第十五章整式的乘除及因式分解

1、第十五章 整式的乘除與因式分解【知識(shí)概念圖表】知識(shí)要點(diǎn)（定義、公理、定理、公式、法則）（一）整式的乘法1.同底數(shù)冪的乘法式子表示：·=(m、n都是正整數(shù))；語言表述：同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；2.冪的乘方式子表示：=(m、n都是正整數(shù))；語言表述：冪的乘方法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；3.積的乘方式子表示：=(n是正整數(shù))；語言表述：積的乘方等于積中各因式乘方的積；4.整式乘法單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把他們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同他的指數(shù)不變，作為積的因式。單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是根據(jù)分配律用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。

2、用式子表示：a(b+c+d)=ab+ac+ad;多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另外一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。（二）乘法公式1.平方差公式式子表示：(ab)(ab)a2b2；語言表述：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方之差;2.完全平方公式式子表示：(a±b)2a2±2abb2；語言表述：兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍；3.添括號(hào)法則式子表示：a+b+c=a+(b+c)，a-b-c=a-(b+c);語言表述：添括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里面的各項(xiàng)都不變號(hào)；如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括到括號(hào)里面的各

3、項(xiàng)都要改變符號(hào)。（三）整式的除法1.同底數(shù)冪的除法式子表示：÷=;語言表述：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減；2.零指數(shù)冪的意義式子表示：a01(a0)；語言表述：任何非零數(shù)的零次冪都等于1；3.單項(xiàng)式除法法則兩個(gè)單項(xiàng)式相除，就是它們的系數(shù)、同底數(shù)的冪分別相除作為商的因式，而對(duì)于那些只在被除式里出現(xiàn)的字母，連同它們的指數(shù)一起直接作為商的因式，對(duì)于只在除式里出現(xiàn)的字母，連同它們的指數(shù)的相反數(shù)一起作為商的因式。4.多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式一個(gè)多項(xiàng)式除以一個(gè)單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加。（四）因式分解1.因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變化叫做把

4、這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。2.因式分解的方法（1）提取公因式法公因式：多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有的因式叫做多項(xiàng)式的公因式。公因式的確定方法：系數(shù)部分：取多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母部分：取多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有的相同字母（或多項(xiàng)式因式）的最低次冪的積。用式子表示：ma+mb+mc=m(a+b+c). m即是公因式。（2）公式法就是逆用乘法公式來分解因式。逆用平方差公式：=（+b）（-b）；逆用完全平方公式：。（3）十字相乘法就是形如型式子的因式分解：。深度理解三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘也適用此法則。當(dāng)然，=·.思維拓展冪的乘方也可逆用：=思維拓展積的乘方也可推廣到三個(gè)以上：易錯(cuò)警示：要防止“漏乘”問題

5、，尤其是要防漏乘常數(shù)項(xiàng)。思維拓展乘法公式中的字母a、b、c可以是數(shù)字，也可以是單項(xiàng)式，還可以是多項(xiàng)式。方法指引因式分解口訣：一提二套三分組，叉乘求根也上數(shù)。五種方法都不行，拆項(xiàng)添項(xiàng)去重組，對(duì)癥下藥穩(wěn)又準(zhǔn)，連乘結(jié)果是基礎(chǔ)?！疽谆煲族e(cuò)剖析】1.將同底數(shù)冪的乘法與整數(shù)加法相混淆，將同底數(shù)冪的乘法與冪的乘方相混淆。典型示例：選擇：下列運(yùn)算正確的是（ ）A. B. C. D. E. 常見錯(cuò)誤：選A、B、D或E。解析點(diǎn)評(píng)：本題主要考查整式加法與同底數(shù)冪的乘法的區(qū)別、以及積的乘方、冪的乘方和同底數(shù)冪的除法法則的簡(jiǎn)單應(yīng)用。A.，顯然是左邊四個(gè)單項(xiàng)式相加，那么只有同類項(xiàng)才可以合并，其他的項(xiàng)要照寫下來，因而得，而

