現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法2007-修改

1、nnnxaxaxaaxPY2210)(nmiiniyxPD)(),()()(21012101212nmiininimiiinmiiaaaaFyxaxaayxPD0)(1110jimiininjxyxaxaaaFmijiiminjinmijimijixyxaxaxa1111110,;11kkimiikmikiTxySx), 2 , 1 , 0(0njTSajnijii01100TaSaSaSnnnnnnnnTaSaSaSaS22211032dNcNbNaT床身及導(dǎo)軌進(jìn)給箱刀架車床屬座溜板箱主軸箱離合器主軸組件 中間變速機(jī)構(gòu)主軸主軸齒輪主軸軸承naaaa321,),(321naaaa461235)

2、(MPab)(MPas)(1MPa)(1MPawnslnsyyysxx規(guī)格長像素寬像素規(guī)格yxo(x,y)xyo),(nnyxxyo),(ssyxa用戶坐標(biāo)系b規(guī)格化坐標(biāo)系c設(shè)備坐標(biāo)系 三種坐標(biāo)系的關(guān)系EF0000GKLK0110CD1010100100010101IJIHG0101010144max33min22max11minccyyccyyccxxccxx否則當(dāng)否則當(dāng)否則當(dāng)否則當(dāng)1234,ccccsfeqdcpbaAecyaxufdybxvsqypxwxTyTXY1010001yxTT平移變換矩陣XY比例平移向比例系數(shù)向比例系數(shù)ySxSyx1000000yxSSXY0100010001關(guān)

3、于坐標(biāo)軸反射對(duì)稱軸為Y軸變換矩陣XY0關(guān)于原點(diǎn)反射變換矩陣100010001XY0繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)變換矩陣1000cossin0sincosXY0變換矩陣錯(cuò)切變換10001001aMNABCyxyx11),(00yx101000100yxA1000cossin0sincosB101000100yxC1sin)cos1 (sin)cos1 (1cossin0sincos0000 xyyxABCT1p2p3p6p14p16p13p15p全，邊界，初始條件不健材料的非線性和不均勻數(shù)值）得到通解，如彈性力學(xué)微分方程（邊界，初值體連續(xù)體中無限小的微分解析）（邊界元法邊界有限差分有限元區(qū)域BEMFDMFEMLh

4、yxyzbYXYZhyzxyzxyyxPZOYXyzxzz, xyyx0zz0z1MM1MM1),(MzyxMZYXyxwvM1MuZYXMABCDdxdzdy111.CBAdyyvvdydxxvvu+1B2BBAC1C2CV1A12XYudxxuuUBdxxvvVBdyyuuUCdyyvvVC2211BABA211BABdxxuudxxu為：xxxudxdxxuABABB11AyyxvdyvdyyvVACACCA)(11 A1B1-AB= A1B2-AB =uB-uA=( )-u= 即線段AB的正應(yīng)變= 同理，線段AC的正應(yīng)變?yōu)椋?= zwzxy12同樣的方法研究了微分體在XOZ或YOZ坐標(biāo)

5、面上的投影 ABCD內(nèi)，AB與AC所夾直角的變化即投影面的剪應(yīng)變兩部分：一部分與X軸平行 AB向Y的轉(zhuǎn)角一部分與Y軸平行 AC向X的轉(zhuǎn)角xuxvudxxuudxvdxxvvBABBtg1)()(2112111xxu1xv 故上式可簡化為： =2同理: =yuxy12xvyuyuxvyvxuxyyx +=+ 平面應(yīng)變幾何方程，位移應(yīng)變 當(dāng)物體的位移分量確定時(shí)，應(yīng)變分量完全確定，反過來，當(dāng)應(yīng)變分量確定時(shí)，位移分量不完全確定。xyxyxuyvxvyu說明：以ABCD為例令其應(yīng)變分量為零，即=0 =0 =0 即:=0 =0 +=0 （C） （1）將（1）式分別對(duì)X和Y積分得：u=f1(y) , v=f

6、2(x)代入（C）得:dxxdfdyydf)()(21dyydf)(1dxxdf)(2)(1yf)(2xf左邊是Y的任意函數(shù)，右邊是X的函數(shù)，故兩邊等于同一常數(shù)w，故：= w = w=-wy+u0 =wx+v0 U=u0-wy v=v0+wx平面內(nèi)的應(yīng)變?nèi)珵?時(shí)，面內(nèi)的各點(diǎn)位移，與變形無關(guān)，是剛體位移。U0,v0代表沿x軸及y軸的剛體平移，w代表繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)（證明略）。oyzxABCPZZXZYYYXYZzxy（1）空間問題每個(gè)面上有三個(gè)應(yīng)力分量：一個(gè)正應(yīng)力，兩個(gè)剪應(yīng)力， 垂直作用于表示，前表示垂直于垂直于Z軸的面上沿Z向作用。剪應(yīng)力用垂直于哪一個(gè)軸，后表示沿哪個(gè)坐標(biāo)軸，X軸沿Y軸方向移動(dòng)。2

7、, ,物理方程應(yīng)變與應(yīng)力之間的關(guān)系。zyx線應(yīng)變zxyzxy角應(yīng)變（剪應(yīng)變）x,y兩線段間的角應(yīng)變?nèi)绻骋粋€(gè)截面上的外法線方向是沿坐標(biāo)軸的正方向，這個(gè)截面稱一個(gè)正面，這個(gè)面上的應(yīng)力沿正向?yàn)檎?，?fù)方向?yàn)樨?fù)。相反如果某截面上的外法線是沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向，截面為負(fù)面，這個(gè)面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸負(fù)向?yàn)檎?，正向?yàn)樨?fù)?？臻g問題有九個(gè)應(yīng)力分量。三個(gè)正應(yīng)力六個(gè)剪應(yīng)力三個(gè)獨(dú)立應(yīng)力。xy=yx yz=zy zx=xz空間應(yīng)力狀態(tài)有6個(gè)獨(dú)立應(yīng)力分量:對(duì)應(yīng)6個(gè)應(yīng)變分量：xxEE為拉伸彈性模量zxzxyzyzxyxyyxzzzxyyzyxxGGGuEuEuE111)(1)(1)(1)1 (uEG完全彈性,各向同性物體,應(yīng)變

