電動力學(xué)知識總結(jié)

1、第一章電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律.1電荷與電場1、庫侖定律(1)庫侖定律如圖1-1-1所示，真空中靜止電荷Q對另一個靜止電荷Q的作用力F為F 1qq40 |r r(1.1.1)式中0是真空介電常數(shù)。(2) 電場強(qiáng)度E靜止的點電荷q在真空中所產(chǎn)生的電場強(qiáng)度 E為E-Q40 |r I,”3 r(1.1.2)(3) 電場的疊加原理N個分立的點電荷在r處產(chǎn)生的場強(qiáng)為NE i 1 40Qi屮3rrirri(1.1.3)體積V內(nèi)的體電荷分布 r所產(chǎn)生的場強(qiáng)為(1.1.4)r dV云r rr rl3式中r為源點的坐標(biāo)，r為場點的坐標(biāo)。2、高斯定理和電場的散度高斯定理：電場強(qiáng)度E穿出封閉曲面S的總電通量等于S內(nèi)的電荷

2、的代數(shù) 和(Qi)除以0。用公式表示為idS（分離電荷情形）(1.1.5 )dS（電荷連續(xù)分布情形）(1.1.6)其中V為S所包住的體積,dS為S上的面元，其方向是外法線方向。應(yīng)用積分變換的高斯公式(1.1.7)孚 dS V EdV由（1.1.6 ）式可得靜電場的散度為3. 靜電場的旋度由庫侖定律可推得靜電場E的環(huán)量為(1.1.8)I10應(yīng)用積分變換的斯托克斯公式E dlE dSLS從（1.1.8 ）式得出靜電場的旋度為(1.1.9).2電流和磁場1、電荷守恒定律不與外界交換電荷的系統(tǒng)，其電荷的代數(shù)和不隨時間變化。對于體積為V , 邊界面為S的有限區(qū)域內(nèi)，有(121)(122)這就是電荷守恒定

3、律的數(shù)學(xué)表達(dá)式。2、畢奧-薩伐爾定律r處的電流元Idl在r處產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度為dB -0 Idl r r4參見圖1-1-2。由此得沿閉合曲線L流動的電流I所產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度為r,n-3(1.2.4)如果電流是體分布,則電流元3為J r dV ,這時dB rJr r r04 ir rdV(1.2.5),f3r dV(1.2.6)3、磁場的環(huán)量和旋度(1)安培環(huán)路定理磁感強(qiáng)度B沿閉合曲線L的環(huán)量等于通過L所圍的曲面S的電流代數(shù)和的0(1.2.7)倍；即0 B dl 0 J dSLS(2)磁場的旋度由安培環(huán)路定理和斯托克斯公式S B dS可得磁場的旋度為oJ(1.2.8)這是安培環(huán)路定理的微分形式。4、

4、磁場的散度磁場的散度為B 0(1.2.9)1.3麥克斯韋方程組1、麥克斯韋對電磁感應(yīng)定律的推廣按照法拉第電磁感應(yīng)定律,變化的磁場在一固定導(dǎo)體回路L中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為ddt(1.3.1)依定義，感應(yīng)電動勢是電場強(qiáng)度E感沿導(dǎo)體回路L的線積分，因此（1.3.1）式可寫做Ei d1dtsB dS(132)0其中Ei是變化的磁場在導(dǎo)體中產(chǎn)生的感應(yīng)電場的電場強(qiáng)度。麥克斯韋的推廣：當(dāng)導(dǎo)體回路不存在時，變化的磁場在空間仍然產(chǎn)生感應(yīng)電場E感，并且滿足（1.3.2）式。應(yīng)用斯托克斯公式，可將（1.3.2 ）式化為微分形式(133)BEit在一般情況下，既有靜電場Es，又有感應(yīng)電場Ei，則總電場便為E EsEi(

5、134)又因為Es 0，故得這就是麥克斯韋推廣了的 法拉第電磁感應(yīng)定律。2、麥克斯韋對安培環(huán)路定理的推廣這與電荷守恒定律相矛盾。麥克斯韋的推廣:在一般情況下，安培環(huán)路定理的普遍形式為其中叫做位移電流密度。即dlJ -D dSt(136)(137)(138)(139)(1310)(1.3.11)3、麥克斯韋方程組我們把電磁學(xué)中最基本的實驗定律概括、總結(jié)和提高到一組在一般情況下相互協(xié)調(diào)的方程組，這便是麥克斯韋推廣了的安培環(huán)路定理。 它與電荷守恒定律不0矛盾。(1312)這組方程稱為 麥克斯韋方程組 。4、洛倫茲力公式帶電荷 q 的粒子以速度 v 在電磁場中運(yùn)動時，它所受的力為作用在單位體積的電荷上

