高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第14講 直線 圓位置關(guān)系教案 新人教版

1、普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué) 人教版 高三新數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案（講座14）直線、圓的位置關(guān)系一課標(biāo)要求：1能用解方程組的方法求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；2探索并掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離；3能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系；4能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題；5在平面解析幾何初步的學(xué)習(xí)過程中，體會用代數(shù)方法處理幾何問題的思想。二命題走向本講考察重點(diǎn)是直線間的平行和垂直的條件、與距離有關(guān)的問題、直線與圓的位置關(guān)系（特別是弦長問題），此類問題難度屬于中等，一般以選擇題的形式出現(xiàn)，有時(shí)在解析幾何中也會出現(xiàn)大題，多考察其幾何圖形的性質(zhì)或方程

2、知識。預(yù)測2007年對本講的考察是：（1）一個(gè)選擇題或一個(gè)填空題，解答題多與其它知識聯(lián)合考察；（2）熱點(diǎn)問題是直線的位置關(guān)系、借助數(shù)形結(jié)合的思想處理直線與圓的位置關(guān)系，注重此種思想方法的考察也會是一個(gè)命題的方向；（3）本講的內(nèi)容考察了學(xué)生的理解能力、邏輯思維能力、運(yùn)算能力。三要點(diǎn)精講1直線l1與直線l2的的平行與垂直（1）若l1，l2均存在斜率且不重合：l1/l2 k1=k2；l1l2 k1k2=1。（2）若 若A1、A2、B1、B2都不為零。l1/l2；l1l2 A1A2+B1B2=0；l1與l2相交；l1與l2重合；注意：若A2或B2中含有字母，應(yīng)注意討論字母=0與0的情況。兩條直線的交點(diǎn)

3、:兩條直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)取決于這兩條直線的方程組成的方程組的解的個(gè)數(shù)。2 距離（1）兩點(diǎn)間距離：若，則特別地：軸，則、軸，則。（2）平行線間距離：若， 則：。注意點(diǎn)：x，y對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)相等。（3）點(diǎn)到直線的距離：，則P到l的距離為：3直線與圓的位置關(guān)系有三種（1）若，；（2）；（3）。還可以利用直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組求解，通過解的個(gè)數(shù)來判斷：（1）當(dāng)方程組有2個(gè)公共解時(shí)（直線與圓有2個(gè)交點(diǎn)），直線與圓相交；（2）當(dāng)方程組有且只有1個(gè)公共解時(shí)（直線與圓只有1個(gè)交點(diǎn)），直線與圓相切；（3）當(dāng)方程組沒有公共解時(shí)（直線與圓沒有交點(diǎn)），直線與圓相離；即：將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設(shè)它的

4、判別式為，圓心C到直線l的距離為d,則直線與圓的位置關(guān)系滿足以下關(guān)系：相切d=r0；相交d0；相離dr0。4兩圓位置關(guān)系的判定方法設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，。； 外離 外切 相交 內(nèi)切 內(nèi)含判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系也可以通過聯(lián)立方程組判斷公共解的個(gè)數(shù)來解決。四典例解析題型1：直線間的位置關(guān)系例1（1）（2006北京11）若三點(diǎn) A（2，2），B（a，0），C（0，b）(ab0)共線，則, 的值等于 。（2）（2006上海文11）已知兩條直線若，則_ _。解析：（1）答案：；（2）2。點(diǎn)評：（1）三點(diǎn)共線問題借助斜率來解決，只需保證；（2）對直線平行關(guān)系的判斷在一般式方程中注

5、意系數(shù)為零的情況。例2（1）（2006福建文，1）已知兩條直線和互相垂直，則等于（ ）A2 B1 C0 D（2）（2006安徽理，7）若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（ ）A B C D解析：（1）答案為D；（2）與直線垂直的直線為，即在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為4，而，所以在(1，1)處導(dǎo)數(shù)為4，此點(diǎn)的切線為，故選A。點(diǎn)評：直線間的垂直關(guān)系要充分利用好斜率互為負(fù)倒數(shù)的關(guān)系，同時(shí)兼顧到斜率為零和不存在兩種情況。題型2：距離問題例3（2002京皖春文，8）到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是（ ）Axy=0 Bx+y=0 C|x|y=0 D|x|y|=0解析：設(shè)到坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)為（x，y）|x|y|

