完整版線性代數(shù)試題及答案

1、線性代數(shù)習題和答案第一局部選擇題共28分311312=m,3133113 213223233211.設行列式=n,那么行列式an a12 -313a213 22 323B. - (m+n)D. m- n、單項選擇題本大題共 14小題,每題2分,共28分在每題列出的四個選項中只有 一個是符合題目要求的,請將其代碼填在題后的括號內.錯選或未選均無分.A. m+nC. n- m13001200B.00100120011003/JA.C.*3.設矩陣,Z3-1210-1V-214,A *是A的伴隨矩陣,貝U AA=中位于1 , 2的元素是0002003/2.設矩陣A=,那么A-1等于B. 6D. -2

2、)A. -6C. 24.設A是方陣,如有矩陣關系式 AB=AC,貝U必有A. A = 0B. BC 時 A=0C. A #0 時 B=CD. | A| #0 時 B=C5. 3X4矩陣A的行向量組線性無關,那么秩 AT等于A. 1B. 2C. 3D.46. 設兩個向量組a 1, a 2,as和6 1, 3 2,3 s均線性相關,那么s=0 =0 =0.+A. 有不全為0的數(shù)入1,入2,入s使入1 a 1+入2 a 2+ +入s a s=0和入1 6 1+入2 3 2+入s.B. 有不全為0的數(shù)入1,入2,入s使入1a 1+6 1+入2 a 2+ 3 2+入sa s+.sC. 有不全為0的數(shù)入1

3、,入2,入s使入1 a 1- 3 1+入2a 2- 3 2+入sa s- 3 sD. 有不全為0的數(shù)入1,入2,入s和不全為0的數(shù)H 1,號,H s使入1a 1+入2a 2+入 s a s=0 和1 3 1+2 3 2+ + 1 s.s=07. 設矩陣A的秩為r,那么A中A.所有r- 1階子式都不為0B.所有r- 1階子式全為0C.至少有一個r階子式不等于0D.所有r階子式都不為08. 設Ax=b是一非齊次線性方程組,Y 1,門2是其任意2個解,那么以下結論錯誤的選項是A. Y 1+ Y 2 是 Ax=0 的一個解C.門1-門2是Ax=0的一個解9. 設n階方陣A不可逆,那么必有(A.秩(A)

4、3)階方陣,以下陳述中正確的選項是()A. 如存在數(shù)入和向量a使A a =入a,貝U a是A的屬于特征值 入的特征向量B. 如存在數(shù)入和非零向量a ,使(入E- A) a =0,那么入是A的特征值C. A的2個不同的特征值可以有同一個特征向量D. 如入1,入2,入3是A的3個互不相同的特征值,婦,a 2, a 3依次是A的屬于入,入2,入3的特征向量,貝U a 1, a 2, a 3有可能線性相關11. 設入0是矩陣A的特征方程的3重根,A的屬于入的線性無關的特征向量的個數(shù)為k,貝U必有()B. k3C. k=312. 設A是正交矩陣,那么以下結論錯誤的選項是(A.| A|2 必為 1-1 T

5、C. A = A13. 設A是實對稱矩陣,C是實可逆矩陣,A. A與B相似)B.| A必為1D. A的行(列)向量組是正交單位向量組B=C TAC .那么()B. A與B不等價C. A與B有相同的特征值D. A與B合同46.1 12 00 2/14. 以下矩陣中是正定矩陣的為(i2 3A. |2 3 (9 4；100*C. 0 2-30 -3 5 /第二局部非選擇題(共72分)二、填空題(本大題共10小題,每題2分,共20分)不寫解答過程,將正確的答案寫在每小題的空格內.錯填或不填均無分.11115. 3 56=.9 25 36、n 1 t 1 r123 r m16. 設 A =, B =L那

6、么 A+2 B=.地 1 -V1 -2 4J17. 設 A =(aij)3 * 3 , |A|=2 , Aj表示|A |中元素 的代數(shù)余子式(i,j=1,2,3 ),那么 (a11A21+a12A22+a13A23) +(a21A21 +a22A22+a23A 23) +(a31A 21+a32A22+a33A23) =18. 設向量(2, -3, 5)與向量(-4, 6, a)線性相關,貝U a=19. 設A是3X 4矩陣,其秩為3,假設門1,門2為非齊次線性方程組 Ax=b的2個不同的解,那么它 的通解為.20. 設A是m x n矩陣,A的秩為r(n),那么齊次線性方程組 Ax=0的一個根

7、底解系中含有解的個 數(shù)為.21. 設向量a、3的長度依次為 2和3,那么向量a +.與a - 3的內積(a +.,a -.)=22.設3階矩陣A的行列式|A|=8,A有2個特征值-1和4,那么另一特征值為氣 10 6、?2、23.設矩陣 A =1 是它的一個特征向量,那么為.24.設實二次型 f(X1,X2,X3,X4,X5)的秩為 4,a所對應的特征值正慣性指數(shù)為3,那么其標準形為 6分,共42分)12025.設 A=340,B=231-5126.試計算行列式201-542327.設矩陣A =11023)2-13133 -14 02-4-1.求(1) ABT； (2) |4A|.,求矩陣B使

