中考幾何最值問題含復(fù)習(xí)資料

1、幾何最值問題一選擇題（共6小題）1（2015孝感一模）如圖，已知等邊ABC的邊長為6，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為BD上一點(diǎn)，則PE+PC的最小值為（）A3B3C2D3考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題分析：由題意可知點(diǎn)A、點(diǎn)C關(guān)于BD對稱，連接AE交BD于點(diǎn)P，由對稱的性質(zhì)可得，PA=PC，故PE+PC=AE，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，AE即為PE+PC的最小值解答：解：ABC是等邊三角形，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，BDAC，EC=3，連接AE，線段AE的長即為PE+PC最小值，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，AEBC，AE=3，PE+PC的最小值是3故選D點(diǎn)評：本題考查的是軸對稱最短路線

2、問題，熟知等邊三角形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵2（2014鄂城區(qū)校級模擬）如圖，在直角坐標(biāo)系中有線段AB，AB=50cm，A、B到x軸的距離分別為10cm和40cm，B點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為30cm，現(xiàn)在在x軸、y軸上分別有動點(diǎn)P、Q，當(dāng)四邊形PABQ的周長最短時(shí)，則這個(gè)值為（）A50B50C5050D50+50考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題；坐標(biāo)及圖形性質(zhì)專題：壓軸題分析：過B點(diǎn)作BMy軸交y軸于E點(diǎn)，截取EM=BE，過A點(diǎn)作ANx軸交x軸于F點(diǎn)，截取NF=AF，連接MN交X，Y軸分別為P，Q點(diǎn)，此時(shí)四邊形PABQ的周長最短，根據(jù)題目所給的條件可求出周長解答：解：過B點(diǎn)作BMy軸交y軸于E點(diǎn)，截取EM=B

3、E，過A點(diǎn)作ANx軸交x軸于F點(diǎn)，截取NF=AF，連接MN交x，y軸分別為P，Q點(diǎn)，過M點(diǎn)作MKx軸，過N點(diǎn)作NKy軸，兩線交于K點(diǎn)MK=40+10=50，作BLx軸交KN于L點(diǎn)，過A點(diǎn)作ASBP交BP于S點(diǎn)LN=AS=40KN=60+40=100MN=50MN=MQ+QP+PN=BQ+QP+AP=50四邊形PABQ的周長=50+50故選D點(diǎn)評：本題考查軸對稱最短路線問題以及坐標(biāo)和圖形的性質(zhì)，本題關(guān)鍵是找到何時(shí)四邊形的周長最短，以及構(gòu)造直角三角形，求出周長3（2014秋貴港期末）如圖，ABBC，ADDC，BAD=110°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，當(dāng)AMN周長最小時(shí)，MAN的度

4、數(shù)為（）A30°B40°C50°D60°考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題分析：根據(jù)要使AMN的周長最小，即利用點(diǎn)的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對稱點(diǎn)A，A，即可得出AAM+A=HAA=70°，進(jìn)而得出MAB+NAD=70°，即可得出答案解答：解：作A關(guān)于BC和CD的對稱點(diǎn)A，A，連接AA，交BC于M，交CD于N，則AA即為AMN的周長最小值，作DA延長線AH，DAB=110°，HAA=70°，AAM+A=HAA=70°，MAA=MAB，NAD=A，MAB+NAD=70°，M

5、AN=110°70°=40°故選B點(diǎn)評：本題考查的是軸對稱最短路線問題，涉及到平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出M，N的位置是解題關(guān)鍵4（2014無錫模擬）如圖，MON=90°，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B分別在OM、ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=運(yùn)動過程中，當(dāng)點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離最大時(shí)，OA長度為（）ABC2D考點(diǎn)：勾股定理；三角形三邊關(guān)系；直角三角形斜邊上的中線分析：取AB的中點(diǎn)，連接OE、DE，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出O

