概率論核心概念及公式(全)

1、頁眉.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)核心公式第1章隨機(jī)事件及其概率(1)排列組合公式Pmn從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù)。(mn)!Cmm一從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù)。n!(mn)!(2)加法和乘法原理加法原理(兩種方法均能完成此事)m+n某件事由兩種方法來完成，第一種方法可加種方法完成，第二種方法可加種方法來完成，則這件事可由m+n種方法來完成。乘法原理(兩個(gè)步驟分別不能完成這件事mxn某件事由兩個(gè)步驟來完成，第一個(gè)步驟可加種方法完成，第二個(gè)步驟可加種方法來完成，則這件事口由mxn種方法來完成。一些常見排列重復(fù)排列和非重復(fù)排列(有序)對立事件(至少有一個(gè))順序問題隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件如果一個(gè)

2、試驗(yàn)在相同條件卜可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但Z進(jìn)一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，則稱這種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件?；臼录?、樣本空間和事件在一個(gè)試驗(yàn)下，不管事件有多少個(gè)，總可以從其中找出這組事件，它具做門性質(zhì)：每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件；任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這組事件中的每一個(gè)事件稱為基本事件，用來表示?；臼录娜w，稱為試驗(yàn)的樣本空間，用表示。一個(gè)事件就是由中的部分點(diǎn)(基本事件)組成的集合。通常用大寫字加，B,C,表示事件，它們是的子集。為必然事件，？為/、可能事件。不可能事件(？)的概率為零，而概率為

3、零的事件/、一定是不可能事件洞理，必然事件(Q)的概率為1,而概率為1的事件也不一定是必然事件。事件的關(guān)系與運(yùn)算關(guān)系：如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，(A發(fā)生必有事件B發(fā)生)：AB如果同時(shí)有AB,BA,則稱事件A匕事件B等價(jià)，或稱A等于B:A=BAB中至少有一個(gè)發(fā)生的事件:AB,或者A+R屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱加與B的差，記為A-B,也可表示為A-AB者AB,它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。A、B同時(shí)發(fā)生：AB,或者ABAB夕，則表示A與B不可能同時(shí)發(fā)生，稱事件A與事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A稱為事件A的逆事件，或稱A的對立事件，記為A。它表示A不

4、發(fā)生的事件?；コ馕幢貙αⅰ＿\(yùn)算：結(jié)合率：A(BC)=(AB)CA(BUC)=(AUB)UC分配率：(AB)UC=(AUC)A(BUC)(AUB)AC=(AC)J(BC)德摩根率：AiAiAB入B，AB或Bi-概率的公設(shè)為樣本空間，A為事件，對每一個(gè)事件A都有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A),若滿足下取三個(gè)條件：1 / 20頁眉理化定義1°0<P(A)<1,2P(Q)=130對于兩兩互不相容的事”A1,A2,有PAiP(A)i1i1常稱為可列(完全)可加性。則稱P(A)為事件A的概率。古典概型11,2n,2P(1)P(2)P(n)Ln設(shè)任一事件A，它是由1,2m組成的，則有P(A)=(1)

5、(2)(m)=P(1)P(2)P(m)mA所包含的基本事件數(shù)n基本事件總數(shù)幾何概型若隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為無限/、可數(shù)并且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻，同時(shí)樣本空間耳的每一個(gè)基本事件可以使用一個(gè)有界區(qū)域來描述，則稱此隨機(jī)試驗(yàn)為幾何概型。X件A,L(A)P(A)l-)。其中L為幾何度量(長度、面積、體積)(10)加法公式P(A+B尸P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng)P(ABA0時(shí),P(A+B)=P(A)+P(B)(11)減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當(dāng)BA時(shí)，P(A-B尸P(A)-P(B)當(dāng)A=Q時(shí)，P(B)=1-P(B)(12)條件概率定義設(shè)AB是兩個(gè)事件，且P(A)>Q則稱J)為事件A

