過阻尼擺型方程的不變曲線及強(qiáng)阻尼耦合振子系的行波解

1、蘇州大學(xué)碩士學(xué)位論文過阻尼擺型方程的不變曲線及強(qiáng)阻尼耦合振子系的行波解姓名：張佩林申請學(xué)位級別：碩士專業(yè)：應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師：秦文新20080401過阻尼擺型方程的不變曲線及強(qiáng)阻尼耦合振子系的行波解中文摘要中文摘要本文由兩部分組成第一部分討論了變阻尼擺型方程西，（凈（，），其中，和是光滑函數(shù)，而且關(guān)于是周期，關(guān)于是弘周期，且，（），（），（，）（，）（，）對任意：的，乏另外還假設(shè)，阻尼項(xiàng)，（）是正的，即存在實(shí)數(shù)，使得，（），；礦（，）鍔筍仇我們主要得到了如下結(jié)果：當(dāng)系統(tǒng)滿足過阻尼條件，即殺時，系統(tǒng)是強(qiáng)單調(diào)的，此時盯百映射，存在不變限制水平曲線，且是整體吸引子，在不變限制水平曲線上是保向同胚，因此

2、系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)數(shù)和平均速度面存在，且面，此時，如，是偶函數(shù)，且（，）滿足（，叫）（一，），則系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)數(shù)進(jìn)一步，當(dāng)蒜時，血百映射的不變限制水平曲線是光滑的，如果旋轉(zhuǎn)數(shù)是無理數(shù)，由定理，我們得到了芭映射是遍歷的接下來在第二部分我們討論了滿足周期邊界條件的強(qiáng)阻尼耦合振子系奶奶（巧）口（巧一吩一）盧（奶奶奶一）只巧（）（）丌，的行波解的存在性及穩(wěn)定性其中歹，是阻尼系數(shù)，為周期函數(shù)，滿足）夕（），詹霄（）如，且，（）夕，是整數(shù)，為位置耦合系數(shù)，盧為速度耦合系數(shù)，是驅(qū)動外力所謂系統(tǒng)的行波解，即是巧（），（等），”其中，是波形函數(shù)：，滿足存在最小的，使得，（），（），過阻尼擺型方程的不變曲線及強(qiáng)阻尼耦合振子系

3、的行波解中文摘要稱為波形函數(shù)的周期我們得到的結(jié)果有：對任意的，都存在某個，使得系統(tǒng)存在一個行波解對任意的，系統(tǒng)存在一個行波解任意固定戶，存在，使得時，對所有的戶，系統(tǒng)存在一個行波解如果口盧，則系統(tǒng)是強(qiáng)單調(diào)的進(jìn)一步，此時系統(tǒng)的行波解全局穩(wěn)定關(guān)鍵詞：擺型方程，單調(diào)性，不變曲線，旋轉(zhuǎn)數(shù)，行波解作者：張佩林指導(dǎo)老師：秦文新過阻尼擺型方程的不變曲線及強(qiáng)阻尼耦合振子系的行波解色岔，（）圣（，），一出，（），（），（，）（，）（，）（）、，啊伍，（），（），；礦，）曼：筍礬唱：、，矗暑；，玎尸。、，舀出礎(chǔ)。鋤鏹訪忸捌，刪曲矛）吡，西，（，）（一，），州；蕓矗，土出，瑙鋤奶奶夕（巧）口（吻巧一）（奶奶奶一）只

4、止丘巧（）（），彳，齜缸，母（），（），詹”夕（）如，衄夕，（）夕，笛）（血啊皿伍，嬲酵鶴硼盯婦衄姻吼），（籌）爾，衄：，移，（），（），過阻尼擺型方程的不變曲線及強(qiáng)阻尼耦合振子系的行波解撕：粕丁，喇，）（啪耽帆硒，夕口！，：甲，批）蘇州大學(xué)學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性聲明及使用授權(quán)聲明學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所提交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，也不含為獲得蘇州大學(xué)或其它教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位證書而使用過的材料。對本文的研究作出重要貢獻(xiàn)的個人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本人承擔(dān)本聲明的法律責(zé)

