積分第一中值定理及其推廣證明

1、積分第一中值定理如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，g(x)在(a,b)上不變號(hào)，并且g(x)在閉區(qū)間a,b上是可積的，則在a,b上至少存在一點(diǎn)，使得成立。證明如下：由于g(x)在閉區(qū)間a,b上不變號(hào)，我們不妨假設(shè)g(x)0,并且記f(x)在閉區(qū)間a,b上的最大值和最小值為M和m,即mf(x)M,我們將不等式兩邊同乘以g(x)可以推出，此時(shí)對(duì)于任意的xa,b都會(huì)有成立。對(duì)上式在閉區(qū)間a,b上進(jìn)行積分，可以得到bbbmg(x)dxf(x)g(x)dxMg(x)dx。aaa此時(shí)在m,M之間必存在數(shù)值,使得mM,即有成立。由于f(x)在區(qū)間a,b上是連續(xù)的，則在a,b上必定存在一點(diǎn)，使f()成立。

2、此時(shí)即可得到bbf(x)g(x)dxf()g(x)dx,aa命題得證2.2積分第一中值定理的推廣定理：(推廣的第一積分中值定理)若函數(shù)f(x)是閉區(qū)間a,b上為可積函數(shù)，g(x)在a,b上可積且不變號(hào)，那么在開(kāi)區(qū)間(a,b)上至少存在一點(diǎn)，使得成立。推廣的第一積分中值定理很重要，在這里給出兩種證明方法。證法1:由于函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上是可積的，g(x)在a,b上可積且不變號(hào)，令xxF(x)f(t)g(t)dt,G(x)g(t)dt,很顯然F(x),G(x)在a,b上連續(xù)。并且aabbF(a) 0, F(b) f(t)g(t)dt , G(a) 0,G(b) a由柯西中值定理即可得到F(

3、b) F(a) F(G(b) G(a) G (化簡(jiǎn)，即bf(t)g(t)dt aba g(t)dt a根據(jù)上式我們很容易得出 bb. f(t)g(t)dt f()。g(t)dt , F( ) f( )g( ) , G( ) g()(a,b),f( )g()g()g(t)dt, (a,b),命題得證證法2:由于函數(shù)g(x)在a,b上可積且不變號(hào)，我們不妨假設(shè)g(x)0o而函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上可積，我們令minff(x)|xa,b,Msupf(x)|xa,b。假設(shè)F(x)是f(x)在閉區(qū)間a,b上的一個(gè)原函數(shù)，即F(x)f(x),xa,b。我們就可以得到下面等式b此時(shí)由于g(x)0,則會(huì)有

4、ag(x)dx0,由于存在兩種可能性，那么下面我們就要分兩種情況以下我們分兩種情形來(lái)進(jìn)行討論：bb(1) .如果g(x)dx0f(x)g(x)dx0,那么對(duì)于(a,b)aa都有包成立。bb(2) .如果g(x)dx0g(x)dx可得aa我們記此時(shí)我們又分兩種情形繼續(xù)進(jìn)行討論：bf(x)g(x)dx(Im-a-bM成立，則此時(shí)一定就存在mM,可以使得ag(x)dxmf(xi),f(x2)M,我們不妨假設(shè)xix2,這其中xi,x2a,b。因?yàn)镕(x)f(x),xa,b,則會(huì)有F(xi)f(Xi)f(x2)F(X2)o此時(shí)至少存在一點(diǎn)(Xi,X2),使得F()f()，即有成立，從而結(jié)論成立(II M ,因?yàn)?g (x)dxa得x 為心,恒有g(shù)(x) 0bg(x)dxabf (x)g(x)dx ,因?yàn)?M ,則有而且我彳門(mén)已知Mf(x)g(x)0,xi0 Myif (x)g(x)dxbMaf (x)dx 0。0,此時(shí)一定存在區(qū)間Mb,(a,b)(其中ai匕)，使于是ai,bi(a,b)，使得f()如果不存在一個(gè)a,bi(a,b),使得f()M,則在閉區(qū)間xi,yi上必定有0。Mf(x)0及g(x)0成立，從而使得Mf(x)g(x)bi如果JMf(x)g(x)dx0,由達(dá)布定理在ai,bi上有Mf(x)g(x)