2017年上海市奉賢區(qū)高考數(shù)學一模試卷含答案解析

1、2017年上海市奉賢區(qū)高考數(shù)學一模試卷一.填空題（本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）1已知集合A=2，1，B=1，2，3，則AB=2已知復數(shù)z滿足z（1i）=2，其中i為虛數(shù)單位，則z=3方程lg（x3）+lgx=1的解x=4已知f（x）=logax（a0，a1），且f1（1）=2，則f1（x）=5若對任意正實數(shù)a，不等式x21+a恒成立，則實數(shù)x的最小值為6若拋物線y2=2px的焦點與橢圓的右焦點重合，則p=7中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項為2015，則該數(shù)列的首項為8如圖，一個空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的

2、直角邊成為1，那么這個幾何體的表面積是9已知互異復數(shù)mn0，集合m，n=m2，n2，則m+n=10已知等比數(shù)列an的公比q，前n項的和Sn，對任意的nN*，Sn0恒成立，則公比q的取值范圍是11參數(shù)方程，0，2）表示的曲線的普通方程是12已知函數(shù)f（x）=sinx+cosx（0），xR，若函數(shù)f（x）在區(qū)間（，）內(nèi)單調(diào)遞增，且函數(shù)y=f（x）的圖象關于直線x=對稱，則的值為二.選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）13“mn0”是方程“mx2+ny2=1表示雙曲線”的（）A充分但不必要條件B必要但不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件14若方程f（x）2=0在（，0）內(nèi)有解，則y=f（

3、x）的圖象是（）ABCD15已知函數(shù)（0，2）是奇函數(shù)，則=（）A0BCD16若正方體A1A2A3A4B1B2B3B4的棱長為1，則集合x|x=，i1，2，3，4，j1，2，3，4中元素的個數(shù)為（）A1B2C3D4三.解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分）17已知圓錐母線長為5，底面圓半徑長為4，點M是母線PA的中點，AB是底面圓的直徑，點C是弧AB的中點；（1）求三棱錐PACO的體積；（2）求異面直線MC與PO所成的角18已知函數(shù)（a0），且f（1）=2；（1）求a和f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）f（x+1）f（x）219一艘輪船在江中向正東方向航行，在點P觀測到燈塔A、

4、B在一直線上，并與航線成角（0°90°），輪船沿航線前進b米到達C處，此時觀測到燈塔A在北偏西45°方向，燈塔B在北偏東（0°90°）方向，0°+90°，求CB；（結(jié)果用，b表示）20過雙曲線的右支上的一點P作一直線l與兩漸近線交于A、B兩點，其中P是AB的中點；（1）求雙曲線的漸近線方程；（2）當P坐標為（x0，2）時，求直線l的方程；（3）求證：|OA|OB|是一個定值21設數(shù)列an的前n項和為Sn，若（nN*），則稱an是“緊密數(shù)列”；（1）若a1=1，a3=x，a4=4，求x的取值范圍；（2）若an為等差數(shù)列，首項a

5、1，公差d，且0da1，判斷an是否為“緊密數(shù)列”；（3）設數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，若數(shù)列an與Sn都是“緊密數(shù)列”，求q的取值范圍2017年上海市奉賢區(qū)高考數(shù)學一模試卷參考答案與試題解析一.填空題（本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）1已知集合A=2，1，B=1，2，3，則AB=1【考點】交集及其運算【分析】利用交集的定義求解【解答】解：集合A=2，1，B=1，2，3，AB=1故答案為：12已知復數(shù)z滿足z（1i）=2，其中i為虛數(shù)單位，則z=1+i【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算【分析】復數(shù)方程兩邊同乘1i的共軛復數(shù)，然后化簡即可【解答】解：由z（1i）=2，可

6、得z（1i）（1+i）=2（1+i），所以2z=2（1+i），z=1+i故答案為：1+i3方程lg（x3）+lgx=1的解x=5【考點】對數(shù)的運算性質(zhì)【分析】在保證對數(shù)式的真數(shù)大于0的前提下由對數(shù)的和等于乘積的對數(shù)去掉對數(shù)符號，求解一元二次方程得答案【解答】解：由lg（x3）+lgx=1，得：，即，解得：x=5故答案為：54已知f（x）=logax（a0，a1），且f1（1）=2，則f1（x）=【考點】對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用【分析】由題意可得f（2）=loga2=1；從而得到a=；再寫反函數(shù)即可【解答】解：由題意，f1（1）=2，f（2）=loga2=1；故a=；故f1（x）=；故答案為

7、：5若對任意正實數(shù)a，不等式x21+a恒成立，則實數(shù)x的最小值為1【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)【分析】由恒成立轉(zhuǎn)化為最值問題，由此得到二次函數(shù)不等式，結(jié)合圖象得到x的取值范圍【解答】解：對任意正實數(shù)a，不等式x21+a恒成立，等價于ax21，a（x21）max0（x21）max1x1實數(shù)x的最小值為16若拋物線y2=2px的焦點與橢圓的右焦點重合，則p=4【考點】橢圓的簡單性質(zhì)；拋物線的簡單性質(zhì)【分析】求出橢圓的右焦點，得到拋物線的焦點坐標，然后求解p即可【解答】解：橢圓的右焦點（2，0），拋物線y2=2px的焦點與橢圓的右焦點重合，可得：，解得p=4故答案為：47中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)

