(新)積化和差與和差化積公式(教師版)

1、積化和差與和差化積公式、和角、倍半角公式復(fù)習(xí)課、基本公式復(fù)習(xí)1、兩角和與差公式及規(guī)律2二倍角公式及規(guī)律sin 2 2sin cossin 2.cos,sin2cos創(chuàng)Z 1 sin2cos(sin cos)2.2 2cos 22cos2cos2.2sin11 costan 21 2si n22cos2.22si n222cos 22sin -22 ta n1 tan2tan221cos12cos12cos1cossin( ) sin cos cos sincos()cos cos sin sin、 tan tantan(）,丄丄1tan tansinsin2si ncos22coscos2co

2、s -cos22sin sin2cos sin 2 2cos cos2si nsin 2 2生動(dòng)的口訣：（和差化積）口訣正加正，正在前，余加余，余并肩 正減正，余在前，余減余，負(fù)正弦 反之亦然3、積化和差與和差化積公式sincos如n(2)sin().cossin1si n(2)sin().coscos1cos(2)cos().sinsin1cos(2)cos()和差化積公式是積化和差公式的逆用形式，要注意的是：其中前兩個(gè)公式可合并為一個(gè)：sin 0 +sin =2sine28 -Qcos 積化和差公式的推導(dǎo)用了“解方程組”的思想，和差化積公式的推導(dǎo)用了“換元”思想。 只有系數(shù)絕對(duì)值相同的同名

3、函數(shù)的和與差，才能直接運(yùn)用公式化成積的形 式，如果一個(gè)正弦與一個(gè)余弦的和或差，則要先用誘導(dǎo)公式化成同名函數(shù)后再運(yùn) 用公式化積。 合一變形也是一種和差化積。 三角函數(shù)的和差化積，可以理解為代數(shù)中的因式分解，因此，因式分解在 代數(shù)中起什么作用，和差化積公式在三角中就起什么作用。3、積化和差與積差化積是一種孿生兄弟，不可分離，在解題過(guò)程中，要切實(shí) 注意兩者的交替使用。如在一般情況下，遇有正、余弦函數(shù)的平方，要先考慮降 幕公式，然后應(yīng)用和差化積、積化和差公式交替使用進(jìn)行化簡(jiǎn)或計(jì)算。和積互化 公式其基本功能在于：當(dāng)和、積互化時(shí)，角度要重新組合，因此有可能產(chǎn)生特殊 角；結(jié)構(gòu)將變化，因此有可能產(chǎn)生互消項(xiàng)或互

4、約因式，從而利于化簡(jiǎn)求值。正因 為如此“和、積互化”是三角恒等變形的一種基本手段。sin a +sin B =2sin( a +B )/2 cos( a - B )/2的證明過(guò)程因?yàn)閟in(a + B )=sina cosB +cosa sinB，sin(a - B )=sina cosB - cosa sinB，將以上兩式的左右兩邊分別相加，得sin( a + B )+sin( a - B )=2sin a cos B，設(shè) a + B = B ， a - B =那么a =( 9 + )/2, B = (0 - )/2把a(bǔ)，B的值代入，即得sin 0 +sin =2sin ( 0 + )/2

5、cos( 0 - ) /2 cos( a - B )-cos( a + B )=(cos a cos B +sin a sin B )-(cos a cos B -sin a sin B )=2sin a sin Bsin a sin B =-1/2-2sina sin B a cos B +sin a sin B )=-1/2(cosa cos B -sin a sin B )-(cos=-1/2cos(a + B )-cos( a - B )其他的3個(gè)式子也是相同的證明方法。4、萬(wàn)能公式2ta n sin , cos1 tan2 2sin 證：sin1coscos1tansincos1 t

6、an2 2ta n2,tan21 tan2 1 tan2-222si n cos2 tan 222.22sin cos 1 tan 2222 cos 2sin 一1 tan2 2222 sin -2 cos 1 tan2 2222si ncos2ta n 2222 cos 2 sin 1 tan2 -2221、上述二個(gè)公式統(tǒng)稱為萬(wàn)能公式。2、這個(gè)公式的本質(zhì)是用半角的正切表示正弦、余弦、正切，即：所以利用它對(duì) 三角式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明，可以使解題過(guò)程簡(jiǎn)潔3、上述公式左右兩邊定義域發(fā)生了變化，由左向右定義域縮小、應(yīng)注意的問(wèn)題1、兩角差的余弦公式是本章中其余公式的基礎(chǔ)，應(yīng)記準(zhǔn)該公式的形式2、 倍角

7、公式cos22cos21 1 2sin2有升、降幕的功能，如果升幕,則角減半，如果降幕，則角加倍，根據(jù)條件靈活選用 3、公式的“三用”（順用、逆用、變用）是熟練進(jìn)行三角變形的前提 3、整體原則 從角度關(guān)系、函數(shù)名稱差異、式子結(jié)構(gòu)特征分析入手，尋求 三角變形的思維指向；4、角度配湊方法，其中，是任意角2(=廠）2匸)III三、例題講解例1已知a,B均為銳角,(5sin a =一， sin10一，求a + B的值102 一3 .解析：由已知條件有 COS a =、5, cos. 10，且OVa +B 0，所以sin(3 x)cos(x) ta n(x)cot( x)例 2 已知 f (x)2,(n

8、 Z)cos( nx)52(1)求 f (5)(2)若8S(即右求f()的值.解當(dāng)n 2k(n Z)時(shí)，、sinxcosxtanxcotxf (x)sinx;cosxf(523.52sin -332當(dāng) n 2k 1(k Z)時(shí)，f(x)-sin xcosxtan x( tanx)cosx34cos()sin,sin.25故當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，sin xtan2 x.f ( ) sin當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),r/52、.52丄2 52.4丄243 3f()sinta nsintan333332. 22 sin9f()sin tansin2cos16例3已知sin()|，sin()1.(1)求tancot的值；(

