完整10年川大高等代數(shù)及答案

1、四川大學2021年攻讀碩士學位研究生入學測試題一、A為實數(shù)域R上的n階實對稱矩陣.解答以下各題,每題總分值10分.1 .證實：矩陣En A可逆,這里En是n階單位陣.證實：A為實數(shù)域R上的n階實對稱矩陣,那么A可對角化即存在可逆矩陣P,使得P 1AP , A的特征值為1, 2, , n ( k R)pEn AP(En)P1| |P|En| P 1 (1 i)( 2 D ( n 1)由(k i) 0,那么 |En A 0,故En A 可逆.2 .設函數(shù)f: Rn RnR為：f (X,Y) X'AY, X,Y Rn.證實：f不是零函數(shù)當且僅當存在X. Rn使得f(X0,X.)0證實：充分性

2、：由存在X° Rn使得f(X0,X0) 0,那么f不是零函數(shù)必要性：由A為實數(shù)域R上的n階實對稱矩陣,那么A可正交對角化令r(A) r, A的非零特征值為i (i 1,2, ,r)即存在正交矩陣 Q ( 1, 2, n),使得 Q'AQ diag( 1, 2, r,0,0)n r個取 X° i ,有 f(X0,X0)i'A i i 03 .設f(x) |xEn A是a的特征多項式,設f'(x)為f(x)的導數(shù)且f'(x) f(x).證實：A是 數(shù)量矩陣.證實：A為實數(shù)域R上的n階實對稱矩陣,那么A可對角化即存在可逆矩陣P,使得P 1AP ,

3、A的特征值為1, 2, , n ( k R)f(x) |xEn A P(xEn)P 1| |P|xEn| P 1 (x 1)(x2) (x n)f'(x) f(x)的充分必要條件為f(x) a(x b)n (n 0)1由、,得12n b,那么P 1AP bEn ,有A bEn,即A是數(shù)量矩陣.注：關于f'(x) f (x)的充分必要條件為f(x) a(x b)n (n 0)的證實證實：充分性：由f (x)a(x b)n ,有 f'(x) na(x b)n 1育 f(x)a(x b)n有 f'(x)na(x b)n 11,n(x 嘰那么 f'(x)f(x)

4、1 .-f'(x)(x b)、an(x b)f'(x) nant f(x) ,一,一 由一包含了 f (x)的全部不可約因式, (f (x), f'(x)那么f(x)的不可約因式只能是x b和它的非a1x a0必要性：待定系數(shù)法,設f (x)anxnan ixn 1有 f'(x) nanxn 1 (n 1)anxn 2a1由 f'(xf(x)及(f(x)(f'(x) 1,有 f(x) f'(x)(cx d)1、 1 比較 f(x)、f'(x)系數(shù),有 c ,有f(x) f'(x)(x b)(其中 b nd ) nn1f (

5、x)有(f(X), f'(x) f'(x),那么(f (x), f'(x)零常數(shù)倍,故f(x)的形式為f (x) a(x b)n.4.設 A 的秩為 r(A) r,設 V X Rn X'AX0,證實：V包含Rn的一個維數(shù)為n r的子空間.V是Rn的子空間嗎說明你的理由.證實：令 W X Rn AX ,有W Rn由方程AX的解一定是X'AX 0的解,有W V且W RnAX 的根底解系由n r(A) n r個線性無關的向量構成,那么dimW n r由、,得V包含Rn的一個維數(shù)為n r的子空間由V X RnX'AX 0,得V Rn,那么V是Rn的子空間

6、5.進一步假設 A正定,而B是一個負定的n階矩陣.證實：如果 AC CB ,那么必然有C O.證實：把C看作由列向量構成,即C ( 1, 2, n)AC A( 1, 2, n) (A 1,A 2, ,A n)CB (CB)'' (B'C')' B'(1, 2, n)''(B' 1,B' 2,B'n)由 AC CB,得A i B'i (i1,2, ,n)即(A B')i由B負定,得B'負定,又A正定,得A B 0那么關于i的方程(A B') i 只有零解,那么i ,即C O二、

7、設A為數(shù)域F上的n階方陣,它的秩為r.解答以下各題,每題總分值10分.Er O1 .設Er是r階單位陣.寫出“存在可逆矩陣P使得PA 0 ° 的一個充分必要條件, 并證實你的結論.Er0證實：存在可逆矩陣P使得PA O O 的一個充分必要條件為r(A) r 必要性：Er 0由 PA 0 0,那么(PA) r,又 P可逆,那么 r(PA) r(A) r充分性：由 r(A)r ,那么A可通過有限次初等變換為Er,Pm為初等矩陣e.0那么有 PlB PmA 0 0 ,其中 Pl,P2,取P RP2 Pm,由P,P2,'可逆,那么P可逆e.0故存在可逆矩陣P使得PA 0 02 .設1

