X射線衍射分析05

1、第三節(jié)X射線衍射分析X射線衍射法是獲取物質(zhì)中結構信息的重要研究方法之一,在研究高分子材料的固態(tài)結構,尤其是研究晶體內(nèi)在結構方面顯示出諸多優(yōu)勢.在紡織材料的研究中,X射線衍射學有著廣泛的應用,如鑒別纖維,測定晶體結構,研究晶體的完善性及測定晶體取 向及顆粒大小分析等.一、X射線的性質(zhì)德國物理學家倫琴偶然發(fā)現(xiàn)了非可見,但能使照相底片感光,使熒光物質(zhì)發(fā)光,并 有極大穿透水平的射線,即 X射線.1912年,勞厄等人利用晶體作為天然光柵,發(fā)現(xiàn) 了晶體的X射線衍射現(xiàn)象,并確定了 X射線的電磁波性質(zhì)波長范圍100埃0.01埃.X射線具有波長短,光子能量大兩個根本特性,所以, X射線與物質(zhì)相互作用時產(chǎn) 生的效

2、應和可見光完全不同,在物質(zhì)的微觀結構中,原子和分子的距離110埃左右 正好落在X射線的波長范圍內(nèi),所以物質(zhì)特別是晶體對 X射線的散射和衍射能夠 反映豐富的微觀結構信息,因此,X射線衍射方法是當今研究物質(zhì)微觀結構的主要方法.X射線的產(chǎn)生,通常是用高速電子束轟擊陽極靶面,如果能量足夠高,靶內(nèi)一些原 子的內(nèi)層電子會被轟出,使原子處于能級較高的非穩(wěn)定激發(fā)態(tài),內(nèi)層軌道上的空位將被 離核更遠軌道上的電子所補充,從而使原子能級降低,這時,多余的能量便以光子的形 式輻射出來,產(chǎn)生了 X射線,用照相底片或計數(shù)管能定量地測出它的強度.從X射線管中產(chǎn)生的X射線具有較寬的波長分布,X射線譜分連續(xù)X射線譜和特 征X射線

3、譜兩局部.連續(xù)光譜又稱為“白色 X射線,包含了從短波限入m開始的全部波長,其強度隨 波長變化連續(xù)地改變,從短波限開始隨著波長的增增強度迅速到達一個極大值,之后逐 漸減弱趨向于零,連續(xù)光譜的短波限 入m只決定于X射線管的工作高壓.特征X射線譜是在連續(xù)譜的根底上產(chǎn)生的,它由一定波長的假設干X射線譜組成.如果在X射線管中保持電流一定,將管電壓逐漸增加,那么在連續(xù)譜的根底上產(chǎn)生波長一 定的譜線,構成特征X射線譜.通常將開始產(chǎn)生標識譜線的臨界電壓稱為激發(fā)電壓.當電壓繼續(xù)增加時,標識譜線的波長不變,只是強度相應地增加.特征光譜的波線的波長范圍隨陽極靶材料的元素特征而定,其波長只與原子處于不同能級時發(fā)生電子

4、躍遷的能級差有關,而原子的能級是由原子結構決定的,因此,這些 有特征波長的輻射特征光譜能反映出原子的結構特點.圖 15-12所示是鋁靶K系 特征X射線譜.它有兩個強度高蜂,分別位于波長為0.63埃和0.71埃處.前者稱為Kb 輻射,后者稱為K “輻射.波箕EE圖15-12特征光譜X射線譜實驗時常使用濾光器提取所需的特征 X射線.在X射線多晶體衍射工作中,主要 是利用Ka系輻射源.X射線譜中的連續(xù)譜只能增加衍射把戲的背景,因此,實際工作 中總是希望特征譜線強度與連續(xù)譜強度的比越大越好.一束X射線通過物質(zhì)時會發(fā)生散射,X射線的散射是電磁波迫使電子的運動狀態(tài)發(fā) 生改變而產(chǎn)生的過程,可分為相干反射和非

