完整版點(diǎn)集拓?fù)渲v義緊致性學(xué)習(xí)筆記

1、第7章緊致性§ 7.1 緊致空間本節(jié)重點(diǎn)：掌握緊致子集的定義及判斷一個(gè)子集是緊致子集的方法.這些方法哪些是充要條件；掌握緊致性是否是連續(xù)映射可保存的,是否是可遺傳的、有限可積的.在§5.3中,我們用關(guān)于開覆蓋和子覆蓋的術(shù)語刻畫了一類拓?fù)淇臻g,即 Lindeloff 空間.現(xiàn)在來仿照這種做法,即將 Lindeloff 空間定義中的“可數(shù) 子覆蓋換成“有限子覆蓋,以定義緊致空間.讀者在數(shù)學(xué)分析中早已見過 的Heine-Borel定理斷言：實(shí)數(shù)空間R的任何一個(gè)子集為有界閉集的充分必 要條件是它的每一個(gè)開覆蓋都有一個(gè)有限子覆蓋.在§7.3中我們將要推廣這個(gè)定理.因此我們現(xiàn)

2、在作的事也應(yīng)當(dāng)在意料之中.定義7.1.1 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g.如果X的每一個(gè)開覆蓋有一個(gè)有限子 覆蓋,那么稱拓?fù)淇臻gX是一個(gè)緊致空間.明顯地,每一個(gè)緊致空間都是Lindeloff 空間.但反之不然,例如包含著 無限但可數(shù)個(gè)點(diǎn)的離散空間是一個(gè) Lindeloff 空間,但它不是一個(gè)緊致空間.例7.1.1實(shí)數(shù)空間R不是一個(gè)緊致空間.這是由于如果我們設(shè)A= -n, n UR|bCZ+,那么A的任何一個(gè)有限子族為"-勺/0,-選修,由于它的并為-max 1 二''； ,max #/：；/所以不是R的一個(gè)子覆蓋.因此R的開覆蓋A沒有任何一個(gè)有限子覆蓋.定義7.1.2 設(shè)X是一個(gè)

3、拓?fù)淇臻g,Y是X中的一個(gè)子集,如果Y作為X的 子空間是一個(gè)緊致空間,那么稱 Y是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)緊致子集.根據(jù)定義,拓?fù)淇臻gX中的一個(gè)子集Y是X的緊致子集意味著每一個(gè)由子 空間Y中的開集構(gòu)成的Y的開覆蓋有一個(gè)有限子覆蓋,這并不明顯地意味著由 X中的開集構(gòu)成的每一個(gè) Y的覆蓋都有有限子覆蓋.所以陳述以下定理是必要 的.定理7.1.1 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,Y是X中的一個(gè)子集.那么Y是X的一 個(gè)緊致子集當(dāng)且僅當(dāng)每一個(gè)由X中的開集構(gòu)成的Y的覆蓋都有有限子覆蓋.此 定理說明開覆蓋中的開子集可以是 X的,也可以是Y的證實(shí) 必要性設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX中的一個(gè)緊致子集,人是丫的一個(gè)覆蓋,它 由X中的開集構(gòu)成.那么

4、容易驗(yàn)證集族 一三A也是Y的一個(gè)覆蓋,它 由Y中的開集構(gòu)成.因此A有一個(gè)有限子覆蓋,設(shè)為A門匕內(nèi)門匕,4巾,于是a的有限子族4 44覆蓋y.充分性,假定每一個(gè)由X的開集構(gòu)成的丫的覆蓋都有一個(gè)有限子覆蓋.設(shè)A是Y的一個(gè)覆蓋,它由Y中的開集構(gòu)成.那么對于每一個(gè)AC A存在X中的一個(gè) 開集2使得AAinY.因止匕五=MeA是由X中的開集構(gòu)成的丫的一個(gè) 覆蓋,所以有一個(gè)有限子覆蓋,設(shè)為-1_-1_上此時(shí)易見A的子族 44；114覆蓋Y.這證實(shí)丫是X的一個(gè)緊致子集.卜面介紹關(guān)于緊致性的一個(gè)等價(jià)說法.定義7.1.3 設(shè)A是一個(gè)集族.如果A的每一個(gè)有限子族都有非空的交即如果&是A的一個(gè)有限子族,那么

5、,那么稱A是一個(gè)具有有限交性質(zhì)的集族.定理7.1.2 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g.那么X是一個(gè)緊致空間當(dāng)且僅當(dāng)X中的證實(shí)"口:設(shè)X是一個(gè)緊致空間.用反證法.設(shè) F是X中的一個(gè)具有有限交性質(zhì)的閉集族.設(shè)Fw0 .如果c&f C;,那么令 a=CC e f.由于U-' = 0' = 了所以A是X的一個(gè)開覆蓋.于是A有一個(gè)有限子覆蓋,設(shè)為C；Cb'C；.從 而CqCq C/ u 口uC；y=X J 0這說明F不具有有限交性質(zhì).矛盾.“U,設(shè)X中的每一個(gè)具有有限交性質(zhì)的閉集族都有非空的交.為證 明X是一個(gè)緊致空間,設(shè)A是X的一個(gè)開覆蓋.我們需要證實(shí) A有一個(gè)有限子 覆

