北師大版數(shù)學(xué)八年級下冊1.4 第1課時(shí) 角平分線

1、教育精選.14角平分線角平分線第第 1 1 課時(shí)課時(shí)角平分線角平分線1復(fù)習(xí)角平分線的相關(guān)知識，探究歸納角平分線的性質(zhì)和判定定理；(重點(diǎn))2能夠運(yùn)用角平分線的性質(zhì)和判定定理解決問題(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入問題：在S區(qū)有一個(gè)集貿(mào)市場P，它建在公路與鐵路所成角的平分線上， 要從P點(diǎn)建兩條路，一條到公路，一條到鐵路問題 1：怎樣修建道路最短？問題 2：往哪條路走更近呢？二、合作探究探究點(diǎn)一：角平分線的性質(zhì)定理【類型一】 應(yīng)用角平分線的性質(zhì)定理證明線段相等如圖，在ABC中，C90，AD是BAC的平分線，DEAB于E，F(xiàn)在AC上，BDDF.求證： (1)CFEB； (2)ABAF2EB.解析：(1)根據(jù)角平分

2、線的性質(zhì)，可得點(diǎn)D到AB的距離等于點(diǎn)D到AC的距離，即CDDE.再根據(jù) RtCDFRtEBD，得CFEB；(2)利用角平分線的性質(zhì)證明ADC和ADE全等得到ACAE，然后通過線段之間的相互轉(zhuǎn)化進(jìn)行證明證明： (1)AD是BAC的平分線，DEAB，DCAC，DEDC.在 RtDCF和 RtDEB中，BDDF，DCDE，RtCDFRtEBD(HL)CFEB；(2)AD是BAC的平分線，DEAB，DCAC，CDDE.在ADC與ADE中，CDDE，ADAD，ADCADE(HL)，ACAE，ABAEBEACEBAFCFEBAF2EB.方法總結(jié)： 角平分線的性質(zhì)是判定線段相等的一個(gè)重要依據(jù)， 在應(yīng)用時(shí)一定

3、要注意是兩條“垂線段”相等變式訓(xùn)練： 見 學(xué)練優(yōu) 本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第 6 題【類型二】 角平分線的性質(zhì)定理與三角形面積的綜合運(yùn)用如圖，AD是ABC的角平分線，DEAB，垂足為E，SABC7，DE2，AB4，則AC的長是()A6B5C4D3解析：過點(diǎn)D作DFAC于F，AD是ABC的角平分線，DEAB，DF教育精選.DE2，SABC124212AC27，解得AC3.故選 D.方法總結(jié)： 利用角平分線的性質(zhì)作輔助線構(gòu)造三角形的高， 再利用三角形面積公式求出線段的長度是常用的方法變式訓(xùn)練： 見 學(xué)練優(yōu) 本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第 3 題【類型三】 角平分線的性質(zhì)定理與全等三角形的綜合運(yùn)用如

4、 圖所 示，D是 ABC外 角ACG的平分線上的一點(diǎn)DEAC，DFCG，垂足分別為E，F(xiàn).求證：CECF.解析：由角平分線上的性質(zhì)可得DEDF，再利用“HL”證明 RtCDE和 RtCDF全等， 根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可證明：CD是ACG的平分線，DEAC，DFCG，DEDF.在 RtCDE和 RtCDF中，CDCD，DEDF，RtCDERtCDF(HL)，CECF.方法總結(jié)：全等三角形的判定離不開邊， 而角平分線的性質(zhì)是判定線段相等的主要依據(jù)，可作為判定三角形全等的條件變式訓(xùn)練： 見 學(xué)練優(yōu) 本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第 4 題探究點(diǎn)二：角平分線的判定定理【類型一】 角平分線的判定如