8、與應(yīng)力關(guān)系：（胡克定律導(dǎo)出）胡克定律：在單向應(yīng)力狀態(tài)下，處于彈性階段的物體應(yīng)力與應(yīng)變是線性關(guān)系，即：（1）E彈性模量剪切彈性模量泊松比G（2）平面應(yīng)力問題0)()1 (2)(1)(10 xzyzyxzxyxyxyyyxxxzyzzEuEuuEuE可得出應(yīng)力方程： 210001011.21.1)1 (2)(1)(12222uuuuEDDuuEuEuuEuuExyyxxyyxxyxyxyxyyyxxD平面應(yīng)力問題的彈性矩陣，對(duì)稱與E，有關(guān)（3）平面應(yīng)變問題的物理方程xyxyxyxyyyxxyxzzxyzzxzyzuEuuEuuuEuuuEuu2221)11 (2)1 (2)1(1)1(1100）式

9、中代入（平面應(yīng)變的物理方程。 ）（換成換成2112uuuuEE )1 (22100011011)21)(1 ()1 (DuuuuuuuuuED平面應(yīng)變彈性矩陣兩類平面問題類似：平面應(yīng)力問題 得到平面應(yīng)變問題的方程式。（4）平衡方程應(yīng)力與外力間的關(guān)系：作用于物體的外力分為體積力和表面力，簡稱體力和面力。體力是分布在物體體積中的力，如重力和慣性力。面力是分布于物體表面上的力，如接觸力。（1）應(yīng)力與體力之間的平衡方程XYCxyxxyyxyyyydyxyxyxdxxxyxydxxxxZ向原度=1平衡微分方程0000yxyxyxFyFxxyyyxx（1）應(yīng)力和面力關(guān)系： DABYX1S2SndsxyBD

10、AnYXxxyyxy靜力邊界條件sincossincos00yxyyxxYXFyFx三虛功方程 彈性力學(xué)在能量法求解中，特別是在用有限單元法求解中，要用到變形體的虛位移原理和虛功方程，這里簡介一下。 所謂虛位移，是一種假想加到系統(tǒng)上，為系統(tǒng)的約束條件所允許的任意微小位移。而元功是指實(shí)際的力在虛位移上所作的功，元功也稱為虛功。變形體虛功原理表述如下： 設(shè)變形體在力的作用下處于平衡狀態(tài)，又設(shè)變形體由于別的原因產(chǎn)生符合約束條件的微小的連續(xù)變形（虛位移，虛應(yīng)變），則外力在虛位移上所做的虛功W，恒等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛變形功V。 即： W=V 其中：tdsvYuXtdxdyYvuXWSA1)()(*

11、虛位移為板厚ttdxdyUAxyxyyyxx)(*V如果只有剛體的虛位移而沒有虛應(yīng)變，虛變形功V=0.故W=0，變成剛體的虛功方程PxiuD+Pyivi + TP=TdV(xx+yy+zz+xyzy+yzyz+ zxzx)dxdydz如果變形體處于平衡狀態(tài)，當(dāng)給予虛位移時(shí)，外力在虛位移上的虛功等于整個(gè)變形體內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功。在彈性力學(xué)與有限元法中，通常用虛位移方程代替平衡微分方程與應(yīng)力邊界條件。注意：1.本節(jié)用“變形體”而沒用“彈性體”，是因?yàn)?這里分析結(jié)構(gòu)并不局限于彈性范圍；2.虛功方程的兩種運(yùn)用；（1）虛設(shè)位移求未知力。（虛位移原理）求位移。（虛功原理）給定力系.虛設(shè)位移.求未知力.

12、（2）虛設(shè)力狀態(tài)給定位移虛設(shè)力系.求未知位移.4.2 4.2 彈性力學(xué)平面問題的有限單元法彈性力學(xué)平面問題的有限單元法一、彈性力學(xué)的有限元分析計(jì)算可分為三個(gè)步驟: 1、結(jié)構(gòu)離散化 這是有限元法的基礎(chǔ)，用由有限個(gè)方位不同但幾何性質(zhì)及物理性質(zhì)均相似的單元組成的集合體來代替原來的連續(xù)體或結(jié)構(gòu)。每個(gè)單元僅在節(jié)點(diǎn)處和其他單元及外部有聯(lián)系。對(duì)于不同的問題，根據(jù)自身的特點(diǎn)，可選用不同類型的單元。對(duì)同一問題也可以分別或同時(shí)選用多種單元。 1 2 3 X2 Y2 1 2 12xF 12yF 11xF 11yF 22yF 23yF 2 3 22xF 23xF 節(jié)點(diǎn)載荷節(jié)點(diǎn)載荷節(jié)點(diǎn)力節(jié)點(diǎn)力 不同材料節(jié)點(diǎn)不合法2P2

13、P2mLA1m 例：圖示一懸臂梁，梁的厚度為t，設(shè)泊松比= ，彈性模量為E，試用三節(jié)點(diǎn)三角形單元進(jìn)行離散。312p2pXYijij41322.單元分析主要內(nèi)容：由節(jié)點(diǎn)位移求內(nèi)部任意一點(diǎn)的位移，由節(jié)點(diǎn)位移求單元應(yīng)變、應(yīng)力和節(jié)點(diǎn)力。3.整體分析（1）由節(jié)點(diǎn)平衡方程，建立以整體剛度矩陣K為系數(shù)的，整體節(jié)點(diǎn)位移和外載R的關(guān)系式整體平衡方程。（2）考慮幾何邊界條件，修改總體剛度矩陣，求解全部未知位移分量。 P P 力學(xué)模型力學(xué)模型(平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題)有限元模型有限元模型有限元法是一種數(shù)值計(jì)算方法。可廣泛應(yīng)用于各種微分方程描述的場問題的求解。有限元法是一種數(shù)值計(jì)算方法?？蓮V泛應(yīng)用于各種微分方程描述

14、的場問題的求解。二二. . 有限元求解例（一維單元）有限元求解例（一維單元）引例:用有限元法求圖1所示受拉階梯桿的位移和應(yīng)力。已知桿截面面積A（1）=210-4m2，A（2）=110-4m2，各段桿長L（1）=L（2）=0.1m；材料彈性模量E（1）=E（2）=2105MPa，作用于桿端的拉力F3=100N。x)1(A,)1(E)2(A)1(E)1(L)2(L3F0 a)13212e)(xiFix)(ei)(eL)(ejijjFjxx b) c) 圖1 受拉階梯桿a)示意圖 b)有限元模型 c)單元圖1.單元?jiǎng)澐?根據(jù)材料力學(xué)的平面假設(shè)，等截面受拉桿的同一截面的不同點(diǎn)上可認(rèn)為具有相同的位移和應(yīng)

