解析幾何在高考數(shù)學(xué)中的解題研究

1、曲靖師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文論文題目:解析幾何在高考數(shù)學(xué)中的解題方法與技巧研究 作者、學(xué)號：徐智勇 2012111325學(xué)院、年級：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2012級學(xué)科、專業(yè)：數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指 導(dǎo) 教 師：張勇 完 成 日 期：2016年5月25日曲靖師范學(xué)院教務(wù)處解析幾何在高考數(shù)學(xué)中的解題方法與技巧研究摘 要解析幾何的內(nèi)容貫穿了整個高中數(shù)學(xué)，是高考數(shù)學(xué)的一個重點(diǎn)。由于解析幾何涉及到廣泛的知識面，綜合的解題方法和發(fā)散的解題思維，因此很多高中學(xué)生面對“解析幾何類型”題目感到迷茫困惑，甚至束手無策。為了幫助高中生克服“解析幾何題型”中所遇到的困難，筆者查閱了大量的資料，解讀了國內(nèi)外一些關(guān)于解析幾何在

2、高考數(shù)學(xué)中的解題方法和技巧的書籍，應(yīng)用分析法、歸納法和綜合法，反復(fù)研究了“解析幾何”題目的解題思路，解題方法與解題技巧。經(jīng)過分類總結(jié)，歸納出了“數(shù)學(xué)思想”、“公式法”、“待定系數(shù)法”、“點(diǎn)差法”、“等量代換法”等六類解題技巧和八種常規(guī)題型。這些解題思路和方法源于解析幾何中的通常方法，但高于“數(shù)學(xué)思想”，對解決高中數(shù)學(xué)中“解析幾何類型”的題目行之有效，或許對高中學(xué)生順利渡過高考解析幾何中的難題有所幫助。關(guān)鍵詞：解析幾何 高考數(shù)學(xué) 公式法 點(diǎn)差法 常規(guī)題型 解題技巧Research on the methods and skills of solving the problem of Analyt

3、ic geometry in the college entrance examinationAbstract: The analytic geometry content throughout the entire high school mathematics, is a focus of the college entrance examination mathematics. The analytic geometry involves a wide range of knowledge, problem-solving methods and divergent comprehens

4、ive problem-solving thinking, so many high school students face the "analytic geometry type" title confused, even at a loss what to do. In order to help students overcome "encounter difficulties in analytic geometry questions", I consulted a lot of information at home and abroad,

5、 reading some books about the methods and techniques for solving analytic geometry in the college entrance examination in mathematics, using the analytical method, inductive method and comprehensive method, repeated research "thoughts of solving analytic geometry problem, problem-solving method

6、s and problem-solving skills. After classified, summarized the" mathematical thinking "," formula "," undetermined coefficient method "," poor law "," equal replacement method "six categories and eight kinds of common problem solving skills Complianc

7、e questions. These problem-solving ideas and methods of source to the ordinary method of analytic geometry, but higher mathematics thought, effective to solve the problems of high school mathematics in the analytic geometry type, perhaps for high school students smoothly through the geometrical prob

8、lems help.Key words: Analytic geometry College entrance examination Formula method Difference method Conventional questions Problem solving skills目 錄1引言12 文獻(xiàn)綜述12.1 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀12.1.1解析幾何的發(fā)展歷史12.1.2解析幾何的思想方法22.1.3國內(nèi)外高考解析幾何研究42.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀的評價(jià)42.3 提出問題53高考數(shù)學(xué)中解析幾何問題的解題方法與技巧53.1高考應(yīng)試建議53.2 高考核心考點(diǎn)63.3 常規(guī)題型方面63.3.1

9、中點(diǎn)弦問題63.3.2焦點(diǎn)三角形問題73.3.3直線與圓錐曲線問題73.3.4軌跡問題93.3.5兩線段垂直問題103.3.6存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱問題113.3.7圓錐曲線的有關(guān)最值（范圍）問題113.3.8圓錐曲線幾何性質(zhì)的問題123.4解題技巧方面133.4.1充分利用韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”的策略133.4.2用公式法和待定系數(shù)法求直線的方程類問題143.4.3用代數(shù)法解決直線間的距離、平行、垂直類問題143.4.4直線交點(diǎn)及直線系問題153.4.5運(yùn)用共交點(diǎn)的曲線系方程153.4.6進(jìn)行某些適當(dāng)?shù)拇鷵Q164 向量在解析幾何問題中的應(yīng)用165 解析幾何思想在立體幾何問題中的應(yīng)用186 結(jié)論

10、2061 主要發(fā)現(xiàn)206.2 啟示206.3 局限性206.4 努力方向21參考文獻(xiàn):221引言解析幾何內(nèi)容是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要課題，也是高考一個難點(diǎn)，更是解決其它問題的基礎(chǔ)，圓錐曲線類問題：綜合性很強(qiáng)，難度大，這對高中生來說，是一道難題。因此，對解析幾何在高考數(shù)學(xué)中的解題方法與技巧的研究就顯得格外重要。但僅僅依靠教材介紹的幾種基本方法無法應(yīng)對形式多變的圓錐曲線類問題。求圓錐曲線的軌跡方程中常用的方法與技巧很多，通常是利用待定系數(shù)法，定義法，相關(guān)點(diǎn)法，相近或相關(guān)的知識等的綜合應(yīng)用。把所需求解的問題加以轉(zhuǎn)換，通過轉(zhuǎn)換，可以簡化問題。在此基礎(chǔ)上還要注意從不同角度去分析圓錐曲線的幾何性質(zhì)和結(jié)構(gòu)特征，應(yīng)

