復(fù)變函數(shù)項級數(shù)

1、1第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示 4.2 復(fù)變函數(shù)項級數(shù) 4.2 復(fù)變函數(shù)項級數(shù)復(fù)變函數(shù)項級數(shù)一、基本概念一、基本概念二、二、冪級數(shù)冪級數(shù)三、三、冪級數(shù)的性質(zhì)冪級數(shù)的性質(zhì)2第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示 4.2 復(fù)變函數(shù)項級數(shù) 一、基本概念一、基本概念1. 復(fù)變函數(shù)項級數(shù)復(fù)變函數(shù)項級數(shù)(2) 稱稱 為區(qū)域為區(qū)域 g 內(nèi)內(nèi) )()()()(211zfzfzfzfnnn(1) 稱稱 為區(qū)域為區(qū)域 g 內(nèi)的內(nèi)的復(fù)變函數(shù)序列復(fù)變函數(shù)序列。,2,1)( nnzf定義定義 設(shè)復(fù)變函數(shù)設(shè)復(fù)變函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 g 內(nèi)有定義，內(nèi)有定義，)(zfn的的復(fù)變函數(shù)項級數(shù)復(fù)變函數(shù)項級數(shù)，簡記為簡記為. )( zfn3第四章

2、解析函數(shù)的級數(shù)表示 4.2 復(fù)變函數(shù)項級數(shù) 一、基本概念一、基本概念2. 復(fù)變函數(shù)項級數(shù)收斂的定義復(fù)變函數(shù)項級數(shù)收斂的定義(1) 稱稱 為級數(shù)為級數(shù) 的的部分和部分和。 nkknzfzs1)()( )(zfn定義定義 設(shè)設(shè) 為區(qū)域為區(qū)域 g 內(nèi)的內(nèi)的復(fù)變函數(shù)項級數(shù)復(fù)變函數(shù)項級數(shù)， )(zfn稱級數(shù)稱級數(shù) 在在 點收斂點收斂。 )(zfnz0則稱級數(shù)則稱級數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 d 內(nèi)收斂內(nèi)收斂。 )(zfn, )()(limzszsnn (3) 如果存在區(qū)域如果存在區(qū)域 d g ， 有有 ,dz 此時，稱此時，稱)(zs, )()(lim00zszsnn (2) 如果對如果對 g 內(nèi)的某一點內(nèi)的某一

3、點 ，有，有z0則則為為和函數(shù)和函數(shù)，d 為為收斂域收斂域。4第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示 4.2 復(fù)變函數(shù)項級數(shù) 二、二、冪級數(shù)冪級數(shù)1. 冪級數(shù)的概念冪級數(shù)的概念其中，其中， 為復(fù)常數(shù)。為復(fù)常數(shù)。aan,定義定義 稱由下式給出的復(fù)變函數(shù)項級數(shù)為稱由下式給出的復(fù)變函數(shù)項級數(shù)為冪級數(shù)冪級數(shù)：,)()()(22100 azaazaaazannn( ( i i ) )特別地，當(dāng)特別地，當(dāng) 時有時有0 a( () )注注 (1) 下面主要是對下面主要是對 型冪級數(shù)進行討論，所得到的結(jié)論型冪級數(shù)進行討論，所得到的結(jié)論.22100 zazaazannn( () )只需將只需將 換成換成 即可應(yīng)用到即可應(yīng)用

4、到 型冪級數(shù)。型冪級數(shù)。( ( i i ) )(az z(2) 對于對于 型冪級數(shù)，在型冪級數(shù)，在 點肯定收斂。點肯定收斂。0 z( () )5第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示 4.2 復(fù)變函數(shù)項級數(shù) 二、二、冪級數(shù)冪級數(shù)2. 阿貝爾阿貝爾 ( abel ) 定理定理(1) 如果級數(shù)在如果級數(shù)在 點收斂，則它在點收斂，則它在 上上絕對收斂絕對收斂；0z|0zz 對于冪級數(shù)對于冪級數(shù) ，有，有定理定理 nnza(2) 如果級數(shù)在如果級數(shù)在 點發(fā)散，則它在點發(fā)散，則它在 上上發(fā)散。發(fā)散。1z|1zz 則存在則存在 m，使對所有的，使對所有的 n 有有,|0mzann 即得即得 收斂。收斂。 0nnmq

