證明三點(diǎn)共線問題的方法

1、證明三點(diǎn)共線問題的方法1、利用梅涅勞斯定理的逆定理例1、如圖1，圓內(nèi)接ABC為不等邊三角形，過點(diǎn)A、B、C分別作圓的切線依次交直線BC、CA、AB于、，求證：、三點(diǎn)共線。解：記，易知又易證.則. 同理.故.由梅涅勞斯定理的逆定理，知、三點(diǎn)共線。2、利用四點(diǎn)共圓（在圓內(nèi)，主要由角相等或互補(bǔ)得到共線）例2 、如圖，以銳角ABC的一邊BC為直徑作O，過點(diǎn)A作O的兩條切線，切點(diǎn)為M、N，點(diǎn)H是ABC的垂心.求證：M、H、N三點(diǎn)共線。(96中國奧數(shù)) 證明：射線AH交BC于D，顯然AD為高。記AB與O的交點(diǎn)為E，易知C、H、E三點(diǎn)共線。聯(lián)結(jié)OM、ON、DM、DN、MH、NH，易知，A、M、O、D、N五點(diǎn)

2、共圓，更有A、M、D、N四點(diǎn)共圓，此時，因?yàn)椋˙、D、H、E四點(diǎn)共圓），即；又，所以，故同理，。因?yàn)椋?，M、H、N三點(diǎn)共線。3、利用面積法如果，點(diǎn)E、F位于直線MN的異側(cè)，則直線MN平分線段EF，即M、N與EF的中點(diǎn)三點(diǎn)共線。例3 、如圖，延長凸四邊形ABCD的邊AB、DC交于點(diǎn)E，延長邊AD、BC交于點(diǎn)F，又M、N、L分別是AC、BD、EF的中點(diǎn)，求證：M、N、L三點(diǎn)共線。證明：設(shè)BC的中點(diǎn)為O，輔助線如圖所示，由可知，點(diǎn)O必在內(nèi)，此時，同理，。因此。此時，直線MN平分EF，即M、N、L三點(diǎn)共線。 注：利用梅涅勞斯定理的逆定理也可證明此題。4、利用同一法盡管同一法是一種間接證法，但它卻是

3、一各很有用的證法，觀察例4后，你會感到，同一法在證明三點(diǎn)共線問題時，也有其用武之地。例4 、如圖4(a)，凸四邊形ABCD的四邊皆與O相切，切點(diǎn)分別為P、M、Q、N，設(shè)PQ與MN交于S，證明：A、S、C三點(diǎn)共線。證明：如圖4(b)，令PQ與AC交于，易證互補(bǔ)。而，則，故。再令MN與AC交于。同理可得但，所以。利用合比性質(zhì)得，。因此，可斷定與必重合于點(diǎn)S，故A、S、C三點(diǎn)共線。注：觀察本題圖形,顯然還可證得B、S、D三點(diǎn)共線；換言之，AC、BD、PQ、MN四線共點(diǎn)。5、利用位似形的性質(zhì)如果與是兩個位似三角形，點(diǎn)O為位似中心，那么不僅A、O；B、O；C、O分別三點(diǎn)共線，而且、的兩個對應(yīng)點(diǎn)與位似中心

4、O也三點(diǎn)共線，位似形的這種性質(zhì)，對于證明三點(diǎn)共線，頗為有用。例5、如圖,內(nèi)部的三個等圓、兩兩相交且都經(jīng)過點(diǎn)P，其中每兩個圓都與的一邊相切,已知O、I分別是的外心、內(nèi)心，證明：I、P、O三點(diǎn)共線。證明：聯(lián)結(jié)、。由已知得 、?？蓴喽ㄅc是一對位似三角形，且易知的內(nèi)心I是兩者的位似中心。因?yàn)椤榈葓A，即,所以點(diǎn)P是的外心。又點(diǎn)O是的外心，故P、O兩點(diǎn)是兩個位似三角形的對應(yīng)點(diǎn)，利用位似形的性質(zhì)，即得I、P、O三點(diǎn)共線。6、 利用反證法有的幾何題利用直接證法很難，而用反證法卻能很快達(dá)到預(yù)期目的。例6、如圖，梯形ABCD中、DC/AB，對形內(nèi)的三點(diǎn)、，如果到四邊距離之和皆相等，那么，、三點(diǎn)共線，試證之。證明

5、：先看兩點(diǎn)，設(shè)直線分別交AD、BC于M 、N，于，于，于，于。因?yàn)镈C/AB，則點(diǎn)到AB、CD的距離之和等于點(diǎn)到AB、CD的距離之和。由已知可得。過點(diǎn)作AD的平行線、過點(diǎn)作BC的平行線得交點(diǎn)P（由于AD與BC不平行）。記交于G，交于H。觀察上式有。所以，。因?yàn)橛袃蓷l高，所以，是等腰三角形，則。故。再用反證法證明點(diǎn)一定在上：假設(shè)點(diǎn)不在上，聯(lián)結(jié)并延長分別交AD、BC于，易知點(diǎn)在MN的異側(cè)；因?yàn)辄c(diǎn)到AD、BC的距離之和等于點(diǎn)到AD、BC的距離之和，由上述證明過程知必有。事實(shí)上，觀察圖形只能得到，矛盾，這說明點(diǎn)必在上，即MN上，因此、三點(diǎn)共線。7、 用塞瓦定量的逆定理變?nèi)c(diǎn)共線為三線共點(diǎn)，利用塞瓦定理

6、的逆定理，在圓內(nèi)接凸六邊形ABCDEF中，若，則AD、BE、CF三線共點(diǎn)；反之亦然，利用這個結(jié)果來證明某些三點(diǎn)共線問題，可立竿見影。例7、如圖7，凸四邊形ABCD內(nèi)接于圓，延長AD、BC交于點(diǎn)P，作PE、PF切圓于E、F，又AC與BD交于K，證明：E、K、F三點(diǎn)共線。解：聯(lián)結(jié)AE、ED、CF、FB得凸六邊形ABFCDE。欲證E、K、F三點(diǎn)共線，即AC、BD、EF三線共點(diǎn)，只須證。注意到。則。又PE=PF，則。故。因此，AC、BD、EF三線共點(diǎn)，即E、K、F三點(diǎn)共線。練 習(xí) 題1、 在中，它的內(nèi)切圓切BC、CA、AB于D、E、F。設(shè)FE與BC交于，F(xiàn)D與AC交于，DE與BA交于。求證：、三點(diǎn)共線。（提示：方法1）2、 證明：圓外切凸四邊形對角線的中點(diǎn)及圓心三點(diǎn)共線。（提示：利用面積法）3、 凸四邊形ABCD內(nèi)接于圓，AC與BD交于P，過點(diǎn)A、D分別作BD、AC的垂線交于點(diǎn)K，過AB、CD的中點(diǎn)分別作BD、AC的垂線交于點(diǎn)L.證明：P、K、L三點(diǎn)共線。（提示：設(shè)第一組垂線的垂足為M、N，第二組垂線的垂足為X、Y，尋證MN/XY，得出與位似。）4、 圖8，凸四邊形ABCD的，以AC、BD、CD為一邊分別作三個正三角形：。證明：P、Q、R三點(diǎn)共線。（提示：延長AD、BC交于點(diǎn)E，顯然C、D、R、E四點(diǎn)共圓，再尋找其他的四點(diǎn)共圓