立體幾何高考內(nèi)容分析與復(fù)習(xí)建議

1、立體幾何高考內(nèi)容分析與復(fù)習(xí)建議何永生番禺區(qū)象賢中學(xué)（原增城市鄭中鈞中學(xué)） 內(nèi)容提要：本文通過(guò)對(duì)新舊教材在內(nèi)容、考試要求、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)、以及近幾年來(lái)的新舊課程的高考試題特點(diǎn)等進(jìn)行研究，制定相應(yīng)的復(fù)習(xí)策略。本文還提出了幾種對(duì)空間角與距離的解法。關(guān)鍵詞：空間想象能力，轉(zhuǎn)化化歸思想、向量代數(shù)法。2004年是廣東省采用數(shù)學(xué)新課程的第一次高考，雖說(shuō)高考對(duì)立體幾何的考查一直是以能力為主，對(duì)能力考查的要求有一年比一年提高的趨勢(shì)，題型也相對(duì)較為穩(wěn)定。但新舊課程在內(nèi)容、考試要求、教學(xué)要求、教材的編排體系等畢竟有相當(dāng)大的改變，因此我們進(jìn)行高三立體幾何復(fù)習(xí)時(shí)，有必要對(duì)新舊教材在內(nèi)容、考試要求、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)、以及近幾年

2、來(lái)的新舊課程的高考試題特點(diǎn)等進(jìn)行研究，制定相應(yīng)的復(fù)習(xí)策略，爭(zhēng)取在2004年高考中獲得全面豐收。以下談?wù)劰P者的一些看法：一、 立體幾何內(nèi)容分析（一） 新舊教材比較：在考試內(nèi)容方面：新教材中刪除了棱臺(tái)，旋轉(zhuǎn)體（圓錐、圓柱、圓臺(tái)、球冠及球缺等）。增加了正多面體與歐拉定理；增加了空間向量及其加、減法，與數(shù)乘運(yùn)算；空間向量的數(shù)量積；空間向量的坐標(biāo)表示，及其對(duì)應(yīng)的加減法，數(shù)乘與數(shù)量積運(yùn)算；平面法向量等內(nèi)容。在考試要求方面：刪除了棱臺(tái)，旋轉(zhuǎn)體（圓錐、圓柱、圓臺(tái)、球冠及球缺等）的面積與體積公式，淡化了三垂線定理及其逆定理的要求，增加了理解空間向量與空間向量坐標(biāo)的概念，掌握空間向量的加減法、數(shù)乘與數(shù)量積的概念；

3、及其對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的加減法，與數(shù)乘運(yùn)算；理解直線的方向向量、平面的法向量等內(nèi)容。突出了利用空間向量知識(shí)解決求空間角、空間距離；證明平行與垂直的問(wèn)題，明確了對(duì)傳統(tǒng)幾何的向量化思想。同時(shí)也體現(xiàn)了對(duì)解決問(wèn)題的方法上的靈活性，重點(diǎn)讓學(xué)生掌握向量代數(shù)法，同時(shí)也兼顧傳統(tǒng)幾何綜合推理方法。（二）復(fù)習(xí)重點(diǎn)：（1） 線線、線面、面面平行和垂直的判定與性質(zhì)；三垂線定理及其逆定理的應(yīng)用；（2） 空間向量的概念、性質(zhì)與運(yùn)用；（3） 空間角與距離的概念和計(jì)算；（4） 特殊棱柱、棱錐的定義、性質(zhì)；（5） 棱柱、棱錐中線線、線面與面面的位置關(guān)系，線線、線面與面面所成角的構(gòu)造與計(jì)算；（特別注重向量代數(shù)法來(lái)計(jì)算角）（三）復(fù)習(xí)難點(diǎn)：（