8、,2, n是Fn的一個基.令(1,2,n) ( 1,2, n ) A .求向量組1, 2, ,n的秩,并給出它的一個極大無關組.解：令1,2,n、1,2,n構成的矩陣分別為A、B由1,2, ,口是尸的一個基,那么r(A1) n,那么A1可逆由 r(A1A) r(BJ r(A) r ,那么 1,2, ,n 的秩為 r在1,2, ,n中取r個線性無關的向量i1,i2,就構成了 1,2, ,n的一個極大無關組3.設P(A)是滿足f(A) 0的F上的所有多項式f(x)組成的集合.證實：P(A)是F上的無 窮維線性空間；并且,如果g(x) P(A)的次數(shù)大于n ,那么g(x)是在F上是可約的.證實：令A

9、的特征多項式為h(x),有h(A) 0根據(jù)題意P(A)中的任意多項式含有因式h(x)2k、.2k .取1,x,x , ,x (k n),由1,x,x, , x線性無關,又k為大于n的任意整數(shù)故P(A)是F上的無窮維線性空間取g(x) P(A)且(g(x) n,總有 g(x) q(x)h(x) ( (q(x) 1)故g(x)是在f上是可約的nk .4.設1, 2, , 口是人的全部復特征值.證實：對任意非負整數(shù)k,數(shù)Ski屬于F.i 1證實：A的特征多項式為f (x) xn an 1xn 1 an 2xn 2a0由A是F上的矩陣,有f(x)為F上的多項式,那么akF (k 0,1, ,n 1)由

10、根與系數(shù)的關系nn nn有1an 1 i、.2an 2i j i j 、.%i 1j 1 i 1i 1Sk為對陣多項式,那么Sk可由a0,a1, ,an1表示,那么Sk F三、設AX是數(shù)域F上的一個n元線性方程組,其系數(shù)矩陣A的秩r(A) r.設S為它的解集.1. (5分)給出“ S是Fn的子空間的充分必要條件,并證實你的結論.2. (10分)假設S不是空集且不是Fn的子空間.求S的秩,并給出它的一個極大無關組.1 .證實：當時,AX 為非齊次線性方程組AX無解時,有SAX有解時,那么有r(A) r(A) r n當r(A)r(A)rn時,AX有唯一解,S只含有一個元素,不能構成空間當r(A)r

11、(A)rn時,AX有無窮解在S中取兩個不同的解Xi、X2,有AX1 AX2 2故S不能構成空間當 時,AX為齊次線性方程組根底解系由n r(A) n r個線性無關的向量構成令這n r個線性無關的向量為有 S XXki 1 k2 2 kn n r故S是F n的子空間的充分必要條件為2 .解：由上題結論,是AX為非齊次線性方程組且有無窮解得情況令方程的一個特解為,有 S X X k ki 1 k2 2k n r n rJ假設可由1, 2, n r線性表出,即 li 1 l2 2那么 X (k1 I1) 1 (k2 I2) 2(kn r In r) nr,帶入方程有AX ,矛盾那么不能由1, 2,

12、n r線性表出,即1, 2, n r線性無關故S的秩為n r 1 ,1, 2, , n r為它的一個極大無關組21 0四.設A 1 21,設C(A)是所有與A可交換的實矩陣組成的集合01 21. (5分)證實：C(A)是實數(shù)域R上的線性空間.2. (10分)求dim rC(A)和它的一個基.1 .證實：取 B,C,D C(A),有 O C(A)有B C C B、B (C D) (B C) Dk(IB) (kl)B、(k I)B kB IB、k(B C) kB kC (k,l R)那么C(A)是實數(shù)域R上的線性空間bn bi2 bi32 .解：令 Bb21 b22 b23 , B C(A),由

13、AB BA,得方程組b31 b32 b332bn t)2i 2bn bi2bi2b2i2bi2b22bii2bi2bi32bi3b23bi22bi3bii2b2ib3i2b2ib22bi22b22b32b2i2b22b23bi32b23b33b222b23b2ib222bb23322 b332b3ib32b3i2b32 b33b322b33b22biibi3bi2b23b22biib3ib23b32b22bi3b33,那么B對稱矩陣b2ib32b22b3ib33b23b32bi有b33bi2bi3,自由未知量有bi2、b3、b22取bi21其余為0 ,有A11 0 10 1 01 0 1取b131其余為0 ,有A2000取b221其余為0 ,有A31010 10 ,那么 BKA1k2A2k3 A3001A1、A2、A3線性無關,故為C(A)的一個基,dimC(A) 3五、(20分)設V是n維歐氏空間,