6、發(fā)生條件下，事件B發(fā)P(A)生的條件概率，記為P(B/A)一(一)0P(A)條件概率是概率的一種，所后概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如P(Q/B)=1P(B/A)=1-P(B/A)(13)乘法公式乘法公式：P(AB)P(A)P(B/A)更一般地，對事件A,A,A若P(AAA-1)>0,則有P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2-An1)。(14)獨(dú)立性兩個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)事件A、B兩足P(AB)P(A)P(B)，則稱事件A、b是相互獨(dú)立的。若事件A、B相互獨(dú)立，且P(A)0,則有P(B|A)海一一P(B)P(A)P(A)若事件A、B相互獨(dú)立，則可

7、得至哈與B、A與B、慶與8也都相互獨(dú)立。必然事件和不可能事件？與任何事件都相互獨(dú)立。?與任何事件都互斥。多個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)AB久三個(gè)事件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件，P(AB)=P(A)P(B)P(BC尸P(B)P(C)P(CA)=P(C)P(A)并且同時(shí)滿足P(ABC尸P(A)P(B)P(C)那么A、BC相互獨(dú)立。對于n個(gè)事件類似。21 / 20設(shè)事件Bl,B2,Bn滿足(15)全概公Bl,B2,Bn兩兩互不相容，P(Bi)0(i1,2,x'(16)貝葉斯公式(17)伯努利概型則有nBi，i1P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(Bn)P(A|Bn)。設(shè)事件B1,B

8、2,，Bn及A滿足1B1，B2，Bn兩兩互不相容，P(Bi)>0,i1,2，n,n2ABi,P(A)0,i1貝uP(Bi/A)P(Bi)P(A/Bi)n,i=1,2,P(Bj)P(A/Bj)j1此公式即為貝葉斯公式。P(Bi),(i1,2,，n),通常叫先驗(yàn)概率。P(Bi/A),(i1,2,，n),通常稱為后驗(yàn)概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔的推斷。我們作了門次試驗(yàn)，且滿足每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，A發(fā)生或A不發(fā)生；n次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即A發(fā)生的概率每次均一樣；每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試除發(fā)生與否與其他次試驗(yàn)A發(fā)生與否是互不影響的。這種試驗(yàn)稱為伯努利概型，或稱

9、為重伯努利試驗(yàn)。用p表示每次試驗(yàn)A發(fā)生的概率，則又發(fā)生的概率為1伯努利試驗(yàn)中A出現(xiàn)k(0kn)次的概率，pq，用Pn(k)表示n重kPn(k)rDq，k0,1,2,n°(1)離散型隨機(jī)變量的分布律設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為X(k=1,2,)且取各個(gè)值的概率，即事件(X=X)的概率為P(X=x)=p<,k=1,2，則稱上式為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布律。有時(shí)也用分布列的形式給出：XX1,X2,xk,、|0P(XXk)p1,p2,pk,顯然分布柞應(yīng)滿足卜列條件：(1)pk0,k1,2,，(2)pk1。(2)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度設(shè)F(x)是隨機(jī)變量x的分布函數(shù)，若存在非

10、負(fù)函數(shù)f(x),對任意實(shí)數(shù)x,有XF(x)f(x)dx，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。f(x)稱為X的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概率密度。密度函數(shù)具有卜間4個(gè)性質(zhì)：A0_1 f(x)002 f(x)dx10第二章隨機(jī)變量及其分布(3)離散與連續(xù)型隨機(jī)變量的關(guān)系P(Xx)P(xXxdx)f(x)dx積分元f(x)dx在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用號(Xxk)pk在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似。(4)分布函數(shù)設(shè)X為隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)F(x)P(Xx)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個(gè)累積函數(shù)。P(aXb)F(b)F(a)可以得到X落入?yún)^(qū)間(a,b的概率。分布函數(shù)F(x)表示隨