4、1） 找到要計(jì)算的角、距離等；（2） 掌握應(yīng)用向量解決立體幾何的問(wèn)題；（3）平面圖形與空間圖形相互轉(zhuǎn)換，即空間想象能力進(jìn)一步提高；以及轉(zhuǎn)化化歸思想、類比思想等的培養(yǎng)。二、 高考考點(diǎn)剖析立體幾何三大考點(diǎn)：（1） 線面位置關(guān)系的推理判斷（小題）、證明（大題）；（2） 空間角；（3） 空間距離。線面位置關(guān)系突出平行和垂直，又側(cè)重于垂直關(guān)系，因?yàn)榭臻g直角坐標(biāo)系的建立和空間角的平面角的構(gòu)造與求解離不開(kāi)垂直；空間距離也離不開(kāi)垂直。主要以三棱柱、四棱柱（正方體）、三棱錐、四棱錐為載體。與球有關(guān)的問(wèn)題也是高考常考點(diǎn)。立體幾何大題不獨(dú)立考查單純的線面位置關(guān)系，而明確以多面體為載體，綜合考查概念、性質(zhì)、線面關(guān)系、

5、角與距離。三、 考題特點(diǎn)分析每年的數(shù)學(xué)高考立體幾何題中，有23道選擇題，1道填空題及1道解答題。分值占全卷的18%20%。考題屬于“理解”和“掌握”這兩個(gè)層次，難度中等，試題常有課本背景。總結(jié)20002003年兩省一市（晉津贛）或江蘇、遼寧等省新教材高考卷與全國(guó)高考卷的立體幾何題可以看到以下幾個(gè)特點(diǎn)：（1） 新教材立體幾何試題中大題以棱柱或棱錐為載體，融線面關(guān)系于幾何體中。繼續(xù)采取傳統(tǒng)的小步設(shè)問(wèn)、逐層加深的模式。第一小問(wèn)考查線線、線面、面面的位置關(guān)系、后幾問(wèn)考查空間角，空間距離等度量關(guān)系，解題方法是向量代數(shù)法，其解題思路：“建立坐標(biāo)系求向量坐標(biāo)用公式計(jì)算”。 舊教材相對(duì)穩(wěn)定。（2） 在考查空間

6、概念的基礎(chǔ)上，強(qiáng)調(diào)作圖、證明和計(jì)算相結(jié)合，融推理論證于幾何量的計(jì)算中，邏輯思維能力、空間想象能力的考查存在于運(yùn)算中。（3） 對(duì)空間想象能力的要求進(jìn)一步提高，試題直接對(duì)空間想象能力的考查；如（2000年天津卷第16題），如圖，E、F分別為 D1 C1正方體的面ADD1A1，面BCC1B1的中心，則四 A1 B1邊形BFD1E在該正方體的面上射影可能是 。 E F D C A B 本題需從不同的角度來(lái)觀察圖形，直接體現(xiàn)了對(duì)空間想象能力的考查。再如，2001年北京春季高考卷第11題；2003年全國(guó)卷第16題。（4）重點(diǎn)考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，也注重形式的多樣性，如與簡(jiǎn)易邏輯、排列組合等的小綜合題型也常出

7、現(xiàn)，這也是一種傳統(tǒng)。如：（2002年山西卷）從正方體的6個(gè)面中選取3個(gè)面，其中有2個(gè)面不相鄰的選法共有（ ） A）8種 B）12種 C）16種 D）20種 又如：2003年江蘇卷第16題是與簡(jiǎn)易邏輯相結(jié)合。（5）重視對(duì)數(shù)學(xué)素質(zhì)的基本數(shù)學(xué)思想方法的考查；試題體現(xiàn)了立體幾何學(xué)科特點(diǎn)的通性、通法，突出和加大了對(duì)轉(zhuǎn)化、化歸思想，類比思想及等積變化等基本方法的考查力度。如：2003年新課程卷第15題，考查類比思想。如：（2003年江蘇卷第12題）一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（ ） 此題的最優(yōu)解法是：將這個(gè)正四面體放入一個(gè)正方體中，再將這個(gè)正方體放入球中與球相外接。因?yàn)?/p>