6、E，利用勾股定理列式求出DE，然后根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊判斷出O、E、D三點(diǎn)共線時(shí)點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離最大，過點(diǎn)A作AFOD于F，利用ADE的余弦列式求出DF，從而得到點(diǎn)F是OD的中點(diǎn)，判斷出AF垂直平分OD，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得OA=AD解答：解：如圖，取AB的中點(diǎn)，連接OE、DE，MON=90°，OE=AE=AB=×2=1，三邊形ABCD是矩形，AD=BC=，在RtADE中，由勾股定理得，DE=2，由三角形的三邊關(guān)系得，O、E、D三點(diǎn)共線時(shí)點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離最大，此時(shí)，OD=OE+DE=1+2=3，過點(diǎn)A作AFOD于F，則cosADE=

7、，即=，解得DF=，OD=3，點(diǎn)F是OD的中點(diǎn)，AF垂直平分OD，OA=AD=故選B點(diǎn)評：本題考查了勾股定理，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，作輔助線并判斷出OD最大時(shí)的情況是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀5（2015鞍山一模）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E在邊BC上且CE=1，長為的線段MN在AC上運(yùn)動，當(dāng)四邊形BMNE的周長最小時(shí)，則tanMBC的值是（）ABCD1考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題；正方形的性質(zhì)分析：根據(jù)題意得出作EFAC且EF=，連結(jié)DF交AC于M，在AC上截取MN=，此時(shí)四邊形BM

8、NE的周長最小，進(jìn)而利用相似三角形的判定及性質(zhì)得出答案解答：解：作EFAC且EF=，連結(jié)DF交AC于M，在AC上截取MN=，延長DF交BC于P，作FQBC于Q，則四邊形BMNE的周長最小，由FEQ=ACB=45°，可求得FQ=EQ=1，DPC=FPQ，DCP=FQP，PFQPDC，=，=，解得：PQ=，PC=，由對稱性可求得tanMBC=tanPDC=故選：A點(diǎn)評：此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及相似三角形的判定及性質(zhì)，得出M，N的位置是解題關(guān)鍵6（2015江干區(qū)一模）如圖，ABC中，CA=CB，AB=6，CD=4，E是高線CD的中點(diǎn)，以CE為半徑CG是C上一動點(diǎn)，P是AG中點(diǎn)，則DP

9、的最大值為（）ABC2D考點(diǎn)：圓的綜合題分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，然后根據(jù)三角形中位線定理可得DP=BG，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短就可解決問題解答：解：連接BG，如圖CA=CB，CDAB，AB=6，AD=BD=AB=3又CD=4，BC=5E是高線CD的中點(diǎn)，CE=CD=2，CG=CE=2根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：BGCG+CB=2+5=7當(dāng)B、C、G三點(diǎn)共線時(shí)，BG取最大值為7P是AG中點(diǎn)，D是AB的中點(diǎn)，PD=BG，DP最大值為故選A點(diǎn)評：本題主要考查了圓的綜合題，涉及了等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理、兩點(diǎn)之間線段最短等知識，利用三角形中位線定理將DP轉(zhuǎn)化

10、為BG是解決本題的關(guān)鍵二填空題（共3小題）7（2014江陰市校級模擬）如圖，線段AB的長為4，C為AB上一動點(diǎn)，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作等腰直角ACD和等腰直角BCE，那么DE長的最小值是2考點(diǎn)：等腰直角三角形分析：設(shè)AC=x，BC=4x，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)，得出CD=x，CD=（4x），根據(jù)勾股定理然后用配方法即可求解解答：解：設(shè)AC=x，BC=4x，ABC，BCD均為等腰直角三角形，CD=x，CD=（4x），ACD=45°，BCD=45°，DCE=90°，DE2=CD2+CE2=x2+（4x）2=x24x+8=（x2）2+4，當(dāng)x取2時(shí)，DE取

11、最小值，最小值為：4故答案為：2點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)最值及等腰直角三角形，難度不大，關(guān)鍵是掌握用配方法求二次函數(shù)最值8（2012河南校級模擬）如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E為CD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q為BC邊上兩個(gè)動點(diǎn)，且PQ=2，當(dāng)BP=4時(shí)，四邊形APQE的周長最小考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題專題：壓軸題分析：要使四邊形APQE的周長最小，由于AE及PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可為此，先在BC邊上確定點(diǎn)P、Q的位置，可在AD上截取線段AF=DE=2，作F點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)G，連接EG及BC交于一點(diǎn)即為Q點(diǎn)，過A點(diǎn)作FQ的平行線交BC于一點(diǎn)，即為P點(diǎn)，則此時(shí)AP+EQ=