6、的力（力密度）為f E v B E J B1.4介質(zhì)的電磁性質(zhì)1、介質(zhì)的極化(1) 極化強(qiáng)度P在外電場的作用下，介質(zhì)的分子產(chǎn)生電偶極矩或固有的電偶極矩趨向有規(guī)則 的排列，這叫做介質(zhì)的極化。極化強(qiáng)度P是描述介質(zhì)極化狀態(tài)的量，其定義是單位體積內(nèi)的電偶極矩，即(141)PiP V式中V為包含有大量分子的物理小體積，Pi為第i個分子的電偶極矩。如果每個分子的平均電偶極矩為P，則P np(142)式中n為分子數(shù)密度。(2) 極化電荷與極化強(qiáng)度的關(guān)系極化電荷體密度P與極化強(qiáng)度P的關(guān)系為dS(143)(144)(145)極化電荷面密度 P與P的關(guān)系為P n RP2式中n為交界面法線方向的單位矢量,從介質(zhì)1指

7、向介質(zhì)2。如果介質(zhì)2為真空,(146)均勻介質(zhì)內(nèi)的極化電荷D 0E1 f(147)即均勻介質(zhì)內(nèi)任意一點的極化電荷密度等于該點的自由電荷密度f的1 倍。因此，若該點處無自由電荷分布，則P 0 0(3) 有介質(zhì)時的電場在一般情況下，介質(zhì)中的電場E是自由電荷的電場Ef，極化電荷的電場Ep 以及變化磁場產(chǎn)生的感應(yīng)電場Ei的和，即(148)E Ef EpEi在介質(zhì)中，電場的旋度和散度分別為Ei(149)(1410)(4)電位移D及其與電場強(qiáng)度E的關(guān)系(1411)電位移矢量D的定義為D oE P在各向同性的線性介質(zhì)中,P與E成線性關(guān)系Pe 0E(1412)e叫做介質(zhì)的電極化率。代入(1.4.11 )式得(

8、1413)定義相對介電常數(shù)r和介電常數(shù)分別為(1415 )這時(1415 )2、介質(zhì)的磁化(1)磁化強(qiáng)度M在外磁場的作用下,介質(zhì)分子產(chǎn)生的磁矩或固有磁矩趨向有規(guī)則排列，這叫做介質(zhì)的磁化。磁化強(qiáng)度M是描述介質(zhì)磁化狀態(tài)的量，其定義是單位體積內(nèi)的磁矩，即mi(1416)M-V式中V為含有大量分子的物理小體積， mi為第i個分子的磁矩。如果每個分子的平均磁矩為m，則M nm(1417)式中n為分子數(shù)密度。(2)磁化電流與磁化強(qiáng)度的關(guān)系磁化電流體密度與磁化強(qiáng)度M的關(guān)系為上式可寫作dlS JM dSS(1418)dl(1419)式中I M是積分環(huán)路L所套住的磁化電流的代數(shù)和，如圖1-1-3。把斯托克斯公式

9、用于（1418 ）式，便得(1421 )Jm磁化電流面密度 M與磁化強(qiáng)度M的關(guān)系：面電流是指在曲面上流動的電流，面電流密度 的大小等于通過與垂直的單位長度橫截線的電流。設(shè)介質(zhì) 1的磁化強(qiáng)度為M1，介質(zhì)2的磁化強(qiáng)度為M2，在兩介質(zhì)的交界面上，磁化面電(1421)(1421)流密度為M，交界面的單位法向矢量為n,從介質(zhì)1指向介質(zhì)2，則M n M2 M1若介質(zhì)2為真空，則M n M2 M1（3）有介質(zhì)時的磁場自由電流Jf、磁化電流Jm和位移電流Jd都產(chǎn)生磁場，這些磁場的疊加就是介質(zhì)中的磁場B。因此，在一般情況下，磁場的旋度和散度分別為B 0 J f JM J D0 J f(1423)(1424)（4

10、）磁場強(qiáng)度H及其與磁感強(qiáng)度B的關(guān)系磁場H定義為(1425)對于各向同性的非鐵磁物質(zhì)，磁化強(qiáng)度 M和H之間有簡單的線性關(guān)系M mH(1426)M叫做介質(zhì)的磁化率。把（1.4.26 ）式代入（1.4.25 ）式可得這時定義相對磁導(dǎo)率r和磁導(dǎo)率分別為(1428 )(1429 )對于所有物質(zhì)來說，相對介電常數(shù)r都大于1，但相對磁導(dǎo)率r則可以大于1 （順磁質(zhì)），也可以小于1 （抗磁質(zhì)）。3、介質(zhì)中的麥克斯韋方程組電磁場遵守的普遍規(guī)律為Bt(1429)Dt物質(zhì)方程：在各向同性的線性介質(zhì)中(1429)1.5 電磁場邊值關(guān)系E2H2D2B2E1 0H1D1B1 0由麥克斯韋方程組的積分形式得出介質(zhì)交接面兩側(cè)場

