攝像機(jī)自標(biāo)定方法的研究與進(jìn)展

1、攝像機(jī)自標(biāo)定方法的研究與進(jìn)展孟曉橋，胡占義 通訊作者。中國(guó)科學(xué)院自動(dòng)化所,模式識(shí)別國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京, 100080 Email:mengxq,huzy摘要：本文回顧了近幾年來(lái)攝像機(jī)自標(biāo)定技術(shù)的發(fā)展，并分類介紹了其中幾種主要方法。同傳統(tǒng)標(biāo)定方法相比，自標(biāo)定方法不需要使用標(biāo)定塊，僅根據(jù)圖象間圖象點(diǎn)的對(duì)應(yīng)就能在線估計(jì)出攝像機(jī)內(nèi)參數(shù)。本文重點(diǎn)介紹并評(píng)價(jià)了透視模型下的幾種重要的自標(biāo)定方法，包括內(nèi)參數(shù)恒定和內(nèi)參數(shù)可變兩種情形；最后還簡(jiǎn)要介紹了幾種非透視模型下的攝像機(jī)自標(biāo)定。Recent Progress in Camera Self-CalibrationXiaoqiao Meng，Zhanyi H

2、uNational Laboratory of Pattern Recognition, Institute of AutomationChinese Academy of Sciences, Beijing, 100080 Email:mengxq,huzyAbstract: We present a review and classification of camera self-calibration techniques developed in recent years. Compared with traditional calibration technique, self-ca

3、libration does not require a calibration object with known 3D geometry, but only needs point correspondences from image sequences to solve for the intrinsic parameters. Our main focus is on dealing with perspective camera model of both constant and varying intrinsic parameters. Finally, we discuss s

4、elf-calibration techniques under assumptions of some other camera models. 1引言攝像機(jī)標(biāo)定是計(jì)算機(jī)視覺(jué)領(lǐng)域里從二維圖象提取三維空間信息必不可少的步驟，被廣泛應(yīng)用于三維重建、導(dǎo)航、視覺(jué)監(jiān)控等領(lǐng)域。廣義上攝像機(jī)標(biāo)定可分為三種：傳統(tǒng)標(biāo)定方法、基于主動(dòng)視覺(jué)的標(biāo)定方法和自標(biāo)定方法。傳統(tǒng)標(biāo)定方法（參見(jiàn)596467等）需要使用經(jīng)精密加工的標(biāo)定塊，通過(guò)建立標(biāo)定塊上三維坐標(biāo)已知的點(diǎn)與其圖象點(diǎn)間的對(duì)應(yīng)，來(lái)計(jì)算攝像機(jī)的內(nèi)外參數(shù)。傳統(tǒng)標(biāo)定方法的優(yōu)點(diǎn)在于可以獲得較高的精度，但標(biāo)定過(guò)程費(fèi)時(shí)費(fèi)力，不適用于在線標(biāo)定和不可能使用標(biāo)定塊的場(chǎng)合；第二類方法是

5、基于主動(dòng)視覺(jué)的標(biāo)定方法，該類方法需要控制攝像機(jī)做某些特殊運(yùn)動(dòng)，如繞光心旋轉(zhuǎn)16或純平移2936等，利用這種運(yùn)動(dòng)的特殊性可以計(jì)算出內(nèi)參數(shù)。該類方法的優(yōu)點(diǎn)是算法簡(jiǎn)單，往往能獲得線性解，缺點(diǎn)是不能適用于攝像機(jī)運(yùn)動(dòng)未知或無(wú)法控制的場(chǎng)合（如手持?jǐn)z像機(jī)等）。以上兩種標(biāo)定方法，均是利用到場(chǎng)景或攝像機(jī)運(yùn)動(dòng)的信息，對(duì)于場(chǎng)景任意、攝像機(jī)運(yùn)動(dòng)未知的最一般的情形，則都無(wú)能為力。九十年代初，F(xiàn)augeras，Luong，Maybank等532首先提出了自標(biāo)定的概念，使得在場(chǎng)景未知和攝像機(jī)運(yùn)動(dòng)任意的一般情形下標(biāo)定成為可能。Faugeras等5從射影幾何的角度出發(fā)證明了每?jī)煞鶊D象間存在著兩個(gè)形如Kruppa方程的二次約束，

6、通過(guò)直接求解Kruppa方程組可以解出內(nèi)參數(shù)。鑒于直接求解Kruppa方程的困難，研究者們又提出了分層逐步標(biāo)定的思想，即首先對(duì)圖象序列做射影重建，在此基礎(chǔ)上再仿射標(biāo)定和歐氏標(biāo)定。分層逐步標(biāo)定的方法以Hartley的QR分解法13、Triggs的絕對(duì)二次曲面法58、Pollefeys的模約束法38等為代表。針對(duì)在實(shí)際應(yīng)用中攝像機(jī)內(nèi)參數(shù)會(huì)實(shí)時(shí)改變的情形，研究者們進(jìn)一步提出了可變內(nèi)參數(shù)下攝像機(jī)自標(biāo)定的概念。Heyden，strm，Pollefeys等2341從理論上證明：在內(nèi)參數(shù)滿足一定條件的前提下，可變內(nèi)參數(shù)下的自標(biāo)定是完全可能的，Pollefeys 等41還給出了一種實(shí)用的可變內(nèi)參數(shù)下的攝像機(jī)自

7、標(biāo)定方法。從本質(zhì)上說(shuō)，所有自標(biāo)定方法都只是利用了攝像機(jī)內(nèi)參數(shù)自身存在的約束，與場(chǎng)景和攝像機(jī)運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)，這也是自標(biāo)定方法較前兩類標(biāo)定方法更靈活的原因。本文的結(jié)構(gòu)安排如下：第2節(jié)，介紹攝像機(jī)自標(biāo)定的預(yù)備知識(shí)，包括透視模型、攝像機(jī)內(nèi)外參數(shù)、絕對(duì)二次曲線（面）、單應(yīng)矩陣、多視點(diǎn)間幾何關(guān)系、分層重建等；第3節(jié)，簡(jiǎn)要介紹幾種主要的攝像機(jī)自標(biāo)定方法，包括直接求解Kruppa方程的方法，基于絕對(duì)二次曲面的自標(biāo)定，Pollefeys的模約束法以及可變內(nèi)參數(shù)下的分層逐步標(biāo)定等；第4節(jié)，介紹幾種非透視模型下的攝像機(jī)自標(biāo)定，包括仿射攝像機(jī)、一維攝像機(jī)以及攝像機(jī)對(duì)等。第5節(jié)是總結(jié)和展望。2預(yù)備知識(shí)2.1 符號(hào)約定為表示三

