因式分解拓展題及解答必考題型

1、4x 8)2 3x(x2 4x8) 2x2因式分解拓展題解板塊一： 換元法 例1 分解因式： 【解析】 將 x2 原式 例2 分解因式：(x2解析】4x2u(x2方 法 1：將8 u 看成一個字母，可利用十字相乘得23xu 2x (u x)(u25x2x2x)2)(x2 5x 3) 1225x 看作一個整體，設(shè) x22)(t 3) 12 t2 5t5x 2 看作一個整體，設(shè)222(x 4x 8 x)(x 4x 8 2x)則原式【鞏固】原式 =(t 方法 2：將 x2 原式 =t(t 1) 12 t2x5x t ，則6 (t 1)(t6) (x 2)(x 3)(x25x 2 t ，則5x 1)方

2、法 3 ：將 不用，直接把(x25x)2分解因式：分解因式：2xt 12 (t 3)(t4) (x 2)(x3)(x2 5x5x 3看作一個整體， 過程略 . 如果學(xué)生的能力到一定的程度， 5x看作一個整體，將原式展開，分組分解即可，1)甚至連換元都x225(x25x)6(x 1)(x 3)(x22(x x 1)(x1 x 1 、 (x2 5x 5)1( x2y 是整數(shù)，求證： x【鞏固】例3 證明：四個連續(xù)整數(shù)的乘積加【解析】 設(shè) 這四個連續(xù)整數(shù)為： 原式【鞏固】 若 x，令x25xy4y2上式u(u2y2)yx2y例4 分解因式 (2a 5)(a2 【解析】 原式 (2a 5)(a 設(shè) 2

3、a2 a 15 原式 x(x 6) 912 2 2(x2 5x 1)(x2 5x 6) (x 2)(x3) (x2 5x5)(x 7) 15x 2) 12 是整數(shù)的平方x5x2 、 x5) 12y1).4y4 (ux 3y x22y2)2(x24y4y43、1x(x23y45x 5)21 1 (x2 5xx 4y5)2 y4 是一個完全平方數(shù) .5xy 5y2)2(x2 5xy225y2)29)(2a 7)3)( a 3)(2a917)91 (2a2a 15)(2a2a 21) 91x， x2 6x x23x91(x 13)(x8x 4x2 )1)(2x 3)3)(y 2) 90 y2 5y

4、84【鞏固】 分 解因式 ( 【解析】 原式 (x 1)(x 2)(2x原式 (y例5 分解因式：2)(37)9090(y2(2a2(2x212)(yx 4)25x7)28)(2 a 23)(2x2(2x28)2) 905x 12)(2 x5x7)(x 1)解析】咋 一看，很不好下手，仔細觀察發(fā)現(xiàn)：(3x2x1)(x222x 3) 4x2 x 4 ，故可設(shè) 3x2 x 1A,x2 2x 3 B ，2則 4x2x4AB.故原式 = 4AB (AB)2A2 B2 2AB (AB)2(3x2x1) (x2 2x 3)(2x23x2)2.鞏固】分 解因式： (a b2ab)(a b 2) (1ab)2

5、解析】由 于題中以整體形式出現(xiàn)的式子有兩個，共4 個地方，故采取換元法后會大大簡化計算過程，不妨設(shè) a bx,ab y ，解析】則原式 = (x 2y)(x222)(1 y)2x222xy y2y2x224(3x2x 1)(x2 2x 3) (4x=(y1)4 (y 1)42722(y4 6y21) 272例6分解因式：(X 1)4 (x 3)4272設(shè)y X 1 X 3 X 2，則原式2分解因式：a444 (a 4)4為方便運算，更加對稱起見，我們令 因式定理 如果X a時，多項式anXn【解析】【鞏固】 【解析】 板塊二: 因式定理: 因式.n 1an 1X.aiXao的值為0 ,那么X