11、量的關(guān)系為(1.5.1)(1.5.2)(1.5.3)(1.5.4)式中n是交接面法線上的單位矢量，從介質(zhì)1指向介質(zhì)2 ; 和 分別是交界面 上的自由電荷和自由面電流密度。在用交界面兩側(cè)的切向分量（下標(biāo) t ），和法向分量（下標(biāo) n ）表示時，邊值 關(guān)系可寫做Et1Ht2D n2Bn1Et2Ht1Dn1Bn2(1.5.5)(1.5.6)(1.5.7)(1.5.8)1.6電磁場的能量和能流1.電磁系統(tǒng)的能量守恒定律考慮圖1-1-4所示的空間區(qū)域V，其邊界面為2。設(shè)V內(nèi)有電荷分布和電流分布J。(1 )電磁場作用在單位體積電荷上的力為f (E v B)，這力的功率為f v (EvB)v E v J E

12、(161 )式中J E代表介質(zhì)單位體積消耗的焦耳熱。(2)電磁場對體積V內(nèi)的電荷系統(tǒng)做功的功率為Vf vdV VJ EdV(162 )(3)體積V內(nèi)電磁場能量的增加率為d dV (E D B H)dV dt V dt V2(163)(4)單位時間內(nèi)從邊界面2流出體積V的電磁能量為oSd V SdV(164 )因為能量守恒，對于體積V內(nèi)的電磁場能量有J EdVVSdV(165)(1.6.6 )這便是電磁場的能量守恒定律。2. 電磁場的能量密度單位體積內(nèi)的電磁場能量為(167)2(e d h b)3. 電磁場的能量密度S單位時間流過垂直于能流方向的單位面積的電磁場能量為(167)S通常叫做坡印廷矢

13、量。第二章靜電場靜電場的標(biāo)勢及其微分方程1、靜電場的標(biāo)勢（1）靜電場的基本方程(2.1.1 )(2.1.2)(2.1.3)(2.1.4)其中電荷Q是封閉曲面S包住的自由電荷的代數(shù)和，是自由電荷密度。（2）靜電場的電勢在靜電場中，根據(jù)（2.1.3 ）式知道有勢函數(shù)存在，使得(2.1.5 )如果在無窮遠(yuǎn)處的電場強(qiáng)度為零，一般便選 ro為電勢參考點，這時由上 式得空間一點P r的電勢為(2.1.6)E drr點電荷的電勢由庫侖定律可得處（源點）的點電荷Q在r處（場點）產(chǎn)生的電勢為(2.1.7)1 Q4電勢疊加原理Qi分立的點電荷系所產(chǎn)生的電勢為(2.1.8)rri連續(xù)分布的電荷所產(chǎn)生的電勢為(2.1

14、.9)1 r dV r 4 V2、靜電勢所滿足的微分方程和邊值關(guān)系(1)電勢的微分方程電勢滿足方程(2.1.10)在均勻介質(zhì)內(nèi)，(2.1.10 )式可化為這個方程叫泊松方程。式中 是自由電荷密度。如果(2.1.11)0則(2.1.11 )式便化為拉普拉斯方程(2.1.12)(2)電勢的邊值關(guān)系在介電常數(shù)不同的兩種介質(zhì)交界面上，電勢滿足下列邊值關(guān)系(2.1.13 )(2.1.14 )其中n是由介質(zhì)1指向介質(zhì)2的單位法向矢量， 是交界面上的自由電荷面密度。如果介質(zhì)1是導(dǎo)體，則以上兩式分別化為1=常量(2.1.15 )(2.1.16 )3、靜電場能量電荷分布在區(qū)域V內(nèi)，密度為 r，所具有的靜電能量為

15、dV(2.1.17 )這能量分布在電場中，因此W - E DdV2-E2dV(2.1.17 )式中E是上述電荷所產(chǎn)生的電場,積分遍及 E不為零的全部空間。2.2唯一性定理靜電學(xué)的基本問題是求出在所有邊界上滿足邊值關(guān)系或給定邊界條件的泊 松方程的解。唯一性問題是討論在什么條件下，解是唯一的。這點很重要，因為 求解的方法不同，求出的解可能有不同的表達(dá)形式，有時要證明它們是同一解頗 非易事；但如果這些解都滿足相同的邊界條件，則它們必定相同。其次，對于有 些問題，可以根據(jù)經(jīng)驗提出嘗試解。如果所提出的嘗試解滿足唯一性定理所要求 的條件，它就是該問題的唯一正確解。1. 問題說明假定空間V可以分為若干個小區(qū)