12、EG最小，然后過G點(diǎn)作BC的平行線交DC的延長線于H點(diǎn)，那么先證明GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的長度解答：解：如圖，在AD上截取線段AF=DE=2，作F點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)G，連接EG及BC交于一點(diǎn)即為Q點(diǎn)，過A點(diǎn)作FQ的平行線交BC于一點(diǎn)，即為P點(diǎn)，過G點(diǎn)作BC的平行線交DC的延長線于H點(diǎn)GH=DF=6，EH=2+4=6，H=90°，GEH=45°設(shè)BP=x，則CQ=BCBPPQ=8x2=6x，在CQE中，QCE=90°，CEQ=45°，CQ=EC，6x=2，解得x=4故答案為4點(diǎn)評：本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱最短路線問題的應(yīng)用

13、，題目具有一定的代表性，是一道難度較大的題目，對學(xué)生提出了較高的要求9（2013武漢）如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動點(diǎn)，滿足AE=DF連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是1考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)專題：壓軸題分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD=CD，BAD=CDA，ADG=CDG，然后利用“邊角邊”證明ABE和DCF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得1=2，利用“SAS”證明ADG和CDG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得2=3，從而得到1=3，然后求出AHB=90°，取AB的中點(diǎn)O，連接OH、OD，根據(jù)直角三角形斜邊上的中

14、線等于斜邊的一半可得OH=AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH的長度最小解答：解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，BAD=CDA，ADG=CDG，在ABE和DCF中，ABEDCF（SAS），1=2，在ADG和CDG中，ADGCDG（SAS），2=3，1=3，BAH+3=BAD=90°，1+BAH=90°，AHB=180°90°=90°，取AB的中點(diǎn)O，連接OH、OD，則OH=AO=AB=1，在RtAOD中，OD=，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OH+DHOD，當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH的長

15、度最小，最小值=ODOH=1（解法二：可以理解為點(diǎn)H是在RtAHB，AB直徑的半圓上運(yùn)動當(dāng)O、H、D三點(diǎn)共線時(shí)，DH長度最?。┕蚀鸢笧椋?點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，確定出DH最小時(shí)點(diǎn)H的位置是解題關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)三解答題（共1小題）10（2015黃岡中學(xué)自主招生）閱讀下面材料：小偉遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在ABC（其中BAC是一個(gè)可以變化的角）中，AB=2，AC=4，以BC為邊在BC的下方作等邊PBC，求AP的最大值小偉是這樣思考的：利用變換和等邊三角形將邊的位置重新組合他的方法是以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心將

16、ABP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到ABC，連接AA，當(dāng)點(diǎn)A落在AC上時(shí)，此題可解（如圖2）請你回答：AP的最大值是6參考小偉同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：如圖3，等腰RtABC邊AB=4，P為ABC內(nèi)部一點(diǎn)，則AP+BP+CP的最小值是（或不化簡為）（結(jié)果可以不化簡）考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定及性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形專題：幾何綜合題分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知AA=AB=BA=2，AP=AC，所以在AAC中，利用三角形三邊關(guān)系來求AC即AP的長度；（2）以B為中心，將APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到A'P'B根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推知PA+P

17、B+PC=P'A+P'B+PC當(dāng)A'、P'、P、C四點(diǎn)共線時(shí)，（P'A+P'B+PC）最短，即線段A'C最短然后通過作輔助線構(gòu)造直角三角形ADC，在該直角三角形內(nèi)利用勾股定理來求線段AC的長度解答：解：（1）如圖2，ABP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到ABC，ABA=60°，AB=AB，AP=ACABA是等邊三角形，AA=AB=BA=2，在AAC中，ACAA+AC，即AP6，則當(dāng)點(diǎn)AA、C三點(diǎn)共線時(shí)，AC=AA+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；故答案是：6（2）如圖3，RtABC是等腰三角形，AB=BC以B為中心，將APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到A'P'B則A'B=AB=BC=4，PA=PA，PB=PB，PA+PB+PC=PA+P'B+PC當(dāng)A'、P'、P、C四點(diǎn)共線時(shí)，（P