6、a是該多項式的一個有理根：有理根c -的分子p是常數(shù)項a。的因數(shù)，分母q是首項系數(shù) qC 32_C2x X 5x 22的因數(shù)是 1，2，例7分解因式: 【鞏固】aoan 2的因數(shù)是 1，因此,原式的有理根只可能是1，2(分母為1)，因為f(1)2于是1是f (X)的一個根，從而 X 1是f (X)的因式，這里我們可以利用豎 式除法，此時一般將被除式按未知數(shù)的降幕排列，沒有的補0:可得原式(2x2 3x 2)( X 1) (X 2)(2x 1)(x 1)點評：觀察，如果多項式f (X)的奇數(shù)次項與偶數(shù)次項的系數(shù)和互為相反數(shù)， 則說明f(1)0 ；如果多項式的奇數(shù)次項與偶數(shù)次項的系數(shù)和相等，則說明

7、 【鞏固】分解因式：X6 解析：本題有理根只可能為 所以原式有因式X15 26， f( 1)an的因數(shù).f( 1)22x2 3x 2"Z322x X2x3 2x23x23x25x5x3x2x2x0.54322x 3x 4x 3x 2x 11 .1當(dāng)然不可能為根(因為多項式的系數(shù)全是正的)，經(jīng)檢驗 1是根,原式(X1)(x5 X42x3 2x2X1)容易驗證1也是X5X4 2x32x2X 1的根，5 X4 XC 3 C 2 2x 2xX 1 (x1)(x42x1) (X1)(x2所以X6c 5c 42x 3x,3c 24x 3x2x1 (x八2/ 21) (X1)2分解因式3 c 2X

8、 9x2y 26xy24y31,【鞏固】解析：X3 9x2y 26xy224y3 (x 2y)(xX3 (a b c)x2 (ab bc4y)1)2，例8分解因式:【解析】3y)(xca)x abcc， ab， bc，常數(shù)項 abc的因數(shù)為 a , b, 把X a代入原式，得 所以a是原式的根，X a是原式的因式，并且 分解因式：(I m)x3 (3l 2m n)x2 (2l m 3n )x 2(m n) 如果多項式的系數(shù)的和等于0 ,那么1一定是它的根；如果多項式的偶次項系數(shù)的和減去奇次項系數(shù)的和等于 0,那么1 一定是它的根.現(xiàn)在正是這樣： 所以X 1是原式的因式，并且板塊三：待定系數(shù)法如

9、果兩個多項式恒等，則左右兩邊同類項的系數(shù)相等.即，如果anxn an 1xn 1那么 an bn , an 1 bn 1,例9用待定系數(shù)法分解因式：【解析】原式的有理根只可能為ca， abc【鞏固】【解析】nan 2Xai5Xbi，1in.n 1.n 2a/ a0bnXbn 必bn 2Xa0b0.X 11,但是這2個數(shù)都不能使原式的值為0,所以原式?jīng)]有有理根,因而也沒有(有理系數(shù)的)一次因式.故 X5X 1(X2ax1)(x3bx2cx 1)或x5x 1(x2ax 1)(x3 bx2 cx 1)01，所以 x5 x 1( x2x 1)(x3x21)故cacbabba1 0 ，解得 b10101

10、事實上，分解式是惟一的，所以不用再考慮其它情況x4 x2 1 是否能分解成兩個整系數(shù)的二次因式的乘積 4 x2 1 (x2 x 1)(x2 x 1) . 1不能分解成兩個整系數(shù)的二次因式的乘積9x2 1 能夠分解，那么一定分解為21)( x2 bx 1)ac【鞏固】 解析： 我們知道 x2x4x4x如果(x2(x2ax1)(x 2 bx1)或比較axx3與x2的系數(shù)可得：b0ab2121，即 a2(1)(2)3 或 a2由(1) 得 ba ，代入 (2) 得 a22所以， x4 x2 1 不能分解成兩個整系數(shù)的二次因式的積 (從而也不能分解成兩個有理系數(shù)的二次因式的積)1能否分解為兩個整系數(shù)的