11、用聯(lián)系、變化、對立統(tǒng)一的觀點(diǎn)恰當(dāng)?shù)貙栴}轉(zhuǎn)化，從而促使圓錐曲線類問題化難為易。文章就圓錐曲線類問題和直線類問題中的一些不常見的方法和技巧作了研究，并研究了如何使解析幾何類問題化繁為簡。解析幾何主要是用代數(shù)法解決幾何問題，中心思想由代數(shù)與幾何組成。提高學(xué)生的解題能力，是當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)重要任務(wù)。文章還介紹了解析幾何的起源和解析幾何的主要的思想和歷史以及解析幾何的發(fā)展與完善，強(qiáng)調(diào)了笛卡爾和他的幾何學(xué)在數(shù)學(xué)史上的舉足輕重的地位，著重的說了解析幾何在高考數(shù)學(xué)中的解題方法與技巧研究和解析幾何在高考數(shù)學(xué)中常見的問題與解決方法和解題技巧，注意事項(xiàng)，以及向量在解析幾何中的作用，同時探索了解析幾何在立體幾

12、何中的應(yīng)用。2文獻(xiàn)綜述2.1國內(nèi)外研究現(xiàn)狀2.1.1解析幾何的發(fā)展歷史1633年笛卡爾寫了一部更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論，這部書中有一部分叫幾何學(xué)，在他的幾何學(xué)中第一次出現(xiàn)變量與函數(shù)思想的方法論，并將幾何與代數(shù)結(jié)合起來，笛卡爾所謂的變量，是指連續(xù)經(jīng)過坐標(biāo)軸上所有點(diǎn)的數(shù)字變量，還指具有變化長度而不變方向的線段，正是變量的這兩種形式笛卡爾試圖創(chuàng)造一種代數(shù)和幾何互相滲透的科學(xué)。在幾何學(xué)中，笛卡爾的功績是把數(shù)學(xué)中兩個研究對象“形”與“數(shù)”統(tǒng)一起來，并在數(shù)學(xué)中引入“變量”，完成了數(shù)學(xué)史一項(xiàng)巨大的時代變革。他指出：幾何曲線上的所有點(diǎn)必定跟直線上的所有點(diǎn)具有一種確定的關(guān)系，并且這種關(guān)系必須用單個的

13、方程來表示3，即用坐標(biāo)的方法把曲線用帶有兩個未知變量的代數(shù)方程表示，這樣就可以用代數(shù)的方法來研究幾何問題，幾何學(xué)的出版標(biāo)志著解析幾何的建立，而同時代的法國業(yè)余數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬早在幾何學(xué)之前，就寫了關(guān)于解析幾何思想的文章，只是沒有發(fā)表，他也是解析幾何的創(chuàng)始者之一。解析幾何的創(chuàng)建從根本上改變了從古希臘開始的代數(shù)和幾何分離的趨勢，進(jìn)而推動了數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程4。解析幾何一經(jīng)建立，就得到了膨脹式的迅速發(fā)展，且廣泛滲透到數(shù)學(xué)與物理學(xué)等多個學(xué)科中去。1692年，萊布尼茨首先使用“坐標(biāo)”一詞，兩年后，萊布尼茨正式提出“縱坐標(biāo)”的術(shù)語，到18世紀(jì)，德國數(shù)學(xué)家沃爾夫引入“橫坐標(biāo)”這一術(shù)語，“解析幾何”的名稱則是18世紀(jì)

14、末由法國數(shù)學(xué)家拉克魯瓦正式引入的。1665年英國數(shù)學(xué)家沃利斯在其著作論圓錐曲線中第一次將圓錐曲線定義為x,y的二次方程的曲線，且證明了其等同性，又用x,y的二次方程來推導(dǎo)出圓錐曲線的性質(zhì)。1748年，歐拉在無窮分析引論中從一般二次方程ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0出發(fā)系統(tǒng)研究了圓錐曲線的各種情形，并在圓錐曲線的研究當(dāng)中引入?yún)?shù)方程和極坐標(biāo)。在無窮分析引論中，歐拉還研究了3個變量x,y,z的二次方程ax2+by2+cz2+2fyz+2gzx+2hxy+2ux+2uy+2wz+d=0 (3.2)其中系數(shù)皆為實(shí)數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)不全為0，得到6種二次曲面：錐面、柱面、橢球面、單葉和雙葉雙曲面

15、、雙曲拋物面和拋物柱面，且按系數(shù)對方程（3.2）進(jìn)行了分類。1802年，法國數(shù)學(xué)家蒙日證明每個二次曲面與平面的截線皆為二次曲線，且平行線截口是相似的二次曲線。1832年，瑞士數(shù)學(xué)家施泰納建立了直紋面二次曲面的理論。到19世紀(jì)，解析幾何已日趨完善。2.1.2解析幾何的思想方法1.數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想的基本觀點(diǎn)：把數(shù)量關(guān)系的精確刻畫與空間形式的形象直觀密切的結(jié)合，調(diào)用代數(shù)與幾何的雙面工具，揭露問題的深層結(jié)構(gòu)，達(dá)到解題的目的，這種解題觀點(diǎn)叫數(shù)形結(jié)合思想。三種解題策略：（1）“以數(shù)解形”，即：幾何問題代數(shù)化；（2）“以形解數(shù)”，即：代數(shù)問題幾何化；（3）數(shù)形互解。注1：數(shù)形結(jié)合策略的關(guān)鍵之點(diǎn)是：構(gòu)