11、機(jī)變量落入?yún)^(qū)間(-oo,x內(nèi)的概率。分布函數(shù)具肩如下性質(zhì)：1。0F(x)1,x；2F(x)是單調(diào)/、減的函數(shù)，瞰1x2時(shí)，有F(xi)F(x2)；3°F()limF(x)0F()limF(x)1-x?x?4。F(x0)F(x),即F(x)是右連續(xù)的；5°P(Xx)F(x)F(x0)。對于離散型隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)以；xkxx對于連續(xù)型隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)f(x)dx。八大分布0-1分布P(X=1)=p,P(X=0)=q二項(xiàng)分布在n重貝努里試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的概率為P。事件A發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)為X,則X可能取值為0,1,2,n。P(Xk)Pn(k)Cnkpkqnk,其中q

12、1P,0P1,k0,1,2,n,則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布。記為XB(n,p)。當(dāng)n1時(shí)，P(Xk)pkq1k,k0.1,這就是(0-1)分布，所以(0-1)分布是二項(xiàng)分布的特例。泊松分布設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為kP(Xk)e,0,k0,1,2,k!則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松分布，記為X()或者P()。泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布np=X,noo)0超幾何分布P(XC；?CNMk0,1,2,lCn,lmin(M,n)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,M)。幾何分布P(Xk)qk1p,k1,2,3,，其中p>0,q=1-p=隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的

13、幾何分布，記為G(p)。均勻分布設(shè)隨機(jī)變量X的值只落在(a,b內(nèi)，其密度函數(shù)f(x)在a,b上,i為常數(shù)，即ba1_awxwbf(x)ba，甘.0其他，則稱隨機(jī)變量X在a,b上服從均勻分布，記為XU(ab)。分布函數(shù)為o0,x<a,xax<h。,一一.F(x)f(x)dxbaawxwb<1,x>b。當(dāng)a&xi<x<b時(shí)，X落在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)的概率為P(x1Xx2)x_x10ba指數(shù)分布eex,x0f(x)J，I0,x0,其中0,則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為r1ex,x0,F(x)0,x<0。記住積分公式：xnexdx

14、n!0正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為1 代2)f(x)Fe2，X，其中、0為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為、的正態(tài)分布或圖斯GausS分布，記為xn(2)。f(x)具肩如下性質(zhì):1°f(x)的圖形是關(guān)于x對稱的；1，一，一2當(dāng)x時(shí)，f()7廠為最大值；若XN(2)，則X的分布函數(shù)為1 xILlF(x)e2dt00J2參數(shù)0、1時(shí)的止態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)止態(tài)分布，記為XN(0,1)，其密度函數(shù)記為x2(x)亞-e2，X，分布函數(shù)可1 xt2(x)jedto(x)是.可求積函數(shù)，具函數(shù)值，已編制成表可供查用。1(-x)=1-(x)且(0)=一。X2如果XN(,2),則N(0,1)oP(x1X

15、x2)x0(6)分位數(shù)下分位表：P(X)=；上分位表：P(X)=0(7)函數(shù)分布離散型已知X的4X/布列為x1,x2,xn,P(Xxi)Yg(X)YP1,P2,pn,的分布列(yig3)立/、相等)如下：g(x1),g(x2),g(xn),P(Yx)P1,P2,Pn,若有杲些g(xi)相等，則應(yīng)將對應(yīng)日勺Pi相加作為g(xi)日勺慨率。連續(xù)型先利用X的概率密度fx(x)寫出Y的分布函數(shù)F(y)=P(g(X)&y),再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出Y(y)。第三章二維隨機(jī)變量及其分布(1)聯(lián)合 分布離散型如果二維隨機(jī)向量 (X, Y)的所有可能取值為至多可列個(gè)有 序?qū)?x,y),則稱 為