11、三次因式的積 ? 1 (x3 ax2 bx 1)(x3【鞏固】 x6 解析： 設(shè) x63x3x1，沒有整數(shù) a 能滿足這兩個方程1 2cx2 dx 1) ，c0bc 1d0c a， d b ,再把它們代入第二個方程中， 得 ab ab 1a3X及x的系數(shù)，得 adb由第一個方程與第三個方程可得矛盾 !所以， x6例 10 分解因式： x4【解析】 原式的有理根只可能為 1，3 ，但是這四個數(shù)都不能使原式的值為根，因而也沒有 ( 有理系數(shù)的 ) 一次因式 我們設(shè)想 的二次因式的乘積于是，設(shè) x4 x3其中整系數(shù) a、b、a比較5x，3x3 1不可能分解為兩個整系數(shù)的三次因式的積 32x 2x x

12、 31，0 ，所以原式?jīng)]有有理x 3 可以分為兩個整系數(shù)1 的4 x 1的( 首項系數(shù)為x 3 ( x2 ax b)( x2 cx d 有待我們?nèi)ゴ_定比較式兩邊 1由于原式是首2x23x1)，d)c、 c2x2兩個二次因式也應(yīng)當(dāng)是首2x ， x的系數(shù)ac 2(2)(3)(4)(5)及常數(shù)項，得 bbcbd這樣的方程組，一般說來是不容易解的不過，別忘了ad 13|_A|_A從(5) 可以得岀b1 或b1 ，當(dāng)然也可能是d3d3在這個例子中由于因式的次序無關(guān)緊要，1這兩種情況3 3a 1 1 ，再由得b、3或1d 是整數(shù) ! 根據(jù)這一點， b我們可以認為只有 b 1 bd3 將 b 1 ， d 3

13、 ，代入 (4) 將與相減得 2a 2 ， ( a 1 ， b 1 ， c 2 ， 因此 x4 x32 x2 x 3將 b 1， d 將與 相加得 2a 這一組數(shù) ( a 0 ， b 因而 x4 x3 2x2 x或d，得c于是 ad 3)不僅適合、,(x23,代人，得0. 于是1 ， c3 ( x22x 1)( x2 2 x 3) c 3a 1 a 0 ，再由 得 c 1 ， d 1)(x2 x 3) .2這一組數(shù) 而且適合1.3)，雖然適合、，卻不適合,事實上，分解式是惟一的，找岀一組滿足方程組的數(shù)，就可以寫岀分解式,3考慮有沒有其他的解純屬多余，毫無必要. 板塊四：輪換式與對稱式 對稱式：

14、 X、 y 的多項式 X y， Xy， X2在字母X與y互換時，保持不變. 類似地，關(guān)于 X、 y、 z 的多項式2z y2z y2X z2X z2 這樣的多項式稱為 X、 關(guān)于 X、 y、 z 的多項式2 2yz zx , xyz-在將字母X、y、z輪換(即將X換成y , 這樣的多項式稱為 X、y、z的輪換式顯然，關(guān)于 但是，關(guān)于X、y , z的輪換式不一定是對稱式例如，次數(shù)低于 3 的輪換式同時也是對稱式.兩個輪換式 (對稱式)的和、差、積、商 (假定被除式能被除式整除 )仍然是輪換式 (對稱式). 例 11 ：分解因式： X2 (y z) y2(z X) z2(X y)QQQ解析：X (