5、任。研究生簽名：蟄塾墜日期：三?。罕ぃ簠矊W(xué)位論文使用授權(quán)聲明蘇州大學(xué)、中國科學(xué)技術(shù)信息研究所、國家圖書館、清華大學(xué)論文合作部、中國社科院文獻(xiàn)信息情報中心有權(quán)保留本人所送交學(xué)位論文的復(fù)印件和電子文檔，可以采用影印、縮印或其他復(fù)制手段保存論文本人電子文檔的內(nèi)容和紙質(zhì)論文的內(nèi)容相一致。除在保密期內(nèi)的保密論文外，允許論文被查閱和借閱，可以公布（包括刊登）論文的全部或部分內(nèi)容。論文的公布（包括刊登）授權(quán)蘇州大學(xué)學(xué)位辦辦理。研究垂簽名：型垂鹽日期：塑：?。簠矊?dǎo)師簽名：過阻尼擺型方程的不變曲線及強(qiáng)阻尼耦合振子系的行波解一引言第一章引言阻尼擺型方程的研究現(xiàn)狀擺型方程已經(jīng)有一百多年的歷史了，最早的模型就是物理中

6、最典型的單擺方程隨著科學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)被逐漸應(yīng)用到其它學(xué)科，擺型方程也隨之在物理，化學(xué)，生物等學(xué)科有了廣泛的應(yīng)用，尤其在物理中的應(yīng)用更為廣泛，如朗捌（艦?zāi)Ｐ汀荆?，約瑟夫森結(jié)（印璐）的動力學(xué)【，】等由于擺型方程有如此多的應(yīng)用，所以受到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注擺型方程分單個振子和多個振子耦合的兩種類型對于單個振子的擺型方程，已經(jīng)有很多的研究結(jié)果了最典型的是阻尼單擺方程，即岔，±（），其中是阻尼系數(shù)，（）是周期函數(shù)，稱為驅(qū)動外力（）嘶在【】中討論了（）三為常外力時，得到當(dāng)時，（）的動力學(xué)行為（）無平衡點(diǎn)，存在一個第二類型的周期解，并且該解在相平面上吸引其余任意軌道當(dāng)時，存在伽，使得當(dāng)，時，存在指

7、數(shù)穩(wěn)定的第二類周期解；，加時，存在平衡點(diǎn)，且任意解趨于平衡點(diǎn)；加時相平面分成兩部分，邊界是連接兩個不同平衡點(diǎn)的異宿軌，上半部分的軌道趨于該邊界，下面的軌道趨于平衡點(diǎn)當(dāng)時，與的情形類似當(dāng)（）是周期函數(shù)，不是常外力時，錢敏等人在】中證明了，當(dāng)，時，（）的各映射在相平面內(nèi)有一不變曲線，且該不變曲線是村百映射的整體吸引子，而且當(dāng)時此不變曲線是光滑的過阻尼擺型方程的不變曲線及強(qiáng)阻尼耦合振子系的行波解一引言撕在【冽中討論了系統(tǒng)岔（，）±（），（）的動力學(xué)，得到當(dāng)時，（）的映射在相平面內(nèi)有一不變曲線，且該不變曲線是百映射的整體吸引子，同時盯映射在此不變曲線上的作用可視為圓周上的保向同胚，從而存在旋

8、轉(zhuǎn)數(shù)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)數(shù)是有理數(shù)時，（）存在周期解，當(dāng)旋轉(zhuǎn)數(shù)是無理數(shù)時，（）存在擬周期解注意到，我們可以對（）作一尺度變換，江西，則（）變?yōu)椋?，凈（），（）其中盧訴，善上面的條件與產(chǎn)等價于南，當(dāng)時與錢敏等人在（）中的條件一致對于耦合振子系統(tǒng)，研究結(jié)果也已經(jīng)很多錢敏等在【】中討論了兩個耦合振子的動力形態(tài)，方程如下：，蕾，¨（現(xiàn)）艮，【奶，勛勛（勉一）一整體吸引子，且哪芭映射在此吸引子上是保向同胚的（）。文中證明了當(dāng)，時，存在加，使得當(dāng)，伽時，系統(tǒng)有對于多個振子的耦合系統(tǒng)，最典型的是咖模型奶奶吻（勺巧一），（）其中為阻尼系數(shù)，口為位置耦合系數(shù)，是驅(qū)動外力注意到，若，則（）即為單個振子的擺型方程模型