6、原選項(xiàng)等于了，可能是，誤認(rèn)為整式加法就是底數(shù)不變，指數(shù)相加，這是不對(duì)的；B. ，左邊是同底數(shù)冪相乘，根據(jù)法則，才是底數(shù)不變，指數(shù)相加，而原結(jié)論是，估計(jì)是導(dǎo)致的錯(cuò)誤，所以B選項(xiàng)也不對(duì)；D. ，左邊是同底數(shù)冪相除，依據(jù)法則應(yīng)是底數(shù)不變，指數(shù)相減，而原結(jié)論是指數(shù)相除，因而，D選項(xiàng)也是錯(cuò)誤的；E. 是冪的乘方，根據(jù)法則，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，所以應(yīng)當(dāng)?shù)扔?，而這里估計(jì)是誤認(rèn)為是指數(shù)相加才得：，與冪的乘方相混淆，所以E選項(xiàng)也是錯(cuò)誤的；F.顯然只有C選項(xiàng)是正確的，先用積的乘方法則得：，再用冪的乘方法則，底數(shù)不變指數(shù)相乘，得，計(jì)算無誤，因而C是正確的。本題啟示：要將同底數(shù)冪乘法與整式加法區(qū)別開來，同時(shí)也要將同底

7、數(shù)冪的乘法與冪的乘方區(qū)分開來；解整式乘除法運(yùn)算題，一定要遵循法則，切不可胡亂使用，當(dāng)然，前提是要高度熟練各項(xiàng)法則，有順口溜可以幫助記憶：整式乘除并不難，各項(xiàng)法則要記全，同底冪乘法指數(shù)加，同底冪除法指數(shù)減，冪的乘方指數(shù)乘，積的乘方也好辦，先各乘方再求積，運(yùn)算順序不會(huì)變。2.應(yīng)用乘法公式時(shí)容易出錯(cuò)。乘法公式是中學(xué)非常重要的內(nèi)容，可學(xué)生初學(xué)乘法公式時(shí)，在應(yīng)用中總會(huì)出錯(cuò)。典型示例：計(jì)算：；常見錯(cuò)誤：解：。解：。解析點(diǎn)評(píng)：要讓我們計(jì)算，能不能使用乘法公式呢？這要看它是否具備了平方差公式的特征。觀察平方差公式：(ab)(ab)a2b2；兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，且在這兩個(gè)二項(xiàng)式中，有一項(xiàng)是相同的，而另一項(xiàng)恰好是相反

8、的，結(jié)果是等于相同的那個(gè)數(shù)（第一個(gè)數(shù)）的平方減去符號(hào)相反的那一個(gè)數(shù)（第二個(gè)數(shù)）的平方的差的。本題中，顯然是兩個(gè)二項(xiàng)式的積，且相同的數(shù)是“”，符號(hào)相反的數(shù)是“”，完全符合平方差公式的特征，因而可以使用公式，由于第一數(shù)是“”，而第二數(shù)才是“”，因而原式應(yīng)等于本題啟示：應(yīng)用平方差公式時(shí)，要找準(zhǔn)“第一數(shù)”和“第二數(shù)”，在兩個(gè)因式中完全相同的項(xiàng)就是第一數(shù)，符號(hào)恰好相反的項(xiàng)就是第二數(shù)，不可將被減數(shù)與減數(shù)搞錯(cuò)了位置。要計(jì)算，顯然可直接用完全平方公式。但是千萬要防止出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤：及或，前二者都是掉了一、二兩數(shù)積的二倍這一項(xiàng)，且第二個(gè)還有符號(hào)問題，最后一個(gè)是錯(cuò)了最后一項(xiàng)的符號(hào)，其實(shí)正確的公式是：，就是說一個(gè)二

9、項(xiàng)式的和或差的平方，是等于這兩個(gè)數(shù)的平方和再加上或減去這兩數(shù)的積的二倍的。除了一、二兩數(shù)的積的二倍這一項(xiàng)的符號(hào)是與前面二項(xiàng)式中第二項(xiàng)的符號(hào)一致外，其他兩平方項(xiàng)的符號(hào)始終都是“+”。所以原答案：是套錯(cuò)了公式，是不對(duì)的。正確的應(yīng)該是：.本題啟示：要記準(zhǔn)記牢乘法公式，抓住這樣幾個(gè)特征：一是項(xiàng)數(shù)的特征；二是符號(hào)的特征；三是指數(shù)的特征。3.分解因式題目中極易出現(xiàn)的錯(cuò)誤。一類是未分解到理想的形式。要么未分到不能再分的程度，要么是分解過了頭。所謂“不能再分”就是將要出現(xiàn)無理式（根號(hào)下含未知數(shù)的式子）而又未出現(xiàn)無理式的時(shí)候。另一類是沒有按照分解因式的思維順序“一提二套三分組”去思考去操作，導(dǎo)致分不下去或者分解