16、離散型隨機(jī)量。設(shè)=(X, Y)的所有可能取值為(xi, yj)(i, j 1,2,),且事件二(為，丫上)的概率為口,，稱P(X,Y) (Xi,yj)Pj(i, j 1,2,)為二(X, Y)的分布律或稱為X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有 時(shí)也用下面的概率分布表來表示：y2yjx1P11P12x2P21P22pjxiP1Pj4里Pj具侶回網(wǎng)午任項(xiàng): (1)Pj0(i,j=1,2,);Pij 1.(2)二維 隨機(jī)變量 的本質(zhì)(3)聯(lián)合 分布函數(shù)對于二維隨機(jī)向量 (X,Y),如果存在非負(fù)函數(shù)f(x,y)( xy )，使對任意一個(gè)其鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D,即D=(X,Y)|a<x<

17、;b,c<y<dW P(X,Y) D f (x, y)dxdy,D則稱為連續(xù)型隨機(jī)向量；并稱f(x,y)為=(X, Y)的分布密度 或稱為X和Y的聯(lián)合分布密度。分布密度f(x,y)具有下面兩個(gè)性質(zhì)： f(x,y) >0;(2) f (x, y)dxdy 1.(X x,Y y) (X x Y y)設(shè)(X, Y)為二維隨機(jī)變量，對于任意實(shí)麴,y,二元函數(shù)F(x, y) PX x,Y y稱為二維隨機(jī)向量(X, Y)的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)是一個(gè)以全平面為其定義域，以事件( 1, 2)1 X( 1) x, Y( 2) y的概率為函數(shù)值的一個(gè)實(shí)值函數(shù)。分

18、布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：(1) 0 F(x, y) 1;(2) F (x,y)分別對x和y是非減的，即當(dāng) x2”時(shí),有 F(x2,y) >F(x1,y);當(dāng) y2>v時(shí),有 F(x,y2) >F(x,y 1);(3) F (x,y)分別對x和y是右連續(xù)的，即F(x, y) F(x 0, y),F(x,y) F(x, y 0);(4) F()F(5)又t于xiX2, yi,y) F(x, ) 0,F(y2，)1.F(X2,y2)F(X2,yi)F(xi,y)F(x1，y1)0.(4)離散型與連續(xù)型的關(guān)系P(Xx,Yy)P(xXxdx,yYydy)f(x,y)dxd

19、y(5)邊緣分布離散型X的邊緣分布為P?P(Xxi)Pj(i,j1,2,).?jY的邊緣分布為P?jP(Yyj)Pj(i,j1,2,)o連續(xù)型X的邊緣分布密度為fX(x)f(x,y)dy;Y的邊緣分布密度為fy(y)f(x,y)dx(6)條件分布離散型在已知X=x的條件下，Y取值的條件分布為Pijp(yyj|Xx)；Pi?在已知Y=y的條件下，X取值的條件分布為PjP(Xxi|Yyj),P?j連續(xù)型在已知Y=y的條彳下，X的條件分布密度為f(x,y)f(x|y):二；fY(y)在已知X=x的條彳下，Y的條件分布密度為f(x,y)f(y|x)''力fX(x)獨(dú)立性一M型F(X,Y

20、)=F(x)Fv(y)離散型PjPi?P?j后零不獨(dú)立連續(xù)型f(x,y)=fG)f")直接判斷，充要條件：可分離義量正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分布221x12(x1)(y2)y212(12)1122f(x,y),e,212<12=0隨機(jī)變量的函數(shù)若X,X2,XnXm+LX相互獨(dú)立,h,g為連續(xù)函數(shù)，則：h(X,凡瑞)和g(Xm+1-X)力訪"。特例：若*與丫獨(dú)立，則：h(X)和g(Y)獨(dú)立。例如：若X與Y獨(dú)立，則：3X+1和5Y-2獨(dú)立。(8)二維 均勻分布設(shè)隨機(jī)向量區(qū)1Sd f (x, y)0,Y)的分布密度函數(shù)為(x,y) D其他其中&為區(qū)域D的面積，則

