第02章 代數(shù)式

1、中考總復(fù)習(xí)二：代數(shù)式一、單元知識網(wǎng)絡(luò)：二、考試目標(biāo)要求：1.代數(shù)式在現(xiàn)實情境中進一步理解用字母表示數(shù)的意義；能分析簡單問題的數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表示；能解釋一些簡單代數(shù)式的實際背景或幾何意義；會求代數(shù)式的值；能根據(jù)特定的問題查閱資料，找到所需要的公式，并會代入具體的值進行計算.2.整式與分式了解整數(shù)指數(shù)冪的意義和基本性質(zhì)；了解整式的概念，會進行簡單的整式加、減運算；會進行簡單的整式乘法運算(其中的多項式相乘僅指一次式相乘)；會推導(dǎo)乘法公式：，了解公式的幾何背景，并能進行簡單計算；會用提公因式法、公式法(直接用公式不超過二次)進行因式分解(指數(shù)是正整數(shù))；了解分式的概念，會利用分式的基本性質(zhì)進行

2、約分和通分，會進行簡單的分式加、減、乘、除運算.3.二次根式了解二次根式的概念及其加、減、乘、除運算法則，會用它們進行有關(guān)實數(shù)的簡單四則運算（不要求分母有理化）.三、知識考點梳理1.代數(shù)式(1)用運算符號把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來的式子，我們把它們稱為代數(shù)式單個的數(shù)字或字母也可 以看作代數(shù)式(2)列代數(shù)式就是把問題中的表示數(shù)量關(guān)系的語言用代數(shù)式表示出來(3)用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式指明的運算，計算出的結(jié)果，叫做代數(shù)式的值2.整式(1)單項式：數(shù)與字母的積的形式的代數(shù)式叫做單項式單項式是代數(shù)式的一種特殊形式，它的特點是對字母來說只含有乘法的運算，不含有加減運算在含有除法運算時，除數(shù)(

3、分母)只能是一個具體的數(shù)，可以看成分數(shù)因數(shù)單獨一個數(shù)或一個字母也是單項式單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的系數(shù)；一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù).(2)多項式：幾個單項式的代數(shù)和叫做多項式也就是說，多項式是由單項式相加或相減組成的其中，每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數(shù)項；多項式里次數(shù)最高項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù).(3)整式：單項式和多項式統(tǒng)稱整式(4)同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項，叫做同類項(5)整式的加減：整式的加減其實是去括號法則與合并同類項法則的綜合運用把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項.合并同類項后，所得項的系

4、數(shù)是合并前各同類項的系數(shù)的和，且字母部分不變.如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相同；如果括號外的因數(shù)是負數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相反.整式加減的運算法則：一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項.(6)整式的乘除冪的運算性質(zhì)：單項式相乘：兩個單項式相乘，把系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式單項式與多項式相乘：單項式與多項式相乘，用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加用式子表達：多項式與多項式相乘：一般地，多項式乘以多項式，先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每

5、一項，再把所得的積相加用式子表達：平方差公式：完全平方公式：在運用乘法公式計算時，有時要在式子中添括號，添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號.單項式相除：兩個單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式多項式除以單項式：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加(7)因式分解：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這樣的式子變形叫做把這個多項式因式分解因式分解的兩種基本方法：提公因式法：運用公式法：平方差公式：完全平方公式：3.分式(1

6、)分式的意義：一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式其中分式無意義；分式有意義分式的值為0A=0且這兩個條件缺一不可(2)最簡分式：如果一個分式的分子、分母沒有公因式，那么這樣的分式叫做最簡分式(也叫既約分式)如果一個分式的分子、分母有公因式，那么可根據(jù)分式的基本性質(zhì)，用分子、分母的公因式去除分子和分母，將分式化成最簡分式，或者化成整式，這就是約分(3)分式的基本性質(zhì)：(4)分式的運算：分式的加減： ，分式的乘除：，分式的乘方：.4.二次根式：(1)二次根式的概念：式子叫做二次根式是一個非負數(shù).(2)二次根式的性質(zhì)： (3)最簡二次根式：被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)中