10、出錯(cuò)。典型示例：分解因式：；。常見錯(cuò)誤：；.解析點(diǎn)評(píng)：本題錯(cuò)解過程是：顯然，最后未分解到位，因?yàn)榍耙粋€(gè)因式還可以提取因數(shù)3，正確的答案應(yīng)當(dāng)是；過程中，出現(xiàn)了無理式，也是不對(duì)的，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解也只能到前一步，正確的過程是：；，問題出在該生沒有按照分解因式的思維順序“一提二套三分組”去思考去操作，導(dǎo)致分不下去或者分解出錯(cuò)。分解因式首先要考慮的就是提取公因式法，如果說有公因式不先提取，變形過程既麻煩結(jié)果又容易出錯(cuò)，對(duì)于本題：，分解時(shí)必須先提取公因式“”得：，再運(yùn)用公式來分解，可得：。本題的變形中出現(xiàn)了符號(hào)錯(cuò)誤，本來，并且應(yīng)始終把這個(gè)二項(xiàng)式作為一個(gè)整體去處理，那么在這個(gè)變形中會(huì)產(chǎn)生一個(gè)負(fù)號(hào)，如何去處

11、理這個(gè)負(fù)號(hào)非常關(guān)鍵，正確的過程是：。本題啟示：分解因式的思維順序是：“一提二套三分組”，有公因式必先提取。其實(shí)，有人歸納過分解因式的口訣是：“一提二套三分組，十字相乘也上數(shù)。四種方法都不行，拆項(xiàng)添項(xiàng)去重組。重組無望試求根，換元或者算余數(shù)。多種方法靈活選，連乘結(jié)果是基礎(chǔ)。同式相乘若出現(xiàn)，乘方表示要記住?！?；多項(xiàng)式分解因式要分解到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止；對(duì)于互為相反的兩個(gè)多項(xiàng)式，在分解過程中往往要看作一個(gè)整體并且要統(tǒng)一符號(hào)，不僅，而且對(duì)于指數(shù)不是2的情況也能統(tǒng)一，其規(guī)律是：。 4.添括號(hào)問題也是學(xué)生極易出錯(cuò)的地方。要讓學(xué)生樹立一個(gè)觀念：就是無論是去括號(hào)還是添括號(hào)，括號(hào)總是和它前面的符號(hào)密

12、不可分的，密切聯(lián)系的。前面是負(fù)號(hào)，括號(hào)里面的各項(xiàng)都要變號(hào)，前面是正號(hào)，括號(hào)里面的各項(xiàng)都不變號(hào)。（本處不再舉例）【考點(diǎn)命題突破】考點(diǎn)分析: 必考點(diǎn)：乘法公式的運(yùn)用，簡(jiǎn)單的整式乘、除法運(yùn)算，用提取公因式法和公式法進(jìn)行因式分解；?？键c(diǎn)：推導(dǎo)乘法公式并進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方，積的乘方，添括號(hào)法則，同底數(shù)冪除法，零指數(shù)冪意義；少考點(diǎn)：乘法公式的幾何背景，多項(xiàng)式的除法運(yùn)算，用十字相乘法、分組分解法、拆項(xiàng)添項(xiàng)法等分解因式。中考熱點(diǎn)：除了以定義性運(yùn)算及拼圖、歸納規(guī)律等新題型方式考查本章知識(shí)外，更多的是將乘法公式及整式乘除法運(yùn)算、因式分解與分式結(jié)合出化簡(jiǎn)求值題。考查方式：除了以選擇、填空題形式