21、稱 4Y)服從D上的均勻分布，記為X Y)U (D)。圖3.3(9)二維 正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)向量區(qū)Y)的分布密度函數(shù)為221xi2(xi)(y2)y212(12)1122f(x,y)J212V1e,2其中1,2,10,20,1I1是5個(gè)參數(shù)，則稱(X,Y)服從一維正態(tài)分布,記為(X,Y)-N(1,22)2,1,2,八由邊緣密度的計(jì)算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍為正態(tài)分布即XN(1，12),YN(2,2).但是若XN(1，12),YN(2,2),(X,Y)未必是二維正態(tài)分布。(10)函數(shù)分布Z=X+Y根據(jù)定義計(jì)算：Fz(z)P(Zz)P(XYz)對于連續(xù)型，fz(z)=f(x,zx)d

22、x兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布的和仍力正態(tài)分布(12,22)。n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。222Cii2Ci2i2i'iZ=max,min(Xi,X2,X)若X1,X2Xn相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為Fx1(x),Fx2(x)Fxn(x),貝UZ=max,min(XX2,X)的分布函數(shù)為：Fmax(x)Fx1(x)?Fx2(x)F%(x)Fmin(x)11Fx1(x)?1Fx2(x)1Fxn(x)2分布設(shè)n個(gè)隨機(jī)變量X1,X2,Xn相互獨(dú)立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以證明它們的平方和n2WXii1的分布醬度為1-1unu2e2u0,f(u)22n20,u0.我們稱隨機(jī)變量WK從

23、自由度為n的2分布，記為M2(n),其中n1n2Xj一x2edx.20所謂自由度是指獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)匕是隨機(jī)變量分布中的一個(gè)重要參數(shù)。2分布滿足可加性：設(shè)Yi2(n)則k2ZYi(1n2nk).i1t分布設(shè)X,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且X-N(0,1),Y2(n),可以證明函數(shù)XTJ4丫/n的概率密度為n1n1r2t22f(t)1(t).nn，n一2我們稱隨機(jī)變量T服從自由度為n的t分布，記為Tt(n)。t1(n)t(n)F分布-ccX/n1設(shè)X(njY缸)，且X與Y獨(dú)立，可以證明FY/n2的概率密度函數(shù)為n1n2ninin22ni下glni八f(v)y1y,y0f(y)ni血血12

24、20,y0我們稱隨機(jī)變量F服從第一個(gè)自由度為ni,第二個(gè)自由度為n2的F分布，記為Ff(ni,n2).l，、iFi(ni,n2)廣,、F(n2,ni)第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征(i)離散型連續(xù)型一維期望設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概隨機(jī)期望就是平均值布律為P(XXk)=pk,率密度為f(X),變量k=i,2，,n,E(X)Xf(X)dX的數(shù)n字特征E(X)XkPkki(要求絕對收斂)(要求絕對收斂)函數(shù)的期望Y=g(X)nY=g(X)E(Y)g(Xk)PkkiE(Y)g(X)f(X)dX、.、.廣.力左_2_D(X)=EX-E(X)2,_2D(X)XkE(X)PkD(X)x

25、E(X)f(X)dX標(biāo)準(zhǔn)差k(X)Jd(X),矩對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X的k次幕的數(shù)學(xué)期望為X的k的k次幕的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點(diǎn)矩，記為Vk,即階原點(diǎn)矩，記為Vk,即,kvk=E(X)=.xiPi,vk=E(X)=Xkf(X)dX,k=i,2,.k=i,2,.對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X與E(X)差的k次幕的數(shù)學(xué)期與E(X)差的k次幕的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩，記為望為X的k階中心矩，記為即即kkE(XE(X)kkE(XE(X).=(XiE(X)kPii.=(XE(X)kf(X)dX,k=i,2，.k=i,2，.切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X具

26、有數(shù)學(xué)期望E(X)=N，方差D(X)=則對于任意正數(shù)&,后卜列切比雪夫不等式2P(|X|)-2切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況卜，對概率P(|X)的一種估計(jì)，它在理論上有重要意義。(2)期望的性質(zhì))E(C)=CE(CX尸CE(X)nnE(X+Y尸E(X)+E(Y)E(CiXi)GE(Xi)i1i1E(XY)=E(X)E(Y),充分條件：X和Y獨(dú)立；充要條件：X和Y不相關(guān)。.、,、.心力考的性質(zhì))D(C)=QE(C)=CD(aX)=c2D(X);E(aX)=aE(X)D(aX+b)=jaD(X);E(aX+b)=aE(X)+bD(X)=E(X)-E2(X)D(X±Y)=