6、 |x|y|0。答案：D點(diǎn)評：本題較好地考查了考生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，尤其是考查了思維的敏捷性與清晰的頭腦，通過不等式解等知識探索解題途徑例4（2002全國文，21）已知點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)M（1，0）、N（1，0）距離的比為，點(diǎn)N到直線PM的距離為1求直線PN的方程。解析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由題設(shè)有，即。整理得 x2+y26x+1=0 因?yàn)辄c(diǎn)N到PM的距離為1，|M|2，所以PMN30，直線PM的斜率為，直線PM的方程為y=（x1） 將式代入式整理得x24x10。解得x2，x2。代入式得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1）或（2，1）；（2，1）或（2，1）。直線PN的方程為y=x1或y=x+1。點(diǎn)評：該題全面

7、綜合了解析幾何、平面幾何、代數(shù)的相關(guān)知識，充分體現(xiàn)了“注重學(xué)科知識的內(nèi)在聯(lián)系”.題目的設(shè)計(jì)新穎脫俗，能較好地考查考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.比較深刻地考查了解析法的原理和應(yīng)用，以及分類討論的思想、方程的思想。該題對思維的目的性、邏輯性、周密性、靈活性都進(jìn)行了不同程度的考查.對運(yùn)算、化簡能力要求也較高，有較好的區(qū)分度。題型3：直線與圓的位置關(guān)系例5（1）（2006安徽文，7）直線與圓沒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）A B C D （2）（2006江蘇理，2）圓的切線方程中有一個(gè)是（ ）Axy0 Bxy0 Cx0 Dy0解析：（1）解析：由圓的圓心到直線大于，且，選A。點(diǎn)評：該題考察了直線

8、與圓位置關(guān)系的判定。（2）直線ax+by=0，則，由排除法，選C，本題也可數(shù)形結(jié)合，畫出他們的圖象自然會選C,用圖象法解最省事。點(diǎn)評：本題主要考查圓的切線的求法，直線與圓相切的充要條件是圓心到直線的距離等于半徑。直線與圓相切可以有兩種方式轉(zhuǎn)化(1)幾何條件：圓心到直線的距離等于半徑(2)代數(shù)條件：直線與圓的方程組成方程組有唯一解,從而轉(zhuǎn)化成判別式等于零來解。例6（2006江西理，16）已知圓M：（xcosq）2（ysinq）21，直線l：ykx，下面四個(gè)命題：（A） 對任意實(shí)數(shù)k與q，直線l和圓M相切；（B） 對任意實(shí)數(shù)k與q，直線l和圓M有公共點(diǎn)；（C） 對任意實(shí)數(shù)q，必存在實(shí)數(shù)k，使得直線

9、l與和圓M相切；（D）對任意實(shí)數(shù)k，必存在實(shí)數(shù)q，使得直線l與和圓M相切。其中真命題的代號是_（寫出所有真命題的代號）解析：圓心坐標(biāo)為（cosq，sinq）d故選（B）（D）點(diǎn)評：該題復(fù)合了三角參數(shù)的形式，考察了分類討論的思想。題型4：直線與圓綜合問題例7（1999全國，9）直線x+y2=0截圓x2y24得的劣弧所對的圓心角為（ ）A B C D解析：如圖所示：圖由消y得：x23x+2=0，x1=2，x2=1。A（2，0），B（1，）|AB|=2又|OB|OA|=2，AOB是等邊三角形，AOB=，故選C。點(diǎn)評：本題考查直線與圓相交的基本知識，及正三角形的性質(zhì)以及邏輯思維能力和數(shù)形結(jié)合思想，同時(shí)

10、也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的簡捷性。如果注意到直線AB的傾斜角為120，則等腰OAB的底角為60.因此AOB=60.更加體現(xiàn)出平面幾何的意義。例8（2006全國2，16）過點(diǎn)（1，）的直線l將圓(x2)2y24分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對的圓心角最小時(shí)，直線l的斜率k 。解析：過點(diǎn)的直線將圓分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對的圓心角最小時(shí)，直線的斜率解析(數(shù)形結(jié)合)由圖形可知點(diǎn)A在圓的內(nèi)部, 圓心為O(2,0)要使得劣弧所對的圓心角最小,只能是直線，所以。點(diǎn)評：本題主要考察數(shù)形結(jié)合思想和兩條相互垂直的直線的斜率的關(guān)系，難度中等。題型5：對稱問題例9（89年高考題）一束光線l自A（3，3）發(fā)出，射到x軸上，被x軸反射到