9、刪和漲在【】中證明了此系統(tǒng)的單調(diào)性，并且得到了在無平衡點(diǎn)的條件下，系統(tǒng)存在行波解且是整體吸引子若（）中，一，系統(tǒng)稱為超阻尼（叭卜鋤）對系統(tǒng)（）作尺度變換扣，則系統(tǒng)變?yōu)槟棠糖煽冢ㄇ晌且唬┲淮?，過阻尼擺型方程的不變曲線及強(qiáng)阻尼耦合振子系的行波解一引言其中訴濺和在【】中對系統(tǒng)（）滿足周期邊界條件吻（）吻（）尬歹，（）的情形做了研究，其中，是整數(shù)證明了在滿足過阻尼條件（鋤），?？蓵r，系統(tǒng)具有單調(diào)性，系統(tǒng)存在行波解當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)沒有平衡點(diǎn)在【】中也對系統(tǒng)（）（）做了研究，得到當(dāng)時系統(tǒng)存在行波解，此時不需要過阻尼條件，但沒有關(guān)于穩(wěn)定性的結(jié)論近年來，強(qiáng)阻尼耦合振子系統(tǒng)也引起學(xué)者們的關(guān)注，即匆奶夕（巧）（巧一巧

10、勺一）盧（奶奶與一），（）其中是阻尼系數(shù)，為周期函數(shù)，滿足（）（），戶夕（）如，且，（），口為位置耦合系數(shù)，盧為速度耦合系數(shù)，是驅(qū)動外力到目前為止，對于強(qiáng)阻尼耦合振子系統(tǒng)研究結(jié)果還很少系統(tǒng)（）的大部分研究結(jié)果主要局限在滿足條件（），知（），或明鋤條件下幻（）（），（）（），整體吸引子的存在性，如【，】關(guān)于行波解的研究也主要局限在一階格點(diǎn)系統(tǒng)【和二階系統(tǒng)【】的存在性方面本文的主要工作本文中我們在第二章討論了變阻尼擺型方程，蕾，（）圣（，），（）其中，和是光滑函數(shù)，而且關(guān)于是周期，關(guān)于是周期，即，（），（），（，）（，）（，）對任京寶的，過阻尼擺型方程的不變曲線及強(qiáng)阻尼耦合振子系的行波解一引言另外

11、還假設(shè)，阻尼項(xiàng)，（）是正的，即存在實(shí)數(shù)，使得，（）；礦（，）鍔筍我們主要得到了如下結(jié)果：當(dāng)系統(tǒng)滿足過阻尼條件，即殺時，系統(tǒng)是強(qiáng)單調(diào)的，此時百映射嚴(yán)存在不變限制水平曲線，且是整體吸引子，在不變限制水平曲線上是保向同胚，因此系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)數(shù)和平均速度面存在，且面，此時，如，是偶函數(shù)，且（，）滿足（，叫）（一，），則系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)數(shù)進(jìn)一步，當(dāng)蒜時，舌映射的不變限制水平曲線是光滑的，如果旋轉(zhuǎn)數(shù)是無理數(shù)，由定理，我們得到了芭映射是遍歷的接下來在第三章我們討論了強(qiáng)阻尼耦合振子系奶奶夕（巧）（巧巧巧一）（奶奶奶一）只歹，（）滿足周期邊界條件奶（）（），歹，（）的行波解的存在性及穩(wěn)定性其中是阻尼系數(shù)，為周期函數(shù)，滿足

12、夕扛）（），詹。（）出，且，（）夕，是整數(shù)，為位置耦合系數(shù)，盧為速度耦合系數(shù)，（）（）的行波解，即是是驅(qū)動外力所謂系統(tǒng)種），（芳?。?，其中，是波形函數(shù)：，滿足存在最小的，使得，（），（），稱為波形函數(shù)的周期我們得到了如下結(jié)論：（）（）對任意的，都存在某個，使得系統(tǒng)存在個行波解對任意的，系統(tǒng)（）（）存在個行波解任意固定廬，存在，使得時，對所有的戶，系統(tǒng)存在一個行波解如果伊夕，則系統(tǒng)是強(qiáng)單調(diào)的進(jìn)一步，此時系統(tǒng)的行波解全局穩(wěn)定過阻尼擺型方程的不變曲線及強(qiáng)阻尼耦合振子系的行波解一引言我們討論的系統(tǒng)（）比錢敏等在】中討論的（）和、，在】中討論的（）更具有一般性且如果系統(tǒng)（）中的，（），為常數(shù)時，得到