13、來直接考查公式或法則或因式分解的方法外，還出現(xiàn)有許多新題型，如動(dòng)手操作題，閱讀理解題，規(guī)律探究題等解答題?？键c(diǎn)1 分解因式（2011河北）下列分解因式正確的是（ ）AB2a-4b+2=2（a-2b）C D解題思路：本題選項(xiàng)A中逆用分配律提取了“a”，相當(dāng)于添加了帶負(fù)號(hào)的括號(hào)，所以括在括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)都要變號(hào)，而它的第二項(xiàng)仍然為正，錯(cuò)了符號(hào)，其實(shí)也可用去括號(hào)驗(yàn)證的辦法來檢驗(yàn)正誤。選項(xiàng)B漏掉了常數(shù)項(xiàng)；選項(xiàng)C不能使用完全平方公式，只能用平方差公式來分解因式。選項(xiàng)D把握公式特征準(zhǔn)確，計(jì)算無誤，是正確的。答案：D考點(diǎn)2 整式運(yùn)算 （2011山東聊城）下列運(yùn)算不正確的是（ ） A BC D解題思路：本題中選項(xiàng)

14、A是整式的加法，合并同類項(xiàng)得是正確的；選項(xiàng)C是單項(xiàng)式的乘法，把他們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同他的指數(shù)不變，作為積的因式，得，也是對(duì)的；選項(xiàng)D是多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加，得，也沒錯(cuò)；只有選項(xiàng)B，要用積的乘方和冪的乘方法則，應(yīng)該是，而所給的結(jié)果是，所以是不對(duì)的。答案：B考點(diǎn)3 與整式運(yùn)算有關(guān)的實(shí)驗(yàn)探究隆問題（2011浙江衢州）有足夠多的長(zhǎng)方形和正方形的卡片，如下圖. 如果選取1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)卡片分別為1張、2張、3張，可拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（不重疊無縫隙）.(1)請(qǐng)畫出這個(gè)長(zhǎng)方形的草圖，并運(yùn)用拼圖前后面積之間的關(guān)系說明這個(gè)長(zhǎng)方形的代數(shù)意義.

15、132233 這個(gè)長(zhǎng)方形的代數(shù)意義是 .（2）小明想用類似的方法解釋多項(xiàng)式乘法:，那么需用2號(hào)卡片 張，3號(hào)卡片 張.解題思路：這是一道動(dòng)手操作題，根據(jù)題目所給量的關(guān)系可剪一些類似的小紙片去動(dòng)手拼圖，我們發(fā)現(xiàn)拼的結(jié)果是不唯一的。如下圖。然后根據(jù)拼圖前后圖形的面積相等的數(shù)學(xué)事實(shí)，可以得到結(jié)論：。這就啟發(fā)我們可以用類似的方法去解釋多項(xiàng)式乘法中左右成立的道理：，顯然由多項(xiàng)式各項(xiàng)的系數(shù)知道：需用1號(hào)卡片2張，需用2號(hào)卡片3張，3號(hào)卡片7張。答案：(1)(2)需用2號(hào)卡片 3 張，3號(hào)卡片 7 張。 難點(diǎn)突破和易錯(cuò)警示難點(diǎn)突破： 可以用排除法解題。易錯(cuò)警示：要分清同底數(shù)冪的乘法與整數(shù)加法，同底數(shù)冪的乘法

16、與冪的乘方等運(yùn)算的不同。方法探究：解圖象信息題和實(shí)驗(yàn)操作題的方法是：認(rèn)真觀察圖形，仔細(xì)理解題意，勤于動(dòng)手操作，善于聯(lián)想推理，從中受到啟發(fā)，找準(zhǔn)解題思路?！局锌嫉漕}回顧】例1 （2011浙江?。┒x新運(yùn)算“”如下：當(dāng)ab時(shí)，ab=ab+b,當(dāng)a<b時(shí)，ab=ab-a；若(2x-1)(x+2)=0,則x= 答案：1或例2（2011四川涼山州）分解因式： 。答案：例3（2011安徽蕪湖）如圖，從邊長(zhǎng)為（a4）cm的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為cm的正方形，剩余部分沿虛線又剪拼成一個(gè)矩形（不重疊無縫隙），則矩形的面積為（ ）.A BC D答案：D例4（2011四川涼山州）我國古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例。如圖，這個(gè)三角形的構(gòu)造法則：兩腰上的數(shù)都是1，其余每個(gè)數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和，它給出了（n為正整數(shù)）的展開式（按a的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律。例如，在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對(duì)應(yīng)展開式中的系數(shù);第四行的四個(gè)數(shù)1，3，3，1，恰好對(duì)應(yīng)著展開式中的系數(shù)等等。11