3 0.216 ；n 10(2) 取出2個(gè)黑球，1個(gè)白球，注意到黑球黑球的次序，事件B的基本事件數(shù) m2 C4242 C6,- 22- 1-m2 C4 4 C6因而P(B) 2 36 0.288n 10N個(gè)格子(Nk)的每一個(gè)格子中,【例6】設(shè)有k個(gè)球，每個(gè)球都能以同樣的概率落到 試求：下列事件的概率(1)A="某指定的k個(gè)格子中各有一個(gè)球”；(1)B=&

10、quot;任彳51 k個(gè)格子中各有一個(gè)球”；(3) C= "k個(gè)球落到同一個(gè)格子中”解：這是一個(gè)古典概型問題，由于每個(gè)球可落入N個(gè)格子中的任一個(gè)，所以 n個(gè)球在一 . kN個(gè)格子基本事件總數(shù)n N(1) k個(gè)球在那指定的k個(gè)格子中全排列，總數(shù)為 n!,因而所求概率P n !LL, N"(2) n個(gè)格子可以任意，即可以從N個(gè)格子中任意選出 n個(gè)來，這種選法共有CN又對(duì)于每種選定的n個(gè)格子，共有n!排列，因而所求概率PClN!【例】2 Nn Nn(N n)!生日.產(chǎn)個(gè)人的生日的可能情形相當(dāng)于7個(gè)球放入 365個(gè)盒中的不同排列(假定一年有365天).一部也梯，開始有個(gè)乘客，它在&

11、quot;層樓中每一層都停.乘客走出電梯的各種不同的排列與尸個(gè)球放入制個(gè)盒中的各 種不同排列相同;三。概率的性質(zhì)：1 .0P(A)12 .P() 13 .P() 0四.概率加法公式:1 . 概率加法公式:(1) 如果事件A, B是互不相容，貝U P (A+B) =P (A) +P (B),特別地，P(A A) P(A) P(A) 1；P(A) 1 P(A)(2)對(duì)任意兩事件4瓦有PG1UB)田力 +P-PUB)S.因?yàn)?=而 4nBA55 0,放FG4U83=F“)+P(8©又因?yàn)锽 =而 ABAB= 0,故 F(B)= PAB U ZB) = P(AB)+ P( NB) P(B3)

12、=P(B) -R4B)所以P(AjB) = P(+ P(B) - PUB)特別地，(1)如果A與B是兩個(gè)互斤事件，則?如果4 =1, 2 .丹)是完備事件組，則看2'占1F" + X) = FG4) + P(& j(3)若 B2. 逆事件概率：A ,貝U P (AB ) P (A) P (B).對(duì)任意事件當(dāng)有P(A) = 1-P(A)【例7】在浴池的鞋柜中亂放著10雙號(hào)碼不同的托鞋.今隨意取來三只，求有一雙配對(duì)的概率.解法I: 設(shè)10雙鞋的號(hào)碼為t號(hào)至10號(hào)鞋.我們有下列事件等式,“三只鞋中有一雙配對(duì)”=“三只中1號(hào)鞋配對(duì)” + “三只中2號(hào)鞋配對(duì)”+ “三支中10號(hào)

13、鞋配對(duì)”相應(yīng)地可設(shè)事件為?= Az + 42 + 4 4口.因?yàn)閮海瑑嚎趦蓛砂俨幌嗳?，故F(N)=人只。+小43把1號(hào)鞋看成廢品，其他鞋看成合格品，由超幾何 分布的概率公式，有pz j x 得,。加18, $R4）-優(yōu)-=1n . 190pg = 10（芻/）=搐解法1的特點(diǎn)是把較復(fù)雜的事件分解成較簡(jiǎn)單的事件和.鬃法H所求概率、f=(gk)(CA*5)一 " Y 解翹的思想請(qǐng)讀者從上式自己思考.：【例8】| |履跋)人中仁少如人仃把逅+ II ¥|柢甲解它的“前立林件”4人中沒后兩人有小冏生日- 的概率是容易求得的.因此，所求的概率是Pn - I n/wv.經(jīng)計(jì)算得卜去nP

14、, UF3lu0.13150.25200.412J0 J4222gZ30.51以0.54/o.-s?3(10.71Sj。:81400,8945D.S450(1.97650.S9出人意外的是當(dāng)打冷23時(shí).這一概率就大于0.5.你們班村 多少人，有相同生n的嗎？【例9 個(gè)著名問題一一匹配問題：4張卡門分別標(biāo)著 1, 2, 3, 4,面朝下放在桌子上.一個(gè)自稱有透視能力的人將用他超感覺能力說出卡片上的號(hào)數(shù)，如果他是冒充者而只是隨機(jī)地猜一下，他 至少猜中一個(gè)的概率是多少？對(duì)于這個(gè)小數(shù)日(n = 4)的具體問題，可以通過把“至少猜中一個(gè)”進(jìn)行分析而獲得解答.這里僅給出分析結(jié)果：恰好JS中IB1概率411/24SDb61 /41 18三730g| 3/8【例10】祓人&-4，尸(5) - v【例】32若:求FB耳(ii)若W UB,求尸(85(iii)若 PG43) = 5，求(月方) a解； (i): AB , A E U 月BA = B.P(BA) = P =J(ii) */ A C B= P(B - A