16、建數(shù)與形的對應(yīng)關(guān)系，發(fā)明數(shù)形結(jié)合的工具。注2：“數(shù)形結(jié)合”在“問題解決” 中有三個鮮明作用：猜想解題思路；簡化解法和直觀發(fā)現(xiàn)；驗(yàn)證和評價(jià)。例1 如果x,y滿足等式(x-y)2+y2=3,則yx的最大值是（ ）（A）12 (B) 23 (C)32 (D) 3AOPx y分析：待解問題是：yx=0-y0-x，具有直線l斜率的形式，可把它看成是(0,0)到動點(diǎn)P(x,y)的直線l的斜率，又因?yàn)辄c(diǎn)P(x,y)在圓(x-y)2+y2=3上，所以點(diǎn)P是直線l與圓的交點(diǎn)。借助幾何圖形知當(dāng)直線l圖1與圓相切時，其傾斜角最大，這時斜率也最大。解：設(shè)P(x,y)是圓上一點(diǎn)，直線OP為l，則當(dāng)直線l與圓相切時，斜率

17、最大：k1=yx最大，在RtOAP中：PA=3, OA=2, OP=4-3=1,所以k1=yxtanPOA=PA OA=3，選D。此題顯示了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)點(diǎn)，若直接計(jì)算是很困難的。2.坐標(biāo)法思想坐標(biāo)法是通過選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，建立數(shù)與形的對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)行數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化，從而實(shí)現(xiàn)問題解決的解題方法。下面研究坐標(biāo)法的一些具體方法和模式。例2 設(shè)a,b,cR+，且a+b+c=1，證明：1a+b+c3分析：若在不等式中含有：x1x2+y1y2+z1z2這樣的式子時可考慮向量的數(shù)量積。本題是否可以考慮向量的數(shù)量積呢？關(guān)鍵看是否可以把所證不等式中的式子a+b+c轉(zhuǎn)化成：x1x2+y1y2+z1z2的形式？（因

18、為：a+b+c=1a+1b+1c），以可以。證明：因?yàn)閍+b+c=1a+1b+1c具有向量的數(shù)量積形式。QP1yxz令OP=(a,b,c)，OQ=(1,1,1)，則OPOQ=a+b+c=OPOQcos=3a+b+ccos=3cos。（關(guān)鍵是確定的范圍，把P(a,b,c)點(diǎn)看成是動點(diǎn)，顯然0，又因?yàn)辄c(diǎn)Q(1,1,1)在第一圖2象限，所以O(shè)P與OQ都是第一象限的向量，所以O(shè)P與OQ的夾角不超過OQ與x軸的夾角。）又因?yàn)椴怀^向量OQ與x軸的夾角1，所以0<1，所以cos1coscos0=1，cos1=(1,0,0)(1,1,1)13=13。所以：133a+b+c3，所以：1a+b+c32.1

19、.3國內(nèi)外高考解析幾何研究國內(nèi)外，對高考解析幾何的研究，大多都集中在研究用解析幾何知識來解答解析幾何問題，向量方面的知識很少涉及，其中向量在解析幾何中的研究有文獻(xiàn)13，14，分別講解了向量在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用和空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，在一些國外中學(xué)數(shù)學(xué)競賽研究中，運(yùn)用向量相關(guān)知識解決解析幾何問題的也很多，而國內(nèi)對于高考解析幾何問題研究的比較徹底，比如文獻(xiàn)1-2給出了解析幾何問題的一些解題技巧和方法，文獻(xiàn)7-10給出了解決解析幾何問題的一些策略，但分類不夠詳細(xì)，查閱困難，更不方便使用，并且大多數(shù)教材及著作對高考解析幾何的研究只涉及到方法技巧而不注重思想，比如文獻(xiàn)13-16。2.2國內(nèi)外研究

20、現(xiàn)狀的評價(jià)目前，國內(nèi)外對解析幾何類問題的研究呈現(xiàn)出下面一些特點(diǎn)：（1）在文獻(xiàn)1,7,13,14,中對解析幾何的各種解題方法和技巧解決的比較徹底；（2）在文獻(xiàn)2,8,9,中對數(shù)學(xué)思想這方面滲透還略有不足；（3）在11,12，15中沒有詳細(xì)的分類，多數(shù)只針對方法或只針對技巧，沒有把數(shù)學(xué)思想及解題方法融合在一起形成一個融會貫通的知識系統(tǒng)。2.3提出問題基于“解析幾何類題目”的研究現(xiàn)狀，給高中學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何帶來極大的困難，使他們學(xué)到的知識缺乏有機(jī)的聯(lián)系，那么，如何讓高中學(xué)生系統(tǒng)完整的掌握解析幾何的思想方法，使之在應(yīng)用中游刃有余，筆者通過大量的文獻(xiàn)解讀研究、整理和歸納對這一問題進(jìn)行研究。3高考數(shù)學(xué)中解

21、析幾何問題的解題方法與技巧3.1高考應(yīng)試建議縱觀2015年全國各省市18套文、理高考試卷，普遍有一個規(guī)律：占分值接近一半的填空、選擇題難度不大，中等及偏上的學(xué)生能將對應(yīng)分?jǐn)?shù)收入囊中；而占分值一半偏上的解答題得分很不理想，其原因主要體現(xiàn)在以下幾個方面：（1）解析幾何的計(jì)算量相對偏大；（2）解析幾何是代數(shù)與幾何的完美結(jié)合，解析幾何的問題可以涉及函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何、數(shù)列、向量等知識，形成了軌跡、最值、對稱、范圍、參系數(shù)等多種問題，因而成為高中數(shù)學(xué)綜合能力要求最高的內(nèi)容之一；（3）在大家的“拿可拿之分”的理念下，大題的前三道成了兵家必爭之地，而排放位置比較尷尬的第21題和22題（有時20題