15、力，即位移只與截面的軸向坐標(biāo)（圖1中為x）有關(guān)，所以可將階梯桿看作由兩個(gè)“一維單元”組成，同一個(gè)單元內(nèi)截面積及材料特性不變，并用線段表示一維單元。最簡單的情況是，每一個(gè)單元有兩個(gè)結(jié)點(diǎn)，他們分別位于單元兩端。相鄰兩單元靠公共結(jié)點(diǎn)聯(lián)結(jié)。這樣，圖1a所視的受拉階梯桿就簡化為由兩個(gè)一維單元和三個(gè)結(jié)點(diǎn)構(gòu)成的有限單元模型（圖1b）。圖中和是單元號(hào)，1、2、3是結(jié)點(diǎn)號(hào)。取結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量，應(yīng)力由求得的結(jié)點(diǎn)位移算出。)()(xe)( ei)(ej2.確定單元插值函數(shù)（形函數(shù)） 有限元法將整個(gè)求解域離散為一系列僅靠公共結(jié)點(diǎn)聯(lián)結(jié)的單元，而每一個(gè)單元本身卻視為光滑連續(xù)體。單元內(nèi)任一點(diǎn)的場變量（如本例中的位移）

16、可由本單元的結(jié)點(diǎn)值根據(jù)場變量在單元中的假定分布規(guī)律（插值函數(shù)）插值求得。 本例中，每單元有兩個(gè)結(jié)點(diǎn)，采用線性插值方式是適宜的。圖1c是一典型單元圖。兩結(jié)點(diǎn)分別為i和j。設(shè)單元中坐標(biāo)為x處的場變量為結(jié)點(diǎn)場變量值分別記為和。)()()()()()()()()()()()()()()()()(eejeijiejeieiejejijieiijjiijeiejeiexxLxxLxxxxxxxxxxxxxxx)()(xxji根據(jù)線性插值關(guān)系得： （1） 是單元自由度列陣；形函數(shù)矩陣，因?yàn)樗c單元的結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)（即單元形狀）和單元插值形狀有關(guān)。 式中，L（e）=xj-xi是單元長度；)(eTejei)()( 稱

17、為單元形函數(shù)矩陣的分量數(shù)目應(yīng)與單元自由度數(shù)目相等。 對(duì)于兩自由度線性插值單元由式（1）可知形函數(shù)矩陣的兩分量為： )()()()(eijejiLxxxLxxx （2）)()()()()()()()()()()()()()(ejeiejeeeeiejeieeeFLEAFLEA)(eiF)(ejF3.單元方程（單元結(jié)點(diǎn)位移與結(jié)點(diǎn)力的關(guān)系）由等截面桿變形與拉力的關(guān)系（虎克定律）得到 式中，和分別為作用于單元e的結(jié)點(diǎn)i和（3）結(jié)點(diǎn)j的結(jié)點(diǎn)力。)()()()()()()(1111ejeiejeieeeFFLEA)()()(eeeFK)(eKTejeieFFF)()()(式（3）寫成矩陣形式為：或簡記為：

18、 式中，稱為單元特性矩陣，在力學(xué)問題稱為單元結(jié)點(diǎn)力列陣。（4）（5）中常稱為單元?jiǎng)偠染仃?，簡稱單元?jiǎng)傟嚕皇剑?）稱為單元方程。)(eF)(eF)(eiF)(ejFj123 到目前為止，單元方程（4）或（5）尚不能求解，因?yàn)榻Y(jié)點(diǎn)力列陣尚屬未知。的分量和 外載荷之間的關(guān)系。 4.單元組集建立總體方程組 為獲得總體方程 和總體自由度（、）的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行擴(kuò)展。 是相鄰單元作用于單元e的結(jié)點(diǎn)i和j的力，即屬于單元之間的作用力。只有將具有公共結(jié)點(diǎn)的單元“組集”在一起才能確定上述結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)和組，必須先將單元方程按照局部自由度 （ ）i和具體來說，單元1的擴(kuò)展方程為：0000011011)2(2)1(132

19、1)1()1()1(FFLEA 式中，各項(xiàng)上角碼表示單元序號(hào)；下角碼表示自由 度總體序號(hào)。（6）單元2的擴(kuò)展方程為：)2(3)2(2321)2()2()2(0110110000FFLEA （7）由于相鄰兩單元公共結(jié)點(diǎn)上的基本場變量（位移）相同，所以可將擴(kuò)展后的各單元方程相加。 將式（6）和式（7）相加得：321321)2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2(00FFFLEALEALEALEALEALEALEALEA （8）上述組集過程可記為：NEeeNEeeFK1)(1)()( 式中，NE代表

20、有限元模型的單元總數(shù)。（9）FK組集后的結(jié)果簡記為： 式中，K稱為總體特性矩陣（力學(xué)中常稱為總體剛度矩陣和總剛陣），F(xiàn)稱為總體結(jié)點(diǎn)載荷列陣。需指出的是，對(duì)單元的一個(gè)公共結(jié)點(diǎn)而言，除了有相鄰單元作用于該結(jié)點(diǎn)的力之外，還可能有做用于該結(jié)點(diǎn)的外載荷（包括以后要講到的當(dāng)量結(jié)點(diǎn)載荷）。若一結(jié)點(diǎn)上無外載荷作用（如本例中結(jié)點(diǎn)2），則說明各相鄰單元作用于該結(jié)點(diǎn)的力是平衡的，即該結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)合力為零。0)(33)2()2()2(2)2()2()2(FLEALEA102202640441013216F 若某結(jié)點(diǎn)上有外載荷作用（如本例中結(jié)點(diǎn)3），則各單元作用于該結(jié)點(diǎn)的內(nèi)力和（即方程（8）中第3式左端項(xiàng)的負(fù)值）與該結(jié)點(diǎn)

21、的外載荷（F3）相平衡，即：這就是說，列陣F各分量的含義是作用于相應(yīng)自由度（結(jié)點(diǎn)位移）上的結(jié)點(diǎn)外載荷。將相應(yīng)數(shù)據(jù)代入式（8）得： （11）（10） 上式即為本題的總體線性代數(shù)方程組，但不能獲得唯一解，因?yàn)樯鲜街械木仃囀瞧娈惖摹＿@種奇異性不是因數(shù)據(jù)巧合造成的，而是有其必然性。原因在于總體方程組式（8）只考慮了力平衡條件，而只根據(jù)力平衡不能唯一地確定系統(tǒng)的位移，因?yàn)橄到y(tǒng)在有任意剛性位移的情況下仍可處于力平衡狀態(tài)。為獲得各結(jié)點(diǎn)位移的唯一解，必須消除可能產(chǎn)生的剛體位移，即必須計(jì)入位移邊界條件。5.計(jì)入邊界條件，解方程組 0123011022261032623本題的位移邊界條件為那么，式（11）和說，可

