立體幾何題型的解題技巧適合總結(jié)提高用

1、(n)求二面角 A A1D B的大小;(川)求點(diǎn)C到平面ABD的距離.Ci第六講立體幾何新題型的解題技巧考點(diǎn)1點(diǎn)到平面的距離 例1 (2007年福建卷理)如圖，正三棱柱 ABC A1B1c1的所有棱長(zhǎng)都為2 , D為CG中點(diǎn).(I)求證：AB1丄平面ABD ；例2.( 2006年湖南卷)如圖，已知兩個(gè)正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高分別為1和2,AB=4.(I )證明PQ丄平面 ABCD ;(n )求異面直線AQ與PB所成的角; (川)求點(diǎn)P到平面QAD的距離.考點(diǎn)2異面直線的距離例3已知三棱錐S ABC，底面是邊長(zhǎng)為4j2的正三角形，棱SC的長(zhǎng)為2,且垂直于底面.E、CD與SE間的距離

2、.D分別為BC、AB的中點(diǎn)，求考點(diǎn)3直線到平面的距離例4.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ACi 中,G是AA1的中點(diǎn)，求BD到平面GBi Di的距離.1考點(diǎn)4例5 (2007年北京卷文)異面直線所成的角n6以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B AO C的直二面角.D是AB的中點(diǎn).(I) 求證：平面COD 平面AOB ；(II) 求異面直線 AO與CD所成角的大小.如圖，在Rt AOB中，OAB斜邊AB 4 . Rt AOC可以通過(guò)Rt AOB考點(diǎn)5直線和平面所成的角 例7. (2007年全國(guó)卷I理) 四棱錐SABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面 SBCAB 2,BC 2血,SA SB /3 .S

3、A BC ；(n)求直線SD與平面SAB所成角的大小.(I)證明B考點(diǎn)6二面角例8. (2007年湖南卷文)如圖，已知直二面角PQ , A PQ , B , C , CA CB , BAP 45°,直線CA和平面 所成的角為30°.(I)證明BC丄PQ ；(II )求二面角B AC P的大小.Q例6. (2006年廣東卷)如圖所示， AF、DE分別是O O、O Oi的直徑.AD與兩圓所在的平 面均垂直，AD = 8,BC 是O O 的直徑，AB = AC= 6, OE/AD.(I )求二面角BAD F的大??；(n )求直線BD與EF所成的角.例9. ( 2006年重慶卷)如

4、圖，在四棱錐 P ABCD ABCD, DAB 為直角，AB | CD, AD = CD=2AB, E、 CD的中點(diǎn).(I)試證：CD 平面BEF;(n)設(shè)PA= k AB,且二面角 E-BD-C的平面角大于 值范圍.c考點(diǎn)7利用空間向量求空間距離和角例10. ( 2007年江蘇卷)如圖，已知 ABCD ABQDi是棱長(zhǎng)為3的正方體,點(diǎn)E在AAi上，點(diǎn)F在CCi上，且AE FCi i.(1)求證：E, B, F,Di四點(diǎn)共面;GM若點(diǎn)G在BC上,BG -，點(diǎn)M在BBi上,3丄BF，垂足為H，求證：EM丄平面BCCiBi ；用 表示截面EBFDi和側(cè)面BCCiBi所成的銳二面角的大小，求例11.

5、 ( 2006年全國(guó)I卷)如圖，11、12是互相垂直的兩條異面直線，MN是它們的公垂線段，點(diǎn)11 上，C 在 12 上，AM=MB = MN(I)證明 AC NB;A、B在A-(II )若 ACB 60，求NB與平面ABC所成角的余弦值.考點(diǎn)8 題為主，例12 .線折起，簡(jiǎn)單多面體的有關(guān)概念及應(yīng)用，主要考查多面體的概念、性質(zhì)，主要以填空、選擇 通常結(jié)合多面體的定義、性質(zhì)進(jìn)行判斷.如圖(1)，將邊長(zhǎng)為1的正六邊形鐵皮的六個(gè)角各切去一個(gè)全等的四邊形，再沿虛 做成一個(gè)無(wú)蓋的正六棱柱容器，當(dāng)這個(gè)正六棱柱容器的底面邊長(zhǎng)為容積最大.例13 .如圖左,AD、BE、DE( )F在正三角形 ABC中，D、 的中