13、的結(jié)果和【】中的結(jié)果一致，（），時，和【】中的結(jié)果一致系統(tǒng)（）（）中，如盧，我們的結(jié)果與瞍璐和在【】中的結(jié)果一致，如，則系統(tǒng)（）變?yōu)閱蝹€振子，我們的結(jié)果和【】中的結(jié)果一致關(guān)于系統(tǒng)（），我們首先討論的是其單調(diào)性，采用的方法是，首先將（）轉(zhuǎn)換成一階系統(tǒng)，然后定義個錐，使得（）滿足過阻尼條件時，為（）相應(yīng)線性化方程的不變錐，接下來由定義一個偏序，使得（）在過阻尼條件下是保偏序的，即滿足單調(diào)性接下來在單調(diào)性的基礎(chǔ)上由盱不動點(diǎn)定理得到了映射，的不變限制水平曲線的存在性，又利用尤建功在【】中的方法得到了不變限制水平曲線的穩(wěn)定性旋轉(zhuǎn)數(shù)和平均速度方面的結(jié)果也是在單調(diào)性的基礎(chǔ)上得到的最后關(guān)于不變曲線的光滑性是利

14、用錢敏等在【中的方法系統(tǒng)（）（）的行波解的存在性的證明采用的方法是在【】中的方法，即先將行波解的存在性問題轉(zhuǎn)化為一維系統(tǒng)的不動點(diǎn)的存在性問題，然后利用不動點(diǎn)定理得到不動點(diǎn)的存在性，即系統(tǒng)（）（）的行波解的存在性接下來討論了系統(tǒng)的單調(diào)性，方法類似于系統(tǒng)（）中單調(diào)性的討論最后利用錢敏等在【】中的方法證明了行波解的穩(wěn)定性過阻尼擺型方程的不變曲線及強(qiáng)阻尼耦合振子系的行波解二過阻尼擺型方程的不變曲線第二章過阻尼擺型方程的不變曲線在本章中我們的主要目的是討論具有非線性阻尼的擺型方程岔，（）圣（，），（）其中，和是光滑函數(shù)，而且關(guān)于是周期，關(guān)于是口周期，即，（），（），（，）（，）（，）對任意的，另外還假設(shè)

15、，阻尼項(xiàng)，（）是正的，即存在實(shí)數(shù)，使得，（），；（，）掣我們主要研究了系統(tǒng)的百映射的不變限制水平曲線的存在性及光滑性不變限制水平曲線的存在性及光滑性都是建立在系統(tǒng)單調(diào)性的基礎(chǔ)之上所以我們首先討論系統(tǒng)的單調(diào)性，然后得到了不變限制水平曲線的存在性，而且不變限制水平曲線是整體吸引子，我們還討論了關(guān)于旋轉(zhuǎn)數(shù)的一些結(jié)論最后討論了不變限制水平曲線的光滑性，在光滑性的基礎(chǔ)上得到甜映射一的遍歷性我們不妨假設(shè)詹，（）出，事實(shí)上，若片，（）如，則（）兩邊同除以得，蕾（）±（，），其中，（）華，（，）掣，滿足詹（）如過阻尼條件下的單調(diào)性在本節(jié)我們主要討論（）的單調(diào)性我們的方法是，首先將（）轉(zhuǎn)換成一階系統(tǒng)，

16、然后定義一個錐，使得（）滿足過阻尼條件時，為（）相應(yīng)線性化方程的不變錐接下來由定義個偏序，使得（）在過阻尼條件下是保偏序的，即滿足單調(diào)性為了將（）轉(zhuǎn)換成一階系統(tǒng)，首先做一個變換如下：丟寰：，：（）圣，其中（石）岳，（）是周期為的周期函數(shù)，仁，。：一，主：生旦幽過阻尼擺型方程的不變曲線及強(qiáng)阻尼耦合振子系的行波解二過阻尼擺型方程的不變曲線于是（）可以寫成如下形式：竺奠乒一（一，）（一妒），一（一）（）我們很容易可以驗(yàn)證（）的解對一叩平面上的任意初始點(diǎn)唯一存在，而且全局有定義注意到（）的向量場是周期的且周期為（，）所以如果三（）（），（）是（）的個解，則互（）七（七）也是方程（）沿著一個解三（）的線

17、性化方程為：妒：一，一，）（一妒）一魚二二旦篷掣有皿（）（）令接下來我們將構(gòu)造個錐，使得為方程（）在過阻尼條件：殺下的不變錐另外，假設(shè)皿（）（妒（），妒（）是（）的個解，則如果皿（）【），（伽）一舢（一苫孚一（），則當(dāng)且僅當(dāng)殺，存在兩個根艦另外因?yàn)?，）如，所以故：艦：一卓設(shè)時他一熹葉砉一號（咖，妒），腳妒）且。艦因此，如果殺，則危（叫）有兩個負(fù)實(shí)根令表示大根，即引理假設(shè)殺且雪（）（），妒（）為釧的一個解如果皿（），則皿（）對所有的成立過阻尼擺型方程的不變曲線及強(qiáng)阻尼耦合振子系的行波解二過阻尼擺型方程的不變曲線證明：假設(shè)皿（）因?yàn)榭Вǎ源嬖谑沟茫ǎλ校?，）成立令，（）妒（）肺（），（?/p>