22、）就成了很多人遺忘的角落，加之時間的限制，此題留白的現(xiàn)象比較普遍。根據(jù)解析幾何的特點(diǎn)，建議在復(fù)習(xí)中做好以下幾個方面：由于高考中解析幾何內(nèi)容彈性很大。有簡單題，有中難題。因此在復(fù)習(xí)中基調(diào)為狠抓基礎(chǔ)。不能因?yàn)楦呖贾械慕獯痤}較難，就拼命地去搞難題，套新題，這樣往往得不償失；端正心態(tài)：不指望將所有的題攻下，將時間用在鞏固基礎(chǔ)、對付“跳一跳便可夠得到”的常規(guī)題上，這樣復(fù)習(xí)，高考時就能保證首先將選擇、填空題拿下，然后對于大題的第一個小問爭取得分，第二小題能拿幾分算幾分。明確題意、找到題目的突破口是順利完成解題過程的首要條件。全面審題需要做好審條件、審圖形、審結(jié)論這三個條件，同時還需要注意題目中所包含的隱含

23、條件。在實(shí)際的解題過程中，需將題干中的條件進(jìn)行逐一的轉(zhuǎn)化，向結(jié)論的方向進(jìn)行裝換，在此過程中也將結(jié)論做相應(yīng)的轉(zhuǎn)換，若在轉(zhuǎn)化過程中出現(xiàn)“對接”的現(xiàn)象，則可以輕松的找到問題的突破口。3.2高考核心考點(diǎn)1、理解基本概念（如直線的斜率、傾斜角、距離、截距等）。2、熟練掌握基本公式（如兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、斜率公式、定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式、到角公式、夾角公式等）。3、熟練掌握求直線方程的方法（如根據(jù)條件靈活選用各種形式、討論斜率存在和不存在的各種情況、截距是否為0等等）。4、在解決直線與圓的位置關(guān)系問題中，要善于運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)以減少運(yùn)算。5、熟悉圓錐曲線中基本量的計(jì)算。6、掌握與圓錐曲線有關(guān)的

24、軌跡方程的求解方法（如：定義法、直接法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法、交軌法、幾何法、待定系數(shù)法等）。7、掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的常見判定方法，能應(yīng)用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系解決一些常見問題。3.3常規(guī)題型方面3.3.1中點(diǎn)弦問題二次曲線上任意兩點(diǎn)間的線段稱做弦，用二次曲線的不垂直于x軸的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)可以表示該弦的斜率，像這種具有斜率的弦中點(diǎn)問題，通常采用設(shè)而不求的方法（點(diǎn)差法），設(shè)曲線上兩點(diǎn)為(x1,y1)，(x2,y2)，代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點(diǎn)關(guān)系及斜率公式，消去四個參數(shù)。例3 給定雙曲線x2-y22=1，過A(2,1)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P1及P2，求線段P1、P2的中點(diǎn)P的軌

25、跡方程。解：把P1(x1,y1)，P2(x2,y2)代入方程得x12-y122=1 , x22-y222=1。兩式相減得：x1+x2x1-x2-12y1+y2y1-y2=0又設(shè)中點(diǎn)P(x,y)，將x1+x2=2x，y1+y2=2y代入， 當(dāng)x1x2時得：2x-2y2y1-y2x1-x2=0又k=y1-y2x1-x2=y-1x-2代入得 2x2-y2-4x+y=0當(dāng)弦P1P2斜率不存在時，中點(diǎn)P(2,0)的坐標(biāo)也滿足上述方程。因此所求軌跡方程是2x2-y2-4x+y=0注意：本題要注意思維的嚴(yán)密性，必須單獨(dú)考慮斜率不存在時的情況。3.3.2焦點(diǎn)三角形問題已知橢圓或雙曲線上一點(diǎn)P，與兩個焦點(diǎn)F1、

26、F2構(gòu)成的三角形問題，經(jīng)常用正弦、余弦定理搭橋。 例4 設(shè)P(x,y)為橢圓x2a2+y2b2=1上任一點(diǎn)，F(xiàn)1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)為焦點(diǎn)，PF1F2=，PF2F1=。（1）求證離心率e=sin(+)sin+sin；（2）求|PF1|3+|PF2|3的最值。解:（1）設(shè)PF1=r1，PF2=r2，由正弦定理得：r1sin=r2sin=2csin(+) 即得：r1+r2sin+sin=2csin(+)即證：e=ca=sin(+)sin+sin （2）又(a+ex)3+(a-ex)3=2a36ae2x2當(dāng)x=0時，最小值是2a3；當(dāng)x=±a 時，最大值是2a3+6e2a3。3.3

27、.3直線與圓錐曲線問題直線與圓錐曲線問題主要涉及的是：1直線與圓錐曲線有無公共點(diǎn)或有幾個公共點(diǎn)的問題，同時求參數(shù)取值范圍，大部分是求直線斜率k的取值范圍，而實(shí)際上這類問題是研究直線與圓錐曲線方程組成的方程組，聯(lián)立解得的一元二次方程是否有實(shí)數(shù)解或?qū)崝?shù)解的個數(shù)問題，此時要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法。2當(dāng)直線與圓錐曲線相交的弦長問題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(即應(yīng)用弦長公式)；而涉及弦長的中點(diǎn)問題，常用“差分法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化。同時還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍。3在解決直線與圓錐曲線問題時，

28、不要忽略圓錐曲線的幾何性質(zhì)，很多問題可以通過代數(shù)與幾何相結(jié)合可以直接解答。例5已知雙曲線C：2x2-y2=2過點(diǎn)P(1,2)(1)求過P(1,2)點(diǎn)的直線l的斜率取值范圍，使l與C分別一個點(diǎn)，兩個交點(diǎn)，沒有交點(diǎn)。(2)若P(1,1)，試判斷以Q為中點(diǎn)的弦是否存在。分析：涉及弦長的中點(diǎn)問題，常用“差分法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化本題涉及二次方程根的個數(shù)的判定、兩點(diǎn)連線的斜率公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式。解：(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時，l的方程為x=1,與曲線C有一個交點(diǎn)。當(dāng)l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y-2=k(x-1),代入C的方程，并整理得： 2-k2x2+2