16、域 V，每一小區(qū)域V內(nèi)都是充滿均勻的，介電常數(shù)為i的各向同性介質(zhì)。設(shè)V內(nèi)的自由電荷分布 r已知，則在Vi內(nèi)，電勢滿足泊松方程(221)在兩區(qū)域Vi和Vj的交界面上,電勢滿足邊值關(guān)系(221)(221)2. 唯一性定理設(shè)區(qū)域V內(nèi)自由電荷的分布 r已知，在V的邊界S上給定電勢S，(ii)電勢的法向?qū)?shù)(即En)，n s則V內(nèi)的電場便唯一確定。3. 有導(dǎo)體存在時的唯一性定理設(shè)區(qū)域V內(nèi)有一些導(dǎo)體，給定導(dǎo)體之外的電荷分布r，并給定(i)每個導(dǎo)體上的電勢i，(ii)每個導(dǎo)體上的總電荷Qi ,以及V的邊界S上的S或 值，則V內(nèi)的電場便唯一地確定。 n S2.3拉普拉斯方程分離變量法1、笛卡兒坐標(biāo)系拉普拉斯方

17、程（簡稱拉氏方程）的形式為(2.3.1)設(shè)電勢 X, y,z可分離變數(shù)，即 X, y,z X xY yZ z，則拉氏方程可分為以下三個方程1 d2XX dx2k2(2.3.2)1 d2YY眉l2(233)1 d2ZZ dz2k2 l2(234)由此得方程的通解為X, y,zAk coskx A2k sin kx (Bn coslx B21 sin lx) k,lC1k,leEC2k,le W z(2.3.5)式中各常數(shù)Aik，A2k，Bii，B2l，C1k,l，C2k,l等由問題的具體條件決定。2、柱坐標(biāo)系拉氏方程為(2.3.6)設(shè)電勢 r,z可分離變數(shù),即 r, ,z R r Z z，代入上

18、式求得Z z的解為(237)Cicoshbz C2Sinh bz的解為C3 cos a C4 sin a(2.3.8)R r的解為式中其中級數(shù)伽瑪函數(shù)函數(shù)內(nèi),符合物理實際的解必須是單值的，因此 a必須是整數(shù)。CsJa brCeNa br(239 )Ja brNa bra 2m,m br1 2m 0 m! a m 1cosa J a br J a brsin aJ br是a階第一類貝塞耳函數(shù)，如果 aa m 1可以用（n m）!來代替。NaNa br在r 0附近的奇異性與Ij相似。(2.3.10 )(2.3.11 )n （整數(shù)），貝U在幕級數(shù)中的br是a階第二類貝塞耳函數(shù)。因此,只要已知r0處的

19、電勢是有限的，在解中就不包含 Na br，即系數(shù)C6為零。3、球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系中拉氏方程為sin12 2 2 r sin(2.3.12)設(shè)電勢r,可分離變數(shù)，即r, , R r，且在r,為有限值，則拉氏方程（2.3.12 ）的通解為| b|m _mr, ,a|mr -yy P cos cosm(2.3.13 )|,m 0rC |d|m _mC|mrP| cos Sin m|,mr式中P|m cos是連帶勒讓德多項式。如果問題具有軸對稱性（m 0），通解為r,alrlP cos| 0r(2.3.14 )式中Pl cos是勒讓德多項式。通解中的系數(shù)aim，b|m，C|m，dm或引、b|等由問題的具

20、體條件確定。1、平面邊界(1)無限大導(dǎo)體平面外的點電荷24鏡像法點電荷Q到電勢為零的無限大導(dǎo)體平面的距離為a，如圖1-2-1，電像q在導(dǎo)體平面的另一側(cè)，與導(dǎo)體平面的距離為a。貝U導(dǎo)體外的電勢為q1x,y,z廠；F盲，z 0( 2.4.1)導(dǎo)體面上的感應(yīng)電荷面密度TiQ-*H空J(rèn)cr一r /Z rrrF rrffrX0|z 0n_qa2 2 2 2 2x y a 2辱體(242)導(dǎo)體面上的總感應(yīng)電荷為dS q(243)導(dǎo)體上感應(yīng)電荷吸引點電荷的力為(244)如圖1-2-2，兩無限大導(dǎo)體平板電勢為零，夾角為。其間有一點電荷q，點電荷q的幅角為0，與 角的頂點0的距離為a。q有多重電像，當(dāng)(n為整數(shù)

21、)時，電像的個數(shù)為(2n-1 )個,n2n 1(246)所有電像均位于以O(shè)為圓心,a為半徑的圓周上。諸電像的位置為40， n40，n圖 1-2-2像。，24時電像的分布圖。共有七個電(3)介質(zhì)平面外的點電荷兩無窮大的均勻介質(zhì)的介電常數(shù)分別為共(n 1)個。共n個。2交界面為平面。在1中有一自由點電荷q，距交界面為a，如圖1-2-3所示。則所求電勢2為(248)解得因此1q12 x,y,z04 2 Jx2y2在z=0的交界面上任意一點處,設(shè)a1a2則在原點處(X2z a1電勢應(yīng)滿足邊值關(guān)系y z 0)，應(yīng)用上式可得(249 )(2410 )q21 q12(2411)q2q1(2412)q2q11