8、其滿足矩陣方程AB =A+2 B.、計算題(本大題共7小題,每題試判斷a 4是否為3；a 1, a 2,4 )a 3的線性組,口 ,9；假設是,那么求出組合系數(shù).q _2 -1-2 4229.設矩陣A = 2-10333求：(1)秩(A);(2) A的列向量組的-,02 2 0 2*6 -6 .2 33 4j個最大線性無關組.30.設矩陣A= -227 44的全部特征值為1, 1和-8.求正交矩陣T和對角矩陣aa也4=D,使 T-1AT=D.28.給定向量組a 1=0 210-32-1431.試用配方法化以下二次型為標準形f(x 1 ,X2 ,X3)= x 2 +2x2 3x3 +4X1X2

9、4X1X3 4X2X3 ,并寫出所用的滿秩線性變換.四、證實題(本大題共 2小題,每題5分,共10分)32. 設方陣A滿足A3=0,試證實E- A可逆,且(E- A) - 1= E+A+A21,33. 設門0是非齊次線性方程組 Ax=b的一個特解,弋1,弋2是其導出組 Ax=0的一個根底解系. 試證實(1)門 1=門 0+ E 1,門 2= y 0+ E 2 均是 Ax=b 的解；(2 ) Y 0, Y 1 , Y 2 線性無關.答案：一、單項選擇題(本大題共14小題,每題2分,共28分)1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C11.A12.B二、填空題本大題共15. 6電 3 7*8.A9

10、.A13.D14.C10空,每空2分,共20分)10.B16.17. 418.19.20.21.22.2-Y 1 , c為任意常數(shù)-10Y 1+C(門 2- Y 1)(或 Y 2+C( Yn- r-5t223. 1222224. z1 z2 z3 _z4三、計算題(本大題共(1(1) ABT=25.解7小題,Z86181064 j1-4T23所以B=(A- 2E)-1A=1-5T1 10L64 /1-123?AB =A +2 B 即(A- 2 E)B= A,而一 J /27.解=2-9-6L-2 129 Jz-2130%t-5 32、10-1Jh1 D 0 102240 11234-1 9 J

11、0 13 -1 12 ；f 3-628.解一1035、q 0 3 5、0 11201120 08800110 0 14-14 Je 0 0 0.)1 0 0 20 10 10 0 11, 0 0 0.)1+ a 2+ a 3,組合系數(shù)為 解二 考慮 a 4=X1 a 1+X2 a 2+X3 a 3,2x 1 x 2 3x 3 = 0 X1 -3x2 =1 2x2 +2x3 =4所以a 4=2 a2, 1, 1).x1 +4x2 -x3 =9.方程組有唯一解(2, 1, 1)29.解對矩陣A施行初等行變換T,組合系數(shù)為(2, 1, 1).A1-2-102 0006-20328-20963-2J-

12、2-102 328006-200-217 JA:=3,所以秩10010-2312082、27A)=0秩00(B)0 0 =3.30-10 J=B.1秩B2由于A與B的列向量組有相同的線性關系,而B的列向量組的一個最大線性無關組,故A個最大線性無關組.B是階梯形,B的第1、2、4列是 的第1、2、4列是A的列向量組的一30.解 A的屬于特征值入=1A的第1、2、5列或1、3、4列,或1、3、5列也是的2個線性無關的特征向量為1= (2, - 1, 0) T,E2= (2,0, 1) T.,25/52J5/15經正交標準化,得 Y 1 =T5/5,U 2=糖/15頂/3 J入=-8的一個特征向量為

13、1/3、3=2,經單位化得門3=2/32/32V5/5 所求正交矩陣為T = -75/501 00 對角矩陣 D = 0 10 .0 0 -8 /2.15/154,5/15,5/31/32/3-2/3,25 / 5 2 岳/15(也可取T =0書/35/5 -4V5/151/32/3 .)-2/3,31.解 f(X1 , X2, X3)=(X1+2X2- 2x3)2- 2X22+4X2X3- 7X32=(X1+2X2- 2X3)2- 2 ( X2-X3)2- 5X32.y1 =X1 +2X2 -2X3設寸2 = X2 X3,J3 =X3*-2因其系數(shù)矩陣C= 0 100X1 =y1 -2y2即、X2 = y2 +y3,X3 =y30*1可逆,故此線性變換滿秩.1經此變換即得f(X 1, X2, X3)的標準形y1 - 2y2 - 5y3 .四、證實題(本大題共 2小題,每題5分,共10分)32.證 由于(E- A) (E+A +A2) =E- A3=E ,所以E- A可逆,且(E- A) -1= E+A+A2 .33.證 由假設 A y 0= b, AE 1=0, A 弋 2=0.(1) A r 1=A (門 0