27、D(X)+D(Y)充分條件：X和Y獨(dú)立；充要條件：X和Y不相關(guān)。D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E(X-E(X)(Y-E(Y),無條件成立。而E(X+Y尸E(X)+E(Y)無條件成立。常見分布的期望和、.、.廣.力左期望、.、.廣.力左0-1分布B(1,p)pp(1p)二項(xiàng)分布B(n,p)npnp(1p)泊松分布P()幾何分布G(p)1P1p2p超幾何分布H(n,M,N)nMNnM,MNn1NNN1均勻分布U(a,b)ab2(ba)212指數(shù)分布e()11正態(tài)分布N(,2)22分布n2nt分布0n/c、c(n>2)n2二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征期望nE(X)XiPi?

28、i1nE(Y)yjp?jj1E(X)xfX(x)dxE(Y)yfY(y)dy函數(shù)的期望EG(X,Y)=G(Xi,yj)pjEG(X,Y)=G(x,y)f(x,y)dxdy力差_2D(X)XiE(X)pi?_2D(Y)上XjE(Y)p?j2-D(X)xE(X)fx(x)dx2-D(Y)yE(Y)fY(y)dy協(xié)方差對于隨機(jī)變量X與Y,稱它們的二階混合中心矩11為X與Y的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為xy或cov(X,Y),即XY11E(XE(X)(YE(Y).與記號XY相對應(yīng)，X與Y的方差D(X)與D(Y)也可分別記為XX與YY0相關(guān)系數(shù)對于隨機(jī)變量X與Y,如果D(X)>0,D(Y)>0,則稱

29、XYJD(X)JD(Y)為X與Y的相關(guān)系數(shù)，記作XY(有時(shí)可簡記為)。|W1,當(dāng)|=1時(shí)，稱X與Y完全相關(guān)：P(XaYb)1正相關(guān)，當(dāng)1時(shí)(a0),元全相關(guān)上七口"立口4負(fù)相關(guān)，當(dāng)1時(shí)(a0),而當(dāng)0時(shí)，稱X與Y不相關(guān)。以卜五個(gè)命題是等價(jià)的： XY0； cov(X,Y)=0; E(XY尸E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y)=D(X)+D(Y).協(xié)方差矩陣XXXYYXYY混合矩對于隨機(jī)變量X與Y,如果有E(XkYl)存在，則稱之為X與Y的k+l階混合原點(diǎn)矩，記為kl;k+l階混合中心矩記為：klUklE(XE(X)(YE(Y).協(xié)方差典)性麻cov(X,

30、Y)=cov(Y,X);cov(aX,bY)=abcov(X,Y);cov(Xi+X,Y)=cov(Xi,Y)+cov(X2,Y);cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).和不相關(guān)若隨機(jī)變量X與YIM",則XY0;反之不真。若(X,Y)-N(1，2，12，二)，則X與Y相互獨(dú)立的充要條件是X和Y不相關(guān)。第五章大數(shù)定律和中心極限定理(1)大數(shù)定律X切比 雪夫 大數(shù) 定律設(shè)隨機(jī)變量X, X,相互獨(dú)立，均具有有限方差，且被同一常數(shù)C所界：D (X) <C(i=1,2,)，則對于任意的正數(shù)e ,有l(wèi)im Pn1nxi 1n i 1 n inE(Xi)11.特殊情形：若x, X