8、維歐氏空間中的無(wú)窮遠(yuǎn)量，通常把該空間中任意一點(diǎn)記作，并稱之為該點(diǎn)的齊次坐標(biāo)，齊次項(xiàng)對(duì)應(yīng)著無(wú)窮遠(yuǎn)平面上的元素，補(bǔ)充了無(wú)窮遠(yuǎn)元素的歐氏空間被稱為擴(kuò)充歐氏空間。相應(yīng)的，二維平面上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的齊次坐標(biāo)為，對(duì)應(yīng)著無(wú)窮遠(yuǎn)直線上的元素。除非特別申明，本文所用到的坐標(biāo)（包括點(diǎn)、矢量、平面方程、直線方程等）均為齊次坐標(biāo)，用小寫黑體表示。矩陣則用大寫黑體表示。2.2 攝像機(jī)模型通常使用的是針孔模型61。在該模型下，攝像機(jī)按透視射影變換將空間點(diǎn)投影到像點(diǎn)，用公式寫成：(1)投影矩陣可進(jìn)一步分解成（）在這里，R,t分別是世界坐標(biāo)系到攝像機(jī)坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矢量，被稱為攝像機(jī)外參數(shù)；是將圖象坐標(biāo)系變換到攝像機(jī)坐標(biāo)系所

9、需的只與攝像機(jī)自身有關(guān)的參數(shù)矩陣，我們稱之為攝像機(jī)內(nèi)參數(shù)矩陣。為主點(diǎn)坐標(biāo)（Principle point），為有效焦距（Effective focal length），為縱橫比（Aspect ratio），為傾斜因子（Skew factor）。攝像機(jī)自標(biāo)定的目的即是要求出矩陣。2.3 絕對(duì)二次曲線與攝像機(jī)自標(biāo)定密切相關(guān)的兩個(gè)重要概念是絕對(duì)二次曲線 (Absolute conic)和絕對(duì)二次曲面(Absolute quadric)47。在擴(kuò)展歐氏坐標(biāo)系(無(wú)窮遠(yuǎn)平面方程為)中，絕對(duì)二次曲線被定義為無(wú)窮遠(yuǎn)平面上的一個(gè)虛二次曲線，令是它上面的任一點(diǎn)，則滿足： 點(diǎn)在攝像機(jī)投影矩陣的作用下成像為，則得到，

10、代入絕對(duì)二次曲線的方程可得： 通常用記矩陣所代表的絕對(duì)二次曲線的像，用記的對(duì)偶47（指所有與相切的直線族組成的包絡(luò)）。上式表明：在內(nèi)參數(shù)恒定的前提下，相當(dāng)于一個(gè)虛擬的標(biāo)定塊，無(wú)論攝像機(jī)如何運(yùn)動(dòng)，它均能被“看到”，且所成的像保持不變。的這種不變性是幾乎所有自標(biāo)定方法的基礎(chǔ)。自標(biāo)定的目標(biāo)即是要尋找（或）并計(jì)算出，再對(duì)取逆得到，對(duì)做Cholesky分解10即可求出內(nèi)參數(shù)矩陣。2.4 絕對(duì)二次曲面絕對(duì)二次曲面是空間中一個(gè)特殊的虛二次曲面。從代數(shù)角度考慮, 在擴(kuò)展歐氏坐標(biāo)系(無(wú)窮遠(yuǎn)平面方程為)中的二次型為： (2)在任意射影坐標(biāo)系下，該二次型將成為一個(gè)形式不固定、半正定、秩為3的矩陣。如果再?gòu)膸缀谓嵌瓤?/p>

11、慮，(2)式所代表的幾何元素有兩種理解方式：（）可以被看成一個(gè)由點(diǎn)的軌跡組成的曲面，該曲面上的任意點(diǎn)均滿足方程。此時(shí)，該曲面是被壓縮到無(wú)窮遠(yuǎn)平面上的一個(gè)退化的二次曲面，它落在無(wú)窮遠(yuǎn)平面上的邊緣即為絕對(duì)二次曲線，它所成的像等同于；（）也可被理解成由一組平面族組成的包絡(luò)，該包絡(luò)中任意平面的法向矢量均滿足方程，容易證明，該包絡(luò)中任意平面均與絕對(duì)二次曲線相切，所以等同于的對(duì)偶(Absolute dual quadric)，且該包絡(luò)的成像也等同于絕對(duì)二次曲線像的對(duì)偶。在第二種理解方式下，若設(shè)為投影矩陣，則應(yīng)滿足：上式非常重要，是將在第3節(jié)中介紹的許多自標(biāo)定方法的基礎(chǔ)。與類似，也是歐氏變換 這里的歐氏變換

12、=標(biāo)準(zhǔn)歐氏變換（旋轉(zhuǎn)和平移）+總體尺度因子變換，以下同。下的幾何不變量，但在代數(shù)處理上較有更多的優(yōu)越性，這是因?yàn)槲覀円延?.3節(jié)知：是一個(gè)二維幾何元素，它的定義需要兩個(gè)方程，其中包括支持它的無(wú)窮遠(yuǎn)平面方程；而則是三維幾何元素，它的定義很自然地將無(wú)窮遠(yuǎn)平面方程和自身方程合為一體，因此可以直接把放在三維射影坐標(biāo)系中加以研究，這在許多場(chǎng)合會(huì)帶來(lái)便利。2.5 單應(yīng)矩陣設(shè)為空間中任意平面，在上建立二維射影坐標(biāo)系后，用記落在上的任意一點(diǎn)的齊次坐標(biāo)，用、記該點(diǎn)在兩圖象上的對(duì)應(yīng)像點(diǎn)，則下列關(guān)系式成立：圖1：兩幅圖象間的對(duì)極幾何關(guān)系圖2：三幅圖象間的張量關(guān)系（trifocal tensor）上式中的“”表示相差