5、圖，BECF，DEAB的延長線于點(diǎn)E，DFAC于點(diǎn)F，且DBDC，求證：AD是BAC的平分線解析：先判定 RtBDE和 RtCDF全等，得出DEDF，再由角平分線的判定可知AD是BAC的平分線證明： DEAB的延長線于點(diǎn)E，DFAC于點(diǎn)F， BEDCFD， BDE與CDF是直角三角形在 RtBDE和 RtCDF中，BECF，BDCD，RtBDERtCDF(HL)，DEDF.DEAB，DFAC，AD是BAC的平分線方法總結(jié)： 證明一條射線是角平分線的方法有兩種： 一是利用三角形全等證明兩角相等； 二是角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上變式訓(xùn)練： 見 學(xué)練優(yōu) 本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第 7

6、 題【類型二】 角平分線的性質(zhì)和判定的綜合如圖所示，ABC中，ABAC，AD是BAC的平分線，DEAB，DFAC，垂足分別是E、F.下面給出四個(gè)結(jié)論，AD平分EDF； AEAF； AD上的點(diǎn)到B、C兩點(diǎn)的距離相等；到AE、AF距離相等的點(diǎn)，到DE、DF的距離也相等其中正確的結(jié)論有()A1 個(gè)B2 個(gè)C3 個(gè)D4 個(gè)解析：由AD平分BAC，DEAB，DFAC可 得DEDF， 由 此 易 得ADEADF，故ADEADF，即AD平分EDF正確；AEAF正確；中垂線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等， 故正確； 到AE、AF距離相等的點(diǎn)， 在BAC的角平分線AD上， 到DE、DF的距離相等的點(diǎn)在EDF的平分線D

7、A上， 兩者同一條直線上， 所以到DE、DF的距離也相等正確，故正確；都正確故選 D.方法總結(jié)： 運(yùn)用角平分線的性質(zhì)或判定時(shí)，可以省去證明三角形全等的過程，可以直接得到線段或角相等變式訓(xùn)練： 見 學(xué)練優(yōu) 本課時(shí)練習(xí)“課教育精選.后鞏固提升”第 4 題【類型三】 添加輔助線解決角平分線的問題如圖，ABC的ABC和ACB的外角平分線交于點(diǎn)D.求證：AD是BAC的平分線解析：分別過點(diǎn)D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分別為E、F、G，然后利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等可知DEDG， 再利用到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上來證明證明：分別過D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC

8、， 垂足分別為E、F、G.BD平分CBE，DEBE，DFBC，DEDF.同理DGDF，DEDG，點(diǎn)D在BAC的平分線上， AD是BAC的平分線方法總結(jié)：在遇到角平分線的問題時(shí)，往往過角平分線上的一點(diǎn)作角兩邊的垂線段，利用角平分線的判定或性質(zhì)解決問題變式訓(xùn)練： 見 學(xué)練優(yōu) 本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第 7 題【類型四】 線段垂直平分線與角平分線的綜合運(yùn)用如圖，在四邊形ADBC中，AB與CD互相垂直平分，垂足為點(diǎn)O.(1)找出圖中相等的線段；(2)OE，OF分別是點(diǎn)O到CAD兩邊的垂線段，試說明它們的大小有什么關(guān)系解析： (1)由垂直平分線的性質(zhì)可得出相等 的 線 段 ； (2) 由 條 件 可 證 明AOCAOD，可得AO平分DAC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得OEOF.解：(1)AB、CD互相垂直平分，OCOD，AOOB，且ACBCADBD；(2)OEOF，理由如下：在AOC和AOD中，ACAD，OCOD，AOAO，AOCAOD(SSS) ， CAO DAO. 又OEAC，OFAD，OEOF.方法總結(jié)： 本題是線段垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)的綜合， 掌握它們的適用條件和表示方法是解題的關(guān)鍵三、板書設(shè)計(jì)1角平分線的性質(zhì)定理角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等2角平分線的判定定理在一個(gè)角的內(nèi)部， 到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上本節(jié)課由于采用了動手操作