5、0|nnnza證明證明 (1) 由由 收斂，有收斂，有,0lim0 nnnza nnza0 |0nnnnzazaz0zn qz0z,nmq 其中其中 ，當(dāng)當(dāng) 時，時，|0zz ,1 q p83定理定理 4.5 推論推論( (阿貝爾與伽羅華阿貝爾與伽羅華) )6第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示 4.2 復(fù)變函數(shù)項級數(shù) 對于冪級數(shù)對于冪級數(shù) ，有，有二、二、冪級數(shù)冪級數(shù)2. 阿貝爾阿貝爾 ( abel ) 定理定理(1) 如果級數(shù)在如果級數(shù)在 點收斂，則它在點收斂，則它在 上上絕對收斂；絕對收斂；0z|0zz 定理定理 nnza(2) 如果級數(shù)在如果級數(shù)在 點發(fā)散，則它在點發(fā)散，則它在 上上發(fā)散。發(fā)散。

6、1z|1zz 證明證明 (2) 反證法反證法：與已知條件矛盾。與已知條件矛盾。已知級數(shù)在已知級數(shù)在 點發(fā)散，點發(fā)散，1z, |:122zzz 假設(shè)假設(shè)存在存在使得級數(shù)在使得級數(shù)在 點收斂，點收斂，2z由定理的第由定理的第 (1) 條有，條有，級數(shù)在級數(shù)在 上上絕對收斂；絕對收斂；|2zz 級數(shù)在級數(shù)在 點收斂，點收斂，1z7第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示 4.2 復(fù)變函數(shù)項級數(shù) 二、二、冪級數(shù)冪級數(shù)3. 收斂圓與收斂半徑收斂圓與收斂半徑發(fā)散發(fā)散發(fā)散發(fā)散收斂收斂收斂收斂分析分析8第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示 4.2 復(fù)變函數(shù)項級數(shù) 二、二、冪級數(shù)冪級數(shù)3. 收斂圓與收斂半徑收斂圓與收斂半徑發(fā)散發(fā)散發(fā)散

7、發(fā)散收斂收斂收斂收斂定義定義 如圖設(shè)如圖設(shè) cr 的半徑為的半徑為 r，(1) 稱圓域稱圓域rz |為為收斂圓收斂圓。(2) 稱稱 r 為為收斂半徑收斂半徑。r注意注意 級數(shù)在收斂圓的邊界上級數(shù)在收斂圓的邊界上各點的收斂情況是不一定的。各點的收斂情況是不一定的。約定約定表示級數(shù)僅在表示級數(shù)僅在 z = 0 點收斂；點收斂；0 r表示級數(shù)在整個復(fù)平面上表示級數(shù)在整個復(fù)平面上 收斂。收斂。 r9第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示 4.2 復(fù)變函數(shù)項級數(shù) 例例 考察級數(shù)考察級數(shù) 的收斂性。的收斂性。 320)3()2(1)(zzznznn對任意的對任意的解解,0 z都有都有,0)(lim nnnz.0 r收

8、斂半徑為收斂半徑為( (必要條件必要條件?) )例例 考察級數(shù)考察級數(shù) 的收斂性。的收斂性。 320)()()(321zzznznn由由 收斂，收斂， 0)(21nn因此級數(shù)因此級數(shù) 在全平面上收斂，在全平面上收斂， 0)(nnnz 0)(|nnnz收斂，收斂，故級數(shù)故級數(shù) 僅在僅在 點收斂，點收斂，0 z nnz)(. r收斂半徑為收斂半徑為對對任意固定任意固定的的解解,z當(dāng)當(dāng) 時，有時，有,21| nznn ,n 10第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示 4.2 復(fù)變函數(shù)項級數(shù) , )1(,111 zzznnnzzzs 21級數(shù)的部分和為級數(shù)的部分和為解解,0lim1 nnz級數(shù)發(fā)散。級數(shù)發(fā)散。級數(shù)