6、蓋.如果A=0 ,那么,這蘊(yùn)涵 X> 以及A的每一個(gè)子族都是X的 覆蓋.以下假定Aw0.止匕時(shí)F=4|ACA便是X中的一個(gè)非空閉集族,并且 門CF C =門&/ =以點(diǎn)=0因此,它不具有有限交性質(zhì).也就是說,它有一個(gè)有限子族其交為空集.設(shè) f的這個(gè)有限子族為4,4j,4,那么?C&-4=004045皿4是*的一個(gè)有限子覆蓋.如果B是緊致空間X的一個(gè)基,那么由B中的元素構(gòu)成的X的一個(gè)覆蓋當(dāng) 然是一個(gè)開覆蓋,因此有有限子覆蓋.下述定理指出,為驗(yàn)證拓?fù)淇臻g的緊致 性,只要驗(yàn)證由它的某一個(gè)基中的元素組成的覆蓋有有限子覆蓋.定理7.1.3 設(shè)B*是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)基,并且X的由B*

7、中的元素構(gòu)成 的每一個(gè)覆蓋有一個(gè)有限子覆蓋.那么 X是一個(gè)緊致空間.證實(shí) A* 設(shè)是X的一個(gè)開覆蓋.對于每一個(gè) AC A*存在B*的一個(gè)子族 始使得令由于口及川 * = u“的B= X故&是一個(gè)由B*的元素構(gòu)成的X的一個(gè)覆蓋,所以有一個(gè)有限子覆 蓋,設(shè)為 耳聞,義,對于每一個(gè)與,i=1,2,n , vBi e4；34 w 4 e 8=一,與 u A于是對于a*的有限于族4,4一4有也就是說a*有一個(gè)有限子覆蓋 廠4.這證實(shí)x是一個(gè)緊致 空間.定理7.1.4設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g,f:X -Y是一個(gè)連續(xù)映射.如果 A是X的一個(gè)緊致子集,那么f (A)是Y的一個(gè)緊致子集.證實(shí) 設(shè)C*是f(

8、A)的一個(gè)覆蓋,它由Y中的開集組成.對于每一個(gè)CC C*, 由于f是一個(gè)連續(xù)映射,"(C)是X中的一個(gè)開集n u金cJT(C)=d/-15期=)金所以人=11©)2 e C*是a的一個(gè)開覆蓋.由于A是X的一個(gè)緊致子集, 所以A有一個(gè)有限子族,設(shè)為 “,：,工,覆蓋AV 尸6)5u尸(CJ =尸(G u5 5PCJ 工Guju uc. ZD/即0£?,0是.的一個(gè)子族并且覆蓋f (A) .這證實(shí)f(A)是Y的 一個(gè)緊致子集.由上述定理可見,拓?fù)淇臻g的緊致性是連續(xù)映射所保持的性質(zhì),因此是拓 撲不變性質(zhì),也是一個(gè)可商性質(zhì).由此可見,由于實(shí)數(shù)空間R不是緊致空間,而每一個(gè)開

9、區(qū)間都是與它同胚 的,所以每一個(gè)開區(qū)間(作為子空間)都不是緊致空間.定理7.1.5 緊致空間中的每一個(gè)閉子集都是緊致子集.證實(shí) 設(shè)Y是緊致空間X中的一個(gè)閉子集.如果A是Y的一個(gè)覆蓋,它由 X中的開集構(gòu)成.那么3 = auy,是x的一個(gè)開覆蓋.設(shè)B1是B的一個(gè)有限子 族并且覆蓋X.那么Bl- F便是A的一個(gè)有限子族并且覆蓋 Y.這證實(shí)Y是X 的一個(gè)緊致子集.定理7.1.6 每一個(gè)拓?fù)淇臻g必定是某一個(gè)緊致空間的開子空間.證實(shí):設(shè)(X, T)是一個(gè)拓?fù)淇臻g.令8為任何一個(gè)不屬于 X的元素.令X*=XU 訓(xùn) 工 T*=TU 旬 UX*其中 '1 =E -X*|X*-E 是拓?fù)淇臻g(X, T)中

10、的一個(gè)緊致閉集 首先驗(yàn)證T*是集合X*的一個(gè)拓?fù)?(略)其次.證實(shí)X*, T*是一個(gè)緊致空間：設(shè)C*是X*的一個(gè)開覆蓋.那么存在ce C*使得ooe c.于是ce Z,因此x*-c 是緊致的,并且C*-C是它的一個(gè)開覆蓋.于是 C*-C有一個(gè)有限子族,設(shè)為 C1,覆蓋X*-C.易見C1UC是C*的一個(gè)有限子族,并且覆蓋X*.最后,我們指出拓?fù)淇臻gX, T是拓?fù)淇臻gX*, T*的一個(gè)開子空間.這是 由于T = 巧X及X是 X*的一個(gè)開集.在以上定理的證實(shí)中由拓?fù)淇臻gX, T構(gòu)造出來的緊致空間X*, T*,通常 稱為拓?fù)淇臻gX, T的一點(diǎn)緊化.由于非緊致空間它是存在的是它的一點(diǎn)緊化的一個(gè)子空間,因