6、點(diǎn)，將 ABC沿DE、E、F分別為各邊的中點(diǎn),EF、DF折成三棱錐后，G、H、I、J 分別為 AF、GH與IJ所成角的度數(shù)為A、90B、60C、45D、0°例14.長(zhǎng)方體ABCD AiBiCiDi 中,設(shè)對(duì)角線DiB與自Di出發(fā)的三條棱分別成 a、卩、Di求證：cos2 a+ cos2 卩 + cos2 = i 設(shè)DiB與自Di出發(fā)的三個(gè)面成cos2 a + cos2 卩 + cos2 = 2卩、角，求證:;J 、J*XB/ * /D 二一-7：,/ 0"、仝FAiCACiCiC考點(diǎn)9.簡(jiǎn)單多面體的側(cè)面積及體積和球的計(jì)算 例 15.如圖，在三棱柱 ABC AiBiCi 中，

7、AB = 72 a, BC = CA = AAi= a,Ai在底面 ABC上的射影 O在AC上 求AB與側(cè)面ACi所成角； 若O恰好是AC的中點(diǎn)，求此三棱柱的側(cè)面積例i6.等邊三角形 ABC的邊長(zhǎng)為4, M、N分別為AB、AC 的中點(diǎn)，沿 MN將 AMN折起，使得面 AMN與面MNCB所成 的二面角為30°,則四棱錐 A MNCB的體積為 （）B、C、J3C例17.如圖，四棱錐 P ABCD中，底面是一個(gè)矩形，AB= 3, AD = 1,又PA丄AB , PA= 4,/ PAD = 60°求四棱錐的體積；求二面角P BC- D的大小.A18 . （2006年全國(guó)卷n）已知圓

8、 Oi是半徑為個(gè)小圓，且圓 Oi的面積與球0的表面積的比值為00i與R的比值為【專題訓(xùn)練與高考預(yù)測(cè)】一、選擇題1.如圖，在正三棱柱 ABC-AiBiCi中，已知 AB=1 , 且BD=1，若AD與側(cè)面AA1CC1所成的角為（A.B.4C.arctan 姮4D在BB1上，貝y的值為D. arcsiJi42 直線a與平面 成 角，a是平面 的斜線，b是平面 內(nèi)與a異面的任意直線，則 a與b所成的角（BiDBA.最小值，最大值B.最小值，最大值一2C.最小值，無(wú)最大值D.無(wú)最小值，最大值一43. 在一個(gè)45的二面角的一平面內(nèi)有一條直線與二面角的棱成的另一平面所成的角為（）A. 30B. 45C. 6

9、04. 如圖，直平行六面體 ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2,BAD 60，則對(duì)角線A1C與側(cè)面DCC1D1所成 的角的正弦值為（45角，則此直線與二面角D. 901A. 2D-45 .已知在 ABC 中，AB=9, AC=15 , 點(diǎn)的距離都是14,那么點(diǎn)B.3的正方體P到平面A. 136.如圖，在棱長(zhǎng)為是棱A1B1、A1D1的中點(diǎn)，則點(diǎn)92A.B.C.D.7.將QMN60折成60的二面角,A. a2&二面角 lCBAC 120，它所在平面外一點(diǎn)ABC的距離為（ ）C. 911ABCD-A1B1C1D1 中，M、N 分別B到平面AMN的距離是（，邊長(zhǎng)MN=a的菱形MNPQ沿對(duì)角

10、線MP與NQ間的距離等于（）3B. -a4C. a4NQD.CiP至U ABC三頂DiAB43D.a4Ci的平面角為120，在內(nèi)，AB I于B，AB=2,在內(nèi)，CDCD=3,BD=1, M是棱I上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AM + CM的最小值為（）C. V26D.269空間四點(diǎn) A、B、C、D中,每?jī)牲c(diǎn)所連線段的長(zhǎng)都等于a,動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上,在線段CD上，則P與Q的最短距離為（動(dòng)點(diǎn)Q1A. aB. 一a2C.D. a10.在一個(gè)正四棱錐，它的底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)均為 住（不能裁剪紙，但可以折疊）a，現(xiàn)有一張正方形包裝紙將其完全包 ，那么包裝紙的最小邊長(zhǎng)應(yīng)為（C. (1 咼a1、丘D. a2211.已知長(zhǎng)方