22、從式（11）中消去一個(gè)方程。譬如，代入后得： 解得：=0.2510-6 m,=0.7510-6m。，中只剩下兩個(gè)待求的自由度去第一個(gè)方程并將。也就是舍（12）這與材料力學(xué)求得的結(jié)果相同。6.計(jì)算單元應(yīng)變和應(yīng)力 )(e)(edxxdxee)()()()()()()()()(111)(eeeeeLBdxdx)()()()()()()(eeeeeBExEx由材料力學(xué)得知，單元中任一點(diǎn)的應(yīng)變（x）（x） 將式（1）及式（2）代入上式得 式中，B稱為單元應(yīng)變一結(jié)點(diǎn)位移轉(zhuǎn)換矩陣。應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為: （15）與位移的關(guān)系為:（13）（14）MPaLE5 . 01 . 0)1025. 00(102)(65) 1

23、 (21) 1 () 1 (MPaLE11 . 010)75. 025. 0(102)(55)2(32)2()2(對(duì)于單元1對(duì)于單元2yxohvsjimiviujvjumvmu三有限元求解例（有限元求解例（線性三角形單元）（1）單元位移模式三角形三節(jié)點(diǎn)單元如上圖。126) 1 (),(),(654321yxyxvyxyxu ),(10000001),(),(),(654321yxmyxyxyxvyxuyxfi、j、m為節(jié)點(diǎn)。六個(gè)位移分量需六個(gè)待定參數(shù)、設(shè)單元位移分量是坐標(biāo)x.y的線性函數(shù)，即：寫成矩陣的形式為： e )(321321321ayxuyxuyxummmjjjiiiAA11AA22A

24、A33（2）由單元節(jié)點(diǎn)位移求位移參數(shù)設(shè)節(jié)點(diǎn)i,j,m坐標(biāo)分別是xi,yi;xj,yj;xm,ym。把三個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)及其水平位移代入式（1）中得：解得：，45616mjikkmmjjiimjikkmmjjiimjikkmmjjiimjikkmmjjiimjikkmmjjiimjikkmmjjiivcvcvcvcvbvbvbvbvavavavaucucucucububububuauauaua,6,5,4,3,2,121)(2121)(2121)(2121)(2121)(2121)(21對(duì)v同理可列出、解出的結(jié)果如下：方程。jmimiijmmjixxcyybyxyxa mji輪換)(2111121i

25、jmijmiiimmjmmijiiyxyxyxyxyxyxyxyxyx式中 為三角形單元面積。 eA mjimjimjimjimjimjicccbbbaaacccbbbaaaA00000000000000000021 e將寫成矩陣形式，有由單元節(jié)點(diǎn)位移求單元內(nèi)部任一點(diǎn)位移f(x,y)=m(x,y)A ef(x,y)=m(x,y),(),(yxvyxummjjiimmjjiivuvuvuyxNyxNyxNyxNyxNyxN.),(00),(),(00),(),(00),( emjiyxN),(1001f(x,y)= =Ni(x,y) Nj(x,y) Nm(x,y)=二階單位陣),(yxNi)(2

26、1ycxbaiii mji輪換形函數(shù)物理意義：，i節(jié)點(diǎn)單位位移，其他 Ni，Nj，Nm是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，它反映單元內(nèi)位移的分布狀態(tài)，稱為位移的形狀函數(shù)，簡稱形函數(shù)。矩陣N稱為形函數(shù)矩陣。節(jié)點(diǎn)位移分量為0，單元內(nèi)部產(chǎn)生位移分布形狀Ni(x,y)=形函數(shù)的性質(zhì)： 1、在單元任一點(diǎn)上，三個(gè)形函數(shù)之和等 于1. 2、形函數(shù)Ni在i點(diǎn)的函數(shù)值為1，在j點(diǎn)及m點(diǎn)的函數(shù)值為零。3、三角形單元i,j,m在ij邊上的形函數(shù)與第三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)無關(guān)。例：求圖示單元和單元的形函數(shù)矩陣2p2pXYij4132mmij如無特殊說明：約定節(jié)點(diǎn)編號(hào)逆時(shí)針方向如無特殊說明：約定節(jié)點(diǎn)編號(hào)逆時(shí)針方向yjxabi)0 , 0(m),

27、 0(a)0 ,(byxab(b,a)mji(b,0) （a）單元、分別如上圖所示(b)abyxyxyxyxyxyximmimiimijii21)(211.單元如圖a所示。設(shè)a=1m,b=2m.(或直接由圖形可知其面積) (2)求系數(shù)ai，aj，am，bi，bj，bm，ci，cj，cm bxxcbxxcxxcayybyybayybabyxyxayxyxayxyxaijmmijjmijimimjmjiijjimmiimjjmmji0000bxycxbayxNiiii)(21),(ayycxbayxNjjjj)(21),(aybxycxbayxNmmmm1)(21),( (3)求形函數(shù)矩陣 代入相

28、關(guān)常數(shù)： aybxaybxbyaybxbxNNNNNNNmmjjii10010000000000aybxyxyyxxN10021002002ab21將a=1,b=2代入得：單元如圖b所示， =。 ai=xjym-xmyj=ab aj=xmyi-xiym=ab am=xiyj-xjyi=-ab bi=yj-ym=-abj=ym-yi=0bm=yi-yj=aci=xm-xj=0 cj=xi-xm=-bcm=xj-xi=b（1）求常數(shù)bxycxbayxNiiii1)(21),(ayycxbayxNjjjj1)(21),(aybxycxbayxNmmmm1)(21),(2)求形函數(shù)矩陣)1(00)1(