11、此緊致性不是可遺傳的性質(zhì).但由定理 7.1.5可知緊致性是閉遺傳的.以下定理說明緊致性是可積性質(zhì).定理7.1.7 設(shè)/1,區(qū)人是n?l個(gè)緊致空間.那么積空間Xi./xX*是一個(gè)緊致空間.證實(shí)略作業(yè)：P188 1. 4. 5.§ 7.2 緊致性與別離性公理本節(jié)重點(diǎn)：掌握緊致空間中各別離性公理的關(guān)系；掌握Hausdorff空間中緊致子集的性質(zhì)在本節(jié)中我們把第六章中研究的諸別離性公理和緊致性放在一起進(jìn)行考 察、我們將會(huì)發(fā)現(xiàn)在緊致空間中別離性公理變得十分簡單了.此外在本節(jié)的后 半局部,我們給出從緊致空間到Hausdorff空間的連續(xù)映射的一個(gè)十分重要的 性質(zhì).定理7.2.1設(shè)X是一個(gè)Haus

12、dorff空間.如果A是X的一個(gè)不包含點(diǎn)xX的緊致子集,那么點(diǎn)x和緊致子集A分別有開鄰域U和V使得UP V=0 .證實(shí) 設(shè)A是一個(gè)緊致子集,x A .對于每一個(gè)yCA,由于X是一個(gè)Hausdorff 空間,故存在x的一個(gè)開鄰域和y的一個(gè)開鄰域 匕= 0 .集族也|y CA明顯是緊致子集A的一個(gè)開覆蓋,它有一個(gè) 有限子族,設(shè)為匕渭加/,覆蓋A.令=門四八U分 ,它們分 別是點(diǎn)x和集合A的開鄰域.止匕外,由于對于每一個(gè)i=1 , 2,n有：所以推論7.2.2 Hausdorff空間中的每一個(gè)緊致子集都是閉集.證實(shí) 設(shè)A是Hausdorff空間X的一個(gè)緊致子集.對于任何 xCX,如果 xA,那么根據(jù)

13、定理7.2.1可見x不是A的凝聚點(diǎn).因此凡A的凝聚點(diǎn)都在A中, 從而 A是一一個(gè)閉集.推論7.2.2結(jié)合定理7.1.5可見：推論7.2.3在一個(gè)緊致的Hausdorff空間中,一個(gè)集合是閉集的充分必要條件是它是一個(gè)緊致子集.為了增強(qiáng)讀者對定理7.1.5 ,推論7.2.2和推論7.2.3中的幾個(gè)簡單而常 用的結(jié)論的印象,重新簡明地列舉如下：緊致空間：閉集=> 緊致子集Hausdorff空間：閉集U緊致子集緊致的hausdorff空間：閉集Q緊致子集推論7.2.4 每一個(gè)緊致的Haudorff空間都是正那么空間.證實(shí) 設(shè)A是緊致的Hausdorff空間X的一個(gè)閉子集,x是X中的一個(gè)不 屬于集

14、合A的點(diǎn).由于緊致空間中的閉子集是緊致的參見定理7.1.5 ,所以A是一個(gè)緊致子集.又根據(jù)定理 7.2.1 ,點(diǎn)x和集合A分別有開鄰域U和V 使彳# UP V=0.這就證實(shí)了 X是一個(gè)正那么空間.定理7.2.5 設(shè)X是一個(gè)Hausdorff空間.如果A和B是X的兩個(gè)無交的緊致子集,那么它們分別有開鄰域 U和V使得UP V=0 .證實(shí) 設(shè)A和B是X的兩個(gè)無交的緊致子集.對于任何 xC A,根據(jù)定理7.2.1 ,點(diǎn)x和集合B分別有開鄰域4匕巨/門匕一0 .集族4|x CA是 緊致子集A的一個(gè)開覆蓋,它有一個(gè)有限子族,設(shè)為0小右,.,覆蓋A.令一%八W由于對于每一個(gè)i =1, 2,n有"

15、nV=3,所以Un V=.由于Hausdorff空間的每一個(gè)閉子集都是緊致子集,所以根據(jù)定理7.2.5立即有：推論7.2.6每一個(gè)緊致的Hausdorff空間都是刀的,這個(gè)結(jié)論也可以根據(jù)推論7.2.4和定理6.4.3直接推出.根據(jù)這個(gè)推論聯(lián)系著表6.1并且留意到每一個(gè)緊致空間都是Lindeloff空間這一事實(shí),我們可 有圖表7.1 .從這個(gè)圖表中可以看出,在緊致空間中別離性公理顯得特別簡單.圖表7.1 :緊致空間中的別離性公理Tq空間 O |T/空間|今|丁孑空間O 店空間U Tq U Tq U Tg正規(guī)空間 u 層全正那么空間 O正那么空間定理7.2.7 設(shè)X是一個(gè)正那么空間.如果 A是X中

