HPM視角下一元二次方程的解法教學設計

1、HPM視角下一元二次方程的解法教學設計一、一元二次方程的發(fā)展史一元二次方程及其解法最早出現(xiàn)在公元前兩千年左右的古巴比倫人的泥板文書中：已知兩數(shù)的和與積求此兩數(shù)，用現(xiàn)代的代數(shù)語言來敘述就是“已知兩數(shù)p和q,xy=q,x+y=p，求x,y”。巴比倫人用以下五個步驟求這兩個數(shù)：取p的一半，將此數(shù)平方，從中再減去q,對所得結果開平方，再加p的一半得出所求兩數(shù)中的一數(shù)，從p中減去這個數(shù)得出另一數(shù)。用現(xiàn)代代數(shù)語言來寫，就是x=J()2-q+,y=px。但因為那個時代還沒有負數(shù)的概念，巴比倫人還不能把所有二次方程都化為正規(guī)形式，也將負根的問題略而不提。到公元 6 6 世紀，印度天文學家、數(shù)學家阿耶波多得出了

2、二次方程求根公式。在 7 7 世紀的時候，印度數(shù)學家婆羅摩笈在婆羅摩正體系中提到：把常數(shù)項放在未知數(shù)的平方項和一次項的另一邊；將常數(shù)項乘以平方項的系數(shù)的 4 4 倍，加上中項的系數(shù)的平方，所得結果的平方根減去中項系數(shù)，再除以平方項的系數(shù)的 2 2 倍，就是中項的值。如果用現(xiàn)代代數(shù)符號來-bb24ac表示，即若方程是ax2+bx=c,則x的值是b三。到了中世紀，阿拉伯數(shù)學家2a花拉子米在他的代表作代數(shù)學中給出了一元二次方程的一般解法，并用幾何方法進行了證明。到了 1212 世紀，印度數(shù)學家婆什伽羅給方程給出了一元二次方程的求根公式-b一.b2-4acx=,同時確7E了二次萬程有兩個根，也就承認了

3、負根的存在。2a我國對一元二次方程的研究同樣歷史悠久，早在公元前 4 4、5 5 世紀時，就掌握了一元二次方程的求根公式。數(shù)學名著九章算術中“勾股”章第二十題以及張邱建算經中都有關于一元二次方程解法的講解。除了傳統(tǒng)的算術方法，歷史上還有一些方法賦予了一元二次方程解法的幾何意義。這種用幾何的方法解決代數(shù)問題，或者用代數(shù)的方法解決幾何問題。在數(shù)學中被稱為數(shù)形結合，是一種數(shù)學思想方法。用幾何方法解一元二次方程的方法很多，總結起來一般是利用坐標與圓、拋物線、雙曲線之間的位置關系來確定解，或者正方形邊長和面積的關系來求解。如早在我國古代三國時期，數(shù)學家趙爽就給出一元二次方程的幾何解法如下：若計算一元二次

4、方程x2+2x35=0,如下圖,構造一個邊長為x+x+2的正方形，則其面積為(x+x+2)2,由圖可知，大正方形是由四個長為x+2，寬為x的矩形及一個邊長為 2 2 的小正方形組成的，所以大正方形的面積又可以表示為4(x+2)x+22=4父35+4=144,所以(x+x+2)2=144,因為x表示邊長，所以x=5=5。趙爽的解法是把方程匯總含有未知數(shù)的項x2+2x=x(x+2)看作是矩形的面積，然后用四個這樣的矩形及一個長為 2 2 的正方形組成邊長為x+x+2的大正方形，再根據(jù)面積關系求解。二、教材分析一元二次方程在初中數(shù)學教育中的重要地位不言而喻，那么一元二次方程的解法自然也應該是教學重點

5、。新課標中，一元二次方程的解法在八年級下冊。解一元二次方程的基本策略是將其轉化為一元一次方程，即降次。教材中關于解法的介紹有四種：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法。解法的講解是整章的重點，直接開平方法適用于一些簡單的一元二次方程，對于比較復雜的一元二次方程，通過對比已變?yōu)橥耆椒绞降姆匠?，使學生認識配方法的基本原理并掌握具體方法，以配方法為基礎推到一元二次方程的求根公式，于是得到公式法。配方法在數(shù)學中是一種很重要的數(shù)學變形，它隱含了創(chuàng)造條件實現(xiàn)化歸的思想，這種思想對培養(yǎng)學生的數(shù)學思維有很大的影響，在教學中應予以充分的重視。配方法不僅僅是解一元二次方程的基本方法，而且也是學習二次函數(shù)等其