18、知），則，警一叫善一非飛吼刊掣（刊一（）因?yàn)殁蛞?，所以有叫（），（，乩故妒（）（），（，）事?shí)上如否則有石（），同時存在和充分小的，使得，（），如），所以（）一妒（功（），【，如），故由（）知參（）一（），如）由不等式可得（）（）（一。（）（一幻，）這與。石（）矛盾所以妒（）（），（，。）由（）我們有，一仇（一叫）詈（一叫）一（伽），伽【，比】所以如果，（）妒（）（）助，則叫（），即肼（）妒（；）證畢口注其實(shí)，只要取【，化中的任意值，引理都成立，我們之所以選擇，是為了在彳節(jié)對不變限制水平曲線光滑性的條件進(jìn)行更好的估計現(xiàn)在我們在一平面上定義偏序令弓（白，仍），定義已一我們定義三三，如果已且（巳一

19、專），一一量三，如果三巨且巨三；三三，如果已且臨一）？）一注三冬巨當(dāng)且僅當(dāng)三一三三一當(dāng)且僅當(dāng)三一巨【）巨互當(dāng)且僅當(dāng)三一龍令三（）（），（），邑（）池（），啦（）為（）的兩個解，初始值分另為三（）三，巨（）三加定義系統(tǒng)償剴稱為強(qiáng)單調(diào)，如果三三兮三（三（），過阻尼擺型方程的不變曲線及強(qiáng)阻尼耦合振子系的行波解二過阻尼擺型方程的不變曲線我們定義系統(tǒng)（）的映射：巨（）三（）定義系統(tǒng)仁砂的饑形映射稱為強(qiáng)單調(diào)，如果三三伽號皇尸互定理假設(shè)殺則系統(tǒng)俾圳強(qiáng)單調(diào)證明：假設(shè)三三加，且令（，）（一）互三加，其中，】假設(shè)巨（屯）是（）的一個解，初始值為三（，入）令郵掣娟似蝴）則皿（，）滿足（）我們有州）掣勘也且踟）咐因?yàn)?/p>

20、三三，即皿（，）【），則由引理可得皿（，入），即（，）且咖（，）妒（，）（，），故，工，工，（）一（）妒（，）（，）烈已（）一（），且肥咱）似）入帥，砌郵）唧（已（）一（），）入妒（，入）啦（）一（），所以我們有（已（）一（），（）一（）已（）一（），即三】（）三（），口推論假設(shè)殺則系統(tǒng)俾剴的饑佗映射矽強(qiáng)單調(diào)令（，），其中日，瞰【（），），（，），）定理是償砂的正不變吸引集過阻尼擺型方程的不變曲線及強(qiáng)阻尼耦合振子系的行波解二過阻尼擺型方程的不變曲線證明：在（）中有而刊力一掣由（，），（）的有界性及不等式有，（），（）一（）（一一）（）一班（一一）一條曲線量（）稱為水平曲線（日），如果量（。）三

21、（）對所有的由矽的強(qiáng)單調(diào)性，以及（）和矽（一）（），我們有如映中的一條限制水平曲線為中的一條限制水平曲線對任意的限制水平曲線三（）（），（），我們有（。）（）對所國：連續(xù)且?。┚牛ǎ﹥L【留如且如是限制水平曲線，俐過阻尼擺型方程的不變曲線及強(qiáng)阻尼耦合振子系的行波解二過阻尼擺型方程的不變曲線由限制水平曲線及的定義，對任意的九，等價于且，正（一）（）一（）一（）（）由，（）和引理，我們可以在上定義誘導(dǎo)映射妒：紡，如，從而有戶（殼）引理集合矗留靠且靠是限制水平曲線，），是非空，閉，且凸的證明：，所以矗非空下證是閉集假設(shè)，且（關(guān)于一致），則由（）知，故對任意的，有（一）（）一（）一，所以（一）危（）一，