31、成為具有相同的數(shù)學(xué)期望E (X)二仙，則上式lim P n1nxi n i 11.努大定 伯利數(shù)律設(shè)仙是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次 試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對于任意的正數(shù)e ,有l(wèi)im P p 1.n n伯努利大數(shù)定律說明，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率與 概率有較大判別的可能性很小，即lim P p 0.n n這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。辛欽設(shè)Xi, X ，X,是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列用E (X)二一則對于任意的正數(shù)e有定律lim P1 n Xi1.nn i 1(2)中心極限止 理2X N(,)維林伯定列一德格設(shè)隨機(jī)變量X, X 相互獨(dú)立，服從同一分

32、布，且具有相 的數(shù)學(xué)期望和方差：E(Xk) ,D(Xk) 2 0(k 1,2,)，則 隨機(jī)變量nXk n丫k_1Yn- n的分布函數(shù)Fn(x)對任意的實(shí)數(shù)X,有nXk nki1lim Fn(x) lim P x nn、. n、2t2e 2 dt.此定理也稱為獨(dú)立同分布的中心極限定理(3)二項(xiàng)定理棣莫 弗一 拉普 拉斯 定理設(shè)隨機(jī)變量Xn為具有參數(shù)n, p(0<p<1)的二項(xiàng)分布，則對于任意 實(shí)數(shù)x,有l(wèi)im P nXn np np(1 p)1<2t2 x - e 2 dt.若當(dāng)Nk n k CM CN M時(shí),Mp(n,k不變)則N，Cn pk (1 p)nk (N ).超幾何

33、分布的極限分布為二項(xiàng)分布(4)泊松定理若當(dāng)n時(shí),np0,則k八kk/、nkCnP(1p)e(n).k!其中k=0,1,2,，n,。二項(xiàng)分布的極限分布為泊松分布。第六章樣本及抽樣分布(1)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念總體在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，常把被考察對象的某一個(gè)(或多個(gè))指標(biāo)的全體稱為總體(或母體)。我們總是把總體看成一個(gè)具有分布的隨機(jī)變量(或隨機(jī)向量)。個(gè)體總體中的每一個(gè)單元稱為樣品(或個(gè)體J樣本我們把從總體中抽取的部分樣/1,X2,Xn稱為樣本。樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量,一般用n表示。在一般情況下，總是把樣本看成是n個(gè)相互獨(dú)立的且與總體有相同分布的隨機(jī)變量這樣的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本。在泛指任一次抽取的

34、結(jié)果時(shí)，X1,X2,Xn表小n個(gè)隨機(jī)變量(樣本)；在具體的一次抽取之后,X1,X2,Xn表示n個(gè)具體的數(shù)值(樣本值)我們稱之為樣本的兩重性。樣本曲數(shù)和統(tǒng)計(jì)量設(shè)X1,X2,Xn為總體的一個(gè)樣本，稱(X1,X2,Xn)為樣本函數(shù)，其中為一個(gè)連續(xù)函數(shù)。如果中不包含任何未知參數(shù)，則稱(X1,X2,Xn)為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。常見統(tǒng)計(jì)量及其性質(zhì)-1n樣本均值XXi.ni11nWWtS2(XiX)2.n1i1樣本標(biāo)準(zhǔn)差S1(XiX)2.nn1i1樣本k階原點(diǎn)矩1nLMk-Xk,k1,2,.ni1樣本k階中心矩1nMk一(XiX)k,k2,3,.ni1_2E(X),D(X),nE(S2)2,E(S*2)2,n1n其

35、中S*2(XiX)2,為二階中心矩。ni1(2)正態(tài)總體下的四大分布正態(tài)分布設(shè)Xi,X2,Xn為來自正態(tài)思體N(,2)的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)_defxu=N(0,1)./、'nt分布設(shè)X1,X2,Xn為來自正態(tài)總體N(,2)的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)defXt=t(n1),s/v'n其中t(n-1)表示自由度為n-1的t分布。2分布設(shè)Xi,X2,Xn為來自正態(tài)思體N(,)的一個(gè)樣本，則樣本兇數(shù)def(n1)S22,八w-2(n1),其中2(n1)表示自由度為n-1的2分布。F分布設(shè)X1，X2,Xn為來自正態(tài)總體N(,1)的一個(gè)樣本，而y1，y2,yn為來自正態(tài)思體N(,2)的一個(gè)樣