16、的一個(gè)緊致子集,U是 A的一個(gè)開鄰域,那么存在 A的一個(gè)開鄰域V使得*CU.證實(shí) 設(shè)A是正那么空間X中的一個(gè)緊致子集,U是A的一個(gè)開鄰域.對于 任彳xCA,點(diǎn)x有一個(gè)開鄰域匕使得匕UU集族匕|x C A是緊致子集A的 一個(gè)開覆蓋,它有有限子族,設(shè)為 %,一1,覆蓋A.令P = U:川,它 是A的一個(gè)開鄰域,并且1=叱0)-=此不同根據(jù)這個(gè)定理立即可見,每一個(gè)緊致的正那么空間都是正規(guī)空間.然而這并 不是什么新結(jié)論,由于每一個(gè)緊致空間都是 Lindeloff空間,所以它明顯地蘊(yùn) 涵于定理6.4.3中.然而緊致的正規(guī)空間可以不是正那么空間.例子見于例6. 2. 3.在那個(gè)正規(guī)而非正那么空間的例子中的

17、拓?fù)淇臻g只含有有限多個(gè)點(diǎn),當(dāng)然會(huì)是緊致的.定理7.2.8從緊致空間到Hausdorff空間的任何一個(gè)連續(xù)映射都是閉映證實(shí) 設(shè)X是一個(gè)緊致空間,Y是一個(gè)Hausdorff空間,f:X-Y是一個(gè)連 續(xù)映射.如果 A是緊致空間X中的一個(gè)閉子集.那么它是緊致的參見定理 7.1.5 ,因此它的象集f A是Hausdorff空間Y中的一個(gè)緊致子集參見 定理7.1.4 ,所以又是閉集參見推論 7.2.2 .這證實(shí)f是一個(gè)閉映射.由于一個(gè)既單且滿的開或閉的連續(xù)映射即是一個(gè)同胚,所以我們有：推論7.2.9 從緊致空間到Hausdorff空間的任何一個(gè)既單且滿的即一 一的連續(xù)映射都是同胚.作業(yè)：P192 1.2.

18、§ 7.3 n維歐氏空間那中的緊致子集定義7.3.1 設(shè)X, p是一個(gè)度量空間,AZX.如果存在實(shí)數(shù) g0使 得p x, y <M對于所有x, yCA成立,那么稱A是X的一個(gè)有界子集；如果 X本身是一個(gè)有界子集,那么稱度量空間X, p 是一個(gè)有界度量空間.定理7.3.1緊致度量空間是有界的.證實(shí) 設(shè)(X, p)是一個(gè)緊致度量空間.由球形鄰域構(gòu)成的集族B (x,1) |x CX是X的一個(gè)開覆蓋,它有一個(gè)有限子覆蓋,設(shè)為B (x1, 1) , B (x2, 1),B (xn, 1) 令M=rnax p (xi , xj ) |1 <i , j &n十 2如果 x, y

19、 X,那么存在 i,j, 1&i,j&n,使得 x B (xi , l )和 y C B (xj , l ).于是p(x,y)< p (x, xi ) + p(xi, xj )十 p(xj,y)< M因此度量空間中的每一個(gè)緊致子集都是有界子集. 特別n維歐氏空間P的 每一個(gè)緊致子集都是有界的.下面作為引理給出單位閉區(qū)間0,1是一個(gè)緊致空間的證實(shí).盡管讀者可 能早已熟知這個(gè)結(jié)論.引理7.3.2 單位閉區(qū)間0,1是一個(gè)緊致空間.證實(shí)設(shè)A是0 , 1的一個(gè)開覆蓋.令P=xC0, l| A有一個(gè)有限子族覆蓋0, x 它是0, 1的一個(gè)子集.對于集合P,我們依次證實(shí),（1）

20、PH0 .由于顯然0C P;（2） P是一一個(gè)開集.設(shè)xCP.那么A有一個(gè)有限子族,設(shè)為 4,4廠4,覆蓋0, x.當(dāng)x=1 時(shí),易見P=0, l,它是一個(gè)開集.因此x是P的一個(gè)內(nèi)點(diǎn).下設(shè)x<1.這 時(shí)對于某一個(gè)i0,1 &i0&n,有xC 4.由于4.是0 , 1中的一個(gè)開集,所以 存在實(shí)數(shù)e >0使得x , x+ e 匚4.于是0 , x+ £ - f 二. .這蘊(yùn)涵0 , x+e 匚P.由于0 , x+ e 是0 , 1中的一個(gè)包含x的開集,所以x是P的 一個(gè)內(nèi)點(diǎn).以上證實(shí)了集合P中的任何一個(gè)點(diǎn)都是P的內(nèi)點(diǎn),所以它是一個(gè)開 集.（3） P是一一個(gè)閉集

21、.設(shè)xeP=0,1-P .根據(jù)集合P的定義可見,x, 1UP.另外根據(jù)1 可見.0Vx.選取選取AC A使彳mxCA.由于A是一個(gè)開集,所以存在實(shí)數(shù) & >0使得x £ , x UA.假設(shè)x £ ,x APW0 ,設(shè) zC x e , x n P.那么 A有一個(gè)有限子族A1覆蓋0,z,因此A的有限子族人1.伏覆蓋0, x,這 與 x即矛盾.所以x- £ , x n p=0,即x- £ ,x u P ,從而x- 8 ,1 u F , 因此x是p的一個(gè)內(nèi)點(diǎn).這證實(shí)F"是一個(gè)開集,即p是一個(gè)閉集.根據(jù)上述三條,P是0,1中的一個(gè)既開又閉