5、相干反射.X射線在晶體中產(chǎn)生的衍射現(xiàn)象, 是其散射的一種特殊表現(xiàn),由于X射線被晶體各原子的電子散射是相干散射波, 它們之 間的干預作用使得空間某些方向上的波始終保持互相疊加,于是在這個方向上可以觀察到衍射線,而在另一些方向上的波始終是互相抵消的,于是就沒有衍射線產(chǎn)生.所以 X 射線在晶體中的衍射現(xiàn)象實際上是大量的原子散射波互相干預的結果,每種晶體所產(chǎn)生的衍射把戲,都反響出晶體內(nèi)部的原子分布規(guī)律. 通過在X射線衍射現(xiàn)象與晶體結構之 間建立起定性和定量的關系可分析晶體內(nèi)部結構的各種問題.二、X射線衍射的幾何原理聯(lián)系X射線衍射方向與晶體結構之間關系的方程有兩個：勞埃Laue方程和布拉格Bragg方程

6、.前者基于直線點陣,而后者基于平面點陣,這兩個方程實際上是等 效的.1 .勞埃Laue方程一列等距排列的原子對入射 X射線的衍射,如圖15 13所示.當入射角為a.,在 a.角處觀測散射線的疊增強度.相距為 ao的兩個原子散射的X射線光程差為ao cos ah-COSa o,當光程差為零或等于波長的整數(shù)倍時,散射波的波峰和波谷分別互相疊 加而強度到達極大值.光程差為零時,干預最強,此時入射角等于出射角,衍射稱為零級衍射圖1513原子列對入射 X射線的衍射晶體結構是一種三維周期結構,設有三行不共面的原子列,其周期大小分別為a.、bo、Co,入射X射線同它們的交角分別為a 0、0 0、丫0,當衍射

7、角分別為ah、Bk、Y 時,那么必定滿足以下的條件：ao cosa h cos a. =h 入bo cos.kcos.o =k 入Co cosy I cosy.=I 入式中h, k, I為整數(shù)可為零和正或負的數(shù),稱為衍射級數(shù),入為入射線的波長. 以上三式是晶體產(chǎn)生X射線衍射的條件,稱勞埃方程.衍射級數(shù) h, k, I的整數(shù)性決定 了晶體衍射方向的分立性,每一套衍射指標規(guī)定了一個衍射方向.2 .布拉格Bragg方程晶體的空間點陣可劃分為一組平行且等間距的平面點陣hkI,或稱晶面.同一晶體不同指標的晶面在空間的取向不同,晶面間距也不同.設有一組晶面,間距為dhkI,一束平行X射線射到該晶面族上,入

8、射角為9 0,對于每一個晶面散射波的最大干預強 度的條件應該是：入射角和散射角的大小相等,且入射線、散射線和平面法線三者在同 一平面內(nèi),如圖15 14所示,由于在此條件下光程都是一樣的,圖中入射線So在P、Q、R處的相位相同,而散射線S在P'、Q'、R'處仍是同相,這是產(chǎn)生衍射的必要條 件.圖1514布拉格方程的推導相鄰晶面產(chǎn)生衍射的條件,如圖15-14所示的晶面1, 2, 3,間距為dhki0 相鄰兩個晶面上的入射線和散射線的光程差為：MB + BN,而MB = BN = sinOn,即光程差為2d,hkisine n,當光程差為波長入的整數(shù)倍時,相干散射波就能互相增

9、強從而產(chǎn)生 衍射.由此得晶面族產(chǎn)生衍射的條件為：2dhkisine n=n 入式中n為1, 2, 3,等整數(shù)；on為相應某一 n值的衍射角；n那么稱反射級數(shù). 上式稱為布拉格方程,是晶體學中最根本的方程之一.三、倒易點陣和厄瓦爾德圖解倒易點陣是在晶體點陣的根底上根據(jù)一定的對應關系建立起來的空間幾何圖形.每種空間點陣都存在著與晶體點陣相對應的倒易空間點陣,它是晶體點陣的另一種表達形式.如果用a、b、c表示晶體點陣的根本平移矢量,用 a*、b*、c*來表示倒易點陣的基 本平移矢量.倒易點陣與晶體點陣的根本對應關系為：a* b = a* c=b* a= b* - c=c* , a=c* - b=0

10、； a* a=b* b=c* c=1.從這個根本關系出發(fā),可推導出倒易點陣基 本平移矢量a*、b*、c*的方向和長度.倒易空間點陣中的陣點稱為倒易結點.從倒易點陣原點向任一個倒易結點所連接的 *矢量稱為倒易矢量,用符號r表示.如果晶體點陣與倒易點陣具有共同的坐標原點, 那么晶體點陣中的晶面在倒易點陣中 可用一個倒易結點來表示.倒易結點的指數(shù)用它所代表的晶面的面指數(shù)干預指數(shù)標 定.晶體點陣中晶面取向和晶面間距這兩個參量在倒易點陣中只用倒易矢量一個參量就 能綜合地表示出來.利用這種對應關系可以由任何一個晶體點陣建立起一個相應的倒易點陣,反過來由一個的倒易點陣運用同樣的對應關系又可以重新得到原來的晶