36、本，則樣本函數(shù)defSi2/12F=22F(n11,n21),S；/2其中21n1-221n22S-;(Xix),S2(yiy);n11i1/1i1F(51,n21)表示第一自由度為R1,第二自由度為明1的F分布。(3)正態(tài)總體下分布的性質(zhì)X與S2獨(dú)立。第七章參數(shù)估計(jì)(1)點(diǎn)估計(jì)矩估計(jì)設(shè)總體X的分布中包含有未知數(shù)1,2,m,則其分布函數(shù)可以表成F(x;1,2,m).它的k階原點(diǎn)矩VkE(Xk)(k1,2,m)中也包含了未知參數(shù)1,2,m,即VkVk(1,2,m)。又設(shè)X1,X2,Xn為總體X的n個(gè)樣本值，其樣本的k階原點(diǎn)矩為1nXik(k1,2,m).ni1這樣，我們按照“當(dāng)參數(shù)等于其估同時(shí),

37、總體矩等于相應(yīng)的樣本矩”的原則建立方程，即有1n5(1,2,m)Xi,ni11n2V2(1,2,m)xi,ni11n、，/Jvm(1,2,m)xi.ni1由上面的m個(gè)方程中，解出的m個(gè)未知參數(shù)(,)即為參數(shù)1,2,m(1,2,m)的矩估“里。若為的矩估計(jì)，g(x)為連續(xù)函數(shù)，則g(?)為g()的矩估計(jì)。極大似然估計(jì)當(dāng)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布密度為f(X；1,2,m),其中1,2,m為未知參數(shù)。又設(shè)Xi,X2,Xn為息體的一個(gè)樣本，稱nL(1,2,m)f(Xi；1,2,m)i1為樣本的似然函數(shù)，簡記為Ln.當(dāng)總體X為離型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布律為PXXP(X；1,2,m),則稱nL(X1

38、,X2,Xn；1,2,m)P(Xi；1,2,m)i1為樣本的似然函數(shù)。若似然函數(shù)13？2,Xn；1,2,m)在1,2,m處取到最大值，則稱1,2,m分別為1,2,m的最大似然估計(jì)值，相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量稱為最大似然估同。lnLn-0,i1,2,mi1ii若為的極大似然估計(jì)，g(X)為單調(diào)函數(shù)，則g(為為g()的極大似然估計(jì)。估同的無偏性設(shè)(X1,X2,Xn)為未知參數(shù)的估同。若£()=，則評選標(biāo)稱為的無偏估同。準(zhǔn)E(X)=E(X),E(S2)=D(X)后效性以11(X1,X,2,Xn)和22(X1,X,2,Xn)E木知參數(shù)的兩個(gè)無偏估計(jì)量。若d(1)D(2)，則稱1比2后效。T性設(shè)是一一審估

39、的，如果對于任意的正數(shù),都有n77limP(|n|)0,則稱n為的一致估同(或相合估同)若為的無偏估計(jì)，且D(?)0(n)，則為的一致估計(jì)。只要總體的E(X川口D(X)存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都是相應(yīng)總體的一致估同。區(qū)置信區(qū)設(shè)總體X含有一個(gè)待估的未知參數(shù)。如果我們從樣本X1,X,2,Xn間估計(jì)問和置出發(fā)，找出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量11(X1,X,2,Xn)與信度22(X1,X,2,Xn)(12),使得區(qū)間1,2以1(01)的概率包含這個(gè)待估參數(shù)，即P121,那么稱區(qū)間1,2為的置信區(qū)間，1為該區(qū)間的置信度(或置信水平)。單正態(tài)總體的期望和方差的區(qū)間估計(jì)設(shè)X1,X,2,Xn為總體XN(,2)的一個(gè)樣本，在置信度為1下，我們