22、的非空子集.由于0,1是一 個(gè)連通空間,所以P=0,1,特別,1CP.這也就是說A有一個(gè)有限子族覆蓋 0, 1.以上證實(shí)了 0 , 1的任何一個(gè)開覆蓋有有限子覆蓋,故0, 1是一 個(gè)緊致空間.任何一個(gè)閉區(qū)間a, b (a<b),由于它和單位閉區(qū)間0, 1同胚,所 以是緊致的.并且作為緊致空間的積空間,可見n維歐氏空間 片中任何一個(gè)閉 方體值句, (a<b)也是緊致空間.定理7.3.3 設(shè)A是n維歐氏空間 必中的一個(gè)子集.那么A是一個(gè)緊致子集 當(dāng)且僅當(dāng) A是一一個(gè)有界閉集.|證實(shí) 設(shè)p是n維歐氏空間R的通常度量.：如果AC?是一個(gè)緊致子集,那么根據(jù)定理 7.3.1 ,它是有界 的；由

23、于R"是一個(gè)Hausdorff空間,根據(jù)推論7.2.2 ,它是一個(gè)閉集.：設(shè)AUF是一個(gè)有界閉集.如果A=0,那么A是緊致的.下設(shè) AH0.于是存在實(shí)數(shù) M 0使得對于任何x, yCA有p (x , y) <M任意選取 X0CA,并且令 N=M p (0, x0),其中 0= (0, 0,0) C K* .容易驗(yàn)證 (根據(jù)三角不等式)A匚卜此町.因此A作為緊致空間-MM中的一個(gè)閉子 集必定是緊致的.定理7.3.4 設(shè)X是一個(gè)非空的緊致空間,f:X -R是一個(gè)連續(xù)映射.那么存 在x0, x1 X使得對于任意x C X有f (x0) <f(x) <f(x1)換言之,從非

24、空的緊致空間到實(shí)數(shù)空間 R的任何一個(gè)連續(xù)映射都可以取到 最大點(diǎn)與最小點(diǎn).證實(shí) 由于X緊致,故根據(jù)定理7. 1. 4可見f (X)是實(shí)數(shù)空間R中的一 個(gè)緊致子集.由于R是一個(gè)Hausdorff空間,所以f(X)是一個(gè)閉集.設(shè)m和M 分別為集合f (X)的下,上確界,那么 m ME f(X).因此存在x0, x1 X使得 f(x0) =m和f(x1)=M .根據(jù)上,下確界的定義立即可見,對于任何xCX有f(x0) <f(x) <f(x1).止匕外,由于m維單位球面S鮑是一個(gè)有界閉集,所以是緊致的,n維歐氏空 問不是緊致的,而緊致性又是一個(gè)拓?fù)洳蛔冃再|(zhì),所以：定理7.3.5 設(shè)m n C

25、 Z+.那么m維單位球面S期與n維歐氏空間K*不同胚. 這是通過拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)區(qū)分不同胚的拓?fù)淇臻g的又一個(gè)例子.作業(yè)：P196 1.2.§ 7.4 幾種緊致性以及其間的關(guān)系本節(jié)重點(diǎn):掌握新定義的幾種緊致性的定義及它們之間的關(guān)系.讀者已從數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)中知道了以下命題： 實(shí)數(shù)空間中的一個(gè)子集A 如果滿足以下條件(l)(4)中的任何一條,那么滿足其他的幾條.(1) A是一一個(gè)有界閉集；(2) A的每一個(gè)開覆蓋都有有限子覆蓋；(3) A中的每一個(gè)無限子集都有凝聚點(diǎn)在 A中；(4) A中的每一個(gè)序列都有收斂的子序列收斂于 A中的點(diǎn).這幾個(gè)條件的重要意義,讀者應(yīng)當(dāng)早就有所體會(huì)了.不難發(fā)現(xiàn)這四條中

26、以 惟有1中涉及的概念有賴于度量,其余2 , 3和4三條中所涉及 的概念都只是牽連到拓?fù)?我們當(dāng)然希望在一般的拓?fù)淇臻g中還能建立條件2 , 3和4的等價(jià)性；假設(shè)不能,討論在何種條件下它們等價(jià)也是 一件有意義的事.本節(jié)我們研究這個(gè)問題.為了研究問題時(shí)的方便,引進(jìn)以下 條件5作為討論的中間站.5 A的每一個(gè)可數(shù)開覆蓋都有有限子覆蓋.定義7.4.1設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g.如果X的每一個(gè)可數(shù)開覆蓋都有有限子覆蓋,那么稱拓?fù)淇臻gX是一個(gè)可數(shù)緊致空間.以下兩個(gè)定理的證實(shí)十分容易,請讀者自己補(bǔ)證.定理7.4.1每一個(gè)緊致空間都是可數(shù)緊致空間.定理7.4.2 每一個(gè)Lindeloff 的可數(shù)緊致空間都是緊致空間.