22、（）一，故，即是閉集最后證明是凸集令，（，），五（一入），入（一）（一）曰對任意的，有口（訛不動點(diǎn)定理）設(shè)是賦范空間中的一個閉凸子假設(shè)仁砂滿足磊，則其訊形映射嚴(yán)在內(nèi)存在證明：由引理知集血是非空，閉且凸的另外，它還是緊的事實(shí)上，由的定義可得是一致有界的，又由（）知內(nèi)的函數(shù)是一致?？谝粋€集合日稱為一個水平帶，如果日（，）（）（），危，現(xiàn)）水平帶的寬度日和面積島分別如下定義：，工日罌鼢（）一九（），島上（）一）過阻尼擺型方程的不變曲線及強(qiáng)阻尼耦合振子系的行波解二過阻尼擺型方程的不變曲線引理引理尸映中的一個水平帶為中的個水平帶假設(shè)一個水平帶日有界則摯證明：（）寫為皿（）皿其中（），一叼淼絮枷川盼葛二，

23、則跏日島唧（廠枷出）勖唧（一巡出）勖中口引理存在常數(shù)，使得對每一個水平帶日有日鼬日證明：鼬馴是顯然的下證左邊不等式令日（，叼）刁九。（）叩圯（），則存在島【，】，使得日）一）考慮直線：危（如）七（一如），：（島）乜（專一島），：叼（島）乜一島），：（島）七一如）過阻尼擺型方程的不變曲線及強(qiáng)阻尼耦合振子系的行波解二過阻尼擺型方程的不變曲線令（，）為和的交點(diǎn)，（已，）為和的交點(diǎn)我們選取，乜，且使，已滿足已一令；已一；，則由水平帶寬度及其面積的定義，有日島證畢口我們定義一個點(diǎn)（島，）和一條限制水平曲線（，（）垮，）之間的距離為成姬留出（昂，（，）定理尸譏形映射，的不變限制水平曲線（，（）陲，）是整體

24、吸引子，即對任意的巨渤，珈），有出酣（叮三，），當(dāng)證明：對任意的三愉，伽），由定理，存在，使得三尸，三令厶（，（），），滿足昌，（）九（），則日【（，）（），（），盎）為一水平帶則由引理，我們有跏日，當(dāng)一，又由引理，有出或（，礦出（，當(dāng)故擊觀（島，）一，當(dāng)口過阻尼擺型方程的不變曲線及強(qiáng)阻尼耦合振子系的行波解二過阻尼擺型方程的不變曲線旋轉(zhuǎn)數(shù)和平均速度因?yàn)椋ǎ┑南蛄繄鍪侵芷诘?，所以相空間可以看作柱面。（），故不變限制水平曲線可以看作柱面上的圓周假設(shè)歷中對應(yīng)于的函數(shù)是危，即【（，（），留，）現(xiàn)在我們定義映射如下令丌表示投射算子丌三專，其中三（，）定義（）丌（，（）則映射嚴(yán)格遞增且滿足）（）事實(shí)上，如

25、果已，因我們稱面一華為俾砂的平均速度，如果此極限存在假設(shè)殺則系統(tǒng)砂的平均速度矛存在，且不依賴于證明：注意到（）（）一，（）假設(shè)初始點(diǎn)（），（），由的定義可得，（）（）（），（燈）因?yàn)?，（）對是有界的，所以：盟劍：掣對任意，必定存在整?shù)，使得燈（）所以（）二（）一（，）一（）一（禮）（）過阻尼擺型方程的不變曲線及強(qiáng)阻尼耦合振子系的行波解二過阻尼擺型方程的不變曲線由足理口礙阪曠如非的）打卜小郵卻動（刪互且（）（）（砷（即。故我們有雷熙半熙華熙警芋。，。如果初始點(diǎn)（），（），因?yàn)槭俏?，不失一般性，我們可以假設(shè)（），（），則存在點(diǎn)（亭，）和正整數(shù)七使得（害一七，而）（），（）（專七，而），所以由的

26、強(qiáng)單調(diào)性可得，盯（善一七，）（，（燈）尸尸（善七，而），故（自一七（孔）（白七因此，面艦學(xué)恕警熙警；恕華晏，禮注如旋轉(zhuǎn)數(shù)，則存在使得（），即存在三滿足矽三，因此存在一周期解如果是有理數(shù)，則存在使得口（），即存在一個，）型的第二類周期解三（）滿足三歸）：（）如果是無理數(shù)，則對任意的，嚴(yán)的極限集（）不依賴于三，且或者是圓周，或者是在中無處稠密的完全集每一種情況都存在仁剴的擬周期解如果（三）是圓周，則稱，在上是遍歷的定理假設(shè)殺，是偶函數(shù)，且（，）滿足（，）：（一，）則似，存在一周期解證明：假設(shè)（）是（）的周期解，則一（叫）也是如果（）的平均速度是面，則一面是一（引）的平均速度因?yàn)槠骄俣仁俏ㄒ淮_定的