22、 Jx2112q2y2 zO2(2413)(2414)(2415)(2416)點電荷q所受的庫侖力為(2417)2、球面邊界(1)導(dǎo)體球外的點電荷有一電勢為零，半徑為R的導(dǎo)體球，球外距球心0為I處的A點有一點電荷q。如圖1-2-4，在球內(nèi)A點設(shè)置一電像q ,距球心為I。由邊界條件得qR2I(2418)RTq(2419)于是球外P r處的電勢為qR llr I(2420)這里選取球心為原點，I和I 分別為電荷q和q的位置矢量。球上的電荷密度面為0|rrqI2 R2R34 R R2 I2 2RI cos 4(2421)電荷q與導(dǎo)體球的相互作用能為(2422)電荷q所受的庫侖力為(2423)_U1

23、q2RI(2)導(dǎo)體球形空腔內(nèi)的點電荷導(dǎo)體內(nèi)有一球形空腔，腔內(nèi)距球心0為l處有一點電荷q，導(dǎo)體的電勢為零。由對稱性可知，這時圖1-2-4中，位于A點的電荷q便是q的電像，并且(2424 )(2425 )q Rq這時空腔內(nèi)的電勢為qRr I(r R)(2426 )25 格林函數(shù)點電荷的密度：位于x處的單位點電荷的密度為(x) (x x)。格林函數(shù)：它是單位正點電荷在一定邊界條件下的電勢。它用G(x, x )表示，括號內(nèi)左邊的位矢x對應(yīng)場點，右邊的x代表點源q 1的位矢。它滿足方程2G(x, x )1 (x x)0(2.5.1)第一類邊值問題的格林函數(shù)滿足邊界條件(2.5.2)G(x,x)第二類邊值

24、問題的格林函數(shù)滿足邊界條件G(x,x )n10S(2.5.3)其中n為邊界面法線方向。(2.5.4)格林函數(shù)的對稱性G(x,x) G(x,x)對于一定邊界條件下的格林函數(shù)，場點和源點交換時，格林函數(shù)的值不變。如球(2.5.5)外空間的第一類格林函數(shù)是(x) vG(x，x)(x)dV 叫(xrG(x，x)dS(2.5.7)式中的G(x,x)位為第一類邊值格林函數(shù)，邊界條件由(x) S給定。第二類邊值問題的解(x) VG(x,x) (x)dVSG(x ,x) VSn(x)n式中的G(x,x)為第二類邊值，邊界條件由的面。(x)dS(2.5.8 )S給定，S中應(yīng)包含無限遠(yuǎn)處26 電多極矩n1、電勢的

25、多極展開電荷分布在有限的區(qū)域V內(nèi)，體密度為r，則它所產(chǎn)生的電勢為對于遠(yuǎn)場（即rr處的場），上式可展開為1 1r -r2! i,j2 1XiXjXi Xj r.dV(2.6.1)式中Q為電荷系的總電量，即Q (r)dVVP為電荷系的電偶極矩，即P r (r)dVVD為電荷系的電四極矩，即(3rr r2I )V(rDij Xji, j2r5)dV(262)(2.6.3)(2.6.4)(2.6.5)1r dV廠V |r 廠它的ij分量為DijV 3XiXjijr dV(2.6.6)點電荷系的電四極矩為3rnrn2rn I qn(2.6.7)其ij分量為Dij(3Xni Xnj2rn ij ) qn(

26、2.6.8)(269)電四極矩張量D是對稱張量，又因為Dl1D 22 D 330因而D只有五個獨立分量。2、相互作用能點電荷q在外場e中的能量為Weq e式中e是q所在處外電場的電勢。電荷系r在外場中的能量為We V r er dV點電荷系的相互作用能為1 nWeT qk k2 k 1式中k是除qk外所有其余的點電荷在qk所在點產(chǎn)生的電勢。第三章靜磁場3.1矢勢及其微分方程1、矢勢穩(wěn)恒電流磁場的基本方程V(3.1.1)%B dS 0(3.1.2)(3.1.3)(3.1.4)式中J是自由電流密度，I是被閉合環(huán)路L套住的自由電流的代數(shù)和。(2)穩(wěn)恒磁場的矢勢由 B 0知，存在空間矢量勢函數(shù) A，它

27、滿足(3.1.5)對于一個確定的磁場B，由(3.1.5 )式確定的矢勢A不是唯一的，可以有 一個附加的任意空間函數(shù)的梯度。通常用條件(3.1.6)來對這個任意函數(shù)加以限制。(3)矢勢A的物理意義Ad s AdSSB dS(3.1.7)即矢勢A沿任一閉合環(huán)路L的積分等于通過以L為邊界的曲面S的磁通量。2、矢勢A的微分方程和邊值關(guān)系在均勻介質(zhì)內(nèi)，矢勢A滿足泊松方程(3.1.8)2a j矢勢的邊值關(guān)系A(chǔ)1 A2在均勻介質(zhì)內(nèi)，該方程的特解是J r dVVA -4 |r r(3.1.9)式中的積分遍及電流所分布的空間 V。3、矢勢的近似電流分布在區(qū)域(線度為I)內(nèi)，電流密度為J r 。這電流在遠(yuǎn)處(即r