27、定義7.4.2 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g.如果X的每一個(gè)無限子集都有凝聚點(diǎn), 那么稱拓?fù)淇臻gX是一個(gè)列緊空間.定理7.4.3 每一個(gè)可數(shù)緊致空間都是列緊空間.證實(shí) 設(shè)X是一個(gè)可數(shù)緊致空間.為了證實(shí)它是一個(gè)列緊空間,我們只要 證實(shí)它的每一個(gè)可數(shù)的無限子集都有凝聚點(diǎn),現(xiàn)在用反證法來證實(shí)這一點(diǎn).假 設(shè)X有一個(gè)可數(shù)無限子集A沒有凝聚點(diǎn).首先這蘊(yùn)涵A是一個(gè)閉集.此外對于 每一個(gè)aC A,由于a不是A的凝聚點(diǎn),所以存在a的一個(gè)開鄰域 “a使得"a n A=a.于是集族 Qi |a C A U 4 是X的一個(gè)開覆蓋.由于X是可數(shù)緊致 空間,它有一個(gè)有限子覆蓋,不妨設(shè)為 ,1 7 由于A與A無交,所以 必

28、定覆蓋A.因此,A=/叫 3口匕5C A=a1,a2,七口是一個(gè)有限集.這是一個(gè) 矛盾.定義7.4.3 設(shè)4/*是一個(gè)由集合構(gòu)成的序列,如果它滿足條件：4 7 4+1對于每一個(gè)i CZ+成立,即4 口4 口那么稱序列4 以+是一個(gè)下降序列.在某一個(gè)拓?fù)淇臻g中的一個(gè)由非空閉集構(gòu)成的下降序列也叫做一個(gè)非空 閉集下降序列.引理7.4.4 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g.那么拓?fù)淇臻g X是一個(gè)可數(shù)緊致空間當(dāng)且僅當(dāng)由X中任何一個(gè)非空閉集下降序列,有非空的交,即證實(shí) 設(shè)可數(shù)緊致空間X中的非空閉集下降序列48使得E -.于是4%E+是X的一個(gè)開覆蓋,它有一個(gè)有限子覆蓋,設(shè)為K；典,用 由此可得0 = 了：.聞'

29、=&% =%皿網(wǎng)這是一個(gè)矛盾.另一方面,設(shè)拓?fù)淇臻gX中的每一個(gè)非空閉集下降序列都有非空的交.如 果X不是一個(gè)可數(shù)緊致空間,那么X有一個(gè)可數(shù)開覆蓋,設(shè)為九%,沒有 有限子覆蓋.對于每一個(gè)i CZ+,令那么7,匕也是X的一個(gè)開覆蓋,沒有有限子覆蓋,并且滿足條件： 匕M u因此片,?是一個(gè)非空閉集下降序列,所以.??；*.由此 可見V%匕*X.也就是說7,匕4不是X的一個(gè)覆蓋,這是一個(gè)矛盾.定理7.4.5每一個(gè)列緊的4空間都是可數(shù)緊致空間.證實(shí) 設(shè)X是一個(gè)列緊的4空間.如果X不是一個(gè)可數(shù)緊致空間,那么根據(jù) 引理7.4.4 , X中有一個(gè)非空閉集下降序列用小,使得小1+4=.在每一個(gè) 4中選取一

30、點(diǎn)人,并且考慮集合A=力際一如果A是一個(gè)有限集,那么必有一點(diǎn)xC A和一個(gè)正整數(shù)的嚴(yán)格遞增序列n1,n2,使得 廣3飛廣于是對于任何i CZ+有x這是由于,16 F- c F. 1 c- c F-n J £ 量 J '思一】J - 1 1于是xe n小耳,這與反證假設(shè)矛盾.設(shè)A是一個(gè)無限集.由于X是一個(gè)列緊空間,所以A有一個(gè)凝聚點(diǎn),設(shè)為 y.由于X是一個(gè)空間它的每一個(gè)有限子集都是閉集,易見對于每一個(gè) i CZ+ ,點(diǎn)y也是集合一1%'的一個(gè)凝聚點(diǎn)；又由于 4匚月二彩旦二入小立.這也與反證假定矛盾.定義7.4.4 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g.如果X中的每一個(gè)序列都有一個(gè)收斂 的

31、子序列,稱拓?fù)淇臻gX是一個(gè)序列緊致空間.定理7.4.6每一個(gè)序列緊致空間都是可數(shù)緊致空間.證實(shí) 設(shè)X是一個(gè)序列緊致空間,6,瑪,是X中的一個(gè)非空閉集下降 序列.在每月3赤孫35mL加/.對于每一個(gè)i CZ+, , 筋0了£門曲斗 - G/+4 0 ,根據(jù)引理7,4,4X 是一個(gè)可數(shù)緊致空間.定理7.4.7 每一個(gè)滿足第一可數(shù)性公理的可數(shù)緊致空間都是序列緊致空 問.證實(shí) 設(shè)X是一個(gè)滿足第一可數(shù)性公理的可數(shù)緊致空間,設(shè) 皿匚】.對于每一個(gè)i CZ+,令區(qū)-由小山和月-*i .于是& 是拓?fù)淇臻gX中的一個(gè)非空閉集下降序列,因此根據(jù)引理7.4.4 ,我們有門.宇0,證2+?由于X滿足