11、體點陣.厄瓦爾德提出了倒易點陣中衍射條件的圖解法,稱為厄瓦爾德圖解.其作圖方法如圖15- 15所示,沿入射線方向作長度為1/入倒易點P$周期與1/人采用同一比例尺度 的矢量So /A,使該矢量的末端落在倒易點陣的原點 O*.以矢量S./人的起端C為中央, 以1/人為半徑畫一球,稱為反射球,但凡與反射球面相交的倒易結點Pi和P2都能滿足衍射條件而產(chǎn)生衍射.由反射球面上的倒易結點與倒易點陣原點,反射球中央可連接 衍射矢量三角形Pi O*C、P2 O*C等.其中C Pi和C P2分別為倒易結點Pi和P2的衍射 方向.倒易矢量r*p1；、r*p2分別表示滿足衍射條件的晶面族的取向和面間距.可見, 厄

12、瓦爾德圖解法可同時表達產(chǎn)生衍射的條件和衍射線的方向圖1515厄瓦爾德圖解從上述產(chǎn)生衍射的條件可以看出,并不是隨便把一個晶體置于 X射線下都能產(chǎn)生衍 射現(xiàn)象.例如,一束單色X射線照射一個固定不動的單晶體,就不一定能產(chǎn)生衍射現(xiàn)象, 由于在這種情況下,反射球面完全有可能不與倒易結點相交. 因此,在設計實驗方法時, 一定要保證反射球面能有充分的時機與倒易結點相交,才能產(chǎn)生衍射現(xiàn)象.因此要使反 射球面掃過某些倒易結點,這樣,反射球面永遠有時機與倒易結點相交而產(chǎn)生衍射.這 就必須使反射球面或晶體其中之一處于運動狀態(tài)或者相當于運動狀態(tài).符合這樣條件的實驗方案有以下幾種：1.用單色X射線照射轉動的晶體,使反射

13、球永遠有時機與某些倒易結點相交.這種 衍射方法稱為轉動晶體法.2,用多色連續(xù)X射線照射固定不動的單晶體.在衍射實驗中,X射線管是固定不動的,因此入射線方向也是不動的,即反射球是不動的.但是,由于連續(xù)X射線有一定的波長范圍,因此就有一系列與之相對應的反射球連續(xù)分布在一定的區(qū)域.但凡落到 這個區(qū)域內(nèi)的倒易結點都能滿足衍射條件.所以,這種情況也就相當于反射球在一定范 圍內(nèi)運動,從而使反射球面永遠有時機與某些倒易結點相交.這種實驗方法稱為勞厄法.3.用單色入射線照射多晶體試樣.多晶體中,由于各晶粒的取向是雜亂分布的,因此, 固定不動的多晶體就其晶粒間的位向關系而言,相當于單晶體轉動的情況.在實驗過程

14、中盡管多晶體試樣不動,也完全可以使反射球有充分的時機與某些倒易結點相交,如果 多晶體轉動,就更增加了這種時機.這樣的實驗方法稱為多晶體衍射方法.四、纖維X射線衍射的實驗方法1 .照相法利用單色X射線照射纖維試樣,并采用垂直于 X射線的平板照相機記錄衍射線.照相法時間長,往往需要1020小時；衍射線強度靠照片的黑度來估計,準確度不高； 但設備簡單,價格廉價,在試樣非常少的時候,如1mg左右時也可以進行分析.纖維高 聚物X射線衍射圖有兩種：(1)粉末圖構成纖維的高聚物大都是結晶不完善的小結晶或小品區(qū)組成,如果它們在纖維試樣中的分布是完全混亂的,那么該纖維試樣在宏觀上呈現(xiàn)各向同性, 當一束單色X射線