11、C：x2y24x4y70上。() 求反射線通過圓心C時(shí)，光線l的方程；() 求在x軸上，反射點(diǎn)M的范圍解法一：已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x2)2+(y2)2=1，它關(guān)于x軸的對稱圓的方程是(x2)2+(y+2)2=1。設(shè)光線L所在的直線的方程是y3=k(x+3)（其中斜率k待定），由題設(shè)知對稱圓的圓心C（2，-2）到這條直線的距離等于1，即d=1。整理得 12k2+25k+12=0，解得k= 或k= 。故所求直線方程是y3=(x+3)，或y3= (x+3)，即3x+4y+3=0或4x+3y+3=0。解法二：已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x2)2+(y2)2=1，設(shè)交線L所在的直線的方程是y-3=k(x+3)（

12、其中斜率k待定），由題意知k0，于是L的反射點(diǎn)的坐標(biāo)是（，0），因?yàn)楣饩€的入射角等于反射角，所以反射光線L所在直線的方程為y= k(x+)，即y+kx+3(1+k)=0。這條直線應(yīng)與已知圓相切，故圓心到直線的距離為1，即d=1。以下同解法一。點(diǎn)評：圓復(fù)合直線的對稱問題，解題思路兼顧到直線對稱性問題，重點(diǎn)關(guān)注對稱圓的幾何要素，特別是圓心坐標(biāo)和圓的半徑。例10已知函數(shù)f(x)=x21(x1)的圖像為C1，曲線C2與C1關(guān)于直線y=x對稱。（1）求曲線C2的方程y=g(x)；（2）設(shè)函數(shù)y=g(x)的定義域?yàn)镸，x1，x2M，且x1x2，求證|g(x1)g(x2)|x1x2|;（3）設(shè)A、B為曲線C

13、2上任意不同兩點(diǎn)，證明直線AB與直線y=x必相交。解析：（1）曲線C1和C2關(guān)于直線y=x對稱，則g(x)為f(x)的反函數(shù)。y=x21，x2=y+1，又x1，x=，則曲線C2的方程為g(x)= (x0)。（2）設(shè)x1，x2M，且x1x2，則x1x20。又x10， x20，|g(x1)g(x2)|=| |=|x1x2|。（3）設(shè)A(x1，y1)、B（x2，y2）為曲線C2上任意不同兩點(diǎn)，x1，x2M，且x1x2，由（2）知，|kAB|=|=1直線AB的斜率|kAB|1，又直線y=x的斜率為1，直線AB與直線y=x必相交。點(diǎn)評：曲線對稱問題應(yīng)從方程與曲線的對應(yīng)關(guān)系入手來處理，最終轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)之

14、間的對應(yīng)關(guān)系。題型6：軌跡問題例11（2005山東理，22）已知動圓過定點(diǎn)，且與直線相切，其中。（I）求動圓圓心的軌跡的方程；（II）設(shè)A、B是軌跡上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且為定值時(shí)，證明直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。解析：（I）如圖，設(shè)為動圓圓心，為記為，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，由題意知：即動點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡為拋物線，其中為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，所以軌跡方程為；（II）如圖，設(shè)，由題意得（否則）且所以直線的斜率存在，設(shè)其方程為，顯然，將與聯(lián)立消去，得由韋達(dá)定理知（1）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，所以，所以由知：所以。因此直線的方程可表示為，即

15、，所以直線恒過定點(diǎn)。（2）當(dāng)時(shí)，由，得=，將式代入上式整理化簡可得：，所以，此時(shí)，直線的方程可表示為即，所以直線恒過定點(diǎn)。所以由（1）（2）知，當(dāng)時(shí)，直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)直線恒過定點(diǎn)。點(diǎn)評：該題是圓與圓錐曲線交匯題目，考察了軌跡問題，屬于難度較大的綜合題目。例12（2005江蘇，19）如圖，圓與圓的半徑都是1，. 過動點(diǎn)分別作圓、圓的切線（分別為切點(diǎn)），使得. 試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動點(diǎn)的軌跡方程。解析：以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，。由已知，得。因?yàn)閮蓤A半徑均為1，所以。設(shè)，則，即(或)。點(diǎn)評：本小題主要考查求軌跡方程的方法及基本運(yùn)算能力。題型7：課標(biāo)創(chuàng)新題