28、I)產(chǎn)生的磁場其矢勢可近似為(3.1.10)式中VrJ r dV(3.1.11)叫做這電流的磁矩。對于一個載流為I的小線圈L,其磁矩為(3.1.12)(3.1.13)J dl4、穩(wěn)恒電流磁場的能量(1)自具能電流分布在區(qū)域V內(nèi)，密度為Jr,所具有的能量為這能量分布在磁場中，因此W 1 H BdV2 VH2dV(3.1.14)積分遍及 H不為零的全部空間(2)相互作用能電流 J r 在外磁場 Ae 中的能量為3.1.15 )WiJ AedVv載電流 I 的小線圈在外磁場 Be 中的能量為Wi m B3.1.16 )式中 m 為小線圈的磁矩。3.2磁標(biāo)勢1、磁標(biāo)勢如果在某一閉合區(qū)域內(nèi)沒有自由電荷（

29、即 J 0）,這時穩(wěn)恒磁場的基本方程(3.2.1) (322)由 H 0知，在該區(qū)域內(nèi)存在勢函數(shù)m，它滿足(3.2.3)這時，H在形式上與靜電場的E相對應(yīng)，而m則與靜電場的電勢 相對應(yīng)。2、磁標(biāo)勢的拉氏方程和邊值關(guān)系拉氏方程為(3.2.4)在沒有傳導(dǎo)電流的兩介質(zhì)交界面上，由HitH2t(3.2.5)BinB2n(3.2.6)得出磁標(biāo)勢的邊值關(guān)系為mim2(3.2.7)m22n(3.2.8)式中n是交界面上由介質(zhì)指向介質(zhì)2的單位法向矢量。3、“磁荷”磁荷密度:第四章電磁波的傳播1v4.1平面電磁波1、電磁場的波動方程(1)真空中J 0的自由空間中，電磁強(qiáng)度E和磁場強(qiáng)度H滿足波動方程(4.1.1)

30、式中(4.1.2)c 12.997925 108 米 / 秒V 0 0(4.1.3)是光在真空中的速度。(2)介質(zhì)中當(dāng)電磁波在介質(zhì)內(nèi)傳播時，介質(zhì)的介電常數(shù) 和磁導(dǎo)率 一般地都隨電磁波的頻率變化，這種現(xiàn)象叫色散。這時沒有E和H的一般波動方程，僅在單色波(頻率為)的情況下才有2E(4.1.4)2H(4.1.5)式中(4.1.6)是頻率的函數(shù)。2、亥姆霍茲方程在各向同性的均勻介質(zhì)內(nèi)，假設(shè)0 , J 0,則對于單色波有(4.1.7)(4.1.8)LAL tE r,t EreH r,t H這時麥克斯韋方程組可化為2E k2E0, k(4.1.9)(4.1.10)(4.1.11)（4.1.9）式稱為亥姆霍

31、茲方程。由于導(dǎo)出該方程時用到了E 0的條件，因此,亥姆霍茲方程的解只有滿足E 0時，才是麥克斯韋方程的解。3、單色平面波亥姆霍茲方程的最簡單解是單色平面波丄 k r tE r,t Eoe(4.1.12)H r,tH0ekr t(4.1.13)式中k為波矢量，其值為(4.1.14)平面波在介質(zhì)中的相速度為Vp(4.1.15)式中 和 一般是頻率 的函數(shù)。算符 和作用于單色平面波的場（4.1.12 ）式或（4.1.13 ）式時，可簡化(4.1.16 )(4.1.17 )ik,下 i即 E ik E， E ik E，而一E i E。電場和磁場的關(guān)系為H Fn E式中n，為波傳播方向上的單位矢量。4、

32、電磁波的能量和能流電磁波的能量密度為(4.1.18)對于單色平面波有E2H 2，故E2 H2(4.1.19)單色平面波的能流密度為S EJ-E(4.1.20)對時間平均的能流密度為S -ReE H2(4.1.21).2電磁波在介質(zhì)交界面上的反射和折射如圖1-3-1所示，取兩介質(zhì)的交界面為 xy平面，z軸從介質(zhì)1指向介質(zhì)2。設(shè)平面電磁波從介質(zhì)1入射到交界面上，入電場強(qiáng)度分別為入射波：EiE10eik1r反射波：ErEwe kr折射波：EiE20ei k r射波、反射波和折射波的ttt1、反射定律和折射定律(421)(422)(423)電磁波在交界面上反射和折射時，分別遵守反射定律和折射定律(4.