15、照射 到這些纖維試樣發(fā)生衍射時,可得到與低分子晶體的粉末圖相似的衍射圖,即粉末圖, 如圖 15- 16 (a).(2)纖維圖對于大多數(shù)纖維,纖維中的微晶粒不是雜亂無章排列的,而是與纖維軸向呈一取向 分布,但周向無取向,分布機率相同,當一束平行單色X射線照射到伸直平行的纖維束 上時,其中凡能滿足布拉格定律的晶面,都發(fā)生衍射,衍射圖為一系列分布在層線上的 衍射斑點所構成.由于實際纖維取向并非是完全的,使衍射斑點擴展成干預弧,干預弧 越寬,晶體的取向度越低,這種圖形稱為纖維圖,如圖 1516 (b)所示.根據(jù)層線問 的距離可算出沿纖維軸方向的等同周期, 把所有的衍射點指標化后,可以求出單胞參數(shù), 進

16、一步分析可推導出晶體的結構.(a)圖15-16纖維高聚物X射線衍射圖2 . X射線衍射儀法對X射線衍射強度也可以通過它在氣體中產(chǎn)生的電離作用或在固態(tài)中產(chǎn)生的熒光 作用制成各種輻射探測器來進行測量,用輻射探測器來進行這種記錄工作的全套設備叫 X射線衍射儀,它主要由X射線發(fā)生裝置、測角儀、計數(shù)管及記錄儀等組成,如圖 15 -17所示.衍射儀對衍射線強度的測量是利用電子計數(shù)器(計數(shù)管)直接測定的.計數(shù) 器的種類很多,但都是將進入計數(shù)器的衍射線強度變換成電流或電脈沖,這種變換電路 可以記錄單位時間里的電流脈沖數(shù), 脈沖數(shù)與X射線的強度成正比,于是可以較精確地 測定衍射線的強度,如圖15-18所示.衍射

17、儀至少要0.5g試樣.衍射儀法的優(yōu)點較多, 如可以記錄晶體衍射的全部信息、速度快、強度相對精確、信息量大、精度高及分析簡 便等,需要迅速確定晶體取向、晶粒度時更為有效.圖15-17衍射儀結構圖圖15-18纖維的X射線衍射強度分布3 .試樣及其制備(1)粉末試樣粉末試樣的粒度必須很細(10叩 以下),在試樣制備中,最好不要在粉末中加粘結 劑,可直接把粉末放于試樣板的凹槽中,然后用適當?shù)膲毫Π阉鼔簩?并使外表光滑,(2)線材樣品對于纖維等線材試樣,須將它們平行密集的排列在試樣板上,然后使纖維軸與衍射 儀軸呈直角將試樣插在試樣架上.(3)薄膜樣品將薄膜一層一層粘合至所需要的厚度,但一定要保證層與層間

18、貼合緊密,不要有空 隙或折縫.五、X射線衍射法在紡織研究中的應用1 .纖維鑒別不同種類纖維的X射線衍射圖有各自的特征,因此可以用來鑒別纖維.棉和黃麻 纖維的射線衍射圖譜如圖15- 19所示.棉麻15-19棉和黃麻纖維的射線衍射圖譜2 .纖維高聚物結晶度測定纖維對X射線總衍射強度是其晶區(qū)與非晶區(qū)衍射強度之和,假設比擬出晶態(tài)局部和非晶態(tài)局部散射強度,就可以求出品態(tài)局部和非晶態(tài)局部的質(zhì)量或重量之比,此即X射線衍射法測結晶度的原理.3 1)由無定型散射強度測定結晶度假定無定型局部含量正比于無定型散射暈圈的強度,那么如果能獲得100%的無定型樣品,那么可以此樣品為標準求得結晶度XcWa W a Ia -

19、J a Xc 二二WaIa式中Wa, la為100%的無定型試樣的重量和散射暈圈的積分強度；Wa, Ia '為待測的局部晶體試樣的無定型局部的重量和散射暈圈的積分強度.如果改變無定型含量后,散射曲線形狀不變,只是峰值變化的話.那么可用某一特定 29處的非晶散射峰值之比來表示無定的含量.(2)測定結晶度的經(jīng)驗方法測得各種纖維素纖維的衍射強度曲線,然后將它們化為標準強度曲線,由于各種纖 維素纖維的化學組成相同,可知各種樣品的標準強度曲線下的面積相等.圖 15-20是 亞麻的標準衍射強度曲線.將曲線的兩端與2429.處的極小值連接成直線；這就是晶區(qū)與非晶區(qū)對樣品衍射強度奉獻的分界線. 因此圖