29、10011001aybxaybxayaybxbxyxyxyyxx2100211001210021N=將a=1,b=2m代入上式得： N=mmjjiimmmmjjjjiiiixyyxvuvuvubccbbccbbccbxvyuyvxu.00000021四四 1.由節(jié)點(diǎn)位移求單元的應(yīng)變單元應(yīng)變矩陣 = xNiyNiiiiibccb0021簡記為=Be B可寫成分塊的形式：B=Bi Bj BmBi= B稱為應(yīng)變矩陣，它的元素都只與單元的幾何性單元應(yīng)變與單元結(jié)點(diǎn)位移關(guān)系(i, j, m )質(zhì)有關(guān)的常量。這種單元稱為平面問題的常應(yīng)變?nèi)切螁卧?.單元應(yīng)力與結(jié)點(diǎn)位移關(guān)系=D e (求應(yīng)變的表達(dá)式)e 應(yīng)

30、力矩陣=DB=Si Sj Sm=DB=S 1)平面應(yīng)力問題： 代入D及B 得:S=Si Sj Sm. 對(duì)于平面應(yīng)力： Si=iiiiiibccubucbsE2121)1 (22 (i, j, m )* *注：注：D D 的表達(dá)式見的表達(dá)式見P72 4-8P72 4-8，BB的表達(dá)式見的表達(dá)式見P86 4-34P86 4-3421E1iiiiiibccbcbE)1 (221)1 (22111)21)(1 (2)1 (2) 平面應(yīng)變問題. 將上式中以代E，以代則子矩陣： (i, j, m )Si=3.單元?jiǎng)偠染仃噛xyyx0mVmViViVjVjVij(a)mUiUjU*mV*mV*iV*iV*j

31、V*jVij(b)m*mu*iu*ju*mv*iv*jvmmjjiiVUVUVUxyyxFe= =*mmjjiivuvuvu*xyyx節(jié)點(diǎn)虛位移列陣及虛應(yīng)變：*e= *=AA(*e)TFe=*T tdxdy=B e知*=B*e*e)TFe=(*e)TBTtdxdy由(AA由于*e中的元素為常量，提至前，故： BTtdxdy （B,為常量，dxdy為面積）Fe=AmmmjmijmjjjiimijiikkkkkkkkkFe=BT tFe=BT t=BTDt =BTDBet =KeKe=BTDBt或Ke=BTDBtdxdy單元?jiǎng)偠染仃?esrsrsrsrsrsrsrsrbbcccbbucbccubc

32、cbbEt21212121)1 (42對(duì)于平面應(yīng)力問題krs=BrTDBst = (r=i,j,m; s=i,j,m)21E1對(duì)于平面應(yīng)變問題：將上式中的E換成換成可得k，式略。,mmmmjjjjiiiibccbbccbbccb0000002121baabaabb111001011000100001求例4.2（p84）單元的單元?jiǎng)偠染仃嚱猓海?）求矩陣BB=ab 和bi,bj,bm及 ci,cj,cm得:B=2100010112EbaababaaabbbE21211102110021000112（2）求矩陣S D=S=DB=baababaaabbbbaabaabbEabt21211102110

33、0210001110101010100100001122（3）求矩陣keke=BTDBt=BTSt= )211()21(12121)21()211(212111100212102121021210212101001)1 (222222222222222222baababaabbabababababaabbaabaabbaaababababbabbabbabEt= 代入a=1 b=2m 得： )811 ()412(141812)2141(221414110022141081041121uuuuuuuuuuuuuuuEtR對(duì)稱可算出，當(dāng)a=b時(shí)單元?jiǎng)偠染仃嚺c尺寸a,b無關(guān)。 單元?jiǎng)傮w矩陣的特性：單

34、元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x： 單元?jiǎng)偠染仃噆e表示了單元抵抗變形的能力，即表示了節(jié)點(diǎn)位移e與節(jié)點(diǎn)力Fe之間 krs表示點(diǎn)s發(fā)生單位位移時(shí)，在節(jié)點(diǎn)r上的關(guān)系。產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)力。例：證明右圖所示中單元?jiǎng)偠染仃?k=kayx(0,a)(a,a)(2a,a)(0,0)(a,0)(2a,0) mmjjiimjimjibcbcbccccbbb00000021證明：由于單元?jiǎng)偠染仃?ke=BTDBt 可知：當(dāng)兩個(gè)三角形單元幾何尺寸相同時(shí)，t值和單元面積值均相同；當(dāng)兩個(gè)單元的材料不難驗(yàn)證,.單元的上述br.cr (i,j,m )性質(zhì)相同時(shí)，彈性矩陣D也時(shí)相同的。故ke是否相同，取決于矩陣B 值均相等。B=結(jié)論：兩個(gè)單元

35、剛度矩陣ke相等的條件為：只要兩單元的形狀、大小、方向和單元彈性常數(shù)均相同，并且編號(hào)的方式也相同，如按逆時(shí)針方向編號(hào)為 i,j,m，直角頂點(diǎn)編號(hào)為m，則兩個(gè)單元的剛度矩陣時(shí)相等的。剛度矩陣的一些重要性質(zhì)：（1）對(duì)稱性 單元?jiǎng)偠染仃囀且粋€(gè)對(duì)稱矩陣（2）奇異性 單元?jiǎng)偠染仃囀且粋€(gè)奇異矩陣0ek，表明其逆矩陣不存在。也就是說，如果給定了單元節(jié)點(diǎn)位移可以得出惟一的節(jié)點(diǎn)力。反之，如果給出節(jié)點(diǎn)力卻無法求出確定的節(jié)點(diǎn)位移。這是因?yàn)閱我粏卧獊砜紤]所受約束時(shí)，可能存在不引起單元應(yīng)力和節(jié)點(diǎn)力的剛性位移。（3）分塊性質(zhì) 單元?jiǎng)偠染仃嚳梢苑謮K運(yùn)算。五.單元載荷的移置（離散時(shí)每個(gè)單元受載作用于節(jié)點(diǎn)上）1.原則：將單元載

36、荷向節(jié)點(diǎn)處移置，按照虛功等效的原則進(jìn)行。對(duì)于變形體，虛功等效是指原載荷與節(jié)點(diǎn)載荷在任何虛位移上做的虛功相等。當(dāng)位移模式確定后，載荷移置是唯一的。靜力等效是虛功等效的特例。mmjjiiYXYXYX*2.載荷移置公式（1）集中力 設(shè)單元i,j,m中任一點(diǎn)M(x,y)處受有集中力P=PxPyT移置到該單元各節(jié)點(diǎn)處載荷列陣為Re= 假設(shè)該單元發(fā)生一微小虛位移，M點(diǎn)相應(yīng)的虛位移為f*該單元各節(jié)點(diǎn)處相應(yīng)虛位移為 由靜力等效原理，載荷與節(jié)點(diǎn)等效載荷載虛位移上所作虛功相等：(e)TRe=f*TpTRe=NTpRe=Xi Yi Xj Yj Xm YmT*由f*=N e代入：=Nipx Nipy Njpx Njp