13、一個(gè)常數(shù)因子下的相等。當(dāng)平面不通過(guò)任一光心時(shí)，上式中的、均是的非奇異矩陣，習(xí)慣上我們稱為到第一幅圖象的單應(yīng)矩陣（Homography），為在兩幅圖象間的單應(yīng)矩陣。2.6 多視點(diǎn)間的幾何關(guān)系雙視點(diǎn): 在雙視點(diǎn)結(jié)構(gòu)下，圖象間的對(duì)應(yīng)點(diǎn)遵循著眾所周知的對(duì)極幾何關(guān)系61(Epipolar geometry)。如圖1，攝像機(jī)分別在不同的光心位置、攝取圖象，給定第一幅圖象上的點(diǎn)，則它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)必然落在由三點(diǎn)確定的平面與第二個(gè)圖象平面的交線上，同理，必然落在平面與第一個(gè)圖象平面的交線上。這種約束關(guān)系是兩幅圖象間最基本的幾何關(guān)系，習(xí)慣上稱為極線約束，從數(shù)學(xué)上可以描述為：(3)是秩為2的矩陣，習(xí)慣上被稱為基礎(chǔ)矩陣（

14、Fundamental matrix）。關(guān)于的性質(zhì)的討論，請(qǐng)參閱1728。由于基礎(chǔ)矩陣包含了兩幅圖象間的所有幾何信息，因此精確地計(jì)算對(duì)于標(biāo)定和三維重建具有重要意義。常用的計(jì)算的方法是直接基于(3)式的8點(diǎn)算法，原理如下：設(shè)，將F寫成由各分量組成的列矢量形式，即，則對(duì)每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)對(duì)可寫出方程： 將個(gè)這樣的方程疊加起來(lái)得到線性方程組，再利用SVD分解9可求出該方程組的最小二乘解。8點(diǎn)算法簡(jiǎn)單易行，但實(shí)驗(yàn)表明：圖象中有噪聲時(shí)，矩陣的條件數(shù)極大，不容易得到精確解。為克服這一弊端，Hartley在17中將圖象點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)一化到區(qū)間，大大降低了矩陣的條件數(shù)，提高了求解的精度。關(guān)于其它求解的方法請(qǐng)參見(jiàn)53。 三

15、視點(diǎn): 令是三視點(diǎn)間的一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)，它們之間的線性關(guān)系可以用一個(gè)的三視點(diǎn)張量(Trifocal tensor)來(lái)描述48（如圖2），關(guān)系式如下：上式遵循Einstein約定，下標(biāo)表示坐標(biāo)分量，取值范圍為1,2,3，相互之間的取值遵循著叉乘規(guī)定。相應(yīng)的，直線也有類似關(guān)系14 15，若令是三視點(diǎn)間的一組對(duì)應(yīng)直線，則它們滿足：關(guān)于三視點(diǎn)張量的性質(zhì)和計(jì)算的進(jìn)一步討論請(qǐng)參見(jiàn)5455。更多視點(diǎn): 與三視點(diǎn)類似，四視點(diǎn)間的幾何關(guān)系可以用四視點(diǎn)張量（Quadrifocal tensor）來(lái)描述，Hartley在19中討論了四視點(diǎn)張量的性質(zhì)并給出了計(jì)算方法。由于射影空間中點(diǎn)的齊次坐標(biāo)只有4個(gè)分量，多于四視點(diǎn)的圖象

16、對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間將不再有新的約束關(guān)系，具體證明請(qǐng)參見(jiàn)42。對(duì)多視點(diǎn)間幾何關(guān)系的深入討論請(qǐng)參見(jiàn)8215556。2.7 分層重建與攝像機(jī)標(biāo)定緊密聯(lián)系的是三維歐氏重建，在這里我們將簡(jiǎn)要地介紹分層重建的概念。通常我們所建立的世界坐標(biāo)系是歐式意義下的，但在某些場(chǎng)合，建立比歐式坐標(biāo)系更廣泛的仿射，甚至射影坐標(biāo)系可能會(huì)帶來(lái)便利。Faugeras在7中首先提出了將三維歐氏重建分解成三步：（1）根據(jù)圖象對(duì)應(yīng)點(diǎn)得到射影重建（也稱為射影標(biāo)定），并計(jì)算出射影意義下的攝像機(jī)投影矩陣。實(shí)現(xiàn)射影重建的方法很多，請(qǐng)參閱文獻(xiàn)113334355057等；（2）在射影重建所恢復(fù)的射影空間中，確定無(wú)窮遠(yuǎn)平面的位置，把射影空間升級(jí)到仿射空間

17、。這一步也稱為仿射標(biāo)定；（3）在仿射重建的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步施加約束，確定絕對(duì)二次曲線（面）像的方程并計(jì)算出內(nèi)參數(shù)，從而最終恢復(fù)出歐氏結(jié)構(gòu)。射影重建也稱為射影標(biāo)定，其意義如下：設(shè)空間中第個(gè)點(diǎn)的齊次坐標(biāo)，其在第幅圖象上的像點(diǎn)為。射影重建即是要找到一組的矩陣，滿足：(4)顯然，從射影重建恢復(fù)出的射影坐標(biāo)系不是唯一的，因?yàn)閷?duì)于空間中任意一個(gè)射影變換（用一個(gè)的非奇異矩陣表示），形如的射影重建都滿足(4)式。攝像機(jī)的完全自標(biāo)定和歐氏重建要求找到唯一的，能將變換到歐氏意義下的攝像機(jī)投影矩陣，即要對(duì)所有的滿足：(5)顯然，上式中的有15個(gè)自由度。如果以第一幅圖象為基準(zhǔn)做射影對(duì)齊，將(4)改寫成：(6)(6)式中