29、k2-2kx-k2+4k-6=0 (1)()當(dāng)2-k2=0,即k=±2時，方程(1)有一個根，l與C有一個交點(diǎn)()當(dāng)2-k20,即k±2時,=2(k2-2k)2-42-k2-k2+4k-6=16(3-2k)當(dāng)=0,即3-2k=0,k=32時，方程(1)有一個實(shí)根，l與C有一個交點(diǎn)。當(dāng)>0,即k<32,又k±2,故當(dāng)k<-2或-2<k<2或2<k<32時，方程(1)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，l與C有兩個交點(diǎn)。<0當(dāng)，即k>32時，方程(1)無解，l與C無交點(diǎn)。綜上所述：當(dāng)k±2,或k=32，或k不存在時，l

30、與C只有一個交點(diǎn)；當(dāng)2<k<32,或-2<k<2,或k<-2時，l與C有兩個交點(diǎn)；當(dāng)k>32時，l與C沒有交點(diǎn)。(2)假設(shè)以Q為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)為AB，且A(x1,y1),), B(x2,y2)，2x12-y12=2,2x22-y22=2 兩式相減得：2x1-x2x1+x2=(y1-y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=22x1-x2=y1-y2即kab=y1-y2x1-x2=2但漸近線斜率為±2,結(jié)合圖形知直線AB與C無交點(diǎn)，所以假設(shè)不正確，即以Q為中點(diǎn)的弦不存在。3.3.4軌跡問題求動點(diǎn)的軌跡是圓錐曲線問題中的基本問題：1.動點(diǎn)問題

31、是通過對圓錐曲線定義的理解，我們可以確定曲線是橢圓、雙曲線還是拋物線，那么我們可以通過上面所說的待定系數(shù)法、定義法來解決問題， 2.不確定曲線形狀，我們可以用相關(guān)點(diǎn)法，即根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動點(diǎn)的軌跡方程，或者參數(shù)法，即設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)中的x,y分別隨另一變量t的變化而變化，我們可以以這個變量t為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程，現(xiàn)舉一些相關(guān)點(diǎn)法的例子。例6 已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動點(diǎn)，滿足APB=90°，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程。分析：對較復(fù)雜的軌跡方程類問題，可先確定一個較易于求得的點(diǎn)的軌跡方程，然后再以此點(diǎn)作為主動點(diǎn)，

32、以所求的軌跡上的點(diǎn)為相關(guān)點(diǎn)，求得軌跡方程，對于本題可以先建立線段AB中點(diǎn)的軌跡方程。解：設(shè)AB的中點(diǎn)為R，坐標(biāo)為(x,y)，則在直角ABP中，AR=|PR|。又因?yàn)镽是弦AB的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理：在直角OAR中， |AR|2=|AO|2-OR2=36-(x2+y2) 又|AR|=|PR|=(x-4)2+y2有(x-4)2+y2=36-(x2+y2),圖3即x2+y2-4x-10=0 因此點(diǎn)R在一個圓上，所以當(dāng)R在此圓上運(yùn)動時，Q點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動。設(shè)Q(x,y)，R(x1,y1)，因?yàn)镽是PQ的中點(diǎn)，所以x1=x+42,y1=y+02代入方程x2+y2-4x-10=0,整理得：x2+y2=

33、56,這就是所求的軌跡方程。例7 已知ABC中，三邊依次構(gòu)成等差數(shù)列，a>c>b,AB=2，求頂點(diǎn)C的軌跡方程。分析：對于這類題中沒有明確的信息告訴我們是什么曲線，我們可以通過對圓錐曲線的定義的深刻理解，了解圓錐曲線定義的本質(zhì)，使問題獲得簡捷的解法，回到定義，理解定義，對于本題我們要恰當(dāng)?shù)慕⒆鴺?biāo)系，通過對定義的理解，可知頂點(diǎn)C的軌跡為橢圓的一部分。CByxOA解：如右圖，以直線AB為軸，線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系。由題意得：a,b,c構(gòu)成等差數(shù)列，圖42c=a+b 即CA+CB=2,AB=4，又CB>|CA|， C的軌跡為橢圓的左半部分。在此橢圓中，a'=2

34、,c'=1,b'=3，故的軌跡方程為x24+y23=1(x<0,x-2)注意：定義是對數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性的概括，只有深刻地理解概念的本質(zhì)，才能靈活運(yùn)用它來簡化解題過程。如能回到定義，則常常能使問題獲得簡捷的解法，波利亞就曾提倡“回到定義”。3.3.5兩線段垂直問題圓錐曲線的兩條焦半徑互相垂直問題，常用k1k2=y1y2x1x2=-1來處理或用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來處理。例8 已知直線的斜率為，且過點(diǎn)P(-2,0),拋物線C:y2=4(x+1)，直線與拋物線C有兩個不同的交點(diǎn)。（1）求k的取值范圍；（2）直線的傾斜角為何值時，A、B與物線C的焦點(diǎn)連線互相垂直。解：（1）直線y=k

35、(x+4)代入拋物線方程得:k2x2+4k2-4x+4k2-4=0，由>0，得-1<k<1(k0)。（2）由上面方程得x1x2=4k2-4k2， y1y2=k2x1+2x2+2=4，焦點(diǎn)為O(0,0)。由kOAkOB=y1y2x1x2=k2k2-1=-1，得：tan=±22, =arctan22或=-arctan22圖53.3.6存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱問題在曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對稱問題，可以按如下方式分三步解決：求兩點(diǎn)所在的直線，求這兩直線的交點(diǎn)，使這交點(diǎn)在圓錐曲線形內(nèi)。（也可以利用韋達(dá)定理結(jié)合判別式來解決）。例9 已知橢圓C的方程x24+y23=1 ，試確定m的取值