27、，則移一面，故，即存在周期解口過阻尼擺型方程的不變曲線及強(qiáng)阻尼耦合振子系的行波解過阻尼擺型方程的不變曲線光滑性和遍歷性在上一節(jié)中我們知道，如果是無理數(shù)，則系統(tǒng)有擬周期解在這一節(jié)我們將在進(jìn)一步的條件下證明不變限制水平曲線的光滑性，從而可以利用定理獲得遍歷性的結(jié)果我們假設(shè)，和是儼光滑，所以盯映射是儼光滑同時我們假設(shè)過阻尼條件成立，以保證定理的結(jié)論成立另外，我們假設(shè)不變限制水平曲線對應(yīng)的函數(shù)為我們知道粵是的整體吸引子，即對任意的限制水平曲線，有（嚴(yán)）”如當(dāng)一令（，），（，）是（）的解，其初始條件（，），（，）?。?，（）我們假設(shè)是儼光滑因?yàn)榘唬裕ǎΤ闪⑷绻罴樱┏复ㄈ纾┏复ㄈ纾┏钢莺停┏?，則（，

28、），妒（，）滿足線性方程（），初始條件咖（，），妒（，）（）且由（，），妒（，）【）和引理可得，（，），妒（，）砒）（，），（，曲）滿足方程：掃礦償一，）（一妒）一礦（一，）（口一），亡礦（一叩，）（一妒）一礦健一，）（口一）一，一，）（一妒）一，（一刀）（口一）】，初始條件口（，），（，）粥（）令入（）咖（，）（，）一妒（厶）（，）引理存在常數(shù)口，使得對所有的成立，（，），名（）一口證明：對（）兩邊關(guān)于求導(dǎo)可得（）（）又：一堡二塵一礦一，）（一妒）！掣（一妒），（）初始條件（，）粥（）因?yàn)椋?，妒），所以（，）且一妒（一）對和成立同時，由（）有一仇（一）參（一），過阻尼擺型方程的不變曲線及強(qiáng)阻

29、尼耦合振子系的行波解二過阻尼擺型方程的不變曲線由不等式可得，（一曲。一竹“一曲（，）（，）（一）。妒（，）（一），（）因?yàn)槎?，所以一妒（一）（一）（一曲（一）（一），明，又因?yàn)椋ǎ?，且礦和，是周期函數(shù)，所以由式（）易得，存在不依賴于的常數(shù)使得入（，）（，）一危：（）一詈口，其中（一一），礦健一，）（一妒）掣（一妒），）口引理假設(shè)蒜則一汐礦）證明：由（）式可得一擴(kuò)）一詈一軌（一）一（詈一擁（一）弦其中令蒜代人上式得，一詈擴(kuò)）詈一（一）一蘭王二譬二譬詈一仇（一）故如果蒜，則口定理假設(shè)蒜則矽的不變限制水平曲線（，（）垮，是光滑，即危另外，（）在【，】上是有界變差函數(shù)證明：令如（，（），）為中的限制

30、水平曲線，（，），（，）是（）的解，初始值（，），（，）（），厶【（，（）（正），（），（竹），），竹，則厶臚島對，都是中的限制水平曲線警矧掣南矧，掣罕吐一一：一一一一，口必必（正）武（，）（，）誕擴(kuò)過阻尼擺型方程的不變曲線及強(qiáng)阻尼耦合振子系的行波解二過阻尼擺型方程的不變曲線由引理和引理可得對任意的，有警訾糾刪怕，一其中七一詈），口口咖（一臚令（一七）則對所有的有堡簍筍：醚（釧厶如端（）厶類似的，對，有蟛（）厶對所有的成立，故蟛（專）一致有界因?yàn)椋ǎ┪ㄕㄕ?，且蟛（）厶所以）等度連續(xù)且一致有界（）必定存在子列。（）一致收斂到擴(kuò)（）因?yàn)椋ǎ┮唬▽＃?，（）礦（）另外，（）一（已）。一碥