9、2)當(dāng)(22,(22)時(shí)，求 sin 2解(1)sincos sin2cos3方法1sincoscos sin15sin13sin7cos,cos3030從而，tancotsincos13cossin7的值.方法 2設(shè) x tan cotsin cos cos sin11 sin()10且J1 sin()3sin()sin()coscostantansin()sin()tantantan 1cos costantan1 x 1x 110丄丄13tan cotx.x 13，7(2)由已知可得sin2sin()()sin()cos()cos()sin(4.6.515tanx 1例4已知cos(-,

10、cos(2-,求 tan tan2的值.coscossin sin2,coscossin sin13,coscos5.,si n 12sintantansin sincos cos例5已知sincos1 ,cos2sin解將兩條件式分別平方，得2 sin2si ncos2 cos2 cos2cossin2 sin解1將上面兩式相加,-5得1-2-J4-9.右求sin()的值.2 2sin(sin(13365972 .sin 7. cos- sin& 的值等于cos7， sin 15 sin 8A.2 .32sin(l5 8) cos15s in8原工式n 0o ocos(15 8 ) sin

11、15 sin8sin 15cos80 cos15s in8 cos1/s in8 cos15 cos80 sin 15sin8 sin 15sin8 tan150 tan(45 30) tan45 0tan3001 tan 450 ta n3002 3. 故選B.32、都是銳角，求cos( a + B )的值。1例 7 已知 cos( a B )= -，in 2 2解析：由已知條件有10v2 0，從而避免了增解。2，又sin2 3,sin2 2則 cos22.2。3因?yàn)镺v sin21a =一 v3所以O(shè)v2aV，所以0vav 。又因?yàn)?B ，2所以由、得Va -2v 。12又因?yàn)閏os1(a

12、 - B)=，2所以所以sin(cos2 ()從而cos( a+ B )=COS2 a -( a - B )=cos2a cos( a - B )+sin2a sin( a - B )2 .一 211x -3232一2、3。6評(píng)析：本例通過(guò)Ov sin2發(fā)現(xiàn)了隱含條件:0 0,所以 tan av 0，tan B 0又因?yàn)閂 V , V V ，2 2 2 2所以 一V 0,V V0,所以-nVa + B 0o2 2又因?yàn)閠an( a + B )=旦也=壬 3 1 tan tan 1 42所以a + B =- o3評(píng)析：本例根據(jù)韋達(dá)定理tan a +tan B =3. 3，tan a tan B

13、=4，挖掘出了隱含條件tan aV 0,tan Bsin a +sin BB. sin( a + B ) vsin a +sin BC. sin( a +B )=sin a +sin BD.要以 a、B 的具體值而定3 n3 .已知 nVBv ，sin2 0 =a，貝U sin 0 +cos B 等于()A.a+1 B . -a+1 C . a2+1 D . a2+11 14. 已知 tan a =3，tan B =3，貝cot( a +2B )= .15. 已知 tanx=2，貝U cos2x=.【課堂練習(xí)2】求下列各式的值1. cos200 cos80 +cos110 cos10 =.1

14、2 . 2 (cos15 + . 3 sin15 ) =3 .化簡(jiǎn) 1+2cos2 0 cos2 0 =.4 . cos(20 +x)cos(25 x) cos(70 x)sin(25 x)= 1 1 =1 tan 01 + tan 0【課后反饋1】1 .已知0 Van3vVn， sin a 一一5COS( a +則sin B等于A. 0亠24.0 或 252425亠 24.0 或252.si n7cos7+cos15sin 15sin8si n8o的值等于A. 2+ 32324. ABC)3sinA+4cosB=6，4si nB+3cosA=1C的大小為蘭或耳3或3若a是銳角,sin(1，則

15、cos a的值是n 2 ncosycoscos 73n116 .已知 tan 0 =2，tan =3，且 0、 都是銳角.求證：0+ =4544n已知 cos( a B )=5, cos( a +B )= 5，且(a B)( ，n( n， 2n)，求 cos2 a、cos2 B的值.8.已知sin(1Jan an + a B)= 3,求求 tan B .1,且 sin(2【課后反饋2】1. cos75 +cos15 的值等于()A BC .2 2(si n17+cos17)，b=2cos213-1,c=七，則A. cv av b Bb v cv a C . a v bv c Db v av c

16、3.化簡(jiǎn)1+sin2 B -cos2 B1+sin2 B +cos2 B4 .化簡(jiǎn) sin(2 a + B ) 2sin a cos( a + B )=.A Cl a C5. 在 ABC中，已知 A B、C成等差數(shù)列，則 tan +tan?+ 3 tan?tan2的值為.6. 化簡(jiǎn) sin 2A+sin2B+2sinAsinBcos(A+B).7 化簡(jiǎn) sin50 (1+ 3 tan10 ).8 已知 sin( a + B )=1，求證：sin(2 a + B )+sin(2 a +3B )=0 .1 . C2 .C 3.A477 . C0S2 a=25,cos2 B =18【課后反饋2】1 . A 2.A 3.tan047. 18 .略.【課后反饋1】2；6 1 1 ”亠廠5- 16 略15sin B 5.3 6. sin 2 (A+ B)參考答案：【課堂練習(xí)1】131. C 2 .B3. B 4. 25.5【課堂練習(xí)2】11. 2 22Y3. 242.5. tan2 0例14已知2sincos5，求 3cos 2+ 4s in 2的值。sin 3 cos解:.2sincos5cos0(否則2=5 )sin3cos.2ta n15解之得：tan=2tan3.原式3(1tan2)4 2