例說數(shù)學思維品質的培養(yǎng)

1、例說數(shù)學思維品質的培養(yǎng)-淺談函數(shù)定義域的教學數(shù)學組 徐 同高中數(shù)學課程標準的基本理念中指出，高中數(shù)學應使學生獲得更高的數(shù)學素養(yǎng)，注重提高學生的數(shù)學思維能力。數(shù)學思維能力在形成理性思維中發(fā)揮著獨特的作用，這也是數(shù)學教育的基本目標之一，而思維能力的差異主要源于思維品質的優(yōu)劣。思維品質是指個體思維活動特殊性的外部表現(xiàn)，它包括思維的嚴密性、思維的靈活性、思維的深刻性、思維的批判性和思維的敏捷性等品質。所以我認為在日常教學過程中應該充分挖掘新教材，對于具體的數(shù)學問題，既要掌握基礎知識達到知識技能目標的要求，也要有意識地充分培養(yǎng)鍛煉學生形成良好的思維品質，從而提高學生的思維能力，逐步養(yǎng)成嚴謹?shù)目茖W態(tài)度，實

2、現(xiàn)情感態(tài)度與價值觀的教學目標。為此，我在教學中充分利用高一數(shù)學新教材中關于函數(shù)定義域的教學內容，探索培養(yǎng)學生形成良好的數(shù)學思維品質的途徑。函數(shù)作為高中數(shù)學的主線，貫穿于整個高中數(shù)學的始終。函數(shù)的定義域是構成函數(shù)的兩大本質要素之一，函數(shù)的定義域(或自變量的允許值范圍)似乎是非常簡單的，然而在解決問題中不加以注意，常常會使人誤入歧途。一、定義域對于函數(shù)解析式的影響例1.有一根長為100cm的細鐵絲，現(xiàn)要折成一個矩形線圈（沒有鐵絲重合部分），求線圈的面積S與矩形長x的函數(shù)解析式。解：設矩形線圈的長為x cm，則寬為(50x) cm，由題意得：，故函數(shù)關系式為：如果解題到此為止，則本題的函數(shù)關系式還欠

3、完整，缺少自變量的取值范圍。也就是說學生的解題思路不夠嚴密。因為當自變量取負數(shù)或不小于50的數(shù)時，S的值是負數(shù)，即矩形的面積為負數(shù)，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量的范圍：即：函數(shù)關系式為： （）這個例子說明，在應用函數(shù)的方法解決實際問題時，必須要注意到函數(shù)定義域的取值范圍對實際問題的影響。若考慮不到這一點，就說明學生思維缺乏嚴密性。若注意到定義域的變化，就說明學生在解題過程中體現(xiàn)出較好的思維嚴密性。二、定義域對函數(shù)最值的影響函數(shù)的最值是指函數(shù)在給定的定義域上能否取到最大(小)值的問題。如果不注意定義域，將會導致最值的錯誤。如：例2：求函數(shù)在2，5上的最值解： ， 當時，.初看結論，本題

4、似乎沒有最大值，只有最小值。產(chǎn)生這種錯誤的根源在于學生是按照在實數(shù)集上求二次函數(shù)最值的思路，而沒有注意到已知條件發(fā)生變化，這說明學生思維缺乏靈活性。其實以上錯誤結論只是對二次函數(shù)在R上適用，而在指定的定義域上，它的最值應受其定義域影響，可分如下情況討論：當時,在上為單調遞增函數(shù),故； 當時，在上為單調遞減函數(shù),故； 當時，在上最值情況是：，即最大值是中最大的一個值。故本題還要繼續(xù)做下去： ， ， 函數(shù)在2，5上的最小值是5，最大值是11 此例說明，若能注意定義域的取值范圍對函數(shù)最值的影響，并在解題過程中加以考慮，便體現(xiàn)出學生思維的靈活性。三、定義域對值域的影響函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合

5、，當定義域和對應法則確定，函數(shù)值也隨之而定。因此在求函數(shù)值域時，應注意函數(shù)值域受到定義域的制約。如：例3：求函數(shù)的值域錯解：令故所求的函數(shù)值域是剖析：經(jīng)換元后，應有，而函數(shù)在0,+)上是增函數(shù)，所以當t=0時，故所求的函數(shù)值域是1, +）以上例子說明，函數(shù)定義域是何等的重要，若能注意自變量隱含的取值范圍，縝密地檢查解題過程，考慮到換元之后要限定引入變量t的取值范圍，就可以避免以上錯誤結果的產(chǎn)生。也就是說，學生若能在解答題目后，檢驗已經(jīng)得到的結果，善于找出和改正自己的錯誤，便體現(xiàn)出良好的思維批判性。四、定義域對函數(shù)單調性的影響函數(shù)單調性是指函數(shù)在給定的定義域上函數(shù)自變量增加時，函數(shù)值隨之增減的情

6、況，所以討論函數(shù)單調性必須在給定的定義域上進行，求函數(shù)的單調區(qū)間必須在函數(shù)定義域內討論。例4：指出函數(shù)的單調區(qū)間解：先求定義域： ， 函數(shù)定義域為令，知在上時，u為減函數(shù)；在時，u為增函數(shù)。又，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。即函數(shù)的單調遞增區(qū)間，單調遞減區(qū)間是。如果在解題時，沒有在定義域的兩個區(qū)間上分別考慮函數(shù)的單調性，錯誤的得到單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為就說明學生對函數(shù)單調性的概念一知半解，在解題時機械地對題型、套公式，而沒有領會問題的實質，也說明學生的思維缺乏深刻性。五、函數(shù)的奇偶性與定義域由函數(shù)奇偶性的定義，判斷函數(shù)的奇偶性應先考慮該函數(shù)的定義域是否關于坐標原點成中心對稱，如果定義

7、域關于坐標原點不成中心對稱，則函數(shù)就無奇偶性。否則再根據(jù)奇偶性定義進一步加以判斷。例5：判斷函數(shù)的奇偶性解： ， 函數(shù)定義域 1,3關于坐標原點不對稱. 函數(shù)是非奇非偶函數(shù)如果學生不注意函數(shù)定義域，那么判斷函數(shù)的奇偶性就會得出如下錯誤結論： ， 函數(shù)是奇函數(shù)錯誤剖析：因為以上解法沒有判斷該函數(shù)的定義域是否關于原點成中心對稱，機械套用函數(shù)奇偶性定義造成的，這是學生極易忽視的步驟，也是造成錯誤結論的原因。綜上所述，在求解函數(shù)關系式、最值(值域)、單調性、奇偶性等問題中，若能精細地檢查思維過程，觀察函數(shù)定義域有無改變(指對定義域為R來說)，對解題結果有無影響，就能提高學生質疑辨析能力，有利于培養(yǎng)學生的思維品質，從而不斷提高學生的思維能力，