9、收斂；級數(shù)收斂；. )1| (,1112 zzzz,11limzsnn (1) 當(dāng)當(dāng) 時，時，1| z,0|lim1 nnz和函數(shù)為和函數(shù)為.11)(zzs (2) 當(dāng)當(dāng) 時，時，1| z,0lim1 nnz故級數(shù)收斂半徑為故級數(shù)收斂半徑為,1 r11第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示 4.2 復(fù)變函數(shù)項級數(shù) 二、二、冪級數(shù)冪級數(shù)4. 求收斂半徑的方法求收斂半徑的方法(1) 比值法比值法,|lim1 nnnaa.1 r如果如果則收斂半徑為則收斂半徑為對于冪級數(shù)對于冪級數(shù) ，有，有 nnza推導(dǎo)推導(dǎo) 考慮正項級數(shù)考慮正項級數(shù), | nnza|lim11nnnnnzaza |lim1zaannn , |z

10、 利用利用達朗貝爾判別法達朗貝爾判別法：當(dāng)當(dāng) 即即 時，級數(shù)收斂；時，級數(shù)收斂；1| z /1| z當(dāng)當(dāng) 即即 時，級數(shù)發(fā)散。時，級數(shù)發(fā)散。1| z /1| z .1 rp85 12第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示 4.2 復(fù)變函數(shù)項級數(shù) (2) 根值法根值法,|lim nnnc.1 r如果如果則收斂半徑為則收斂半徑為二、二、冪級數(shù)冪級數(shù)4. 求收斂半徑的方法求收斂半徑的方法,|lim1 nnnaa.1 r(1) 比值法比值法如果如果則收斂半徑為則收斂半徑為對于冪級數(shù)對于冪級數(shù) ，有，有 nnza( (利用正項級數(shù)的利用正項級數(shù)的柯西判別法柯西判別法即可得到即可得到) )13第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表

11、示 4.2 復(fù)變函數(shù)項級數(shù) 例例 求冪級數(shù)求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂圓。的收斂半徑與收斂圓。 02nnnz由由解解221)1(lim|lim nnaannnn,1 收斂圓為收斂圓為.1| z收斂半徑為收斂半徑為,1 r例例 求冪級數(shù)求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂圓。的收斂半徑與收斂圓。 0!nnnz由由解解)!1(!lim|lim1 nnaannnn,011lim nn收斂圓為收斂圓為.| z收斂半徑為收斂半徑為, r得得得得p86 例例4.3 部分部分 14第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示 4.2 復(fù)變函數(shù)項級數(shù) 例例 求冪級數(shù)求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂圓。的收斂半徑與收斂圓。 0)1(112)(nnnzn

12、收斂圓為收斂圓為.1| 1|e z故級數(shù)的收斂半徑為故級數(shù)的收斂半徑為,1e r由于由于解解nnna |limnnnn2)(11lim nnn)(11lim ,e 15第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示 4.2 復(fù)變函數(shù)項級數(shù) 00)()(nnnnnnzbzazgzf;)(0 nnnnzba 00)()(nnnnnnzbzazgzf, ),min(21rrr 令令則在則在 內(nèi)有內(nèi)有rz | 00)(nnnkknkzba三、三、冪級數(shù)的性質(zhì)冪級數(shù)的性質(zhì)1. 冪級數(shù)的運算性質(zhì)冪級數(shù)的運算性質(zhì)p86 16第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示 4.2 復(fù)變函數(shù)項級數(shù) 2. 冪級數(shù)的分析性質(zhì)冪級數(shù)的分析性質(zhì)即即 110.

13、)()(nnnzznazf(3) 在收斂圓內(nèi)可以在收斂圓內(nèi)可以逐項積分逐項積分，即即)(zf(1) 函數(shù)函數(shù)在收斂圓在收斂圓 內(nèi)內(nèi)解析解析。rzz |0設(shè)設(shè)性質(zhì)性質(zhì),|,)()(000rzzzzazfnnn 則則(2) 函數(shù)函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)可由其冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可由其冪函數(shù)逐項求導(dǎo)逐項求導(dǎo)得到，得到，)(zf三、三、冪級數(shù)的性質(zhì)冪級數(shù)的性質(zhì)p87 17第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示 4.2 復(fù)變函數(shù)項級數(shù) 3. 冪級數(shù)的代換冪級數(shù)的代換(復(fù)合復(fù)合)性質(zhì)性質(zhì) 在把函數(shù)展開成冪級數(shù)時，上述三類性質(zhì)有著重要的作用。在把函數(shù)展開成冪級數(shù)時，上述三類性質(zhì)有著重要的作用。又設(shè)函數(shù)又設(shè)函數(shù) 在在 內(nèi)解析，且滿足內(nèi)解析，