32、第一可數(shù)性公理,根據(jù)定理 5.1.8 ,在點(diǎn)x處有一個(gè)可數(shù)鄰域 基 %,"滿足條件：Ui.“W4 nUjE產(chǎn).對于任 意j Z+成立.令M = mm |中£用力百對于每一個(gè)i >1 ,令M =畫乜+1勺叫門“.田,于是用,必是一個(gè)嚴(yán)格遞增的 正整數(shù)序列.并且 4叫對于每一個(gè)i CZ+成立.我們來證實(shí)序列 &的子序列電收斂于x ：設(shè)U是x的一個(gè)鄰域.存在 某一個(gè)kC Z+,使得"跖匚",于是當(dāng)i >k時(shí)我們有以叫匚工3根據(jù)本節(jié)中的各個(gè)定理,我們可以得到圖表7.2 .=>緊致空間.何數(shù)緊向空間 一網(wǎng)緊空間取於切rt. J 4一列緊致

33、空司根據(jù)這個(gè)表立即可以知：推論7.4.8 設(shè)X是一個(gè)滿足第二可數(shù)性公理的 Z空間,A是X的一個(gè)子 集.那么以下條件等價(jià)：(1) A的每一個(gè)開覆蓋都有有限子覆蓋；(2) A的每一個(gè)可數(shù)開覆蓋都有有限子覆蓋；(3) A中的每一個(gè)序列都有子序列收斂于 A中的點(diǎn)；(4) A中的每一個(gè)無限子集都有凝聚點(diǎn)在 A中.特別,對于n維歐氏空間K*的子集以上推論成立,并且推論中的每 一個(gè)條件都等價(jià)于A是一個(gè)有界閉集.作業(yè)：P201 1§ 7.5 度量空間中的緊致性本節(jié)重點(diǎn)：掌握度量空間中的緊致空間、可數(shù)緊致空間、序列緊致空間、列緊空間之 問的關(guān)系.由于度量空間滿足第一可數(shù)性公理,同時(shí)也是 Z空間,所以上

34、一節(jié)中的討 論(參見表7.2)因此我們,一個(gè)度量空間是可數(shù)緊致空間當(dāng)且僅當(dāng)它是列緊 空間,也當(dāng)且僅當(dāng)它是序列緊致空間.但由于度量空間不一定就是Lindeloff空間,因此從定理7,4.2并不能斷定列緊的度量空間是否一定就是緊致空間. 本 節(jié)研究這個(gè)問題并給出肯定的答復(fù).定義7.5.1 設(shè)A是度量空間(X, p)中的一個(gè)非空子集.集合A的直徑 diam (A)定義為diam(A)=sup p (x,y)|x,y C A假設(shè) A是有界的diam(A)= 00假設(shè)A是無界的定義7.5.2 設(shè)(X, p)是一個(gè)度量空間,A是X的一個(gè)開覆蓋.實(shí)數(shù) 入 >0稱為開覆蓋A的一個(gè)Lebesgue數(shù),如果

35、對于X中的任何一個(gè)子集 A,只要 diam (A)(入,那么A包含于開覆蓋A的某一個(gè)元素之中.Lebesgue數(shù)不一定存在.例如考慮實(shí)數(shù)空間R的開覆蓋(- 00,1) U(n -1/n,n+1+1/n) |n Z+那么任何一個(gè)正實(shí)數(shù)都不是它的 Lebesgue數(shù).(請讀者自補(bǔ)證實(shí).)定理7.5,1Lebesgue 數(shù)定理序列緊致的度量空間的每一個(gè)開覆蓋有 一個(gè) Lebesgue 數(shù).證實(shí) 設(shè)X是一個(gè)序列緊致的度量空間,A是X的一個(gè)開覆蓋.假假設(shè)開覆 蓋A沒有Lebesgue數(shù),那么對于任何i CZ+,實(shí)數(shù)1/i不是A的Lebesgue數(shù),所 以X有一個(gè)子集E,使得diam (E) < 1

36、/i并且Ei不包含于A的任何元素之中.在每一個(gè)用之中任意選取一個(gè)點(diǎn)人,由于X是一個(gè)序列緊致空間,所以序 列工卜樂有一個(gè)收斂的子序列X或?yàn)橹?由于A是X的一個(gè)開覆蓋,故 存在AC A使得yCA,并且存在實(shí)數(shù)£ >0使得球形鄰域B (y, e ) U A.由rr -4 VW于叫所以存在整數(shù)g 0使得當(dāng)i>M時(shí)2 .令k為任意一個(gè)整數(shù),使得k>M+2/e ,那么對于任何"E "跖有p (x, y) w p (x, % ) + p (, y) < e這證實(shí)匕；一一 U.三-A與“用的選取矛盾.定理7.5.2每一個(gè)序列緊致的度量空間都是緊致空間.證實(shí)

37、 設(shè)X是一個(gè)序列緊致的度量空間,A是X的一個(gè)開覆蓋.根據(jù)定理 7.5.1 , X的開覆蓋 A有一個(gè)Lebesgue數(shù),設(shè)為 人0.令上Bx,入/3.它是X的一個(gè)開覆蓋.我們先來證實(shí) B有一個(gè)有 限子覆蓋.假設(shè)B沒有有限子覆蓋.任意選取一點(diǎn) C X.對于i 1 ,假定點(diǎn) 1卜田二口對已經(jīng)取定,由于貼,貼疝3廣月如幼不是X的覆蓋,選取J 3 3 .根據(jù)歸納原那么,序列小際已經(jīng)取定.易見對于任何i,j CZ+,i wj ,有pJM'入/3 .序列 工卜工?沒有任何收斂的子序列.由于任何 yX的球形鄰域By,入/6中最 多只能包含這個(gè)序列中的一個(gè)點(diǎn).這與 X是序列緊致空間相矛盾.現(xiàn)在設(shè)晌