37、y Nmpx NmpyT yxppp psTdspNt（2）面力 設(shè)單元i,j,m的一邊受有分布的面力將微分面積tds上的面力合力tds當(dāng)作集中載荷，可得面力的移置公式:RRe e=t=t（3）體力 設(shè)單元i,j,m受有分布體力p=px pyT將微分體積tdxdy上的體力合力ptdxdy當(dāng)作集中載荷dp同理可得： dxdypNtRTesTdspNiiqjq),0(jy),(mmyxm)0 ,0( jxy例：設(shè)三角形單元i,j,m的ij邊作用有線性分布的法向載荷，i和j兩點(diǎn)的壓力集度分別為qi和qj，試用公式 Re =求其等效節(jié)點(diǎn)載荷。單元厚度為t， 節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)如下圖所示。解：（1）計(jì)算常數(shù) ai

38、=xjym-xmyj=0 bi=yj-ym=-ym ci=xm-xj=xm aj=xmyi-xiym=xmyj bj=ym-yi=ym cj=xi-xm=-xm am=xiyj-xjyi=0 bm=yi-yj=yi cm=xj-xi=0212121212121(2)計(jì)算形函數(shù) Ni=(ai+bix+ciy)= (- ymx +xmy)(aj+bjx+cjy)= (xmyi+(ym-yi)x-xmy(am+bmx+cmy)= yixNj=Nm= tdsPNRTe tdsPNtdsPNtdsPNRmijmijLTLTLTe（3）計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)載荷 由 得： 在邊界jm和mi上的面力為零，故上式積分中

39、后兩項(xiàng)為0(a)0_jjiiqqqyyyxPtdsqqqyyINININRjjiimjiLije0在ij邊上的面力分量可表示為：代入（a）式中得：積分沿逆時(shí)針方向（ij)，有ds=-dy 所以 000)(000_0_0_00dyxNdyxNdyxNtytdxNxNxNRmyjyiyymjieiiii Tjijiieqqqqt yR000)2(0)2 (6 TietqyR0001012在ij邊上x=0，代入 Ni Nj Nm中：若在ij邊上有沿x方向均布的壓力q，則有qi=qj=qm，代入得：4.3 整體分析 步驟： 建立整體剛度矩陣引入支承條件解方程求位移任務(wù)：建立整個(gè)離散體系的平衡方程，即結(jié)

40、構(gòu)的總剛度方程。求單元應(yīng)力4.3.1 建 立 整 體 剛 度 矩 陣1234mmjmiji2p2p 2Y 2Y yp2X2 2 X2 2 xp2U2 2 U2 2 V2 2 （作用于單元的節(jié)點(diǎn)力）環(huán)繞節(jié)點(diǎn)移置節(jié)點(diǎn)載荷（節(jié)點(diǎn)力單元I施加）一單元加節(jié)點(diǎn)力V2 2 i j m (4 2 3)作用于節(jié)點(diǎn)的集中力作用于節(jié)點(diǎn)的集中力0 xF2222XPXUexeee0yF2222YPYVeyeeee eRF22由節(jié)點(diǎn)的平衡條件，有平衡方程： 環(huán)繞節(jié)點(diǎn)2的所有單元求和。故： TeeVUF222 TYXR222mjimmmjmijmjjjiimijiimjikkkkkkkkkFFF單元e作用在2節(jié)點(diǎn)上的節(jié)點(diǎn)力

41、繞節(jié)點(diǎn)2的各單元作用在2節(jié)點(diǎn)上的等效節(jié)點(diǎn)載荷之和及直接作用于2的集中力。每一個(gè)單元可用節(jié)點(diǎn)位移表示節(jié)點(diǎn)力，采用分塊形式P89 4.46 2*1 2*2 2*1iiYX nmjininmimjijiiiikkkkF, 22RFe 2,2Rknemjinn 節(jié)點(diǎn)2對(duì)應(yīng)單元的局部編號(hào)為i即I單元i節(jié)點(diǎn)，故單元i節(jié)點(diǎn)上的節(jié)點(diǎn)力：代入得 每個(gè)節(jié)點(diǎn)均可得到類似的方程，每個(gè)節(jié)點(diǎn)可寫出兩個(gè)平衡方程，按節(jié)點(diǎn)的序號(hào)排列，用矩陣表示： Rk節(jié)點(diǎn)位移列陣結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)載荷列陣整體的剛度矩陣 TYXYXR2211 4321444342413433323124232221141312114321KKKKKKKKKKKKKKK

42、KRRRR故 iiiYXR iiivujijijijiijKKKKK2,212,22, 1212, 12 i，j=14 i=14整體剛度矩陣的集成規(guī)則：（1）先求出每個(gè)單元的剛度矩陣ke（2）將ke的每個(gè)子塊kije進(jìn)行 換號(hào)，換成對(duì)應(yīng)的整體編號(hào)。（3）將換號(hào)后的子塊填入整體剛度矩（4）若在同一位置上有幾個(gè)單元的相應(yīng)陣上對(duì)應(yīng)的位置。子塊填入同一位置，則進(jìn)行疊加。111412414442212422142kkkkkkkkkmji333234232224434244324kkkkkkkkkmji前述剛度矩陣 kkkkkkkkkkkkkkkkkkk44444342424134333224242322

43、22211412110022 總體剛度矩陣的特性：（1）對(duì)稱性 總體剛度矩陣是一個(gè)對(duì)稱矩陣。因單元?jiǎng)偠染仃嚿A后對(duì)稱性不變，由之合成的總體剛度矩陣自然是對(duì)稱矩陣。 （2）奇異性 總體剛度矩陣行列式的值 0K（3）稀疏性 總體剛度矩陣是一個(gè)稀疏矩陣；即矩陣中的絕大多數(shù)元素為0，非0元素只占元素總數(shù)的很小的一部分。因?yàn)橹挥挟?dāng)節(jié)點(diǎn)ij相關(guān)時(shí)Kij才不是0。與一個(gè)節(jié)點(diǎn)相關(guān)的節(jié)點(diǎn)數(shù)很少，故其非零元素少，絕大部分是0。 （4）帶狀分布規(guī)律 分布在以主對(duì)角線為中心的帶狀區(qū)域內(nèi)。 講例：接前述例題。解：（1）求各單元?jiǎng)偠染仃嚕≒90 4-50)求得單元的剛度矩陣為： 894114181241423221414