18、的是極點(diǎn)，是參考面的單應(yīng)矩陣，此參考面被證明27可以是射影空間中的任意平面。作射影對(duì)齊后，在(6)式右邊做具有如下形式的變換將不會(huì)改變：(7)(7)式中的是尺度因子，是某一平面的法向矢量，這意味著作形如(7)式的射影變換其實(shí)就是改變了參考面。如果確定了法向量為的某平面為無(wú)窮遠(yuǎn)平面，并作形如(7)式的變換將無(wú)窮遠(yuǎn)平面變?yōu)閰⒖济妫瑒t射影空間被升級(jí)到仿射空間，此時(shí)無(wú)窮遠(yuǎn)平面的單應(yīng)矩陣可通過(guò)下式與聯(lián)系起來(lái)：(8)從(8)式確定出后即得到了仿射重建，此時(shí)攝像機(jī)成像矩陣為：(9)如果進(jìn)一步求出了攝像機(jī)內(nèi)參數(shù)矩陣，則在(9)式規(guī)定的仿射空間里作仿射變換可將仿射重建升級(jí)到歐氏重建，具有形式：(10)將(10)

19、式中的作用于(9)式的右邊，可以得到歐氏意義下的攝像機(jī)成像矩陣：(11)3自標(biāo)定方法綜述在這一節(jié)里，我們按照自標(biāo)定方法提出的時(shí)間和方法的共性分類。所有自標(biāo)定方法均是針對(duì)運(yùn)動(dòng)的單個(gè)攝像機(jī)而言，攝像機(jī)采用的是針孔模型，并假定匹配點(diǎn)對(duì)應(yīng)已經(jīng)確定。以下除非特殊申明，攝像機(jī)的內(nèi)參數(shù)均保持恒定。圖3：Kruppa方程根據(jù)絕對(duì)二次曲線滿足的幾何關(guān)系推導(dǎo)出來(lái)，即：通過(guò)光心、且與無(wú)窮遠(yuǎn)平面上的絕對(duì)二次曲線相切的兩個(gè)平面必定同時(shí)與的象 相切。3.1 直接求解Kruppa方程的自標(biāo)定Faugeras，Luong ，Maybank等提出的自標(biāo)定方法是直接基于求解Kruppa方程的一種方法532，該方法利用絕對(duì)二次曲線

20、像和極線變換的概念推導(dǎo)出了Kruppa方程。如圖3，在光心對(duì)應(yīng)的圖象平面1上，存在著兩極線、與相切，在光心對(duì)應(yīng)的圖象平面2上也存在著兩極線、與相切（、分別是絕對(duì)二次曲線在圖象平面1、2上的像）。根據(jù)射影幾何47的原理：與、與分別對(duì)應(yīng)著無(wú)窮遠(yuǎn)平面上兩條與絕對(duì)二次曲線相切的直線，這種對(duì)應(yīng)被稱為極線變換5。如果將極線表示成，其切點(diǎn)在圖象平面2上形成的極線即為，而的方程可用基礎(chǔ)矩陣表示為，則根據(jù)極線變換得：即：（表示矢量的反對(duì)稱矩陣）(12)從(12)式可以得到5個(gè)關(guān)于分量的二次方程，但其中只有2個(gè)是獨(dú)立的26。(12)式常由于其形式的特殊被稱為Kruppa方程。容易看出，從兩幅圖象總共可以得到2個(gè)K

21、ruppa方程，在給定3幅圖象的情形下，原則上通過(guò)聯(lián)立求解可解出攝像機(jī)的全部5個(gè)內(nèi)參數(shù)。圍繞著求解Kruppa方程，文獻(xiàn)中存在著不同的途徑。Faugeras，Maybank等532最早提出的算法完全基于代數(shù)幾何的概念，該算法對(duì)噪聲極其敏感，普通計(jì)算機(jī)的浮點(diǎn)運(yùn)算已不足以滿足其要求。Luong26提出了一套基于連續(xù)同倫算法60的較實(shí)用的求解策略，降低了對(duì)噪聲的敏感度，但該策略要求拐點(diǎn)的提取精度達(dá)到子像素級(jí)（0.2個(gè)像素）。這兩種直接求解Kruppa方程的方法存在著共同的弊端：求解困難，而且是針對(duì)兩兩圖象之間列方程，當(dāng)圖象數(shù)目增加時(shí)，可能解的個(gè)數(shù)呈指數(shù)增長(zhǎng)，使得直接求解失去意義。另一類求解Krupp

22、a方程的途徑是間接的非線性優(yōu)化算法：Zeller等62利用Kruppa方程計(jì)算出多幅圖象上的所有點(diǎn)到對(duì)應(yīng)極線距離之和，再利用Levenberg-Marquardt優(yōu)化算法43減小該距離，并求出相應(yīng)的內(nèi)參數(shù)；文獻(xiàn)42則首先令(12)式兩邊的模相等以消去常數(shù)因子，再直接對(duì)兩邊的代數(shù)距離進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化函數(shù)如下(令，表示Frobenius模)：上述優(yōu)化算法的缺點(diǎn)在于：待優(yōu)化參數(shù)過(guò)多，且容易陷入局部最優(yōu)值。部分學(xué)者41226還通過(guò)簡(jiǎn)化攝像機(jī)模型以降低Kruppa方程的求解難度，如Hartley在12中假設(shè)除焦距外的其它內(nèi)參數(shù)均已知，利用對(duì)基礎(chǔ)矩陣的SVD分解從兩幅圖象中計(jì)算。我們注意到在2000年的EC

23、CV會(huì)議上，Ma等31對(duì)Kruppa方程的奇異性和可解性做了詳細(xì)的分析。Ma等在31中證明：在某些特殊情形下（如攝像機(jī)的旋轉(zhuǎn)軸平行或垂直于平移矢量），Kruppa方程可以被歸一化為線性方程，相應(yīng)的自標(biāo)定算法也成為線性。文獻(xiàn)31還給出了利用Kruppa方程自標(biāo)定的充分性證明。基于Kruppa方程的自標(biāo)定方法不需要對(duì)圖象序列做射影重建，而是對(duì)兩兩圖象之間建立方程，在某些很難將所有圖象統(tǒng)一到一個(gè)一致的射影框架的場(chǎng)合，該方法會(huì)較下面將介紹的分層逐步標(biāo)定法更具有優(yōu)勢(shì)，但獲得這種優(yōu)勢(shì)的代價(jià)是：在從(12)式推導(dǎo)出Kruppa方程時(shí)，隱含將無(wú)窮遠(yuǎn)平面的3個(gè)未知數(shù)消去了，這意味著無(wú)法保證無(wú)窮遠(yuǎn)平面在所有圖象對(duì)