33、2.4)sin 1k2sin 2k12 2門211 1(425)式中門21為介質(zhì)2相對于介質(zhì)1的折射率。除鐵磁質(zhì)外，一般介質(zhì)0，故可門21(426)2、反射波和折射波的振幅(1)菲涅耳公式(427)按入射波電矢量的振幅E10分下列三種情形:(i) E10垂直于入射面IE10sin 12sin 12Ei0E202 cos 1 sin 2E10sin 12(428)(ii)E10平行于入射面eIoE10tan 12tan 12(429)E202cos 4 sinsin 122cos 1(4.2.10)(iii)E10與入射面斜交把三個波的電矢量的振幅E0都分解為垂直于入射面的分量E0和平行于入射面

34、的分量E0/，如圖1-3-2所示，即E10EioE10/(4211)tE10EioIE10/(4212)E20E20E20/(4213)結(jié)果得出,和E20都只與E10有關(guān);而E10和E20則都只與E10有關(guān)。具體關(guān)系如下:E10sin12 LE10sin12(4214)E202 sin 2 cos 1；E10sin 12(4215)J 匚tan 12 r匚n1 E10/n1 E10/tan 12(4216 )2sin 2 cos 1n2E20/n1E10/Sin 12 cos 12(4217 )可見（i）和（ii）是（iii）的兩種特殊情況。（2 ）反射和折射產(chǎn)生的偏振由（4.2.16 ）式可

35、知，在12900的情況下，E平行于入射面的分量沒有反射波，因而反射波便是E垂直于入射面的完全偏振波。這就是光學(xué)中的布儒斯特定律，這時的入射角稱為布儒斯特角，其值為(4218 )3、全反射由折射定律知，當(dāng)電磁波從較大的介質(zhì)1入射到較小的介質(zhì)212變?yōu)?00，這時的若入射角再增大，當(dāng)10時，sin 1n21。這時2就是復(fù)數(shù)，因而不再具的交界面上時，折射角2大于入射角1，當(dāng)Sin 1n21時,入射角稱為臨界角，其值為 0 sin冷乂。有折射角這種直觀的幾何意義了。但折射定律sin 1邑sin 2k1仍然成立。這時折射波為EiE20e2i kqxsin 1 tn 21z e 1(4219 )是沿交界面

36、x方向傳播的電磁波。它的振幅沿z軸方向指數(shù)衰減。當(dāng)振幅衰減到1交界面上的振幅的-時，沿z方向的距離為eZo(4220 )1 1kjjsin2 1 n：2 in2 1 n：在一般情況下，Zo和波長1同數(shù)量級。因此在發(fā)生全反射時，折射波的能量主要集中在交界面附近厚度為 Zo的薄層內(nèi)。當(dāng)10時，反射波的平均能流密度等于入射波的平均能流密度。因此，對時間平均來說，入射波的能量全部被 反射，所以叫做全反射。4.3有導(dǎo)體存在時電磁波的傳播1、導(dǎo)體的弛豫時間在靜電時，自由電荷只能分布在導(dǎo)體表面上。當(dāng)導(dǎo)體里某處有電荷密度 出現(xiàn)時，就會引起電流流動。t與時間t的關(guān)系為(4.3.1 )t _t-t 0 e 0 e

37、式中是導(dǎo)體的電導(dǎo)率。，叫做導(dǎo)體的弛豫時間，它等于 值減小到的時間。在交變場中，只要電磁波的頻率滿足(432)就可以認(rèn)為導(dǎo)體里沒有自由電荷分布，因此（4.3.2）式可當(dāng)做良導(dǎo)體的條件。2、導(dǎo)體內(nèi)的電磁波對于一定頻率的單色波來說，麥克斯韋方程組可以化為(4.3.3)(4.3.4)(4.3.5)(4.3.6)式中(4.3.7)叫做導(dǎo)體的復(fù)介電常數(shù)。由（4.3.3）（ 4.3.6）可得導(dǎo)體內(nèi)的亥姆霍茲方程為(4.3.8)(439)這時k是一個復(fù)矢量，設(shè)(4310 )則方程（338）的單色波解為(4.3.11 )E r ,t Eoe其中k的實部稱為周相常數(shù),虛部稱為衰減常數(shù)。如圖1-3-3，設(shè)電磁波從介

38、質(zhì)入射到導(dǎo)體平面（z=0）上, ZX平面為入射面。則由邊值關(guān)系k0xkx可得其中0,0,(k0 sin ,0, z)(4.3.12),2.2 2 2 2 2 1 2k0 Sin2k0 sin2(4.3.13)n / 2.2.2 22 2 2 1 2.2.2即 k0Sin2 k0Sin(4.3.14)3、穿透深度當(dāng)電磁波垂直入射到導(dǎo)體表面上時，由（4.3.12 ）式和（4.3.13 ）式可得(4.3.15)1這時，透射波的振幅隨z作指數(shù)衰減，當(dāng)振幅減小到導(dǎo)體表面處振幅的 -時，沿ez方向經(jīng)過的距離定義為穿透深度(4.3.16)1 R 2一廠4.4諧振腔諧振腔是各面都由金屬壁構(gòu)成的一個空腔，在腔內(nèi)