8、列，其末項為2015，則該數(shù)列的首項為5【考點】等差數(shù)列【分析】由題意可得首項的方程，解方程可得【解答】解：設該等差數(shù)列的首項為a，由題意和等差數(shù)列的性質(zhì)可得2015+a=1010×2解得a=5故答案為：58如圖，一個空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊成為1，那么這個幾何體的表面積是【考點】由三視圖求面積、體積；棱柱、棱錐、棱臺的體積【分析】由題意可知三視圖復原的幾何體是三棱錐，正方體的一個角，根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)，求出三棱錐的表面積即可【解答】解：由題意可知三視圖復原的幾何體是三棱錐，正方體的一個角，所以幾何體的表面積為：3個等腰直角三角形

9、與一個等邊三角形的面積的和，即：3×=故答案為：9已知互異復數(shù)mn0，集合m，n=m2，n2，則m+n=1【考點】復數(shù)相等的充要條件【分析】互異復數(shù)mn0，集合m，n=m2，n2，可得：m=m2，n=n2；n=m2，m=n2，mn0，mn解出即可得出【解答】解：互異復數(shù)mn0，集合m，n=m2，n2，m=m2，n=n2，或n=m2，m=n2，mn0，mn由m=m2，n=n2，mn0，mn，無解由n=m2，m=n2，mn0，mn可得nm=m2n2，解得m+n=1故答案為：110已知等比數(shù)列an的公比q，前n項的和Sn，對任意的nN*，Sn0恒成立，則公比q的取值范圍是（1，0）（0，+

10、）【考點】等比數(shù)列的前n項和【分析】q1時，由Sn0，知a10，從而0恒成立，由此利用分類討論思想能求出公比q的取值范圍【解答】解：q1時，有Sn=，Sn0，a10，則0恒成立，當q1時，1qn0恒成立，即qn1恒成立，由q1，知qn1成立；當q=1時，只要a10，Sn0就一定成立；當q1時，需1qn0恒成立，當0q1時，1qn0恒成立，當1q0時，1qn0也恒成立，當q1時，當n為偶數(shù)時，1qn0不成立，當q=1時，1qn0也不可能恒成立，所以q的取值范圍為（1，0）（0，+）故答案為：（1，0）（0，+）11參數(shù)方程，0，2）表示的曲線的普通方程是x2=y（0x，0y2）【考點】參數(shù)方程化

11、成普通方程【分析】把上面一個式子平方，得到x2=1+sin，代入第二個參數(shù)方程得到x2=y，根據(jù)所給的角的范圍，寫出兩個變量的取值范圍，得到普通方程【解答】解：0，2），|cos+sin|=|sin（+）|0，1+sin=（cos+sin）20，2故答案為：x2=y（0x，0y2）12已知函數(shù)f（x）=sinx+cosx（0），xR，若函數(shù)f（x）在區(qū)間（，）內(nèi)單調(diào)遞增，且函數(shù)y=f（x）的圖象關于直線x=對稱，則的值為【考點】由y=Asin（x+）的部分圖象確定其解析式【分析】由兩角和的正弦函數(shù)公式化簡解析式可得f（x）=sin（x+），由2kx+2k+，kZ可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間

12、，結(jié)合已知可得：，kZ，從而解得k=0，又由x+=k+，可解得函數(shù)f（x）的對稱軸為：x=，kZ，結(jié)合已知可得：2=，從而可求的值【解答】解：f（x）=sinx+cosx=sin（x+），函數(shù)f（x）在區(qū)間（，）內(nèi)單調(diào)遞增，02kx+2k+，kZ可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：，kZ，可得：，kZ，解得：02且022k，kZ，解得：，kZ，可解得：k=0，又由x+=k+，可解得函數(shù)f（x）的對稱軸為：x=，kZ，由函數(shù)y=f（x）的圖象關于直線x=對稱，可得：2=，可解得：=故答案為：二.選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）13“mn0”是方程“mx2+ny2=1表示雙曲線”的（）A

13、充分但不必要條件B必要但不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)；充要條件【分析】先證明充分性，把方程化為+=1，由“mn0”，可得、異號，可得方程表示雙曲線，由此可得“mn0”是方程“mx2+ny2=1表示雙曲線”的充分條件；再證必要性，先把方程化為+=1，由雙曲線方程的形式可得、異號，進而可得mn0，由此可得“mn0”是方程“mx2+ny2=1表示雙曲線”的必要條件；綜合可得答案【解答】解：若“mn0”，則m、n均不為0，方程mx2+ny2=1，可化為+=1，若“mn0”，、異號，方程+=1中，兩個分母異號，則其表示雙曲線，故“mn0”是方程“mx2+ny2=1表