11、體 ABCD-AiBiCiDi中，AiA=AB=2，若棱AB上存在點(diǎn)P,使Df PC，則棱AD的長(zhǎng)的取值范圍是 （A. 0,iB.O,J2C. 0,2D. i,>/212將正方形 角一定不等于A.ABCD沿對(duì)角線)30D. 90AC折起，使點(diǎn)B. 45D在平面 ABC外，則DB與平面 ABC所成的C.60二、填空題i.如圖，正方體 ABCD-AiBiCiDi的棱長(zhǎng)為i, E是AiBi 的中點(diǎn)，則下列四個(gè)命題:1E到平面ABCiDi的距離是一；2直線BC與平面ABCiDi所成角等于45 ;空間四邊形ABCDi在正方體六個(gè)面內(nèi)的射影圍成1面積最小值為一；2BE與CDi所成的角為J10arcs

12、 in102.如圖，在四棱柱 ABCD-AiBiCiDi中，P是AiCi上的動(dòng)點(diǎn)，E為CD上的動(dòng)點(diǎn)，四邊形 ABCD滿時(shí)，體積 V AEB恒為定值（寫(xiě)上你認(rèn)為正確的一個(gè)答案即可）3邊長(zhǎng)為1的等邊三角形 折起，使得折后二面角 BC的距離為為.4.在水平橫梁上 A、B兩點(diǎn)處各掛長(zhǎng)為50cm的細(xì)繩，AM、BN、AB的長(zhǎng)度為60cm，在MN處掛長(zhǎng)為60cm 的木條，MN平行于橫梁，木條的中點(diǎn)為 0,若木條 繞過(guò)O的鉛垂線旋轉(zhuǎn)60。，則木條比原來(lái)升高了ABC中,沿BC邊高線ADB-AD-C為60° ,則點(diǎn)A到_,點(diǎn)D到平面ABC的距離Ci5多面體上，位于同一條棱兩端的頂點(diǎn)稱為相鄰的.如圖正方體

13、的一個(gè)頂點(diǎn)A在平面內(nèi).其余頂點(diǎn)在的同側(cè)，正方體上與頂點(diǎn) A相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)到的距離分別是1、2和4. P是正方體其余四個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，則3;4;5;6;7.以上結(jié)論正確的為 .（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào) ）P到平面的距離可能是:?011111:?031?0；br求證：CM丄CiD; 求AA 1的長(zhǎng).Cla6.如圖，棱長(zhǎng)為 1m的正方體密封容器的三個(gè)面上有三個(gè)銹蝕的小孔(不計(jì)小孔直徑)01、02、O3它們分別是所在面的中心.如果恰當(dāng)放置容器，容器存水的最大容積是 m3三、解答題11.在正三棱柱 ABC A1B1C1中，底面邊長(zhǎng)為 a,D為BC為中點(diǎn)，M在BB1上，且BM= B1M ,3又CM丄AC1

14、；(1)(2)如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面是矩形且AD=2 ,AB=PA= 逅,PA丄底面 ABCD , E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)在PC上.(1) 求F在何處時(shí)，EF丄平面PBC ;(2) 在(1)的條件下，EF是不是PC與AD的公垂線段.若是，求 出公垂線段的長(zhǎng)度；若不是，說(shuō)明理由； 在(1)的條件下，求直線 BD與平面BEF所成的角.BC SC;ASD與面BSC所成二面角的大?。籗A的中點(diǎn)為M ,求異面直線DM與SB所成角的3.如圖，四棱錐 SABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，SD垂直于底面ABCD , SB=J3 .(1) 求證(2) 求面(3) 設(shè)棱大小.4.在直角梯形 ABCD 中，D= BAD=90 ,AD=DC= lAB=a,(如圖一)將 ADC 沿 A