36、范圍，使得對于直線y=4x+m，橢圓C上有不同兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱。解：橢圓上兩點(diǎn)x1,y1,(x2,y2),代入方程，相減得:3x1+x2x1-x2+4y1+y2y1-y2=0又x=x1+x22,y=y1+y22,k=y1-y2x1-x2=-14,代入得：y=3x。又由y=3xy=4x+m解得交點(diǎn)(-m,3m)。又交點(diǎn)在橢圓內(nèi)，則有(-m)24+(-3m)23<1,得-21313<m<21313。3.3.7圓錐曲線的有關(guān)最值（范圍）問題求最值是解析幾何的一類重要題型，它涉及到代數(shù)、三角、幾何等方面的知識，綜合性強(qiáng)，方法靈活，圓錐曲線中的有關(guān)最值（范圍）問題，常用代數(shù)法和幾何法解

37、決。(1)若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來解決。(2)若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標(biāo)函數(shù)（通常利用三角函數(shù)，二次函數(shù)，均值不等式）求最值。例10 已知拋物線y2=2px(p>0)，過M(a,0)且斜率為1的直線l與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，|AB|2p。（1）求a的取值范圍；（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求NAB面積的最大值。分析：這是一道直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題，對于（1），可以設(shè)法得到關(guān)于a的不等式，通過解不等式求出a的范圍，即“求范圍，找不等式”?；蛘邔表示為另一個變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出a的范圍；對于（2）

38、首先要把NAB的面積表示為一個變量的函數(shù)，然后再求它的最大值,即“最值問題，函數(shù)思想”。解：(1)直線l的方程為：y=x-a,將 y=x-a代入拋物線方程y2=2px得：設(shè)直線l與拋物線兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為Ax1,y1,B(x2,y2)，則4a+p-4a2>0x1+x2=2a+px1x2=a2,又y1=x1-a,y2=x2-aAB=x1-x22+y1-y22=2(x1+x2)2-4x1x2=8pp+2a 0<AB2p,8pp+2a>0,0<8pp+2a2p,解得:-p2<a-p4 。(2)設(shè)AB的垂直平分線交AB與點(diǎn)Q，令其坐標(biāo)為(x3,y3)，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：

39、x3=x1+x22=a+p,y3=y1+y22=x1-a+(x2-a)2=p所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2,又MNQ為等腰直角三角形，所以QM=QN=2P，所以SNAB=12ABQN=22pAB22p2p=2p2,即NAB面積的最大值為2p2。3.3.8圓錐曲線幾何性質(zhì)的問題圓錐曲線都有特定的幾何性質(zhì)，我們可以通過曲線的方程來討論曲線的幾何性質(zhì)，通過代數(shù)方法來了解曲線的幾何性質(zhì)，同時如果能很好的利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)，那么對于求參數(shù)和離心率的取值范圍有很大幫助。例11 設(shè)F1、F2為橢圓x29+y24=1 的兩個焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，已知P、F1、F2是一個直角三角形的

40、三個頂點(diǎn)，且|PF1|>|PF2|，求|PF1|PF2| 的值。解析：分析橢圓的幾何性質(zhì)可知，F(xiàn)1不是直角頂點(diǎn)，所以只要對P、F2中哪一個是直角頂點(diǎn)分兩種情況即可。解法1：由已知，|PF1|>|PF2|，PF1+PF2=6,F1F2=25，若PF1F2為直角，則|PF1|2=|PF2|2+F1F22 (2.1)可解得：PF1=143，PF2=43，這時PF1PF2=72若F2PF1為直角，則|PF1|2+|PF2|2=F1F22 (2.2)可解得：PF1=4，PF2=2，這時PF1PF2=2解法2：由橢圓的對稱性，不妨設(shè)Px,y其中x>0,y>0, F1-5,0,F25

41、,0。若PF2F1為直角，則P(5,43),這時PF1=143，PF2=43，這時PF1PF2=72。若PF2F1為直角，則由x29+y24=1yx+5yx-5=-1 (2.3)解得：P(355，455)于是PF1=4，PF2=2，這時PF1PF2=2注意：由橢圓的方程，我們應(yīng)熟練準(zhǔn)確地寫出其幾何性質(zhì)（如頂點(diǎn)，焦點(diǎn)，長、短軸長，焦距，離心率，焦半徑等）是應(yīng)對考試必備的基本功，同時應(yīng)注意對圓錐曲線的對稱性的應(yīng)用。3.4解題技巧方面3.4.1充分利用韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”的策略我們通過設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)而不求它，并結(jié)合韋達(dá)定理來求解，這種方法在有關(guān)斜率、中點(diǎn)等問題中經(jīng)常用到。例12 已知中心在原點(diǎn)O

42、，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓與直線 y=x+1相交于P、Q兩點(diǎn),且OPOQ ,PQ=102,求橢圓的方程。解：設(shè)橢圓方程為ax2+by2=1(a>b>0),直線y=x+1與橢圓相交于Px1,y1、Q(x2,y2)兩點(diǎn)。由方程組y=x+1ax2+by2=1 消去y后得a+bx2+2bx+b-1=0x1+x2=-2ba+b,x1x2=b-1a+b 由kOPkOQ=-1,得y1y2=-x1x2 (1)又P、Q在直線y=x+1上，所以有y1=x1+1 y2=x2+1 y1y2=x1+1x2+1=x1x2+x1+x2+1 (2)把(1)代入（2），得2x1x2+x1+x2+1=0,即2(b-1)a+