31、。（）一。（已）陪一已所以，（）一致連續(xù)，從而在【，】上是有界變差函數(shù)口命題（咖，定理）設(shè)函數(shù)，：卜÷是圓周保向同胚，（，）是無理數(shù)如果，具有不取零值的有界變差的微商（即，的任意提升具有不取零值的有界變差的微商），那么，是遍歷的定理假設(shè)蒜如果旋轉(zhuǎn)數(shù)是無理數(shù)，則竹彪映射在不變限制水平曲線上是遍歷的證明：只需證明，（）在【，】上是有界變差函數(shù)即可注意到（），（，（），且矽是儼光滑，丌是”光滑所以（）存在且連續(xù)因?yàn)椋ǎ┦怯薪缱儾詈瘮?shù)，故，（毒）在【，】上是有界變差函數(shù)又因?yàn)閲?yán)格遞增，所以不取零值由定理可得，如果旋轉(zhuǎn)數(shù)是無理數(shù)，則在上是遍歷的口過阻尼擺型方程的不變曲線及強(qiáng)阻尼耦合振子系的行波

32、解三強(qiáng)阻尼耦合振子的行波解第三章強(qiáng)阻尼耦合振子系的行波解上一章中我們討論了變阻尼擺型方程，本章我們討論更為復(fù)雜的強(qiáng)阻尼耦合振子系匆奶夕（弓）口（巧吻一）（奶奶奶一）只滿足周期邊界條件巧（）吻（）肋，歹（）（）其中，是整數(shù)，是阻尼系數(shù)，為周期函數(shù)，滿足）（），（）如，且夕，（），口為位置耦合系數(shù)，性所謂系統(tǒng)（）（）的行波解，即是為速度耦合系數(shù)，是驅(qū)動外力我們重點(diǎn)討論行波解的存在性及穩(wěn)定吼），（等），歹，其中，是波形函數(shù)：，滿足存在最小的，使得，卵，（）（）（）稱為波形函數(shù)的周期我們首先證明了行波解的存在性，然后討論了系統(tǒng)的單調(diào)性，最后在單調(diào)性的基礎(chǔ)上推出了行波解的穩(wěn)定性行波解的存在性本節(jié)我們來證

33、明行波解的存在性，我們采用的方法是在【】中的方法，即先將行波解的存在性問題轉(zhuǎn)化為一維系統(tǒng)的不動點(diǎn)的存在性問題，然后利用不動點(diǎn)定理得到不動點(diǎn)的存在性，即系統(tǒng)（）（）的行波解的存在性定理對任意的，都存在某個，使得系統(tǒng)砂剴存在一個砂類型的行波解過阻尼擺型方程的不變曲線及強(qiáng)阻尼耦合振子系的行波解三強(qiáng)阻尼耦合振子的行波解證明：一個函數(shù)，為系統(tǒng)（）（）周期為的行波解的波形函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它滿足（）和，（），（）夕（，（）【，（州），一叫）一，（）】，口、盧【，叫），（叫）一，（）】令牡（力，（）一（）則有（）（），名，（）從而（）可以被寫作（名）（）鏟（正（）嚴(yán)（刪）（一叫）一上（）】鄧【（刪）（一馴）一（

34、）】鏟一（）注意到如果滿足（）（），則面（）對任意的也滿足因此我們可以確定一個使得滿足（燦（）對（）在【，】上兩邊積分得等小?。└祝ǎ┧裕ǎ┛梢员粚懗桑ǎǎǎ┝︾P口【（）讓（）一上（）】盧【（州）（一）一（彳）嚴(yán)（），【）反之，如果滿足（）和（），則滿足（）定義礎(chǔ)空間卅（）（）川）邶），（）。），（）。，過阻尼擺型方程的不變曲線及強(qiáng)阻尼耦合振子系的行波解三強(qiáng)阻尼耦合振子的行波解分別配置日空間和驢空間的模定義到的線性映射幻：西（）（）炸）蜊一？刪）（名一刪）地（）】如）。一【（名朋）（一朋）一（）】對的基（州硝）的每個元素，有幻（霄硝）肌丌“，其中肌一砘砌嚴(yán)（警）一）砌卟鉚（警）一）卜川忡砌嚴(yán)（警）一）（捌卟鉚（警）一）孵（）注意到，只要，則肌丌丌（對任意的），即幻存在逆映射，滿足寫（州硝）玄州甜，容易證明幻的逆映射有界且懈搿南赤（）（）一夕（上（）名）（）丌）容易驗(yàn)證是連續(xù)的，且值域有界，事實(shí)上，（“）因?yàn)閷懹车?，又緊嵌入到，因此我們可以將寫看作由到自身的緊映射