20、上部陰影局部即為晶區(qū)衍射的積分強 度,記為lc；曲線底部陰影區(qū)為需修正的非相干散射, 而點線所示為需修正的空氣散射. 進行此二項修正后,分界線在 2417.附近有一極大值,其高度 Am即作為樣品中非晶 區(qū)含量的相對度量.將各種纖維的 Am-I.值標在同一張圖上,即得到圖 15-21,該圖 的縱坐標為Am,橫坐標為I.,可以看出各數(shù)據(jù)點根本上在一條直線上.沿該直線越靠 近右下部,結晶度越高.而越靠近左上部,結晶度就越低.圖上有兩個點.是最可靠點.目前常見的做法是根據(jù)圖 15-20(a)中有關面積為比例計算出結晶度.例如將 棉纖維制成粉末樣,在透射幾何安排下用衍射儀收集衍射強度曲線,經(jīng)過各種修正后

21、的 強度如圖15-21所示.確定晶區(qū)-非晶區(qū)分界線的方法為：將 28= 6.、32.及51.等處 連接成光滑曲線作為分界線.設衍射曲線下的總面積為I,衍射曲線與分界線之間的面積為Ic ,那么該樣品的結晶度為：Xc=Ic/I(151)注意：a圖陰影下是直線圖15-20纖維素纖維結晶度測定10 加 3040 "fiO "5J圖15 21棉纖維結晶度測定以上確定晶區(qū)-非晶區(qū)分界線的方法帶有相當大的隨意性,因此給出的結晶度數(shù)據(jù) 絕對意義較差,但對一系列同種纖維內(nèi)部有序程度進行比擬時上述數(shù)據(jù)可給出可靠的趨 勢和幅度.滌綸纖維可獲得100%非結晶樣品,確定晶區(qū)-非晶區(qū)分界線的可靠性就會

22、得到很 大的提升.滌綸就是具備這種可能性的一個典型.將滌綸剪碎后壓入樣品架,對在衍射 儀上測得強度數(shù)據(jù)經(jīng)各種修正后,如圖15-22中的曲線1所示.另將滌綸卷繞絲剪碎,按同樣的實驗條件和處理步驟得到其強度曲線,即為圖中的曲線2.可以認為卷繞絲的結晶度為零.1Q2D 匹 M圖1522經(jīng)驗方法測滌綸的結晶度現(xiàn)作兩點假設：滌綸被測樣品中非晶區(qū)的散射強度曲線的形狀與卷繞絲相同；在滌 綸樣品的衍射曲線上某點通常認為是 2 8= 20O處或某一段通常認為是2 8= 14O處 只有非品區(qū)的奉獻,此時分別求出2 8小于等于14O范圍內(nèi)曲線1與曲線2下的面積,將 兩面積之比用k表示,將曲線2上各點的縱坐標分別乘以

23、k,那么得曲線3為晶區(qū)-非晶 區(qū)分界線.求出曲線1下的總面積I及曲線1與曲線3之間的面積Ic,代入式15- 1即 可得到結晶度.但凡可以制得百分之百非晶樣品的纖維,它們的結晶度均可用這種方法測出.測定 結果的可靠性首先取決于上述假設是否合理.3結晶度指數(shù)Wakelin等人提出一種只根據(jù)強度差來測定結晶度的方法,這種方法不需要在結晶 局部和非品局部之間劃一個分界線,因而此法特別適用于無法得到或很難得到完全結晶 或完全非品的“參比標準物的情況.在這一方法中使用一個結晶度很低的非品參比樣品和一個結晶度很高的結晶參比 樣品.圖15-23繪出了棉纖維結晶和非晶參比樣品的 x射線衍射強度分布曲線.設Iu

24、為待測樣品的強度,Ic為結晶參比樣品的強度,Ia為非品參比樣品的強度.Iu Ia j為 24j處的待測樣品和非品參比樣品強度差,IcIa j為結晶-參比作品和非品參比樣品 強度差.用IuIa又Ic Ia作圖,得一直線.Iu Ia Ci Ic I a + B式中Ci為該直線的斜率,即相關結晶度指數(shù),簡稱結晶度指數(shù)；B為該直線在縱坐 標上的截距,B值在理論上應該等于零.實際上 B值往往是一個小的數(shù)值,該值愈小愈 好,假設B值過大說明誤差大,應加以消除.圖 15-24為典型的棉纖維試樣的IuIa和IcIa的相關圖,結晶度指數(shù)為83%2S 度a標準結晶樣品實線與標準非晶樣品虛線b棉纖維實線與標準非晶樣