7、不含能開得盡方的因數(shù)或因式.滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.(4)二次根式的運算：二次根式的乘除：二次根式的加減：二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并.四、規(guī)律方法指導(dǎo)對于整式、分式、二次根式等內(nèi)容，中考重點考查對基礎(chǔ)知識的理解運用能力.熱點是化簡、求值與分情況討論的數(shù)學(xué)思想方法的考查，旨在讓我們探索靈活、簡捷的解法，提高分析問題的能力.因此，在復(fù)習(xí)中我們要掌握分類討論與數(shù)形結(jié)合思想，提高運算能力、觀察能力、解決實際問題的能力和探索知識、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力.經(jīng)典例題透析類型一、整式的有關(guān)概念及運算1.同類項1.若單項式是同類項，則的值是

8、( )A、-3 B、-1 C、 D、3考點：同類項定義結(jié)合求解二元一次方程組，負整數(shù)指數(shù)冪的計算.思路點撥：同類項的概念為：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的單項式.解：由題意單項式是同類項，所以，解得 ，應(yīng)選C.總結(jié)升華：判斷兩個單項式是否同類項或已知兩個單項式是同類項，需滿足：(1)所含字母相同；(2)相同字母的指數(shù)也相同.2.整式的運算及整式乘法公式的運用2.下列各式中正確的是( )A. B.a2·a3=a6 C.(-3a2)3=-9a6 D.a5+a3=a8考點：整數(shù)指數(shù)冪運算.分析：選項B為同底數(shù)冪乘法，底數(shù)不變，指數(shù)相加，a2·a3=a5，所以B錯；選項C

9、為積的乘方，應(yīng)把每個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，(-3a2)3=-27a6，所以C錯；選項D為兩個單項式的和，此兩項不是同類項，不能合并，所以D錯；選項A為負指數(shù)冪運算，一個數(shù)的負指數(shù)冪等于它的正指數(shù)冪的倒數(shù)，A正確.答案選A.3.計算：(a2+3)(a-2)-a(a2-2a-2) 解:(a2+3)(a-2)-a(a2-2a-2)=a3-2a2+3a-6-a3+2a2+2a=5a-64.利用乘法公式計算：(1)(a+b+c)2 (2)(2a2-3b2+2)(2-2a2+3b2)思路點撥：利用乘法公式去計算時，要特別注意公式的形式及符號特點，靈活地進行各種變形.解：(1)(a+b+c)2可以

10、利用完全平方公式，將a+b看成一項，則(a+b+c)2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.(2)(2a2-3b2+2)(2-2a2+3b2)兩個多項式中，每一項都只有符號的區(qū)別，所以，我們考慮用平方差公式，將符號相同的看作公式中的a，將符號相反的項，看成公式中的b，原式=2+(2a2-3b2)2-(2a2-3b2)=4-(2a2-3b2)2=4-4a4+12a2b2-9b4.舉一反三【變式1】如果a2+ma+9是一個完全平方式，那么m=_.解析：解法一：利用完全平方公式：(a±3)2=a2±

11、;6a+9.解法二：利用一元二次方程根的判別式，若a2+ma+9是一個完全平方式，則關(guān)于a的一元二次方程a2+ma+9=0有兩個相等的實數(shù)根，=0，即m2-36=0， m=±6.解法三：利用配方法，a2+ma+9=a2+ma， 是一個完全平方式， m2=36， m=±6.【變式2】設(shè)，則=_.思路點撥：本題利用乘法公式恒等變形，及互為倒數(shù)的運算性質(zhì).解：，兩邊平方得， ， ，【變式3】用相同的方法可以求， 等的值.總結(jié)升華：此題是反復(fù)運用完全平方公式，把，變形為關(guān)于的代數(shù)式，從而使問題得到解決.這是利用條件求值問題的一個基本思路.【變式4】若a2+3a+1=0，求的值.7思