43、b-2ba+b+1=0化簡后，得：a+b=2 （3）由PQ=102,得：(x1-x2)2+(y1-y2)2=52(x1-x2)2=54,(x1+x2)2-4x1x2=54,(2ba+b)2-4b-1a+b=54 (4)把(3)代入（4），得4b2-8b+3=0,解得b=12或b=32 (5)把(5)代入(3)后,解得a=32或a=12由a>b>0,得a=32,b=12所求橢圓方程為3x22+y22=1注意：此題充分利用了韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”的策略，簡化了計(jì)算。3.4.2用公式法和待定系數(shù)法求直線的方程類問題已知直線上的兩點(diǎn)或一點(diǎn)和直線的傾斜角都可以確定一條直線，若給定直線的斜率為

44、k，且經(jīng)過直線上任意一點(diǎn)P(x0,y0),則直線的點(diǎn)斜式方程為y-y0=k(x-x0),若給定直線上兩點(diǎn)P1x1,y1,P2x2,y2,則直線的兩點(diǎn)式方程為 y-y1y2-y1=x-x1x2-x1(x1x2,y1y2)，若給定直線的斜率為k,且與y軸交點(diǎn)為（0，b），則直線截距式方程為y=kx+b,對于給定了確定條件的問題，我們可以直接把已知帶入公式求出方程，當(dāng)然我們也可以用待定系數(shù)法求解,即將兩點(diǎn)代入方程y=kx+b,一般直線要寫成直線的一般式方程為Ax+By+C=0。例13 已知直線經(jīng)過A(1,2)，B(3,4)兩點(diǎn)，求直線方程？解法1：將A、B兩點(diǎn)帶入直線方程y-y1y2-y1=x-x1

45、x2-x1 ，得到直線上的兩點(diǎn)式方程y-22=x-12 ，化簡可得直線的一般式方程x-y+1=0。解法2：將A、B兩點(diǎn)帶入方程y=kx+b，組成方程組，解得直線方程為x-y+1=0。3.4.3用代數(shù)法解決直線間的距離、平行、垂直類問題直線間的距離、平行、垂直問題，通常我們要求出直線方程，利用直線方程求解幾何關(guān)系。例14 經(jīng)過點(diǎn)A(-1,2),B(1,2),經(jīng)過點(diǎn)M(-2,-1)，N(2,-1)，求l1l2的位置關(guān)系？分析：兩直線的斜率為k1、k2，若k1k2=-1,則兩直線垂直,若k1=k2，則兩直線平行，本題要先利用兩點(diǎn)式求出兩直線方程，然后通過兩直線斜率的關(guān)系確定直線的位置關(guān)系，將幾何問題

46、代數(shù)化，是解析幾何的重要應(yīng)用。解：由題意得，l1方程為y-2x-1=2-(-2)1-(-1),即y=2x+1,l2的方程為y-1x-2=-1-(-1)2-(-2),即y=-12x-1所以k1k2=-1,即兩直線垂直。注意：幾何的距離問題應(yīng)用解析幾何轉(zhuǎn)化為代數(shù)求解，思路簡單，計(jì)算方便。3.4.4直線交點(diǎn)及直線系問題對于直線交點(diǎn)的求法，一般是將兩直線方程組成方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)榻稽c(diǎn)是同時滿足兩個直線方程的，而直線系是指過滿足條件的一族直線，如平行直線系：與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程式為：Ax+By+C1=0 (C1為參數(shù)且C1C)，垂直直線系：與直線Ax+By+C=0垂直的直線系

47、方程式為: Bx-Ay+C2=0（C2為參數(shù)）。例15 求過點(diǎn)P(2,3)且與2x+y-5=0平行的直線方程解：設(shè)所求直線方程為2x+y+C=0,且過P點(diǎn),所以直線方程為2x+y-7=0。注意：本題若用常規(guī)方法需要求出斜率，應(yīng)用點(diǎn)斜式，求方程，較繁復(fù)，如果利用直線系則較為簡單。3.4.5運(yùn)用共交點(diǎn)的曲線系方程解析幾何中，有大量的過兩曲線的交點(diǎn)的第三曲線的問題，這些問題如果運(yùn)用共交點(diǎn)的曲線系方程，就可以得到簡捷的解題方法，從而可以避免求曲線的交點(diǎn)，減少計(jì)算量。例16 求經(jīng)過兩圓C1:x2+y2+6x-4=0和C2:x2+y2+6y-28=0的交點(diǎn)，并且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程。解：設(shè)

48、經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的曲線系方程為：x2+y2+6x-4+x2+y2+6y-28=0 即1+x2+1+y2+6x+6y-28+4=0 則所求圓的圓心為(-31+,-31+) 圓心在直線x-y-4=0上 -31+31+-4=0,=-7故所求圓的方程為-6x2-6y2+6x-42y+192=0即x2+y2-x+7y-32=0注意：此題因利用曲線系方程而避免求曲線的交點(diǎn)，故簡化了計(jì)算。3.4.6進(jìn)行某些適當(dāng)?shù)拇鷵Q如果我們能充分挖掘題設(shè)條件的特點(diǎn)，得出和欲求量相關(guān)的代數(shù)式，進(jìn)行代換，往往可達(dá)到不求交點(diǎn)而直接求出結(jié)果的目的。例17 證明：橢圓x225+y29=1和雙曲線x2-15y2=15在交點(diǎn)處的切線互相垂直

49、。證明;設(shè)橢圓和雙曲線的交點(diǎn)為(x0,y0),則過此交點(diǎn)的兩條曲線的切線方程分別為: l1:9x0x+25y0y=225, l2:x0x-15y0y=15所以橢圓和雙曲線在點(diǎn)(x0,y0)處的切線的斜率k1、k2分別等 k1=-9x025y0,k2=-x015y0 k1k2=-925×15x02y02 (1)交點(diǎn)(x0,y0)同時在兩條曲線上，9x02+25y02=225 x02-15y02=15 消去這兩個方程中的常數(shù)項(xiàng)，得x02y02=1253 (2)把(2)代入(1),得k1k2=-925×151253=-1 l1l2,即兩條曲線交點(diǎn)處的兩條切線互相垂直。4向量在解析