14、示雙曲線”的充分條件；反之，若mx2+ny2=1表示雙曲線，則其方程可化為+=1，此時有、異號，則必有mn0，故“mn0”是方程“mx2+ny2=1表示雙曲線”的必要條件；綜合可得：“mn0”是方程“mx2+ny2=1表示雙曲線”的充要條件；故選C14若方程f（x）2=0在（，0）內(nèi)有解，則y=f（x）的圖象是（）ABCD【考點】函數(shù)的圖象與圖象變化【分析】根據(jù)方程f（x）2=0在（，0）內(nèi)有解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）的圖象和直線y=2在（，0）上有交點【解答】解：A：與直線y=2的交點是（0，2），不符合題意，故不正確；B：與直線y=2的無交點，不符合題意，故不正確；C：與直線y=2的在區(qū)間（0

15、，+）上有交點，不符合題意，故不正確；D：與直線y=2在（，0）上有交點，故正確故選D15已知函數(shù)（0，2）是奇函數(shù)，則=（）A0BCD【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)建立關系式求解【解答】解：由題意可知，函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，即f（x）+f（x）=0，不妨設x0，則x0則有：f（x）=x2+cos（x+），f（x）=x2sinx那么：x2+cos（x+）+x2sinx=0解得：（kZ）0，2）=故選：D16若正方體A1A2A3A4B1B2B3B4的棱長為1，則集合x|x=，i1，2，3，4，j1，2，3，4中元素的個數(shù)為（）A1B2C3D4【考點】子集與真子集【分析】，i，j

16、1，2，3，4，由此能求出集合x|x=，i1，2，3，4，j1，2，3，4中元素的個數(shù)【解答】解：正方體A1A2A3A4B1B2B3B4的棱長為1，i，j1，2，3，4，=（+）=+=1集合x|x=，i1，2，3，4，j1，2，3，4中元素的個數(shù)為1故選：A三.解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分）17已知圓錐母線長為5，底面圓半徑長為4，點M是母線PA的中點，AB是底面圓的直徑，點C是弧AB的中點；（1）求三棱錐PACO的體積；（2）求異面直線MC與PO所成的角【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；異面直線及其所成的角【分析】（1）由已知得AB=8，OC=4，OCAB，PO

17、=3，由此能出三棱錐PACO的體積（2）以O為原點，OC為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線MC與PO所成的角【解答】解：（1）圓錐母線長為5，底面圓半徑長為4，點M是母線PA的中點，AB是底面圓的直徑，點C是弧AB的中點，AB=8，OC=4，OCAB，PO=3，三棱錐PACO的體積VPACO=8（2）以O為原點，OC為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，A（0，4，0），P（0，0，3），M（0，2，），C（4，0，0），O（0，0，0），=（4，2，），=（0，0，3），設異面直線MC與PO所成的角為，cos=，故異面直線MC與PO所成

18、的角為arccos18已知函數(shù)（a0），且f（1）=2；（1）求a和f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）f（x+1）f（x）2【考點】指數(shù)式與對數(shù)式的互化【分析】（1）代值計算并根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性求出單調(diào)區(qū)間，注意函數(shù)的定義域，（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關于x 的不等式，解得即可【解答】解：（1）函數(shù)（a0），且f（1）=2，log2（a2+a2）=2=log24，解得a=2，f（x）=log2（22x+2x2），設t=22x+2x20，解得x0，f（x）的遞增區(qū)間（0，+）；（2）f（x+1）f（x）2，log2（22x+2+2x+12）log2（22x+2x2）2=log24，22x+2+2x+1

19、24（22x+2x2），2x3，xlog23，x00xlog23不等式的解集為（0，log23）19一艘輪船在江中向正東方向航行，在點P觀測到燈塔A、B在一直線上，并與航線成角（0°90°），輪船沿航線前進b米到達C處，此時觀測到燈塔A在北偏西45°方向，燈塔B在北偏東（0°90°）方向，0°+90°，求CB；（結(jié)果用，b表示）【考點】解三角形的實際應用【分析】由題意，B=90°（+），PBC中，運用正弦定理可得結(jié)論【解答】解：由題意，B=90°（+），PBC中，PC=b，由正弦定理可得20過雙曲線的右支

20、上的一點P作一直線l與兩漸近線交于A、B兩點，其中P是AB的中點；（1）求雙曲線的漸近線方程；（2）當P坐標為（x0，2）時，求直線l的方程；（3）求證：|OA|OB|是一個定值【考點】直線與雙曲線的位置關系；雙曲線的簡單性質(zhì)【分析】（1）求出雙曲線的a，b，由雙曲線的漸近線方程為y=±x，即可得到所求；（2）令y=2代入雙曲線的方程可得P的坐標，再由中點坐標公式，設A（m，2m），B（n，2n），可得A，B的坐標，運用點斜式方程，即可得到所求直線方程；（3）設P（x0，y0），A（m，2m），B（n，2n），代入雙曲線的方程，運用中點坐標公式，求得m，n，運用兩點的距離公式，即可得到定值【解答】解：（1）雙曲線的a=1，b=2，可得雙曲線的漸近線方程為y=±x，即為y=±2x；（2）令y=2可得x02=1+=2，解得x0=，（負的舍去），設A（m，2m），B（n，2n），由P為AB的中點，可得m+n=2，2m2n=4，解得m=+1，