38、9;'如"W%'療是開覆蓋B的-個(gè)有限子覆 蓋.由于其中每一個(gè)元素的直徑都小于 入,所以對于每一個(gè)i=1,2,n存在 4 * '使得B&入/3 -4 .于是是A的一個(gè)子覆蓋.因此,根據(jù)定理7.5.2以及前一節(jié)中的討論可見：定理7.5.3設(shè)X是一個(gè)度量空間.那么以下條件等價(jià)：(1) X是一個(gè)緊致空間;(2) X是一個(gè)列緊空間；(3) X是一個(gè)序列緊致空間；(4) X是一個(gè)可數(shù)緊致空間.我們將定理7.5.3的結(jié)論列為圖表7.3以示強(qiáng)調(diào).緊致空間 今可數(shù)緊致空質(zhì)Q 序列緊致空間O列緊空間作業(yè)：P205 1 .本章總結(jié):(1)重點(diǎn)是緊致性、緊致性與別離性的關(guān)系

39、.(2)度量空間(特別是 )中的緊致性性質(zhì)要掌握.(3)緊致性是否是連續(xù)映射所能保持的、可積的、可遺傳的證實(shí)時(shí)牽 涉到的閉集要注意是哪個(gè)空間的閉集.§ 7.6 局部緊致空間,仿緊致空間本節(jié)重點(diǎn)：掌握局部緊致空間、仿緊致空間的定義.性質(zhì)；掌握局部緊致空間、仿緊致空間中各別離性公理空間之間的關(guān)系;掌握局部緊致空間、仿緊致空間與緊致空間之間的關(guān)系.定義7.6.1 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,如果X中的每一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)緊致的 鄰域,那么稱拓?fù)淇臻gX是一個(gè)局部緊致空間.由定義立即可見,每一個(gè)緊致空間都是局部緊致空間,由于緊致空間本身 便是它的每一個(gè)點(diǎn)的緊致鄰域.n維歐氏空間也是局部緊致空間,由于其中的

40、任何一個(gè)球形鄰域的閉包都 是緊致的.定理7.6.1每一個(gè)局部緊致的空間都是正那么空間.證實(shí) 設(shè)X是一個(gè)局部緊致的Hausdorff空間,設(shè)x C X,U是x的一個(gè)開鄰 域.令D是x的一個(gè)緊致鄰域,作為Hausdorff空間X的緊致子集,D是X中的 閉集.由推論7.2.4,D作為子空間是一個(gè)緊致的 Hausdorff空間,所以是一個(gè) 正那么空間.印門是x在子空間D中的一個(gè)開鄰域,其中是集合D在拓 撲空間X中的內(nèi)部.從而x在子空間D中有一個(gè)開鄰域V使得它在子空間D中 的閉包包含于 W 一方面V是子空間D中的一個(gè)開集,并且又包含于 W,因此V 是子空間W中的一個(gè)開集,而W是X中的一個(gè)開集,所以V也是

41、X中的開集.另 一方面,由于D是X的閉集,所以V在D中的閉包便是V在X中的閉包因此點(diǎn)x在X中的開鄰域V使得了匚郎匚U .因此X是一個(gè)正那么空間.定理7.6.2設(shè)X是一個(gè)局部緊致的正那么空間,x X,那么點(diǎn)x的所有緊致鄰域構(gòu)成的集族是拓?fù)淇臻gX在點(diǎn)x處的一個(gè)鄰域基.證實(shí) 設(shè)U是xCX的一個(gè)開鄰域.令D為x的一個(gè)緊致鄰域,那么是 x的一個(gè)開鄰域.由于X是正那么空間,所以存在x的開鄰域V使得匚門° .閉集了是x的一個(gè)閉鄰域,并且作為緊致空間D中的閉子集,它是緊致的.以上證明了在x的任何開鄰域U中包含著某一個(gè)緊致鄰域V .從前面兩個(gè)定理立即可以推出：推論7.6.3 設(shè)X是一個(gè)局部緊致的Hau

42、sdorff空間,xCX.那么點(diǎn)x的所 有緊致鄰域構(gòu)成的集族是拓?fù)淇臻g X在點(diǎn)x處的一個(gè)鄰域基.定理7.6.4每一個(gè)局部緊致的正那么空間都是完全正那么空間.證實(shí) 設(shè)X是一個(gè)局部緊致的正那么空間.我們驗(yàn)證X是一個(gè)完全正那么空間 如下：設(shè)xCX和B是X中的一個(gè)閉集,使得= 3'是x的一個(gè)開鄰域.由 定理7.6.2,存在x的一個(gè)緊致閉鄰域V,使得U U . V作為X的一個(gè)子空間是 緊致的正那么空間(正那么是可遺傳的),因此是完全正那么的.因而存在連續(xù)映射 g:V0,1,使得g(x)=0,和對于任何,一.有g(shù)(y)=1 .定義映射h: 片TO 使得快吸艙)二1.顯然 h是一一個(gè)連續(xù)映射定義映射f:X 一0,1,使得對于任何zCX島黑)Z印既)嚴(yán)I首先,映射f的定義