24、確定的射影空間里的一致性，從而也解釋了當(dāng)圖象序列較長(zhǎng)時(shí)，基于Kruppa方程的自標(biāo)定方法不穩(wěn)定的現(xiàn)象。3.2 分層逐步標(biāo)定近幾年來(lái)，分層逐步標(biāo)定法成為自標(biāo)定研究中的熱點(diǎn)，并在實(shí)際應(yīng)用中逐漸取代了直接求解Kruppa方程的方法。分層逐步標(biāo)定法首先要求對(duì)圖象序列做射影重建（參見(jiàn)2.7節(jié)），再通過(guò)絕對(duì)二次曲線（面）施加約束，定出仿射參數(shù)（即無(wú)窮遠(yuǎn)平面方程）和攝像機(jī)內(nèi)參數(shù)。限于篇幅，下面僅列出其中幾種較有代表性的方法。Hartley 的方法：Hartley在13中提出了一種直接對(duì)攝像機(jī)投影矩陣進(jìn)行QR分解的自標(biāo)定方法。Hartley首先利用13的方法進(jìn)行射影重建，做射影對(duì)齊后得到形如(6)式的攝像機(jī)投

25、影矩陣序列。自標(biāo)定的目標(biāo)即是要尋找合適的射影變換，將變換到歐氏意義下的投影矩陣，即： (13)在的前提下，共有8個(gè)未知數(shù)，且具有如下形式：(14)代入(13)式并取前三列得：(15)文獻(xiàn)13首先通過(guò)預(yù)估計(jì)得到、，再利用QR分解法10分解(15)式的左邊得到。由于攝像機(jī)內(nèi)參數(shù)保持恒定，應(yīng)接近于，利用Levenberg-Marquardt算法43對(duì)下式進(jìn)行優(yōu)化可以解出：(16)Hartley方法利用了QR分解法消去旋轉(zhuǎn)矩陣，這是該方法的最大特色。該方法的優(yōu)點(diǎn)在于：當(dāng)輸入圖象序列較長(zhǎng)時(shí)，往往能取得較好的效果；不足之處在于其初始值必須預(yù)先估計(jì)。Heyden和strm 的方法：Heyden和strm在2

26、2中提出了類似的方法。與Hartley方法相同，22也利用了(6)式，但區(qū)別在于Heyden等將(14)代入(13)式后，利用了消去、并得到：(17)通過(guò)優(yōu)化下式可以解出內(nèi)參數(shù)矩陣： (18)該方法也存在著計(jì)算量大，優(yōu)化的收斂性難以保證的弊端。必須指出的是，(18)式非常重要，它其實(shí)也是下面將介紹的Triggs的基于絕對(duì)二次曲面、Pollefeys的分層重建等方法的基礎(chǔ)。Pollefeys的方法：Pollefeys等40從單應(yīng)矩陣和絕對(duì)二次曲線出發(fā)推導(dǎo)出了類似22的結(jié)果。由于無(wú)窮遠(yuǎn)平面上的絕對(duì)二次曲線的像不隨攝像機(jī)運(yùn)動(dòng)而改變，利用(8)式得：(19)文獻(xiàn)39建議利用Levenberg-Marq

27、uardt算法優(yōu)化下式以解出：(20)可以看出，優(yōu)化函數(shù)(20)與(18)在形式上類似，都存在著未知的常數(shù)因子，但在處理該常數(shù)因子上，Pollefeys等和Heyden等采用了不同的途徑：Heyden等是將看作獨(dú)立的未知數(shù)與其他參數(shù)同時(shí)優(yōu)化，而Pollefeys等則利用(19)式兩邊的模相等估計(jì)出：(21)由于減少了待優(yōu)化的未知數(shù)個(gè)數(shù)，優(yōu)化函數(shù)將更易于收斂。Pollefeys在40中還證明：該方法與基于Kruppa方程的方法5、Heyden等的方法22、Triggs的基于絕對(duì)二次曲面的方法58等在本質(zhì)上是相同的。以上我們介紹的三種方法有著共同的特點(diǎn)：都是在射影標(biāo)定的基礎(chǔ)上，以某一幅圖象為基準(zhǔn)做

28、射影對(duì)齊，從而將未知數(shù)縮減至8個(gè)（無(wú)窮遠(yuǎn)平面參數(shù)3個(gè)+攝像機(jī)內(nèi)參數(shù)5個(gè)，不包括總體常數(shù)因子），再通過(guò)非線性優(yōu)化算法同時(shí)解出所有未知數(shù)。缺點(diǎn)在于：（1）非線性優(yōu)化算法的初值只能通過(guò)預(yù)估得到，不能保證收斂性；（2）射影重建時(shí)均是以某參考圖象為基準(zhǔn)，參考圖象的選取不同標(biāo)定的結(jié)果也不同，這不滿足一般情形下噪聲均勻分布的假設(shè)。3.3 基于絕對(duì)二次曲面的自標(biāo)定Triggs58最早將絕對(duì)二次曲面的概念引入到自標(biāo)定的研究中來(lái)，該方法的原理如下：由2.4節(jié)知，絕對(duì)二次曲面對(duì)應(yīng)著圖象上的絕對(duì)二次曲線像的對(duì)偶，即下式成立：(22)(22)式非常重要，它是將攝像機(jī)內(nèi)參數(shù)的自身約束轉(zhuǎn)移到對(duì)的約束的紐帶。不難看出，(22