12、路點撥：有上題做鋪墊，我們可以想到將a2+3a+1=0變形為的形式，a0，將等式兩邊同時除以a，得， ，.類型二、因式分解5.因式分解：(1) 3a3-6a2+12a； (2)(a+b)2-1； (3) x2-12x+36； (4)(a2+b2)2-4a2b2考點：運用提取公因式法和公式法因式分解.思路點撥：把一個多項式進行因式分解，首先要看多項式是否有公因式，有公因式就要先提取公因式，再看是否還可以繼續(xù)進行分解，是否可以利用公式法進行分解，直到不能進行分解為止.解：(1) 3a3-6a2+12a=3a(a2-2a+4)(2)(a+b)2-1=(a+b)2-12=(a+b)+1(a+b)-1=

13、(a+b+1)(a+b-1)(3)x2-12x+36=(x-6)2(4)思路點撥：4a2b2可寫成(2ab)2，可先用平方差公式進行因式分解為(a2+b2+2ab)(a2+b2-2ab)，兩個括號里又符合完全平方公式，還應(yīng)繼續(xù)分解直到不能分解為止.(a2+b2)2-4a2b2=(a2+b2-2ab)(a2+b2+2ab)=(a-b)2(a+b)2舉一反三【變式1】因式分解：(1)；(2)；(3).解：(1) (2) (3) 總結(jié)升華：在解題前應(yīng)先觀察題目特征，靈活選取分解方法，往往一題有幾種解法或一題需要綜合運用幾種方法.分解因式一定要分解到不能分解為止.類型三、分式的意義及運算1.分式的意義

14、及分式值為零6.當(dāng)x取何值時，分式有意義？分式的值等于零？思路點撥：當(dāng)分母等于零時，分式?jīng)]有意義，此外分式都有意義；當(dāng)分子等于零時，并且分母不等于零時，分式的值等于零.解：當(dāng)分母，即且時，分式有意義.根據(jù)題意，得由1解得：x=1或x=2由2解得且所以，當(dāng)x=2時，分式的值等于零.總結(jié)升華：(1)討論分式有無意義時，一定對原分式進行討論，而不能先化簡，再對化簡后的分式討論；(2)討論分式的值何時為零必須在分式有意義的前提下進行；(3)在解分式的有關(guān)問題時，應(yīng)特別注意分母不為零這個隱含條件.舉一反三【變式1】已知x=-2時，分式無意義；當(dāng)x=4時，分式值為0，則a+b= .考點：分式無意義及分式值

15、為0的條件.解：當(dāng)x=-2時，分式為；分式無意義，可得：-2+a=0，即a=2.當(dāng)x=4時，分式為； 分式值為0，可得：，即b=4.所以a+b=6.2.分式的運算7.計算.考點：分式的混合運算.思路點撥：此題是加減乘除混合運算，有兩種運算順序，其一是規(guī)定順序，先將括號內(nèi)的兩分式通分相減得：，再將分式的分子、分母顛倒與之相乘.其二是按乘法對加法的分配律，先把的分子、分母顛倒與被減數(shù)，減數(shù)相乘，再相減.兩種順序哪一種簡單，要看題目中式子特點確定.解題過程如下：解法1：原式 ；解法2：原式 .舉一反三【變式1】先化簡，再求值：，其中滿足.解：= 或 當(dāng)時，分式無意義.原式的值為2.總結(jié)升華：此題需注