8、正方體的對(duì)角線就是球的直徑，而正四面體的棱就是正方體的側(cè)面對(duì)角線。所以，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則有a=，a=1，故選A。此題是典型的考查轉(zhuǎn)化、化歸思想。四、 復(fù)習(xí)建議由于高考立體幾何題是中低檔題為主，所以在復(fù)習(xí)時(shí)一定要抓好基礎(chǔ)，注意以下幾個(gè)方面。1 回歸課本，加強(qiáng)基本概念、定義、定理的理解和應(yīng)用，加強(qiáng)歸納總結(jié)，將基礎(chǔ)知識(shí)條理化、網(wǎng)絡(luò)化，以利于記憶。對(duì)課本上的每一條定義（或概念）、定理、公理、法則等，要求學(xué)生首先要敘述出來(lái)，其次是分清它們的條件與結(jié)論，再次轉(zhuǎn)換成用符號(hào)語(yǔ)言表述，并要能畫(huà)出正確的圖，定理甚至要求掌握它的證明。對(duì)課本上一些重要題目也要求學(xué)生能用文字語(yǔ)言表述清楚，用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表示正確，

9、畫(huà)出立體感比較明顯的幾何圖。如：經(jīng)過(guò)一個(gè)角的頂點(diǎn)引這個(gè)角所在平面的斜線，如果它和已知角兩邊的夾角為銳角且相等，那么這條斜線在平面內(nèi)的射影是在這個(gè)角的角平分線上。對(duì)這個(gè)常用的結(jié)論，一般可要求學(xué)生填空，畫(huà)出其圖形；又如，對(duì)常用公式，要求學(xué)生不僅要理解其意義，而且還得畫(huà)出圖形。對(duì)各種角、距離的定義與操作過(guò)程要認(rèn)真總結(jié)歸納。（具體小結(jié)如附1）2 進(jìn)一步對(duì)空間想象能力的培養(yǎng)，為此可以從兩個(gè)方面來(lái)入手：（1） 重視看圖能力的培養(yǎng)：對(duì)于一個(gè)幾何體，可要求學(xué)生從不同的角度去觀察，可以是俯視、仰視、側(cè)視、斜視，讓學(xué)生體會(huì)不同的感覺(jué)，可以開(kāi)拓學(xué)生的空間視野，培養(yǎng)空間感；從而也使學(xué)生明白，當(dāng)從一個(gè)角度去觀察一個(gè)幾何

10、圖形而解決不了問(wèn)題時(shí)，可以換一個(gè)觀察角度。（2） 加強(qiáng)畫(huà)圖能力的培養(yǎng)：要求學(xué)生掌握基本圖形的畫(huà)法；如異面直線的幾種畫(huà)法、二面角的幾種畫(huà)法等等；對(duì)線面的位置關(guān)系，所成的角，所有的定理、公理都要畫(huà)出其圖形，而且要畫(huà)出具有較強(qiáng)的立體感，除此之外，還讓學(xué)生體會(huì)到用語(yǔ)言敘述的圖形，畫(huà)哪一個(gè)面在水平面上，產(chǎn)生的視覺(jué)完全不同，往往從一個(gè)方向上看不清的圖形，從另方向上可能一目了然。對(duì)于諸如過(guò)多面體上的已知點(diǎn)作截面，或作二面角的棱等問(wèn)題，主要作圖依據(jù)是平面的三條性質(zhì)和“三平面兩兩相交，得到三條交線，則三條交線或者互相平行或者交于一點(diǎn)”。（3）加強(qiáng)認(rèn)圖能力的培養(yǎng)：對(duì)立體幾何題，既要由復(fù)雜的幾何圖形體看出基本圖形，