39、能夠激發(fā)各種特定頻率的駐波。1.矩形諧振腔中的電磁波矩形諧振腔(a b c)如圖1-3-5所示。解亥姆霍茲方程，并把金屬壁當(dāng)作理想導(dǎo)體,利用邊界條件得出：矩形腔內(nèi)電磁場的振幅為ExEyEzA, coskxXSinky ysin kzzA2 sin kXxcosky y sinkzzA3 sin kxXsin kyycoskzZ(441)式中kxkykzma nbPc(442)p為任意正整數(shù)或零。A，A2和A3為任意常數(shù)；但因 E0,故 A1，A和A3之間有如下關(guān)系:kXA1 kyA2 kzA30(443)所以，A，A2和A3之中僅有兩個是獨立的。2.本征頻率mnp對于每一組(m, n, P)值

40、，諧振腔的本振頻率為3. 偏振波型對于每一組（m, n, P）值，有兩種獨立的偏振波型，它們的電場 E互相垂直。矩形諧振腔可看做是由軸向長度為d的一根矩形波導(dǎo)管，在兩端加上與波導(dǎo)軸線垂直的金屬端面構(gòu)成。由于端面的存在，波導(dǎo)內(nèi)的場現(xiàn)在有兩部分迭加而成:部分是沿z方向傳播的波，另一部分是沿負(fù)z方向傳播的波。這樣對TE波來說，其縱向分量Hoz便為HozH0cos(x)cos(y)eikzzabH0 cos(m-ax）co吟y八又因為在端面z0和z d上有Hoz(445)故H。 H。于是得Hoz i2H0 cos( x) cos( y) sin(_ z)abd最后得到，能在矩形諧振腔內(nèi)存在的電磁場是一

41、種駐波，其表達(dá)式如下:Hzi2H 0 cos( x)cos( y) sin( z)e i t abd(446)Hxi2H0 sin(-x)cos( y)cosz)e i ta kkzabd(447)Hyi2H0 cos(x)sin( y)cosz)e i tb k kz abd(448)Ex2H 0-F0Ck7cos( x) sin(y)sin(牛 z)e i tb kkzabdEy2H0 sin(- x)cos( y)sin( z)e i ta k kz a b d(4410)Ez(4.4.11)這駐波是諧振腔中一種獨立的偏振波型，它與波導(dǎo)中的 TE 波相對應(yīng)。對于同一組 (m, n, p)

42、 值來說，與波導(dǎo)管中的 TM 波相對應(yīng)的另一種獨立的偏振波型， 可以用類似的方法求出。4.5波導(dǎo)管1. 波導(dǎo)管中的電磁波傳播電磁波的長直金屬管叫做波導(dǎo)管。波導(dǎo)管中傳播的電磁波與自由空間 的電磁波相比，由于邊界條件不同，在性質(zhì)上也有些不同。設(shè)以波導(dǎo)管的軸線為z軸，則波導(dǎo)管內(nèi)沿z軸傳播的頻率為 的電磁波可表示為(4.5.1)EEo(x,y)ei(kzZ t)HHo(x,y)ei(kNZt)(4.5.2)(4.5.#)因E和H滿足下列方程1c2 t27)(4.5.3)故得式中kk2kz)E0H0(4.5.4)，kz為k沿z方向的分量。2. TE波和TM波把（4.5.1）式和（4.5.2 ）式代入麥克

43、斯韋方程組，得E i 0H(4.5.5)H i 0EE 0由此可得，場的橫向分量可用縱向（軸向）分量表示如下Li/ I H oz 1 E QzE ox22 (0ckkz)k kzyx(4.5.7)E oy存$( 0Ck旦kkzxHoxi ( k Eoz k kz 0c ykz丄)x(4.5.8)HoyikEozTT (k kz0ckz出)x y(4.5.9)可見，只要知道場的縱向分量Eoz和Hoz，波導(dǎo)管內(nèi)的電磁場就可完全確定。由（4.5.6 ）至（4.5.9）諸式可以看出：波導(dǎo)管內(nèi)不能傳播TEM波（即(4.5.11)0Eoz 0和 Hoz 0的橫電磁波）。波導(dǎo)管內(nèi)可以傳播TE波（即Eoz 0而Hoz 0的橫電磁波）和TM波（即Eoz0而 Hoz 0的橫電磁波）。3.矩形波導(dǎo)管0橫截面為矩形的波導(dǎo)管叫做矩形波導(dǎo)管。設(shè)管內(nèi)橫 截面積為a b ,取坐標(biāo)如圖1-3-4所示，電磁波沿z軸方向傳播。(1) TE波圖1-3U矩形波導(dǎo)錯=由（4.5.6 ）至（4.5.9）諸式可知，TE波由電磁場的縱向分量H oz決定。由方程（4.5.4）得k； Hoz(4.5.10)邊界條件為HozxHozy由分離變量法可知，（4.5.10 ）式滿足上述邊界條件的解為(4.5.23 )式中H。是常量，