29、)式與Heyden等給出的(17)式在本質(zhì)上是相同的,但Heyden等并未給出其相應(yīng)的幾何解釋。原則上通過(guò)聯(lián)立求解(22)式組成的方程組可以計(jì)算出。由于(22)式中的常數(shù)因子隨圖象不同而改變，為消去，對(duì)(22)式兩邊矩陣的對(duì)應(yīng)項(xiàng)作叉乘： (23)上式中的表示矩陣第k行第l列元素。對(duì)于每一幅圖象，可得到15個(gè)形如(23)式的方程，但其中只有5個(gè)是獨(dú)立的58。Triggs提出了兩種方法求解該方程組：第一種方法利用了SQP優(yōu)化算法（Sequential quadratic programming），在的約束下直接求解代價(jià)函數(shù)的最小值。利用該方法，給定至少3幅圖象即可完全標(biāo)定，初始值由預(yù)估得到；第二種

30、方法被稱為半線性方法（Quasi-linear），將、的分量分別組織成列矢量、，并以的59個(gè)分量為未知數(shù)，則此時(shí)(23)式成為線性方程，再聯(lián)立從多幅圖象（）得到的所有這樣的線性方程，在最小二乘意義下解出59個(gè)未知數(shù)。非線性方法存在著過(guò)分參數(shù)化的傾向，噪聲大時(shí)誤差也較大。基于的自標(biāo)定方法與基于Kruppa方程的方法在本質(zhì)上是一致的，都是利用了絕對(duì)二次曲線在歐氏變換下的不變性，但在輸入多幅圖象并能得到一致射影重建的情形下，前者較后者更具有優(yōu)勢(shì)，其根源在于：包含了無(wú)窮遠(yuǎn)平面和絕對(duì)二次曲線的所有信息，而基于的自標(biāo)定方法又是在對(duì)所有圖象做射影重建的基礎(chǔ)上計(jì)算，從而保證了無(wú)窮遠(yuǎn)平面對(duì)所有圖象的一致性。與此

31、相比，基于Kruppa方程的方法是在兩兩圖象之間建立方程，在列方程過(guò)程中已將支持絕對(duì)二次曲線的無(wú)窮遠(yuǎn)平面參數(shù)消去，所以當(dāng)輸入更多的圖象對(duì)時(shí)，不能保證該無(wú)窮遠(yuǎn)平面的一致性。3.4 Pollefeys的模約束所有以上的分層逐步標(biāo)定法有一個(gè)共同的特點(diǎn)：在得到射影重建后，將仿射標(biāo)定和歐氏標(biāo)定合為一步，一次性地求解出3個(gè)仿射參數(shù)（即無(wú)窮遠(yuǎn)平面參數(shù)）和5個(gè)攝像機(jī)內(nèi)參數(shù)。而Pollefeys38提出的模約束法則是將仿射標(biāo)定和歐氏標(biāo)定分開(kāi)進(jìn)行，其原理如下：設(shè)表示無(wú)窮遠(yuǎn)平面在圖象、間的單應(yīng)矩陣，聯(lián)系在歐氏坐標(biāo)系下的表達(dá)式(11)和在射影坐標(biāo)系下的表達(dá)式(8)可得到：(24)Pollefeys由(24)式發(fā)現(xiàn)：與

32、一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣在相差一個(gè)尺度因子下共軛，則根據(jù)旋轉(zhuǎn)矩陣的性質(zhì)，的3個(gè)特征值的模應(yīng)相等，這就是所謂的“模約束”。必須指出的是，這種模約束只是在內(nèi)參數(shù)矩陣恒定的情形下才成立。文獻(xiàn)38進(jìn)一步將模約束用的特征多項(xiàng)式系數(shù)表達(dá)，即如果設(shè)的特征多項(xiàng)式為：(25)則由模約束可推出如下必要條件：(26)利用(24)式，將寫成關(guān)于的三個(gè)分量的表達(dá)式，從而由(26)式得到了關(guān)于的4次多項(xiàng)式約束，在最少3幅圖象下，可通過(guò)聯(lián)立求解4次多項(xiàng)式方程組計(jì)算出，將計(jì)算出的代入(19)式即可線性求解出絕對(duì)二次曲線的像。求解完畢，可以構(gòu)造形如(20)的優(yōu)化函數(shù)，并利用Levenberg-Marquardt等算法對(duì)求解結(jié)果優(yōu)化。3.5

33、 可變內(nèi)參數(shù)下的分層逐步標(biāo)定所有以上討論的自標(biāo)定方法，均是針對(duì)攝像機(jī)內(nèi)參數(shù)恒定的情形，但在某些實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)合，經(jīng)常需要改變攝像機(jī)內(nèi)參數(shù)，如縮放焦距等，此時(shí)以上的自標(biāo)定方法不再適用。為解決此問(wèn)題，近年來(lái)學(xué)者們提出了可變內(nèi)參數(shù)下自標(biāo)定的概念。Pollefeys等39給出了一種變焦距下的自標(biāo)定方法，他們采用類似Moons等36的方法，首先控制攝像機(jī)保持焦距不變做一次純平移，從而獲得仿射標(biāo)定36，計(jì)算出初始焦距后，再利用模約束在焦距變化時(shí)標(biāo)定。Sturm49提出了一種針對(duì)可變焦距攝像機(jī)的自標(biāo)定方法，該方法需要預(yù)標(biāo)定，確定出5個(gè)內(nèi)參數(shù)的互相關(guān)模型，從而將焦距變化時(shí)的自標(biāo)定過(guò)程簡(jiǎn)化到只需計(jì)算一個(gè)內(nèi)參數(shù)。Ha

34、rtley等20首先利用射影重建中的“前后性”(Chirality)18將的取值限制到三維參數(shù)空間中的一個(gè)立方體范圍，再利用窮舉法直接搜索出合適的并計(jì)算，接下來(lái)的自標(biāo)定過(guò)程則非常簡(jiǎn)單。以上方法均是采用了簡(jiǎn)化的透視攝像機(jī)模型，并沒(méi)有從理論上回答可變內(nèi)參數(shù)下自標(biāo)定的可能性問(wèn)題。Heyden和strm在解決該問(wèn)題上邁出了第一步，他們?cè)?3中證明：在傾斜因子為零，縱橫比恒定的前提下，可以實(shí)現(xiàn)可變內(nèi)參數(shù)下的自標(biāo)定。23中的證明不夠完善，而且給出的自標(biāo)定方案是對(duì)所有參數(shù)，包括點(diǎn)的三維坐標(biāo)、攝像機(jī)內(nèi)外參數(shù)、常數(shù)因子等，同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化，這在實(shí)際應(yīng)用中難以做到，另外，23無(wú)法解決優(yōu)化的初始值問(wèn)題。1998年，Po