16、例13已知實(shí)數(shù)x、y滿足，求的最大值與最小值。解析：表示過點(diǎn)A（0，1）和圓上的動點(diǎn)（x，y）的直線的斜率。如下圖，當(dāng)且僅當(dāng)直線與圓相切時(shí)，直線的斜率分別取得最大值和最小值。設(shè)切線方程為，即，則，解得。因此，點(diǎn)評：直線知識是解析幾何的基礎(chǔ)知識，靈活運(yùn)用直線知識解題具有構(gòu)思巧妙、直觀性強(qiáng)等特點(diǎn)，對啟迪思維大有裨益。下面舉例說明其在最值問題中的巧妙運(yùn)用。例14設(shè)雙曲線的兩支分別為，正三角形PQR的三頂點(diǎn)位于此雙曲線上。若在上，Q、R在上，求頂點(diǎn)Q、R的坐標(biāo)。分析：正三角形PQR中，有，則以為圓心，為半徑的圓與雙曲線交于R、Q兩點(diǎn)。根據(jù)兩曲線方程可求出交點(diǎn)Q、R坐標(biāo)。解析：設(shè)以P為圓心，為半徑的圓的

17、方程為：，由得：。（其中，可令進(jìn)行換元解之）設(shè)Q、R兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則。即，同理可得：，且因?yàn)镻QR是正三角形，則，即，得。代入方程，即。由方程組，得：或，所以，所求Q、R的坐標(biāo)分別為點(diǎn)評：圓是最簡單的二次曲線，它在解析幾何及其它數(shù)學(xué)分支中都有廣泛的應(yīng)用。對一些數(shù)學(xué)問題，若能作一個(gè)輔助圓，可以溝通題設(shè)與結(jié)論之間的關(guān)系，從而使問題得解，起到鋪路搭橋的作用。五思維總結(jié)1關(guān)于直線對稱問題：（1）關(guān)于l ：Ax By C 0對稱問題：不論點(diǎn)，直線與曲線關(guān)于l 對稱問題總可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于l 對稱問題，因?yàn)閷ΨQ是由平分與垂直兩部分組成，如求P（x0 ，y0）關(guān)于l ：Ax By C 0對稱點(diǎn)Q（x1 ，

18、y1）有（1）與ABC 0。（2）解出x1 與y1 ；若求C1 ：曲線f（x ，y）0（包括直線）關(guān)于l ：Ax By C1 0對稱的曲線C2 ，由上面的（1）、（2）中求出x0 g1（x1 ，y1）與y0 g2（x1 ，y1），然后代入C1 ：f g1（x1 ，y1），g2（x2 ，y2）0，就得到關(guān)于l 對稱的曲線C2 方程：f g1（x ，y），g2（x ，y）0。（3）若l ：Ax By C 0中的x ，y 項(xiàng)系數(shù)|A|1，|B |1就可以用直接代入解之，尤其是選擇填空題。如曲線C1 ：y2 4 x 2關(guān)于l ：x y 40對稱的曲線l2 的方程為：(x 4) 2 4（y 4）2即y

19、用x 4代，x 用y 4代，這樣就比較簡單了。（4）解有關(guān)入射光線與反射光線問題就可以用對稱問題來解決。點(diǎn)與圓位置關(guān)系：P（x0 ，y0）和圓C ：(x a) 2 (y b) 2 r2。點(diǎn)P 在圓C 外有(x0 a) 2 (y0 b) 2 r2；點(diǎn)P 在圓上：(x0 a) 2 (y0 b) 2 r2；點(diǎn)P 在圓內(nèi)：(x0 a) 2 (y0 b) 2 r2 。3直線與圓的位置關(guān)系：l ：f1（x ，y）0圓C ：f2（x ，y）0消y 得F（x2）0。（1）直線與圓相交：F（x ，y）0中D 0；或圓心到直線距離d r 。直線與圓相交的相關(guān)問題：弦長|AB|x1 x2|，或|AB|2；弦中點(diǎn)坐標(biāo)（，）；弦中點(diǎn)軌跡方程。（2）直線與圓相切：F（x）0中D 0，或d r 其相關(guān)問題