6、他數(shù)學內容的重要基礎知識。因此，本節(jié)課的內容處于教材的重要位置，應重點講解。1 1 .教學重點：利用配方法解簡單的一元二次方程。2 2 .教學難點：通過配方法把一元二次方程轉化為的形式，使學生認識配方法的基本原理并掌握具體方法，以配方法為基礎推到一元二次方程的求根公式，于是得到公式法。三、教學目標分析1 1 .知識與技能目標：理解并掌握用配方法解簡單的一元二次方程。2 2 .過程與方法目標：理解配方法的思想方法；體會數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，感受數(shù)學中數(shù)與形的完美結合，感受數(shù)學的和諧美和文化價值。3 3 .情感與態(tài)度目標：通過師生的共同活動，培養(yǎng)學生積極參與、主動探索的精神；在探索中尋找解決問題

7、的方法和途徑，從而不斷拓展學生的數(shù)學思維。四、學情分析在前一節(jié)學習了簡單的一元二次方程的概念及一般形式的一元二次方程的表示形式，在此基礎上，本節(jié)課開始討論比較復雜的一元二次方程的解法，通過與已變?yōu)橥耆椒绞降姆匠踢M行對比，使學生對配方法的基本原理有所認識，并通過配方法推導出公式法，想達到如此其實難度不大，但如何高效地讓學生理解方程的求解方法，并將幾種方法聯(lián)系起來，最后達到熟練應用的程度，對學生來說有一定的難度。五、設計意圖分析首先，古代一元二次方程的解法中很重要的一部分是體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想，在教學中滲透數(shù)學結合的思想能夠有效的培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，有利于學生對數(shù)學知識的理解；其次，教師在教

8、學時適當?shù)慕榻B歷史上的解法，能夠開闊學生的視野；同時對照現(xiàn)行新教材中的四種解法，引導學生靈活運用不同的解法，是鍛煉學生數(shù)學能力的好方法；最后，在這漫長的發(fā)展過程中，數(shù)學家們不斷探索，孜孜不倦的精神能給學生以正面影響，幫助學生樹立正確的數(shù)學觀，有利于學生形成理性的人格。六、教學設計過程1.創(chuàng)設情境，引出課題.一.一、一.3在巴比倫泥版上有著這么一個問題：正方形面積與邊長之和為3 3, ,求邊長。能不能根4據(jù)此問題列出方程。用我們今天的字母符號來表達，這個問題相當于求解一元二次方程23xx二一4那么，如何對這個方程進行求解呢？古巴比倫祭司給出的解法是：半。將0;300;30自乘,得0;0;1515

9、。將0;150;15與0;450;45相加,得 1 1 的平方。，一一.3.如圖 4 4 所不，邊長未知的正方形與長為 1 1 的矩形合成一個大長方形，其面積為-;從4、.、1*一，1，長為 1 1 的長方形中割去一半，并移置于正方形下方，得一矩尺形；補上一個邊長為-的小2123123正萬形，矩尺形就變成了大正萬形，其面積為（）2+,邊長為（一）2+。因此所求正241241.231萬形邊長為J（2）+公一鼻。這個配方過程用今天的代數(shù)符號表示，就是232112123xx_-x2x(-)=-()42224“寫下系數(shù) 1 1。將 1 1 折從 1 1中減去0 0; ;3030, ,二(xJ)2=(J

10、)2322412312422 2.自主探究，探索新知阿拉伯數(shù)學家花拉子米也對一元二次方程的解法進行了探究，并取得相當大的成就。在花拉子米的著作代數(shù)學中，他巧妙地運用了類似的幾何方法對一元二次方程進行求解，同學們一起來思考以下一元二次方程：x210 x=3955x25x5通過幾何圖形，我們可以這樣求解：x210 x=39=x2+10 x+(10/2)2=39+25_2-=x5=64=x=3那如果一元二次方程是這種形式，該如何求解？x2px=q可以進行類似變換：x2px=q=x2+px+(p/22=q+(p/2f=(x+p/2)2=(p/2)+q=x=y/(p/22+q-p/2那如果是一般形式的一元二次方程：ax2+bx+c=0(a#0),發(fā)現(xiàn)有何聯(lián)系？又有何區(qū)別？進行小組探討。利用上述方法的推導，我們可以得出以下結論：3 3 .學以致用解下列一元二次方程：(1) 2x24x-3=04 4 .歸納總結引導學生歸納總結本節(jié)課所學要點。5 5 . .布置作業(yè)完成課后習題七、小結本節(jié)課對教材的處理上，注重新理念的實施，同時也考慮到傳統(tǒng)教學優(yōu)勢的傳承，使自主探究、合作交流的學習方式與數(shù)學基礎知識、基本技能的牢固掌握、靈