50、幾何問題中的應(yīng)用向量是溝通代數(shù)、幾何的一種工具，將代數(shù)運(yùn)算引進(jìn)到了幾何中，我們首先在空間引入向量及其線性運(yùn)算用有向線段作為向量的幾何表示，并通過向量來建立坐標(biāo)系9，在空間坐標(biāo)系中，我們給出向量和點(diǎn)的坐標(biāo)表示，而且向量運(yùn)算可以歸結(jié)為數(shù)字的運(yùn)算，這樣，使得幾何中的平行、夾角、垂直、全等、相似、共線、軌跡等問題坐標(biāo)化符號化、數(shù)量化，也就是通過向量和方程來研究幾何圖形的性質(zhì)，這種方法叫做向量法，10向量與解析幾何相互聯(lián)系，緊密結(jié)合。例18 已知動圓過定點(diǎn)P(1,0)，且與定直線l:x=-1 相切，點(diǎn)C在l上。（1）求動圓圓心的軌跡M的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)P,且斜率為-3的直線與曲線M相交于A，B兩點(diǎn)。(

51、i)問ABC能否為正三角形?若能,求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能,說明理由；(ii)當(dāng)ABC為鈍角三角形時,求點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍。解：（1）依據(jù)題意,曲線M是以點(diǎn)P為焦點(diǎn),直線l為準(zhǔn)線的拋物線,所以曲線M的方程為y2=4x。（2）(i)由題意得,直線AB的方程為y=-3(x-1)，由y=-3(x-1)y2=4x 消去y得3x2-10x+3=0,解得：x1=13x2=3所以A為 (13,233),B為 (3,-23)，設(shè)C(-1,y),則AB=(83,-833),AC=(-43,y-233),CB=(4,-y-23)，假設(shè)存在點(diǎn)C(-1,y),使ABC為正三角形，則由AB=|BC|且AB與CB的夾角為

52、60°，得： (83)2×4=42+(-y-23)212=83×4+833(y+23)163×163 此方程組無解，故不存在點(diǎn)C使ABC為正三角形。(ii)解法1：若ABC為鈍角，則ABCB<0,易求得y<-1033；圖6若BAC為鈍角，則ABAC<0,即83×-43-833y-233<0,易求得y>239；若ACB為鈍角，則ACCB>0,有y2+433y+43<0無解，又當(dāng)y=23時，A、B、C三點(diǎn)共線，故當(dāng)ABC是鈍角三角形時，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍是y<-1033或y>239且y23。

53、解法2： AB=x1+x2+2=163 設(shè)C(-1,y)使ABC成鈍角三角形，由y=-3x-1x=-1解得y=23即當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1,23)時，A，B，C三點(diǎn)共線，故y23又|AC|2=(-1-13)2+(y-233)2=289-43y3+y2，|BC|2=(3+1)2+(y+23)2=28+43y+y2，|AB|2=(163)2=2569當(dāng)|BC|2>|AC|2+|AB|2，即28+43y+y2>289-43y3+y2+2569，即y>293時CAB為鈍角。 當(dāng)|AC|2>|BC|2+|AB|2，即289-43y3+y2>28+43y+y2+2569，即y&

54、lt;-1033時CBA為鈍角。又|AB|2>|AC|2+|BC|2，即2569>289-43y3+y2+28+43y+y2，即y2+433y+43<0,(y+23)2<0。該不等式無解，所以ACB不可能為鈍角。因此，當(dāng)ABC為鈍角三角形時，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是y<-1033或y>239且y235 解析幾何思想在立體幾何問題中的應(yīng)用立體幾何是抽象的，需要很強(qiáng)的空間想象能力，主要包括位置關(guān)系類問題如：線線垂直，線面垂直，線線平行，線面平行；度量問題：包括點(diǎn)到線、點(diǎn)到面的距離，線與線、線與面所成角，面面所成角等，通過坐標(biāo)系將向量坐標(biāo)化，我們將解析幾何中的坐

55、標(biāo)法應(yīng)用于立體幾何，可以將這些抽象的幾何問題轉(zhuǎn)化為具體的代數(shù)運(yùn)算，解決立體幾何中的垂直、平行、角的大小、距離等問題。用坐標(biāo)法解決立體幾何問題，首先需要建立空間直角坐標(biāo)系，建立坐標(biāo)系時，要注意當(dāng)圖形中有明顯互相垂直且交于一點(diǎn)的三條直線，可以利用這三條直線直接建系，應(yīng)遵循讓盡量多的幾何點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，以便于寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用坐標(biāo)表示向量，很多涉及到平面的問題還需要求平面的法向量，最后利用向量運(yùn)算解決幾何問題。例19 如圖，四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,平面PAB平面ABCD,PA=PB,M為PC上的點(diǎn),MB平面PAC。（1）平面ABC與平面PAC夾角的正弦值； （2）求點(diǎn)D到平面PAC的距離。圖7 分析：本題首先應(yīng)建立平面直角坐標(biāo)系，圖形中沒有明顯交于一點(diǎn)的三條直線，但是有兩個互相垂直的平面，可以利用面面垂直的性質(zhì)定理，作出互相垂直且交于一點(diǎn)的三條直線，建立坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，將向量用坐標(biāo)表示，求出兩平面的法向量，然后利用向量運(yùn)算求出夾角正弦值和距離。解：平面PAB平面ABCD,作POAB,則PO平面ABCD，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖6所示的空間坐標(biāo)系：設(shè)PO=t,PM=PC,則P0,0,t,A0,-1,0,B0,1,0,