35、llefeys等41在Heyden工作的基礎(chǔ)上進(jìn)一步從理論和實(shí)踐上較完美地解決了可變內(nèi)參數(shù)下的自標(biāo)定問(wèn)題，并相應(yīng)地給出了一種實(shí)用的基于優(yōu)化的自標(biāo)定方法。Pollefeys本人也因此項(xiàng)工作獲得1998年度計(jì)算機(jī)視覺(jué)界的最高獎(jiǎng)David Marr獎(jiǎng)。Pollefeys等41首先證明：在為零且其他內(nèi)參數(shù)可任意變化的前提下，可以實(shí)現(xiàn)完全的自標(biāo)定和歐氏重建。下面簡(jiǎn)要介紹其原理：設(shè)第幅圖象對(duì)應(yīng)的內(nèi)參數(shù)矩陣為，由(22)式可得：(27)考慮到矩陣的對(duì)稱型和秩為3，滿足(27)式的可以具有如下形式：(28)則通過(guò)優(yōu)化下式可以解出所有未知數(shù)：(29)為保證(29)式的收斂，必須獲得良好的的初始值，文獻(xiàn)41的做法

36、如下：假定傾斜因子為零且主點(diǎn)坐標(biāo)已知，則此時(shí)基于(27)式的自標(biāo)定成為線性過(guò)程，將該線性標(biāo)定的結(jié)果作為(29)式的初始值可以保證優(yōu)化過(guò)程收斂。Heyden和strm在文獻(xiàn)24中將可變內(nèi)參數(shù)下自標(biāo)定的條件進(jìn)一步減弱，他們證明：在攝像機(jī)任意一個(gè)內(nèi)參數(shù)恒定的條件下，即可實(shí)現(xiàn)可變內(nèi)參數(shù)下的自標(biāo)定。至此，可變內(nèi)參數(shù)下自標(biāo)定的可能性問(wèn)題得到徹底解決。3.6 自標(biāo)定中的臨界運(yùn)動(dòng)自標(biāo)定中的臨界運(yùn)動(dòng)（Critical motion）是自標(biāo)定研究中必須特別關(guān)注的問(wèn)題，它是指由于攝像機(jī)作了某些特殊運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致所拍攝的圖象序列不足以唯一正確地解出內(nèi)參數(shù)。臨界運(yùn)動(dòng)是由攝像機(jī)運(yùn)動(dòng)太“特殊”或內(nèi)參數(shù)本身的約束太少等原因?qū)е碌?/p>

37、退化情形，在自標(biāo)定過(guò)程中應(yīng)該盡力避免。Sturm在51中詳細(xì)討論了內(nèi)參數(shù)恒定時(shí)自標(biāo)定過(guò)程中可能出現(xiàn)的臨界運(yùn)動(dòng)，并具體分析了幾種現(xiàn)有自標(biāo)定算法的退化情形。Ma在30中對(duì)于臨界運(yùn)動(dòng)也有詳盡的分析并因此而獲得1999年度的David Marr獎(jiǎng)。對(duì)于可變內(nèi)參數(shù)下自標(biāo)定的臨界運(yùn)動(dòng)，Pollefeys在42中作了具體的討論，并給出了識(shí)別臨界運(yùn)動(dòng)的具體算法。4非透視模型下的攝像機(jī)自標(biāo)定4.1仿射攝像機(jī)的自標(biāo)定第3節(jié)中的自標(biāo)定均是針對(duì)針孔模型下的透視攝像機(jī)而言，當(dāng)物體的深度遠(yuǎn)大于攝像機(jī)運(yùn)動(dòng)的基線長(zhǎng)時(shí)，可以考慮用其它更簡(jiǎn)單的模型來(lái)近似針孔模型，例如正交投影、弱透視、準(zhǔn)透視投影等61，而所有這些近似，都可以統(tǒng)一

38、到仿射攝像機(jī)（Affine camera）的模型下來(lái)。仿射攝像機(jī)的概念由Mundy 和Zisserman首先引入37。類似于透視攝像機(jī)的成像公式(1)，仿射模型下的成像公式可寫成：(30)用非齊次坐標(biāo)將(30)式改寫成： 與透視攝像機(jī)下的做法相同，可利用QR算法10將作如下分解：這里的、分別被稱為仿射攝像機(jī)的內(nèi)外參數(shù)矩陣，內(nèi)參數(shù)包含三個(gè)：是總體尺度因子，、分別是縱橫比和傾斜因子。仿射攝像機(jī)的自標(biāo)定問(wèn)題比透視攝像機(jī)更為簡(jiǎn)單，權(quán)龍?jiān)谶@方面做了大量的工作，下面簡(jiǎn)要地介紹他在文獻(xiàn)44中提出的方法：文獻(xiàn)44首先采用類似于52中的SFM方法(Structure from motion)恢復(fù)出仿射結(jié)構(gòu)，得到

39、視點(diǎn)的仿射意義下的投影矩陣，顯然，與歐氏意義下的投影矩陣之間存在著一個(gè)線性變換滿足：令，從上式得到：(31)給定至少4幅圖象，即可聯(lián)立多個(gè)形如(31)式的方程解出，原則上再利用Cholesky分解法可解出，繼而求出內(nèi)參數(shù)矩陣。但44指出：前面計(jì)算出的在大多數(shù)情形下不是正定的，不滿足Cholesky分解的條件。為此，44中采用了優(yōu)化方法，將的正定分解作為優(yōu)化的強(qiáng)制性約束，優(yōu)化函數(shù)如下：，當(dāng) 時(shí)上式中的、分別是的兩個(gè)行矢量，是下三角正定矩陣，優(yōu)化方法可選擇Levenberg-Marquart等，優(yōu)化初始值由預(yù)估得到。4.2 一維攝像機(jī)的自標(biāo)定一維攝像機(jī)的概念（1D camera）最早由權(quán)龍、Fau