14、且滿足)(zgrz |,| )(|rzg 設(shè)級數(shù)設(shè)級數(shù) 在在 內(nèi)收斂，內(nèi)收斂，和函數(shù)和函數(shù)為為性質(zhì)性質(zhì) 0nnnzarz |,)(0 nnnzazf. )( )(0 nnnzgazgf當(dāng)當(dāng) 時，有時，有rz |則則三、三、冪級數(shù)的性質(zhì)冪級數(shù)的性質(zhì)18第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示 4.2 復(fù)變函數(shù)項級數(shù) 解解 方法一方法一 利用乘法運算性質(zhì)利用乘法運算性質(zhì)zzz 1111)1(12)1( )1(22 zzzz,)1(3212 nznzz.1| z方法二方法二 利用逐項求導(dǎo)性質(zhì)利用逐項求導(dǎo)性質(zhì))(11)1(12 zz)1(2 zz,)1(3212 nznzz.1| z19第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示

15、4.2 復(fù)變函數(shù)項級數(shù) ,)()()()()()(11322 nnabazabazabazababazab 111解解)()(11abazbz 其收斂半徑為其收斂半徑為, |abr 收斂圓為收斂圓為. |abaz 20第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示 4.2 復(fù)變函數(shù)項級數(shù) 輕松一下吧21第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示 4.2 復(fù)變函數(shù)項級數(shù) 附：附：人物介紹人物介紹 阿貝爾阿貝爾挪威數(shù)學(xué)家 (18021829)阿貝爾n. h. abel 天才的數(shù)學(xué)家天才的數(shù)學(xué)家。 關(guān)于橢圓函數(shù)理論的研究工作在當(dāng)時是函數(shù)論的關(guān)于橢圓函數(shù)理論的研究工作在當(dāng)時是函數(shù)論的最高成果之一。最高成果之一。22第四章 解析函數(shù)的級數(shù)

16、表示 4.2 復(fù)變函數(shù)項級數(shù) 附：附：人物介紹人物介紹 阿貝爾阿貝爾 很少有幾個數(shù)學(xué)家能使自己的名字同近世數(shù)學(xué)中很少有幾個數(shù)學(xué)家能使自己的名字同近世數(shù)學(xué)中如此多的概念和定理聯(lián)系在一起。如此多的概念和定理聯(lián)系在一起。阿貝爾群阿貝爾群阿貝爾積分阿貝爾積分阿貝爾函數(shù)阿貝爾函數(shù)阿貝爾級數(shù)阿貝爾級數(shù)阿貝爾可和性阿貝爾可和性阿貝爾積分方程阿貝爾積分方程阿貝爾部分和公式阿貝爾部分和公式阿貝爾基本定理阿貝爾基本定理阿貝爾極限定理阿貝爾極限定理23第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示 4.2 復(fù)變函數(shù)項級數(shù) 附：附：人物介紹人物介紹 阿貝爾阿貝爾 阿貝爾只活了短短的阿貝爾只活了短短的 27 年，一生中命途坎坷。年，一生中

17、命途坎坷。 他的才能和成果在生前沒有被公正的承認。他的才能和成果在生前沒有被公正的承認。 為了紀念阿貝爾誕辰為了紀念阿貝爾誕辰 200 周年，挪威政府于周年，挪威政府于 2003 年設(shè)立年設(shè)立了一項數(shù)學(xué)獎了一項數(shù)學(xué)獎 阿貝爾獎。每年頒發(fā)一次，獎金高達阿貝爾獎。每年頒發(fā)一次，獎金高達 80 萬美元，是世界上獎金最高的數(shù)學(xué)獎。萬美元，是世界上獎金最高的數(shù)學(xué)獎。24第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示 4.2 復(fù)變函數(shù)項級數(shù) 附：附：人物介紹人物介紹 伽羅華伽羅華 天才的數(shù)學(xué)家。天才的數(shù)學(xué)家。 群論的創(chuàng)始人與奠基者群論的創(chuàng)始人與奠基者。 對函數(shù)論、方程式理論和數(shù)論等作出了重要貢獻對函數(shù)論、方程式理論和數(shù)論等作