44、1121002412102141081410418102412004112EtkI k=k （單元?jiǎng)偠染仃囅嗟龋?11412414442212422kkkkkkkkk333234232224434244kkkkkkkkk(2)整體剛度矩陣k 換號(hào)的單元?jiǎng)偠染仃嚕?k=k=將 的單元?jiǎng)偠染仃囂钊?（P101 4-62） 4443424134333231242322211413121188kkkkkkkkkkkkkkkkk如果都有就相加33211226661443633161100000yxyxQQYQQvukkkkkkk123222444334330Yvukkkk22442432342330Yv

45、kukvkuk其中第3行及第4行表達(dá)式為：0000010000001000000000000000010000001233221144433433Yvuvuvukkkk等效：u1=v1=u3=v3=0 與支承條件及前述矩陣一致。劃掉0對(duì)應(yīng)的行及同行號(hào)的列，劃掉相應(yīng)元素可得，便于計(jì)算機(jī)運(yùn)算。多個(gè)單元：節(jié)點(diǎn)n的水平位移un=0 則k =R改為： k中的2n-1行與列中主對(duì)角元素為1其他為0 載荷向量R中2n-1元素置0 若Vn=0 則2n行作修改。4433221166656463565554534645444336353433100000000100000000000000000000000000

46、001000000001vuvuvuvukkkkkkkkkkkkkkkk00202000pp仍以P68（課本P98 4.24）u1=v1=u4=v4=0=（4）解方程 求節(jié)點(diǎn)位移 k=R 將整體剛度矩陣K代入支承條件202089411414142322112890412104 23133222ppvuvuEt3133221341227241307323vuvuEt2020pp設(shè)得：故： 99. 888. 142. 85 . 13322EtPvuvuTEtP0099. 888. 142. 85 . 10031（5）求單元應(yīng)力S 單元1： a=1 b=2 =000042. 85 . 1613103

47、161016110061312131002189EEtP580. 1281. 0844. 0tpxyyx =Se =（）=xxyxyy1.580.8440.281tptptp1.58tp同理可求單元23. 254. 15 . 4163p418. 0289. 0844. 0tP=（6）求節(jié)點(diǎn)力及支承反力Fe=kee單元的節(jié)點(diǎn)力 a=1,b=2, =31k = 121331161121613112761316141161100616131031610121610611210614161004189Et單元的節(jié)點(diǎn)力 F= PPPPPP070. 10 . 2281. 058. 1789. 0422.

48、000yxFFpRpRyx07. 1211pRpRyx071. 0244同理可得F 也進(jìn)行驗(yàn)算由受力圖可得 驗(yàn)算總結(jié)總結(jié)1 1：有限元求解彈性力學(xué)平面問題步驟如下：有限元求解彈性力學(xué)平面問題步驟如下：1.整理原始數(shù)據(jù)，結(jié)構(gòu)離散化，對(duì)單元和節(jié)點(diǎn)編號(hào)。2.求單元?jiǎng)倓偠染仃噆e3.用剛度集成法，形成剛度矩陣k4.求節(jié)點(diǎn)等效載荷，寫出載荷列陣 k5.引入支承條件6.解k=R 求出節(jié)點(diǎn)位移 7.求單元應(yīng)力e=Se8.求單元節(jié)點(diǎn)力 Fe=ke9.整理結(jié)果，作節(jié)點(diǎn)位移圖及應(yīng)力圖。 作業(yè)P151 4.4 P152 4.10ee4.4 線性三角形元解彈性力學(xué)平面問題的matlab程序：一、matlab 基礎(chǔ)在

49、matlab 的提示符 符“”下輸入命令. 3*4+5 ans= 17 Cos（30*pi/180） ans= 0.8660 x=4 x=4 2/sqrt(3+x) ans= 0.7559如果不讓 matlab 輸出運(yùn)算數(shù)據(jù)，在命令行的結(jié)尾輸入分號(hào)： y=32; z=5; x=2*y-z; w=3*y+4*z W=116 mablet區(qū)分大小寫 x=1 x=1 x=2 x=2 使用hecp命令可以獲得所有matlab命令的詳細(xì)用法 hecp inv下面的例子顯示如何輸入矩陣并實(shí)現(xiàn)簡單的矩陣運(yùn)算。 x=1 2 3;4 5 6;7 8 1 2 3x=5 6 8 9 47 y=2 ; 0 ; -3

50、y= 2 0 -3 w=x*y w= -7 -10 -13求解下面的聯(lián)立方程組采用高斯消去法解方程組:A= 2 -1 3 0 ;1 5 -2 4;2 0 3 -2; 1 2 3 4 b= 3; 1; -2 ; 2 b= 3 1 -2 2 x=Ab. x= 1.9259 -1.8148 -0.8889 1.5926A= 2 -1 3 0 1 5 -2 4 2 0 3 -2 1 2 3 4采用如下方法也可求 x=inv(A)*b X=1.9259 -1.8148 -8.8889 1.5926時(shí)間長，矩陣大尤其長 D=1 2 3 4 5 ; 2 4 6 8 9 ; 2 4 6 2 4 ; 1 7 2

51、 3 -2 ; 9 0 2 3 1 D= 1 2 3 4 5 2 4 6 8 9 2 4 6 2 4 1 7 2 3 -2 9 0 2 3 1可以以矩陣中提取 2004 行的35列作子矩時(shí)： E=D(2:4 , 3:5) E= 6 8 9 6 2 4 2 3 -2 提取D的第3列： F=D ( 1:5 ,3) F= 3 6 6 2 2 提取D的第2行作為子矩陣 G=D (2, 1:5) G= 2 4 6 8 9提取D中的4行 3列 H=D (4, 3)H=2 繪制y=f(x) 定義 x. y.再用plot(x,y) 繪圖。 x= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Y=X.2 plot(

52、x,y)12345678102030405060yx)(iiyxi)(jjyxj)(mmyxm平面應(yīng)變彈性問題平面應(yīng)力彈性問題 二，線性三角元1.基本方程. Linear triangular element 線性形函數(shù). 系數(shù)： 彈性模量E 泊松比 厚度 t單元?jiǎng)偠汝嚕?k= tBTTD =xi(yj-ym)+xj(ym-yi)+xm(yi-yj)2 mmjjiimjimjibcbcbccccbbbB00000021ai bi ci (P79 4.26). 平面應(yīng)力 2100010112uuuuED21 uEEuuu1 平面應(yīng)變 顯然線性三角形元有6個(gè)自由度每個(gè)節(jié)點(diǎn)2個(gè)自由度。對(duì)一個(gè)有n個(gè)節(jié)