11、如點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系；又要從點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系想到復(fù)雜的幾何圖形，既要看到所畫(huà)出的圖形，又要想到未畫(huà)出的部分。能實(shí)現(xiàn)這一些，可使有些問(wèn)題一眼看穿。3 加強(qiáng)審題能力的培養(yǎng)。一般地方法是：先一句一句理解，再全面考慮，要注意文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言的互譯。對(duì)于未給出圖形的題和判斷位置關(guān)系的問(wèn)題，先用手頭的工具比劃它們的位置關(guān)系（桌面、書(shū)、筆、教室等等），如果需要畫(huà)圖，再選擇恰當(dāng)?shù)姆轿划?huà)圖。如果有圖，邊讀題邊想象實(shí)際圖形，再綜合分析線面關(guān)系。4 應(yīng)注重讓學(xué)生掌握解題方法中的通法通則，特別是轉(zhuǎn)化化歸思想，向量代數(shù)法。在授課時(shí)講清講透徹，讓學(xué)生不僅理解深刻而且能牽牽掌握。如線面和面面關(guān)系的轉(zhuǎn)化；三

12、棱錐等積法要熟練掌握；面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行，可再轉(zhuǎn)化為線線平行來(lái)處理。再如，點(diǎn)到面距離，可轉(zhuǎn)化為線到面距離，又可轉(zhuǎn)化為面面距離；證明兩線平行，可轉(zhuǎn)化為兩直線同時(shí)垂直于一個(gè)平面的證明。又如求二面角的向量代數(shù)法、三垂線定理法和射影面法；求點(diǎn)到面的距離的向量代數(shù)法和等體積法等這一些都是立體幾何中的通法；5 引導(dǎo)學(xué)生多積累。如（1）注意平面幾何和立體幾何概念的區(qū)別與了解，如：空間的垂直未必相交；正三棱錐不僅要底面是正三角形，還要頂點(diǎn)在底面上的射影是底面三角形的中心；三棱錐頂點(diǎn)在底面上的射影是底面三角形的外心、內(nèi)心、垂心的條件各是什么等問(wèn)題。（2）記住一些特殊圖形的線面關(guān)系和有關(guān)量。如：正方體中對(duì)角線

13、與側(cè)面對(duì)角線異面時(shí)，它們互相垂直；正四面體相對(duì)棱相互垂直；直角四面體的三個(gè)側(cè)面面積的平方和等于底面面積的平方等等；若能記住它，將提高解題速度。還使學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解更加快捷。6 嚴(yán)抓解題的表述與書(shū)寫(xiě)的規(guī)范性。在傳統(tǒng)的邏輯推理方法中的基本步驟是：“一作（作輔助線），二證明（如證明直線與平面所成的角），三求（求解角或距離等）”；在用向量代數(shù)法時(shí)，必須按照“一建系（建立空間直角坐標(biāo)系），二求點(diǎn)的坐標(biāo)，三求向量的坐標(biāo)，四運(yùn)用向量公式求解”；如在證明線面垂直時(shí)，應(yīng)證線線垂直時(shí)，學(xué)生容易只證與平面內(nèi)一條直線垂直就下結(jié)論，這里應(yīng)強(qiáng)調(diào)證兩條相交直線，缺一不可；用空間向量解決問(wèn)題時(shí)，需要用建立坐標(biāo)系時(shí)，一定要說(shuō)清

14、楚；用三垂線定理作二面角的平面角時(shí)，一定得點(diǎn)明斜線在平面上射影；書(shū)寫(xiě)解題過(guò)程的最后都必須寫(xiě)結(jié)題語(yǔ)。7 在面積、體積計(jì)算中，要抓住基本圖形的基本量，利用基本量可用方程思想處理計(jì)算問(wèn)題。長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高；正三棱錐的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)；球的半徑等等；這些基本量是列關(guān)系式的基本元素。8 加強(qiáng)與球有關(guān)的問(wèn)題。球內(nèi)接長(zhǎng)方體的對(duì)角線等于球的直徑；球內(nèi)接正四面體的棱長(zhǎng)與球的直徑的關(guān)系則可以通過(guò)相應(yīng)的球內(nèi)接正方體來(lái)作中間橋梁，即正四面體的棱長(zhǎng)等于正方體的側(cè)面對(duì)角線長(zhǎng)；如2003年全國(guó)卷第12題便是考查這一點(diǎn)。球與截面的問(wèn)題可類比于圓與弦的問(wèn)題。9 培養(yǎng)學(xué)生兩種意識(shí)：（1） 特殊化意識(shí)。許多線面關(guān)系的問(wèn)題要特別注意