18、出了重要貢獻。法國數(shù)學(xué)家 (18111832)伽羅華variste galois25第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示 4.2 復(fù)變函數(shù)項級數(shù) 伽羅華只活了短短的伽羅華只活了短短的 21 年。年。 他的成果在生前沒有人能夠理解。他的成果在生前沒有人能夠理解。 1829 年，伽羅華在他中學(xué)最后一年快要結(jié)束時，把關(guān)于年，伽羅華在他中學(xué)最后一年快要結(jié)束時，把關(guān)于群論初步研究結(jié)果的論文提交法國科學(xué)院。群論初步研究結(jié)果的論文提交法國科學(xué)院。當(dāng)時法國最杰出的數(shù)學(xué)家柯西作為這些論文的鑒定人，當(dāng)時法國最杰出的數(shù)學(xué)家柯西作為這些論文的鑒定人，最后不了了之。最后不了了之?？茖W(xué)院委托科學(xué)院委托附：附：人物介紹人物介紹 伽羅

19、華伽羅華26第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示 4.2 復(fù)變函數(shù)項級數(shù) 伽羅華只活了短短的伽羅華只活了短短的 21 年。年。 他的成果在生前沒有人能夠理解。他的成果在生前沒有人能夠理解。 1830 年年 2 月，伽羅華將他的研究成果比較詳細地寫成論月，伽羅華將他的研究成果比較詳細地寫成論文文提交法國科學(xué)院。提交法國科學(xué)院。秘書傅立葉。秘書傅立葉。未能發(fā)現(xiàn)伽羅華的手稿未能發(fā)現(xiàn)伽羅華的手稿?？茖W(xué)院將科學(xué)院將論文寄給當(dāng)時科學(xué)院終身論文寄給當(dāng)時科學(xué)院終身但傅立葉在當(dāng)年但傅立葉在當(dāng)年 5 月去世，在他的遺物中月去世，在他的遺物中附：附：人物介紹人物介紹 伽羅華伽羅華27第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示 4.2 復(fù)變函

20、數(shù)項級數(shù) 伽羅華只活了短短的伽羅華只活了短短的 21 年。年。 他的成果在生前沒有人能夠理解。他的成果在生前沒有人能夠理解。又得到了一個結(jié)論，他寫成論文提交給法國科學(xué)院。這又得到了一個結(jié)論，他寫成論文提交給法國科學(xué)院。這 1831 年年 1 月，伽羅華在尋求確定方程的可解性問題上，月，伽羅華在尋求確定方程的可解性問題上，篇論文是伽羅華關(guān)于群論的重要著作，當(dāng)時負責(zé)審查的篇論文是伽羅華關(guān)于群論的重要著作，當(dāng)時負責(zé)審查的數(shù)學(xué)家泊松為理解這篇論文絞盡腦汁。傳說泊松將這篇數(shù)學(xué)家泊松為理解這篇論文絞盡腦汁。傳說泊松將這篇論文看了四個月，最后結(jié)論居然是論文看了四個月，最后結(jié)論居然是“完全不能理解完全不能理解”。附：附：人物介紹人物介紹 伽羅華伽羅華28第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示 4.2 復(fù)變函數(shù)項級數(shù) 友寫信，倉促地把自己所有的數(shù)學(xué)研究心得扼要寫出，友寫信，倉促地把自己所有的數(shù)學(xué)研究心得扼要寫出， l832 年年 3 月月 16 日，伽羅華卷入了一場決斗。他連夜給朋日，伽羅華卷入了一場決斗。他連夜給朋他在天亮之前最后幾個小時寫出的東西，為一個折磨了他在天亮之前最后幾個小時寫出的東西，為一個折磨了