15、y z) y (z X) z (x y)是關(guān)于x、y、z的輪換式.如果把x2(y z) y2(z X) z2(x y)看作關(guān)于x的多項式，那么在 x y時， 它的值為 y2(y z) y2(z y) z2(y y) 0. 因此， X y 是 X2 (y z) y2(z X) z2(X y) 的因式.2 2 2由于X (y z) y (z X) z (x y)是x、y、z的輪換式，可知y z與z X也是它的因式.從而它們的積(X y)(y z)(z x) 是 X (y z) y (z X) z (X y) 的因式.由于 、都是 X、 y、 z 的三次多項式，所以兩者至多相差一個常數(shù)因數(shù)X (y

16、z) y (z .X) z (X y) k(X y)(y z)(z X)現(xiàn)在我們來確定常數(shù) k的值為此，比較的兩邊 右邊系數(shù)為 k .因此， k 1.2 2 2于是 X (y z) y (z X) z (X y) (X y)(y思路 2 :利用 y z = (y X) (z x). 例 12 分解因式： Xy(X2【解析】 此式是關(guān)于 X， y個因式.23 3y2 ， X3y3 ，這樣的多項式稱為2X y z， X2x2y2Xy2 ，X、 y 的對稱式.23z ， Xy yz zX， X yx2y x輪換式：2xy2y ， Xyz，y z 的對稱式.2X y z， X在字母x、y、2yz中任意

17、兩字互換時，保持不變.2z ， xy yz zx ， x2 2 y z z X，y 換成 z ， z 換成 X) 時， X、 y、 z 的對稱式一定是2 2 2 ,2 2 2 2 y2) yz(y2 z2) zX(z2x2)注意到保持不變X、y、z的輪換式.x2 y y2 z z2x 就不是對稱式k ，即有2X y的系數(shù)：左邊系數(shù)為z)(z x)1，同理， y z ， zX 均是原式的因式，而(X y)(y z)(zX) 是三次輪換式，故還應(yīng)有一個一次輪換式，設(shè)其為k(X yz) ，故原式 k(X yz)(Xy)(yz)(zX)，展開并比較系數(shù)可知，k 1 ，故原式(X yz)(Xy)(yz)

18、(zX) .思路 2：利用 X2 y2= (X 2z2)+(z2 y2)家庭作業(yè)練習(xí) 1 .分解因式： 4(X5)(X6)(X10)(X12)3X2原式 4(X2 17X 60)(X216X60)3X24(X216X 60) X(X2 16X 60) 3X2練習(xí) 2 .要 使 X 1 X 3X4X8 m 為完全平方式，則常數(shù)m 的值為 【解析】X 1 X 3 X4X8m(X2 5X 4)(X2»5X24)m (X2225X)220(X2 5X)96 m ，則 m 196練習(xí) 3 .分解因式： (X26X 8)(X214X 48)12x y 是原式的一解析】8)1210x24) 122

19、2(x2 10x 16)( x2x y 時，原式 0 ，故， z 的四次齊次輪換式，原式 (X 設(shè) t X22)(x 4)(x 6)(x10x 16 ，則原式 t(t8)12(t 2)(t 6)(x2210x 18)(x10x22)練習(xí)4 .分解因式：(x2xy2 2y ) 4xy(x2y2)【解析】設(shè)x2 y2a，xyb，則原式(ab)24ab (ab)22 2 2(x y xy).練習(xí)5 .分解因式：2x32 x5x 2練習(xí)6 .分解因式：3 x6x211x 6練習(xí)7 .用待定系數(shù)法分解：54.x x 1【解析】原式的有理根只可能為1，但是這2個數(shù)都不能使原式的值為0，所以原式?jīng)]有有理根,因而也沒有(有理系數(shù)的)一次因式.4故 x5x45 x1 (x24x故aebabax 1)(x3(x ax11 0bx21)(x3a，解得 bex 1)或 x5 bx2ex1)1 (x2 ax(a b)x41)(x3(ab ebx2 ex 1)1)x3 (ae b 1)x2 (a e)x 1所以x5x41(x2x1)(x3x 1)1 00事實上，分解式是惟一的，所以不用再考慮其它情況.e) b3(e a) e3(a b)a) e3(a b)