25、品虛線圖15 23棉纖維X射線衍射曲線圖15-24典型棉纖維樣品的Iu Ia和Ic Ia的相關圖3計算機分峰法測結晶度高聚物的X射線衍射圖譜中,晶相衍射峰往往相互重疊,且又與彌散的非晶散射峰 疊加在一起,某些高聚物中會同時存在不同的晶型.如果能把一個結晶高聚物的衍射強 度曲線分解為各不同晶峰和非晶峰,那么會得到更多的有關高聚物結構信息.計算機為分 解各種曲線的疊加峰提供了快速、準確的方法.3.纖維高聚物取向度測定(1) X射線衍射法測取向度的原理假定微晶粒在纖維中的分布可用微晶粒中的某些晶面族的取向分布來表示,而晶面 族在不同方位取向的數(shù)量與該晶面族相應的衍射線的強度分布成比例,測定出衍射線的

26、強度分布,即可求出微晶粒長軸的取向分布和平均取向度.纖維中的晶區(qū)以微粒的形式分布在非晶區(qū)中,當晶區(qū)中的各個微粒的c軸完全與纖維軸Z平行時那么認為該纖維的晶區(qū)到達完全取向,如圖 15-25 (a)所示.當纖維晶區(qū) 中各晶粒的c軸與纖維軸Z軸之間大致平行時,就是一種不完全取向狀態(tài),此時大局部 晶粒的c軸將與Z軸方向有一定程度的偏離,如國15 25 (b)所示.而當晶區(qū)完全非 取向時,晶粒的c軸在空間中完全隨機取向,取向球球面上倒易矢量端點的密度處處相 等,并與反射球球面相交的圓上各點都可以產(chǎn)生衍射,因此往往可以根據(jù)纖維圖上衍射 弧伸展的程度,估計該纖維的晶區(qū)取向的好壞,弧伸展的角度越大,取向度越差

27、.(a)晶區(qū)完全取向與 X射線衍射(b)晶區(qū)不完全取向與X射線衍射如圖1525晶區(qū)取向與X射線衍射(2)測定取向度實驗是用單色X射線垂直照射伸直平行的纖維束試樣,用照相法或衍射議法來記錄衍射 線.用衍射儀法時,將樣品架上的纖維束試樣以入射 X射線為旋轉軸,由豎直到某一角 度連續(xù)緩慢地轉動,測出1(小)曲線,或用每轉動一定的小角測出強度I,然后將I 對小作圖,得I (小)分布曲線.在纖維的X射線衍射圖中,子午線上的衍射弧的強度都比擬弱,有時甚至完全沒有,用以測定取向度較困難.所以往往用測量赤道線上的衍射弧的強度分布作為測量取向度的根據(jù).(3)非正交品系纖維的取向度測定Wilchinsky研究了用

28、于對非正交品系纖維計算取向因子的模型,如圖15 26所示圖15-26表示結晶高聚物取向度的Wilchinsky模型圖中Z為參考方向(可以是纖維軸),a、b、c為晶軸,倒易矢量ON在UVc坐標 系中的余弦分別為e f、g,那么圖中各角度之間有如下關系：<cos2 小 hkl,z >=e2<cos2 小 u,z>+12<cos2 小 V,Z>+g2<cos2 0 C,Z>+2el<cos 小 u,z . cos 小 V,Z >+2fg<cos 小 V,Z - cos 小 C,Z >+2eg<cos 小 C,Z - cos

29、 小 U,Z >(15-2)式中尖括號表示平均值.各個晶軸相對于參考方向Z的取向因子為：f a, Z = 1/2( 3<cos (J) a,Z>-1 )fb, Z = 1/2(3<cos2(!)b,z>-1)fc, Z = 1/2(3<cos2(|)c,z>-1)由于C軸與分子鏈平行,在上式中有著根本意義的是<cos小C,Z> C軸對參考方向Z的取向度,就表示了分子鏈對 Z軸的取向度.等式中的<cos2(|)hki,z>可以通過實驗測定 晶面(hkl)的強度分布而獲得,而 e、f、g對同一個晶面可以由晶體結構的知識算出 來.同時又有：<cos2 小 U,z>+