53、點(diǎn)的結(jié)構(gòu)，整體K為2n*2n Kv=F 邊界條件手動(dòng)賦值 采用高斯消去求解 =Su求得單元應(yīng)力矩2，用到的Matlab函數(shù) 線性三角形元用到的5個(gè)matlab函數(shù)分別為： （1） Linear Triangle Element Arear (xi，yi，xj，yj，xm , ym) 該函數(shù)根據(jù)給出的i, j, m的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)返回單元的面積。 （2） Linear Triangle Element Striffness (E, Nv, t, xi, yi, xj, yj, xm, ym, p)該函數(shù)用于計(jì)算彈性模量為E，泊松比為 .厚度為t，以及i. j. m節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)已知的線性三角形單元的剛度矩陣

54、。p=1表明函數(shù)用于平面應(yīng)力情況。P=2表明用于平面應(yīng)變情況。返回6*6的單元?jiǎng)偠染仃噆。（3)Linear Triangle Element Assemble(K, k,i, j, m) 將連接i ,j ,m線性三角形元的單元?jiǎng)偠染仃噆集成到整體剛度矩陣K。返回2n*2n的整體剛度矩陣K。（4）Linear Triangle Element Stresses (E, ,t,xi,yi,xj,yjxm,ym,p,u) u為單位位移矢量返回單元應(yīng)力（5） Linear Triangle Element Stresses (sigma) 計(jì)算單元主應(yīng)力，返回3*1. sigma1,sigma2,t

55、hetaT 例：求解如圖所示的受均布載荷作用的薄平板結(jié)構(gòu)，將平板離散比化為兩個(gè)線性三角形元，如右圖示:0.25mw0.5m12439.375KN9.375KNE=210MPa u=0.3 t=0.025 w=3000 KN/m2根據(jù)有限元求解步驟，采用線性三角形單元法求解：（1）離散比 單元 節(jié)點(diǎn)i 節(jié)點(diǎn)j 節(jié)點(diǎn)m 1 3 4 1 2 3（2） 寫出單元?jiǎng)偠染仃?調(diào)用Linear Triangle Element Striffness (E , N?, t, 0, 0, 0.5, 0.25, 0, 0.25, 1) 求出k1 k2 E=210e6 Nv=0.3 t=0.025 k1= Line

56、ar Triangle Element Striffness (E , Nv, t, 0, 0, 0.5, 0.25, 0, 0.25, 1) k2= Linear Triangle Element Striffness (E , Nv, t, 0, 0, 0.5, 0, 0.5, 0.25, 1 ) （3）集成整體剛度矩陣 K=Zeros(8,8) K=Linear Triangle Assemble(K, k1, 1, 3, 4) K=Linear Triangle Assemble(K, k2, 1, 2, 3)（4）引入邊界條件 yxyxyxyxyxyxyxyxFFFFFFFFvuvu

57、vuvuk4433221144332211 邊界條件如下： v1x=v1y=v4x=v4y=0 F2x=9.375 , F2y=0 , F3x=9.375 , F3y=0 代入上式，并采用消去。 （5） k=K(3:6 , 3:6) f=9.375 ; 0 ; 9.375 ; 0 u=kf.（6）后處理：U=0；0；u；0；0 F=k*U u1=V(1) ; V(2) ; V(5) ; V(6) ; V(7) ; V(8) u2=V(1) ; V(2) ; V(3) ; V(4) ; V(5) ; V(6) 單元應(yīng)力 sigmal 1= Linear Triangle Element Stre

58、sses(E , Nv, 0, 0, 0.5, 0.25, 0, 0.25, 1, u1) sigmal 2= Linear Triangle Element Stresses(E , Nv, 0, 0, 0.5, 0, 0.5, 0.25, 1, u2) S1= Linear Triangle Element PStresses (sigmal 1) S2= Linear Triangle Element PStresses (sigmal 2)附： matlab源代碼第 五 章 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 傳統(tǒng)機(jī)械設(shè)計(jì)中，存在選優(yōu)的思想，受時(shí)間、條件 的限制，計(jì)算機(jī)應(yīng)用前用出數(shù)極小化處理簡單問題。 隨

59、著1946年第一臺(tái)計(jì)算機(jī)問世，傳統(tǒng)設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為優(yōu)化 設(shè)計(jì)方法。優(yōu)化設(shè)計(jì)是以數(shù)學(xué)規(guī)劃理論為基礎(chǔ)，以計(jì)算機(jī)為工具優(yōu)選設(shè)計(jì)參數(shù)的一種現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法。5.1 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 的 數(shù) 學(xué) 模 型 下面舉例說明： 用薄鋼板制造一體積為5m3,長度不小于4m不帶上蓋的貨箱，要求該貨箱的鋼板耗費(fèi)量最小，試確定貨箱的長X1,寬X2，高X3。 解：鋼板的耗費(fèi)量與貨箱的表面積成正比，優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)是鋼板的耗費(fèi)量最少，即貨箱的表面積S最小，不帶蓋的貨箱表面積S=X1*X2+（X2*X3+X1*X3）S是X1、X2和X3的函數(shù)，稱為目標(biāo)函數(shù)。3x1x2x 參數(shù)X1、X2和X3稱為設(shè)計(jì)變量。優(yōu)化設(shè)計(jì)就是恰當(dāng)?shù)剡x擇這些參數(shù)（設(shè)

60、計(jì)變量），使貨箱表面積S(目標(biāo)函數(shù)）達(dá)到最小。選擇這些參數(shù)受到貨箱X1X2X3=5， X14,X20,X30 以上限制設(shè)計(jì)變量X1、X2、X3的表達(dá)式，稱為約數(shù)學(xué)模型的一般形式 優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型由設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)和約形式：變量： X1，X2，Xn極小化函數(shù)： f(X1，X2，Xn)約束條件： 體積和長、寬、高限制：束條件。束條件三部分組成。0)(2xg0)(1xg1x2x0)(3xg)(2xg可行域1x2x)(2xg)(3xg)(1xg0123451234TX34. 1 ,58. 0*1)(xf8 . 3)(xf9)(xf切點(diǎn)，目標(biāo)函數(shù)等值線下降的方向。Tnkkkkkxxfxxfxxfxx