40、geras等在研究仿射攝像機(jī)模型下直線的成像時(shí)引入94546。普通的攝像機(jī)是將三維射影空間中的點(diǎn)投影到二維射影平面（即成像平面），我們稱之為二維攝像機(jī)，而一維攝像機(jī)則是將二維射影平面中的點(diǎn)投影到一維射影直線上的點(diǎn)，成像公式為：在一維攝像機(jī)模型下，同一空間點(diǎn)在三幅圖象中所成的像點(diǎn)之間存在著如下的基本約束：(32)上式遵循Einstein約定，其中的是的張量，共有8個(gè)分量，它的作用相當(dāng)于二維攝像機(jī)模型下的基本矩陣，描述了三幅圖象間的最基本的幾何關(guān)系。給定至少7對(duì)匹配點(diǎn)，即可利用(32)式線性解出。在一維攝像機(jī)模型下，二維射影平面上存在著兩個(gè)特殊的圓環(huán)點(diǎn)、，它們的像點(diǎn)在攝像機(jī)運(yùn)動(dòng)下保持不變，因此一維

41、攝像機(jī)的標(biāo)定等同于確定這兩個(gè)特殊點(diǎn)的像點(diǎn)。這一點(diǎn)與前面介紹的絕對(duì)二次曲線很相似。一維攝像機(jī)的標(biāo)定過(guò)程完全是線性求解（外加求解一個(gè)3次方程的根），簡(jiǎn)單方便，可以應(yīng)用于以下場(chǎng)合：（1）在某些采用激光、紅外線、超聲波的主動(dòng)視覺(jué)系統(tǒng)中，成像系統(tǒng)可以歸結(jié)為一維攝像機(jī)模型；（2）在二維仿射攝像機(jī)模型下直線的成像等同于在一維攝像機(jī)模型下的成像；（3）攝像機(jī)做平面運(yùn)動(dòng)（Planar motion）的二維攝像機(jī)自標(biāo)定問(wèn)題已被證明8等價(jià)于一維攝像機(jī)的標(biāo)定問(wèn)題。4.3 攝像機(jī)對(duì)的自標(biāo)定攝像機(jī)對(duì)（Stereo rig）由兩臺(tái)固定在平臺(tái)上的攝像機(jī)組成，兩臺(tái)攝像機(jī)之間的基線一般較短，以保證攝取的景物大部分能重疊。攝像機(jī)對(duì)

42、可以相對(duì)于平臺(tái)做剛體運(yùn)動(dòng)，但兩臺(tái)攝像機(jī)之間的相對(duì)位姿保持不變。攝像機(jī)對(duì)被廣泛地應(yīng)用于機(jī)器人導(dǎo)航、監(jiān)控、三維重建等視覺(jué)領(lǐng)域。攝像機(jī)對(duì)的自標(biāo)定原理與單個(gè)攝像機(jī)基本相同，但攝像機(jī)對(duì)有其特殊性：它的兩臺(tái)攝像機(jī)之間的相對(duì)位姿始終保持不變，這種特殊性導(dǎo)致了針對(duì)攝像機(jī)對(duì)的匹配、標(biāo)定過(guò)程較單個(gè)攝像機(jī)更為簡(jiǎn)單。文獻(xiàn)已有多種針對(duì)攝像機(jī)對(duì)的自標(biāo)定方案6256365，其中65采用簡(jiǎn)化了的攝像機(jī)模型（主點(diǎn)坐標(biāo)已知，傾斜因子為零），利用非線性優(yōu)化方法減小圖象序列上的所有點(diǎn)到對(duì)應(yīng)極線距離之和，從而解出內(nèi)參數(shù)。其他方法62563則大多采取了類似3.2節(jié)的分層逐步自標(biāo)定方法。4總結(jié)和展望結(jié)合當(dāng)前自標(biāo)定技術(shù)的研究和實(shí)際應(yīng)用，我們

43、有如下的建議：1） 推薦使用分層逐步自標(biāo)定方法，因?yàn)樗^其它方法具有更好的魯棒性，并且和分層重建緊密結(jié)合。事實(shí)上已有不少成功的視覺(jué)系統(tǒng)應(yīng)用了分層逐步自標(biāo)定方法，如牛津大學(xué)Zisserman研究組的主動(dòng)視覺(jué)導(dǎo)航系統(tǒng)2，Pollefeys研究組的物體表面自動(dòng)生成系統(tǒng)等41；在特殊情況下，如無(wú)法得到一致射影重建時(shí)，才應(yīng)考慮直接求解Kruppa方程；2） 由于自標(biāo)定方法較經(jīng)典標(biāo)定方法精度要差，有必要對(duì)自標(biāo)定方法的結(jié)果進(jìn)行非線性優(yōu)化；3） 隨著攝像機(jī)硬件技術(shù)的發(fā)展，某些內(nèi)參數(shù)已非常接近理想值（如主點(diǎn)坐標(biāo)近似于圖象中心，近似于0, 近似于1），在精度要求不是很高的場(chǎng)合，可以考慮采用這些理想值以簡(jiǎn)化攝像機(jī)模

44、型，從而大大簡(jiǎn)化自標(biāo)定過(guò)程，這方面的例子可參見(jiàn)2339；以上本文介紹了多種自標(biāo)定方法，由于自標(biāo)定在本質(zhì)上是基于Kruppa方程的多元非線性優(yōu)化問(wèn)題，所有這些方法都存在著對(duì)噪聲敏感、魯棒性差的弊端66。如何提高自標(biāo)定方法的魯棒性將是今后自標(biāo)定研究中的重點(diǎn)。1 L.Agapito, R.Hartley, and E.Hayman. Linear calibration of a rotating and zooming camera. in Proceedings of Computer Vision and Pattern Recognition, pp.15-20, 1999.2 P.Bear

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