16、意所求得的x值需滿足分式有意義，此處經(jīng)常會被同學(xué)們忽視，要引起注意.【變式2】先化簡，再求值：()÷，其中x=2005解：原式=·=當(dāng)x=2005時，原式=.【變式3】有這樣一道題：“計算：的值，其中.”甲同學(xué)把“”錯抄成“”，但他的計算結(jié)果也是正確的.你說這是怎么回事？解： =0結(jié)果恒為0，與的取值無關(guān).錯抄成不影響結(jié)果.【變式4】已知x、y是方程組的解，求代數(shù)式的值.考點：一元二次方程組解法、分式的化簡求值.思路點撥：一般地，在求代數(shù)式的值的問題中，可以先化簡，再代入求值；也可以先代入，直接進行數(shù)的計算求值.兩種方法哪一種簡單要看代數(shù)式化簡及數(shù)的計算的繁簡程度而定.具體

17、計算時，要選擇簡捷方法.此題所給分式運算，化簡難度較大，應(yīng)該求出方程組的解，直接把解代入，進行數(shù)的運算.解題過程如下：解：解方程組： 得原式.類型四、二次根式的有關(guān)概念及運算8.下列二次根式中屬于最簡二次根式的是( )A.B.C.D.考點：最簡二次根式的定義.思路點撥：依據(jù)最簡二次根式的定義來判別.最簡二次根式所滿足的條件：(1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；二者缺一不可.解：對于選項B，不滿足條件(2)；選項C，中被開方數(shù)含有分母，且分母中含有字母，不是整式，不滿足條件(1)；選項D，也不滿足條件(2)；只有選項A滿足條件(1)(2)，故選A.

18、9.化簡：(1)； (2)； (3).思路點撥：二次根式的化簡即利用二次根式的基本性質(zhì)進行化簡，要注意使二次根式有意義的條件，在允許的取值范圍內(nèi)進行化簡.(1)解：b0， a0. .(2)解法一：0x1， x0， x-10，解法二：0x1， ， ，(3)解：化簡二次根式的隱含條件是，且a0. a20， -(a+1)0， a-1， 或 .舉一反三【變式1】化簡：，其中.解：因為所以，原式.總結(jié)升華：化簡二次根式，往往把被開方數(shù)化為完全平方式，根據(jù)二次根式性質(zhì)化去根號，轉(zhuǎn)化為絕對值問題，然后再根據(jù)絕對值定義化去絕對值符號.類型五、代數(shù)式的綜合應(yīng)用10.若代數(shù)式2x2+3x+7的值為8，則代數(shù)式4x

19、2+6x-9的值是( )A.2 B.-17 C.-7 D.7思路點撥：此題考查的是整體代換的思想.解： 4x2+6x=2(2x2+3x)， 由已知2x2+3x+7=8， 得2x2+3x=1， 4x2+6x-9=2(2x2+3x)-9=2×1-9=-7，選C.11.已知：a，b為實數(shù)，下列各式中一定為正值的是( )A.a2-2a+2 B. C.a2+b2 D.(a-1)2+|b+2|解析：此小題四個選項雖然都是非負數(shù)，但B、C、D三個都有可能得0，不能保證一定為正數(shù)，只有A選項a2-2a+2=(a-1)2+1， (a-1)20， (a-1)2+10，無論a取何值，a2-2a+2的值都為

20、正數(shù)，所以選A.12.現(xiàn)規(guī)定一種運算：，其中、為實數(shù)，則等于( )A. B. C. D.解析：選B.探索規(guī)律13.觀察下列順序排列的等式：9×0+1=19×1+2=119×2+3=219×3+4=319×4+5=41猜想第n個等式(n為正整數(shù))應(yīng)為_.分析：此題觀察規(guī)律并不難，但要注意n的取值，n為正整數(shù)，為了便于觀察，我們可以象以下寫法：第1行 9×0+1=1第2行9×1+2=11第3行 9×2+3=21第4行9×3+4=31第5行9×4+5=41第n行 9×(n-1)+n=10(n-1)+1=10n-9.綜合應(yīng)用14.已知一個凸四邊形ABCD的四條邊的長順次是a，b，c，d，且a2+ab-ac-bc=0， b2+bc-bd-cd