15、它們的特殊位置關(guān)系，在一些計(jì)算問(wèn)題在一般位置（圖形）和特殊位置（圖形）的答案是不變的，從特殊中尋找快捷的解題思路。要培養(yǎng)學(xué)生的這種意識(shí)，以提高解題速度。有時(shí)，由特殊圖形的關(guān)系可引出一般在關(guān)系。（2）運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)。平移不改變角的大小，在立體幾何中，所有角的求解都可做平行線（平移）來(lái)解決，這樣我們可將不相交的線的夾角轉(zhuǎn)化為相交線的夾角；直線不能移動(dòng)，但其方向向量可以按需要任意平移。 以上是筆者一些膚淺的看法，由于筆者水平有限，不妥之處，請(qǐng)多多指正！ 附1：（1）求異面直線所成的角主要方法：依據(jù)其定義，可歸納為“選點(diǎn)作平行線解三角形”。一般用“三點(diǎn)定面法”即在異面的兩線段的4個(gè)端點(diǎn)中，適當(dāng)選其中三點(diǎn)確

16、定平面，然后在其確定的平面上先考慮能否平移其中一條線段與另一條相交，如果不行，則可以考慮另兩種做法：（）找線段中點(diǎn)或圖形上的特殊點(diǎn)，來(lái)作兩異面直線的中位線或其它平行線；（）通過(guò)補(bǔ)形來(lái)達(dá)到平移其中一條直線與另一條直線相交。當(dāng)然選點(diǎn)原則是所得到的三角形好解，如直角三角形等。 采用向量代數(shù)法，向量代數(shù)法也有兩種手段：（）利用空間向量基本定理，選取恰當(dāng)一組基底來(lái)分別表示兩異面直線上的方向向量；（）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩異面直線上的方向向量的坐標(biāo)；然后都用數(shù)量積公式求出其夾角的余弦值。以上兩種方法，最主要是掌握向量代數(shù)法。（2） 求二面角常用以下方法：先判斷是否可能為直二面角（要證明），其次可用

17、以下方法： 定義法：在二面角棱上取一點(diǎn)分別向兩個(gè)半平面作垂直于棱的射線.由于棱上選點(diǎn)的任意性對(duì)下一步計(jì)算不利,所以我們常先在一面內(nèi)選一特殊點(diǎn)作棱的垂線交棱于一點(diǎn)。再過(guò)這一點(diǎn)在另一面作垂直于棱的射線，從而得到二面角的平面角。再解三角形。 三垂線定理法：過(guò)一平面內(nèi)一點(diǎn)分別作棱的垂線和另一面的垂線，連接兩個(gè)垂足，可得二面角的平面角。再解直角三角形。以上方法是已知了二面角的棱，可歸納為：“選點(diǎn)一作平面角一證明解三角形”。求解時(shí)，先要分析是否為直角三角形。 從已知圖形中找出某圖形與其射影圖形。利用公式求出，即為二面角的度數(shù)。 向量代數(shù)法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，分別在兩個(gè)平面上求兩條相交直線的方向向量的坐標(biāo)。然后分別取這兩個(gè)平面的法向量，根據(jù)條件分別取一組具體坐標(biāo)，再用公式求出，即為二面角或其補(bǔ)角的度數(shù)。這里有一個(gè)難點(diǎn)是法向量的取法與判斷二面角是小于90o還是大于90o。另外，如果沒(méi)有給出二面角的棱，可將圖形中的某些線段或平面延長(zhǎng)，延拓或平移得到二面角